固体物理 晶格振动与晶体的热力学函数
第三章晶格振动与晶体的热力学函数
一、填空体
1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的
振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。
2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。
3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。
4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。
5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。
6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。
7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。
8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。
9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。
10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。
11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。
12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。
13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学
波；另有 2N 支光学波。
14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ωη ，准动量为 q ρ
η 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：
3
)2(V
π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：
2
)
2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间
中的波矢密度为：π
2L
。 二、基本概念 1. 声子
晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件
即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度
波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3
c
)
2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度
单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。
答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。
6.简谐近似
答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。
7.格波
答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。
三、简答题
1.试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性.
特点：
1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动；
2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。
局限性：
1）在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热熔随温度T3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。
2）德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低温下，热容与T3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。
2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原
子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.
3. 晶体中声子数目是否守恒
答：频率为的格波的(平均) 声子数为
,
即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多
答：频率为的格波的(平均) 声子数为
.
因为光学波的频率比声学波的频率高, ( )大于( ), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.
5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多答：设温度TH>TL, 由于( )小于( ), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.
6. 高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系
答：温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为
.
可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.
7. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化
答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化. 8. 试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度。 答：由一维单原子链的色散关系2
sin
2
qa
m
β
ω= 可求得一维单原子链中振动格波的相速度为2
/2sin
qa
qa m
a
q
p β
ω
υ== 群速度为
9. 周期性边界条件的物理含义是什么引入这个条件后导致什么结果如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样
答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第Nt+j 个原子的运动情况一样，其中t ＝1，2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢q 的取值将趋于连续。
10. 下图表示一维双原子复式晶格振动的两支格波的色散关系。请简要分析并判断：在长波极限下，图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的质心振动图中哪一条曲线反映了初基元胞内两个原子的相对振动 答:
上半部分曲线表示光学支，光学支格波反映了晶体中分子内两个原子的相对振动；下半部分曲线表示声学支，声学支格波反映了晶体中分子的质心振动。
由N个原胞所组成的复式三维晶格，每个原胞内有r个原子，试问晶格振动时能得到多少支色散关系其波矢的取值数和模式的取值数各为多少
答：共有3r支色散关系，波矢取值数=原胞数N，模式取值数=晶体的总自由度数。
11.对于初基晶胞数为N的二维晶体，基元含有四个原子，声学支震动模式和光学支震动模式的数目各为多少
答：2N，6N。
12.在三维晶体中，格波独立的点数N，格波个数，格波总支数，声学波支数分别等于多少
答：在三维晶格中，格波独立的点数是，格波个数有3Nn，格波总支数是3nN，对每个波矢q，有3支声学波，（3n-3）支光学波。
13.试述长光学波与长声学波的本质区别
答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波。
14. 长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化
答：长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化，其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移。长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此，长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化。
15.爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么
答:按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为Hz 1013
, 属于光学支
频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源。
16. 在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符
答：在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发,得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符。
四、证明计算
1. 证明一维单原子链的运动方程，在长波近似下，可以化成弹性波方程， 证明：
第n 个原子的运动方程为 因为
所以第n 个原子的运动方程化为 在长波近似下， 运动方程又化为
在长波近似下，当l 为有限整数时，
上式说明，在长波近似下，邻近（在半波长范围内）的若干原子以相同的振幅、相同的位相做集体运动．因此（ l ）式可统一写成
观上的质点位移u ，从宏观上看，原子的位置可视为准连续的，原子的分离a l n )(+可视为准连续坐标x ，即 于是（2）化成 其中
2. 在一维双原子链中，如1>>m M ，求证 证明：双一维原子链声学支
m M >>Θ，
14<<∴
mM mM
由近似式()nx x n
-≈-11，）当1(< 得 () }]sin )(4211[1{2/122 21qa M m mM mM M m +- -+= βω qa M qa M m 22sin 2sin 2β β≈+= ， 对2 2ω，由于m M >>，M m M ≈+ 0220=-=M m A B ββ 故B ＝0， 重原子静止。 3.在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M ，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+1和n-1个原子对平衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 4. 证明：在温度T 时，一个量子谐振子的能量为 讨论当温度很高时，结果又会怎样 证明：按照量子理论，一个谐振子的能级是 式中，ω为谐振子的角频率；n 取正整数。在热平衡条件下，谐振子的平均能量为 ∑=n n n P εε 式中 n P 为谐振子处于能级 n ε的几率。若按玻耳兹曼统计计算，上式写成 因为 故从上式得 在高温下，1 2< η，有 故得 T k B ≈ε 可见，在高温下，一个量子谐振子的平均能量与经典理论的结论相同。 5.在一维无限长的简单晶格中，若考虑原子间的长程作用力，第 n 个与第 n +m 或 n-m 个原子间的恢复力系数为m β，试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M ，第n 个原子对平衡位置的位移为un 第n+m 和n-m 个原子对平衡位置的位移分别为un+m 与 un-m ，则第n+m 和n-m 个原子对第n 个原子的作用力为 第 n 个原子受力的总合为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 7.已知三维晶体在0=q 附近一支光学波的色散关系为 ()() 2 220z y x Cq Bq Aq q ++-=ωω ， 试求格波的模式密度()ωρ 解：2220z y x Cq Bq Aq ++=-ωωΘ 则 102 0202=-+-+-C q B q A q z y x ωωωωωω 这是q 空间的一个椭球面，其体积为abc π3 4 ，而 2 /10A a ω ω-= ，2 /10B b ω ω-= ，2 /10C c ω ω-= q 空间内的波矢密度()3 3 )2(2ππρV L q =?? ? ??= ，故椭球内的总状态数N 为 故 ()2 /1022 /102 /12414ABC V ABC V d dN ωωπω ωπωωρ-= -? ? ? ??== 8.计算一维单原子链的模式密度)(ωD 解：设单原子链长度L Na = 一维单原子链的色散关系为： 其中M m β ω2 = 模式密度为ω πωq L D ?= 2 2)( 对一维单原子链而言 因为 既有 dq qa qa a d m )2 1cos()21 sin(22 ωωω= 所以 模式密度为 7. 已知一个频率为i ω的简谐振动在温度T 下的平均能量 试用爱因斯坦模型求出由N 个原子组成的单原子晶体晶格振动的总能量，并求其在高温和低温极限情况下的表达式。 解:由N 个原子组成的单原子晶体共有3N 个自由度，独立晶格振动方式数也等于3N ，晶体振动的总能量便等于晶体振动的总能量便等于这3N 个谐振动的能量之和，即 依照爱因斯坦模型，ωωωω====N 321Λ，于是上式变为 设T T k x E B Θ== ω η，E Θ为爱因斯坦温度 )121(3-+=x B e x x T Nk E (1) 在高温极限下，x<<1，x e x ≈-1，(1)式化作 上式中的第二项是3N 个经典谐振子的平均能量之和；第一项与温度无关，是爱因斯坦模 型下的零点振动能。 在低温极限下，x>>1，x x e e ≈-1，从(1)式得 8. 设晶格中每个振子的零点振动能为2ω η，试用德拜模型求三维晶格的零点振动能 解：状态密度 ()()3 2 223v V V g ωπωωρ== 则 ()ωωπωωωρεωωd v V d E D D 32 20 002321η? ?== 9.设有三维间立方晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限声子数目与T 3。 解：按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为 . 作变量代换 ， . 其中 是德拜温度. 高温时, , 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时, , , 即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比. 10. 有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论 述在低温极限比热正比与2 T 。 证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积 2ndn π，且()22 532222L s ndn kdk kdk d v ρω πρωωπππ===即则 11.有三维简单晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限声子数目与T 3。 按照德拜模型, 晶体中的声子数目N '为 . 作变量代换 ， . 其中 是德拜温度. 高温时, , 即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比. 低温时, , , 即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比. 12.有N个相同原子组成的体积为L的一维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与T。. 13. 在一维无限长的简单晶格中，原子质量为M，若只考虑近邻原子之间的相互作用，恢复力系数为β，试求格波的色散关系。 解：设原子的质量为 M ，第n个原子对平衡位置的位移为un第n+1和n-1个原子对平衡位置的位移分别为un+1与 un-1，则第n+m 和n-m个原子对第n个原子的作用力为 因此第 n 个原子的运动方程为 将格波的试解 代入运动方程，得 由此得格波的色散关系为 14. 计算色散关系为2 ω的模式密度二维的模式密度。 = cq 解：q空间也约化为二维空间，其等频面实际为一个圆，圆半径为： 二维情况下的q空间中的密度为：A/(2π)2，（这里A为二维晶格的面积），而且有： 所以对于ω=c2q，二维情况的模式密度为： 计算色散关系为2 ω的模式密度一维的模式密度。 = cq 解：一维情况下的q空间中的等频面退化为两个等频的点，因此有 q空间有两个等频点+q和-q。仿上面的方法可以得到： 15 对三维单原子点阵，计算德拜模型下的模式密度。 解：（ 解法一） 设横波和纵波具有相间波速v ，有 ()() () ()() () 3 23 22323 23 2D D D D K K K K K K dK g vK d dKK vK dKK vK ωδωπδωπδωπ<<<'=-=Ω-= -? ??? (1) 令,z vK dz vdK ==，上式化为 其中简正模式的最高频率是D ω，如果晶体中原子密度为n ，则 相应的德拜截止波矢为 （解法二） 对于长声学波的色散关系 波矢空间中的频率等值面()K ωω ≡是一球面，如该球面内所包围的模式数为 式中3 V L =是晶体体积．利用色散关系式将和模式数化为对频率ω的函数 于是得到 以上是就色散关系的一支求得的，考虑到一个波矢K 有三种偏振态，单原子点阵的色散关系有三支，纵波和横波有不同波速，总的模式密度应对各支求和，于是 式中l v 是纵波的波速，i v 是两个横波的波速．如果用v 表示纵波和横波的平均波速 德拜模式密度又可写为 1.晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。 晶体结构——晶体结构即晶体的微观结构，是指晶体中实际质点（原子、离子或分子）的具体排列情况。金属及合金在大多数情况下都以结晶状态使用。晶体结构是决定固态金属的物理、化学和力学性能的基本因素之一。 2.晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。 3.单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。 4.基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。 倒易点阵——是由被称为倒易点或倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。 5.原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。 6.晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。 7.原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。 8.布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。 9.简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。 10.密堆积和配位数-----晶体组成原子视为等径原子时所采取的最紧密堆积方式称为密堆积，晶体中只有六角密积与立方密积两种密堆积方式。晶体中每个原子周围的最近邻原子数称为配位数。由于晶格周期性限制，晶体中的配位数只能取：12，8，6、4、3（二维）和2（一维）。 11.晶列、晶向（指数）和等效晶列-----晶列是晶体结构中包括无数格点的直线，晶列上格点周期性重复排列，相互平行的晶列上格点排列周期相同，一簇相互平行的晶列可将晶体中所有格点包括无遗；晶向指晶列的方向，晶向指数是晶列的方向余旋的互质整数比，表为[uvw]；等效晶列是晶体结构中由对称性相联系的一组晶列，表为 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、 填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T 的关系为U~T 3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T 的关系为U~T 2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 。 11.导体中与温度有关的内能来源于 晶格振动能 和 价电子热运动动能 。 12. 某二维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ω ，准动量为 q 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为：2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 《固体物理学》概念和习题 固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 《固体物理学》概念和习 题答案 The document was prepared on January 2, 2021 《固体物理学》概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义。 答：以一个格点为原点，作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面(或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳-赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型。 4. 请描述七大晶系的基本对称性。 5. 请给出密勒指数的定义。 6. 典型的晶体结构（简单或复式格子，原胞，基矢，基元坐标）。 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义。 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律。 9. 给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件。 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞，每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18. 在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设。 19. 简述晶体热膨胀的原因。 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式） 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28. 给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义。 34. 给出半导体的电导率。 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关。 36. 请解释德哈斯-范阿尔芬效应。 2.4 晶格振动与声子 绝热近似下，固体的运动近似地简化为两个相对较小的子系统：电子和核（或原子实）的运动问题。前面对电子体系的运动状态作了讨论，现在对第二个问题，即核（或原子实）子系统的运动作一简要回顾。如2.1中所述，对给定的电子系 状态n ，原子实系统 感受到的 有效势场 ()()() N LL n V V E =+R R R ， 原子实间的库伦相互作用() LL V R + 依赖于核构型的电子能() n E R 描述原子实系统运动的哈密顿方程为： ()()()()() 2 2 12I n LL S I I X E V X E X M ??-?++=??∑R R R R R （2.4-1） 2.4.1 简谐近似和正则振动模 上述方程涉及大量粒子的运动，数学上很难求解。需要一个好的近似作为讨论的出发点。我们感兴趣的是：有效势有极小值（即具有稳定平衡构形），原子偏离平衡位置不太远的情形。 设晶体包含N 个原胞，每个原胞有υ个原子，采用周期性边界条件。 第n 个原胞中，第α个原子的平衡位置为 n n R R R αα=+， n R 和R α分别为原胞（代表点）位置和原子α在原胞中相对代表点的位置。 原子相对平衡位置的瞬时位移的直角坐标分量为()n i s t α （1,2,3i =）。 将有效势场() N V R 在平衡核构形{}0n R α=R 处作泰勒展开： ()() 201......2N N N n i n i n in i n i n i V V V s s S S αααααα''''''''' ?=++??∑R R （2.4-2） 取常数项为零，一次项在平衡构型下恒等于零，展开式中第一个不为零的项就是二次项。考虑原子实围绕平衡位置作小振动的情形，高次项可忽略，这就是所谓的 简谐近似。可以证明，由这样的简谐势联系在一起的N υ个粒子构成 第一章晶体结构 晶体-----内部组成粒子（原子、离子或原子团）在微观上作有规则的周期性重复排列构成的固体。 晶体的通性------所有晶体具有的共通性质，如自限性、最小内能性、锐熔性、均匀性和各向异性、对称性、解理性等。 单晶体和多晶体-----单晶体的内部粒子的周期性排列贯彻始终；多晶体由许多小单晶无规堆砌而成。 基元、格点和空间点阵------基元是晶体结构的基本单元，格点是基元的代表点，空间点阵是晶体结构中等同点（格点）的集合，其类型代表等同点的排列方式。原胞、WS原胞-----在晶体结构中只考虑周期性时所选取的最小重复单元称为原胞；WS原胞即Wigner-Seitz原胞，是一种对称性原胞。 晶胞-----在晶体结构中不仅考虑周期性，同时能反映晶体对称性时所选取的最小重复单元称为晶胞。 原胞基矢和轴矢----原胞基矢是原胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量；晶胞基矢是晶胞中相交于一点的三个独立方向的最小重复矢量，通常以晶胞基矢构成晶体坐标系。 布喇菲格子（单式格子）和复式格子------晶体结构中全同原子构成的晶格称为布喇菲格子或单式格子，由两种或两种以上的原子构成的晶格称为复式格子。简单格子和复杂格子（有心化格子）------一个晶胞只含一个格点则称为简单格子，此时格点位于晶胞的八个顶角处；晶胞中含不只一个格点时称为复杂格子，其格点除了位于晶胞的八个顶角处外，还可以位于晶胞的体心（体心格子）、一对面的中心（底心格子）和所有面的中心（面心格子）。 密堆积和配位数-----晶体组成原子视为等径原子时所采取的最紧密堆积方式称为密堆积，晶体中只有六角密积与立方密积两种密堆积方式。晶体中每个原子周围的最近邻原子数称为配位数。由于晶格周期性限制，晶体中的配位数只能取：12，8，6、4、3（二维）和2（一维）。 晶列、晶向（指数）和等效晶列-----晶列是晶体结构中包括无数格点的直线， 纳米多晶体的热力学函数及其在相变 热力学中的应用 3 宋晓艳 高金萍 张久兴 (北京工业大学材料科学与工程学院,新型功能材料教育部重点实验室,北京 100022) (2004年5月20日收到;2004年6月18日收到修改稿) 以往关于纳米材料热力学的研究,绝大多数以界面的热力学函数表征整体纳米材料的热力学性质,这种近似处理,对于尺寸超过几十纳米的较粗纳米材料,在相变热力学中对特征转变温度和临界尺寸等重要参量的预测,将导致很大误差.应用“界面膨胀模型”和普适状态方程,研究了纳米晶界的热力学特性,进一步发展了纳米晶整体材料热力学函数的计算模型,给出了单相纳米多晶体的焓、熵和吉布斯自由能随界面过剩体积、温度,以及晶粒尺寸发生变化的明确表达式.以C o 纳米晶为例,分析了界面与整体纳米多晶体热力学函数的差异,确定了相变温度与晶粒尺寸的依赖关系,以及一定温度下可能发生相变的临界尺寸. 关键词:纳米多晶体,热力学函数,相变热力学 PACC :6146,0570C 3国家自然科学基金(批准号:50401001)资助的课题. 通讯联系人.E -mail :xys ong @https://www.sodocs.net/doc/a815177150.html, 11引言 纳米材料通常指尺度在100nm 以下的微细组织材料.对于纳米多晶体,由于晶粒极细,其组织中由晶界、相界或畴界等构成的内界面[1] 含量很高,显著影响纳米多晶体材料的物理和机械性能,使其在很多方面体现出优越于粗晶块体材料的奇异性能. 纳米材料的特殊性能是由其化学组成、界面结构,以及产生微细组织的制备过程等共同决定的,是与纳米结构和组织形成及转变的热力学和动力学紧密联系的.然而,相对于粗晶的大块多晶体材料,纳米材料的比热值升高、热膨胀系数成倍增大,以及与同成分粗晶材料相差迥异的相变特征和相稳定性等特性 [2] ,表明用于研究块体材料的传统热力学理论 已不能合理解释纳米材料的相变行为. Fecht [3] 和Wagner [4] 最早应用晶界膨胀模型,分 别采用普适状态方程(universal equation of state ,E OS ) 和准谐Debye 近似模型(quasiharm onic Debye approximation ,QDA )计算了一些纯物质纳米晶界面 的热力学性质.Lu 等人[5] 应用QDA 模型计算了纯 Ni 纳米晶界的一些热力学特性,分析了界面热力学 参量与温度的关系,并讨论了不同晶粒尺寸的纳米Ni-P 合金的非晶态晶化的热力学问题[6] .Meng 等 人[7] 应用E OS 理论,借助纳米界面的热力学参量,研究了β -C o (fcc )→α-C o (hcp )相变不同于粗晶材料的热力学特征,获得了高温相(β-C o )可在较低温度下存在的临界尺寸. 应该注意的是,迄今关于纳米材料的绝大多数工作集中于研究纳米界面的结构和特性,而忽略纳米晶粒内部的晶体对整体材料的贡献.如文献中已有的关于纳米材料热力学性质的研究,几乎全部以纳米晶界面的焓、熵和自由能作为表征整体纳米材料的热力学函数,并以之为判据探讨纳米多晶体材料的相变热力学.这一近似处理对于极细的纳米材 料(如尺度小于10nm ,约30%以上的原子位于界面上)是可行的,这也是Wagner 在其经典的界面膨胀QDA 理论中首先指出的模型适用条件:“尺寸为10 个纳米以下的多晶体且具有随机的晶体取向[4] ”.然而,对于较粗的纳米材料,上述近似处理则显示出局限性,尤其当晶粒尺寸超过几十纳米时,在相变热力学中对特征转变温度和临界尺寸等重要参量的预 第54卷第3期2005年3月100023290Π2005Π54(03)Π1313207 物 理 学 报 ACT A PHY SIC A SI NIC A V ol.54,N o.3,March ,2005 ν2005Chin.Phys.S oc. 晶格振动与声子 2010-04-24 16:38:01| 分类：微电子物理| 标签：|字号大中小订阅 （什么是声学波？什么是光学波？什么是声子？） 作者：Xie M. X. (UESTC，成都市) （1）格波： 晶格振动(Crystal lattice vibration) 就是晶体原子在格点附近的热振动，这是个力学中的小振动问题, 可用简正振动和振动模来描述。由于晶格具有周期性，则晶格的振动模具有波的形式，称为格波。一个格波就表示晶体所有原子都参与的一种振动模式。格波可区分为声学波和光学波两类——两种模式。 声学波是晶格振动中频率比较低的、而且频率随波矢变化较大的那一支格波；对于波矢比较小的长声学波，与弹性波一致，它表示着原胞中所有原子的一致运动[相位和振幅都相同]；声学波的能量虽然较低，但是其动量却可能很大，因此在对于载流子的散射与复合中，声学波声子往往起着交换动量的作用。 光学波是复式晶格振动中频率比较高的、而且频率随波矢变化较小的那一支格波；对于长光学波，它表示着相位相反的两种原子的振动，即表示着两种格子的相对振动[但质心不变]。光学波声子具有较高的能量，而高能量声子的动量往往很小，所以光学波声子在与载流子的相互作用中往往起着交换能量的作用。 （2）声子： 格波的能量是量子化的: 频率ω的格波具有谐振子一样的分离能量：E = ( n + 1/2 ) ?ω, n = 0,1,2,2,…。则当格波与载流子相互作用时, 格波能量的改变只能是?ω的整数倍; 该晶格振动能量?ω的量子即称为声子（Phonon ）。当格波能量减少?ω时, 就说晶格放出一个声子; 如格波能量增加?ω时, 就说晶格吸收一个声子. 因此晶格与载流子的相互作用可看成是格波对载流子的散射(碰撞)。 由于晶格振动有声学波和光学波两种模式，所以相应的就有两种声子——声学波声子和光学波声子。一个格波,即一种振动模,就称为一种声子；当这种振动模处于(nq+1/2) ?ωq 本征态时，就说有nq个声子, nq是声子数。晶格中共有3Nr个格波,即有3Nr种声子;共有3支声学波声子和(3r－3)支光学波声子；又可有纵向声子和横向声子。 声子本身不导电，但是它能够传热，并且还对载流子产生散射作用——声子散射。晶体的比热、热导、电导等都与声子有关。 用声子可以简明地描述晶格振动,它反映的是晶体原子集体运动状态的激发单元（元激发），因此声子是固体中的一种典型的元激发。声子是Bose子, 则每一个晶格振动的状态可被很多声子所占据；而声子的数目仅与晶格振动的能量有关(决定于温度)，一个晶格振动模式平均的声子占据数目为nj(q) = {exp[?ωj(q) /kT]－1}-1 . 因此,系统中声子的数目随着温度的上升而增加。由于声子的动量q不确定（q和q+ Gn表示相同的晶格振动状态，Gn是倒格子矢量），而且系统中的声子数不守恒(与温度有关), 因此,声子并不是真实的粒子, 而是所谓“准粒子”。 光学波的能量较高（最高能量的格波量子——声子，称为拉曼声子），但是较高能量光学波的动量却很小，因此在载流子的散射和复合过程中往往起着交换能量的作用。晶体中声子的相互作用，有一种过程是两个声子碰撞而产生第三个声子的过程，但声子的动量没有发生变化，即有? q1 + ? q2 = ? q3 （q1、q2和q3分别是第一、第二和第三个声子的动量），这种碰撞就常常简称为正规过程（Normal process）或者N过程。因为正规碰撞过程只改变动量的分布，而不影响热流的方向，故对热阻没有贡献。 第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为 3 c )2(V ，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 6.简谐近似 答：当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 7.格波 答：晶格中的原子振动是以角频率为ω的平面波形式存在的，这种波就叫格波。 三、简答题 1. 试分析爱因斯坦模型和德拜模型的特点及局限性. 特点： 1）爱因斯坦模型假设晶体中所有原子都以相同的频率作振动； 2）德拜模型的基本思想是把格波作为弹性波来处理。 局限性： 1） 在爱因斯坦的假设下，解释了在甚低温时温度的变化趋势，但是不能解释为什么晶体热 熔随温度T 3的速度变化，这是因为，爱因斯坦模型只考虑了光学支格波，忽略了声学支格波，而在甚低温决定晶体热容的主要是长声学波。爱因斯坦模型过于简化。 2） 德拜模型不仅能够很好解释在甚低温时晶体热容随温度的变化趋势，同时得出了在甚低 温下，热容与T 3成正比的规律。但是德拜模型忽略了晶体的各向异性，即光学波和高频声学波对热容的贡献。 2. 长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别? 答：长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 3. 晶体中声子数目是否守恒? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量. 第五章 晶格振动习题和答案 1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ [解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。 2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？ [解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。 3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为 1 1)(/-= T k B e n ωω 因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-T k B e ω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下， 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。 4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？ [解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-H B T k e ω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度 高时的声子数目多于温度低时的声子数目。 5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？ [解答] 温度很高时，T k e B T k B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为 ω ωω T k e n B T k B ≈-= 1 1)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。 6． 喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？ [解答] 晶格振动谱的测定中，光波的波长与格波的波长越接近，光波与声波的相互作用才越显著。喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说，该波长属于长波长范围。因此，喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用。长光学波声子的波矢很小，相应的动量q 不大。而能产生倒逆散射的条件是光的入射 1． 基元，点阵，原胞，晶胞，布拉菲格子，简单格子，复式格子。 基元：在具体的晶体中，每个粒子都是在空间重复排列的最小单元； 点阵：晶体结构的显著特征就是粒子排列的周期性，这种周期性的阵列称为点阵； 原胞：只考虑点阵周期性的最小重复性单元； 晶胞：同时计及周期性与对称性的尽可能小的重复单元； 布拉菲格子：是矢量Rn=mA1+nA2+lA3全部端点的集合，A1，A2，A3分别为格点到邻近三个不共面格点的矢量； 简单格子：每个基元中只有一个原子或离子的晶体； 复式格子：每个基元中包含一个以上的原子或离子的晶体； 2． 晶体的宏观基本对称操作，点群，螺旋轴，滑移面，空间群。 宏观基本对称操作：1、2、3、4、6、i 、m 、4， 点群：元素为宏观对称操作的群 螺旋轴：n 度螺旋轴是绕轴旋转2/n π与沿转轴方向平移T t j n =的复合操作 滑移面：对某一平面作镜像反映后再沿平行于镜面的某方向平移该方向周期的一半的复合操作 空间群：保持晶体不变的所有对称操作 3． 晶向指数，晶面指数，密勒指数，面间距，配位数，密堆积。 晶向（列）指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行直线族上，取一个格点沿晶向到邻近格点的位移基失由互质的（l1/l2/l3）表示； 晶面指数：布拉菲格子中所有格点均可看作分列在一系列平行平面族上，取原胞基失为坐标轴取离原点最近晶面与三个基失上的截距的倒数由互质的（h1/h2/h3）表示； 密勒指数：晶胞基失的坐标系下的晶面指数； 配位数：晶体中每个原子（离子）周围的最近邻离子数称之为该晶体的配位数； 面间距：晶面族中相邻平面的间距； 密堆积：空间内最大密度将原子球堆砌起来仍有周期性的堆砌结构； 4． 倒易点阵，倒格子原胞，布里渊区。 倒易点阵：有一系列在倒空间周期性排列的点-倒格点构成。倒格点的位置可由倒格子基矢表示，倒格子基矢由…确定 倒格子原胞：倒空间的周期性重复单元（区域），每个单元包含一个倒格点 布里渊区：在倒格子中如以某个倒格点作为原点，画出所有倒格矢的垂直平分面，可得到倒格子的魏格纳塞茨原胞，即第一布里渊区 5． 布拉格方程，劳厄方程，几何结构因子。 劳厄方程0(s s )m m R S λ?-= 布拉格方程2sin hkl d m θλ= 固体物理学发展简史 固体物理学是研究固体物质的物理性质、微观结构、构成物质的各种粒子的运动形态，及其相互关系的科学。它是物理学中内容极丰富、应用极广泛的分支学科。 固体通常指在承受切应力时具有一定程度刚性的物质，包括晶体和非晶态固体。简单地说，固体物理学的基本问题有：固体是由什么原子组成？它们是怎样排列和结合的？这种结构是如何形成的？在特定的固体中，电子和原子取什么样的具体的运动形态？它的宏观性质和内部的微观运动形态有什么联系？各种固体有哪些可能的应用？探索设计和制备新的固体，研究其特性，开发其应用。 在相当长的时间里，人们研究的固体主要是晶体。早在18世纪，阿维对晶体外部的几何规则性就有一定的认识。后来，布喇格在1850年导出14种点阵。费奥多罗夫在1890年、熊夫利在1891年、巴洛在1895年，各自建立了晶体对称性的群理论。这为固体的理论发展找到了基本的数学工具，影响深远。 1912年劳厄等发现X射线通过晶体的衍射现象，证实了晶体内部原子周期性排列的结构。加上后来布喇格父子1913年的工作，建立了晶体结构分析的基础。对于磁有序结构的晶体，增加了自旋磁矩有序排列的对称性，直到20 世纪50年代舒布尼科夫才建立了磁有序晶体的对称群理论。 第二次世界大战后发展的中子衍射技术，是磁性晶体结构分析的重要手段。70年代出现了高分辨电子显微镜点阵成像技术，在于晶体结构的观察方面有所进步。60年代起，人们开始研究在超高真空条件下晶体解理后表面的原子结构。20年代末发现的低能电子衍射技术在60年代经过改善，成为研究晶体表面的有力工具。近年来发展的扫描隧道显微镜，可以相当高的分辨率探测表面的原子结构。 晶体的结构以及它的物理、化学性质同晶体结合的基本形式有密切关系。通常晶体结合的基本形式可分成：高子键合、金属键合、共价键合、分子键合和氢键合。根据X 射线衍射强度分析和晶体的物理、化学性质，或者依据晶体价电子的局域密度分布的自洽理论计算，人们可以准确地判定该晶体具有何种键合形式。 固体中电子的状态和行为是了解固体的物理、化学性质的基础。维德曼和夫兰兹于1853年由实验确定了金属导热性和导电性之间关系的经验定律；洛伦兹在1905年建立了自由电子的经典统计理论，能够解释上述经验定律，但无法说明常温下金属电子气对比热容贡献甚小的原因；泡利在1927年首先用量子统计成功地计算了自由电子气的顺磁性，索末菲在1928年用量子统计求得电子气的比热容和输运现象，解决了经典理论的困难。 《固体物理》基础知识训练题及其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体和非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将错误!未找到引用源。两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将错误!未找到引用源。组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 第三章晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V的ZnS晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T3。 4. 某三维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N 支光学波。 5. 二维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T2。 6. 一维绝缘体晶体的低温比热Cv与温度T的关系为Cv~T。 7. 三维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T4。 8.二维绝缘体晶体的低温平均内能与温度T的关系为U~T3。 9. 一维绝缘体晶体的低温平均内能温度T的关系为U~T2。 10.绝缘体中与温度有关的内能来源于晶格振动能。 11.导体中与温度有关的内能来源于晶格振动能和价电子热运动动能。 12. 某二维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有2个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 4N 支，其中 2N 支声学波，包括 N 支横声学波， N 支纵声学波；另有 2N 支光学波。 13. 某一维晶体由N个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 3N 支，其中 N 支声学波，包括 N 支横声学波， 0 支纵声学波； 另有 2N 支光学波。 14.晶格振动的元激发为 声子 ，其能量为 ωη ，准动量为 q ρ η 。 15德拜模型的基本假设为：格波作为弹性波、 介质是各向同性介质。 16.对三维体积为V 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 3 ) 2(V π ；对二维面积为S 的晶体，波矢空间中的波矢密度为： 2 )2(S π ；对一维长度为L 的晶体，波矢空间中的 波矢密度为： π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件 即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为3 c )2(V π，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶格振动。 3.6 晶格振动的实验观测 一. 一般描述 二. 非弹性X-射线散射 三. Raman 散射和Brilouin 散射 四. 远红外和红外吸收光谱 参考黄昆36Kitt l 845五. 非弹性中子散射 六. 隧道谱 参考：黄昆书3.6 节, Kittel 8 版4.5 节 P .Bruesch Phonons: Theory and Experiments Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ其中第2卷是测量方法。 由于多种原因我国晶格振动的实验观测相对落后由于多种原因，我国晶格振动的实验观测相对落后，各种固体教材中介绍该内容相对较少，应该予以弥补。 一.一般描述： 从上面讨论中我们已经看到晶格振动是影响固体很多从上面讨论中我们已经看到：晶格振动是影响固体很多性质的重要因素，而且只要T ≠0K ，原子的热运动就是理解。所以从实验上观测晶格振动的固体性质时不可忽视的因素所以从实验观测晶格振动的规律是固体微观结构研究的重要内容，是固体物理实验方法的核心内容之一。（晶体结构测定；晶格振动谱测定；费米面测定缺陷观测等）面测定；缺陷观测；等。） ： 晶格振动规律主要通过晶格振动谱反映 1.晶格振动色散关系： ()j q ωω=f 2.态密度：()() g ωω= 实验观测就围绕着这两条曲线的测 定进行,包括各种因素对它们的影响以及 声子的寿命等。主要通过辐射波和晶格 振动的相互作用来完成。 其中最重要、最普遍的方法是： Far-Infrared and (FIR)Infrared Spectroscope (IR) 远红外和红外光谱Raman Spectroscope (R) 电磁波Raman Spectroscope (R) 喇曼光谱Brillouin Spectroscope (B) 布里渊散射谱Diffuse X-Ray Scattering X 射线漫散射Inelastic neutron Scattering (INS) e ast c eut o Scatte g (S) 非弹性中子散射Ultrasonic methods (US) 超声技术 （IETS)非弹性电子隧道谱 德拜温度不为常数时晶体的热力学函数中南大学冶金科学与工程学院 062420045号颜群轩 摘要: 确定了晶体的德拜温度随温度变化的普适关系, 导出了在此关系下晶体 热力学函数的表达式. 关键词: 德拜温度; 晶体; 热力学函数 目前, 许多文献在研究晶体热力学性质时, 均未考虑德拜温度θ随温度T 的变化, 并 指出德拜T3定律只适用于温度T < θ/ 30 的范围. 但实验证明, 德拜温度θ与温度T 有关, 有些晶体的θ随温度T 的变化还很显著[1]. 考虑到德拜温度θ随温度T变化情况下晶体的热力学性质以及θ随温度T的变化规律至今研究甚少. 为此, 本研究将依据热力学第三定律和固体热容的杜隆珀替定律, 首先确定德拜温度随温度变化的普适关系式, 然后在此基础上 确定晶体的热力学函数。 1 德拜温度为常数时的热力学函数 在晶体的德拜模型中, 对于N 个原子构成的3 维系统, 当温度为T 时, 应用德拜模型理论, 很容易求得德拜温度θ为常数时系统的自由能F D、熵S D、定容热容量C D为[2] （1） （2） （3） 其中: k 为玻尔兹曼常数,为3 维德拜比热容函数, 它有如下的形式 （4） 根据式(1-4) , 当温度T→0 时,有显然满足热力学第三定律.如果取T → +∞, 因, 这时, 式(4) 中的被积项变为ξ2, 这时就有 (5) 显然满足杜隆珀替定律. 如果温度T 很低, 这时定容热容量随温度T 的变化满足固体定容热容量的德拜T3定律 (6) 2 德拜温度随温度的变化 2.1温度较低时德拜温度随温度的变化 实验证实, 许多晶体的德拜温度与温度有关, 即θ= θ( T) . 考虑到这一点, 相应于式(2) 和式(3), 晶体的熵的表示式应修改为 （7） 利用公式 , 可求出考虑到θ= θ( T) 的定容热容量C V . 注意到在低温情况下 θ/T很大, 因而德拜比热函数的由0 到θ/T的积分可视为由0 到∞的积分, 即温度较低时有 （8） 于是 （9）将式(9) 代入式(7) 得 （10） 众所周知, 热力学第三定律和杜隆珀替定律均被实验证明是普遍适用的规律, 所以, 无论θ与T 的关系如何, 其结果都应满足热力学第三定律和杜隆珀替定律, 即满足 （11） 为了找出德拜温度θ随温度T 的关系式, 必须对式(4) 进行分析. 当温度T 很低时, 由式(4) 有 （12） 将式(2) 、式(3) 和式(12) 代入式(7) 和式(10) 有 固体物理总结 绪论 1研究对象及内容 研究固体的结构及其组成粒子间相互作用与运动规律以阐明固态物质性能和用途的学科。 2 固体物理学发展的里程碑 十八世纪： 阿羽依（R. J. Ha üy 法）--坚实、相同、平行六面体的“基石”有规则重复堆积. 十九世纪： 布喇菲(A.Bravais 法)--空间点阵学晶体周期性. 二十世纪初： X-射线衍射揭示晶体内部结构 量子理论描述晶体内部微观粒子运动过程 近几十年： 固体物理学→凝聚态物理：无序、尺度、维度、关联；晶体→凝聚态物质 第一部分 晶体结构 1 布喇菲点阵和初基矢量 晶体结构的特点在于原子排列的周期性质。布喇菲点阵是平移操作112233R n a n a n a =++所联系的诸点的列阵。布喇菲点阵是晶体结构周期性的数学抽象。点阵矢量112233R n a n a n a =++，其中，1n ，2n 和3n 均为整数，1a ，2a 和3a 是不在同一平面内的三个矢量，叫做布喇菲点阵的初基矢量，简称基矢。初基矢量所构成的平行六面体是布喇菲点阵的最小重复单元。 布喇菲点阵是一个无限的分立点的列阵，无论从这个列阵中的哪个点去观察，周围点的分布和排列方位都是完全相同的。 对一个给定的布喇菲点阵，初级矢量可以有多种取法。 2 初基晶胞(原胞) 初基晶胞是布喇菲点阵的最小重复单元。初基晶胞必定正好包含布喇菲点阵的一个阵点。 对于一个给定的布喇菲点阵，初基晶胞的选取方式可以不只一种，但不论初基晶胞的形状如何，初基晶胞的体积是唯一的，()123c V a a a =??。 3 惯用晶胞(单胞) 惯用晶胞是为了反映点阵的对称性而选用的晶胞。惯用晶胞可以是初基的或非初基的。惯用晶胞的体积是初基晶胞体积的整数倍，c V nV =。其中，n 是惯用晶胞所包含的阵点数。 确定惯用晶胞几何尺寸的数字叫做点阵常数。 4 维格纳-赛兹晶胞(W-S 晶胞) 维格纳-赛兹晶胞是另一种能够反映晶体宏观对称性的晶胞，它是某一阵点与相邻阵点连线的中垂面(或中垂线)所围成的最小体积。维格纳-赛兹晶胞是初基晶胞。 5 晶体结构 理想的晶体结构是由相同的物理单元放置在布喇菲点阵的阵点上构成的。这些物理单元称为基元，它可以是原子、分子或分子团(有时也可以指一组抽象的几何点)。将基元平移布喇菲点阵的所有点阵矢量，就得到晶体结构，或等价地表示为 基元十点阵＝晶体结构 当选用非初基的惯用晶胞时,一个布喇菲点阵可以用带有基元的点阵去描写。 第二部分 倒易点阵和晶体衍射 1．倒易点阵和倒易点阵初基矢量 和一种晶体结构相联系的点阵有两种：晶体点阵和倒易点阵．前者是真实空间中的点阵，具有[长度]的量纲．后者是在与真实空间相联系的傅里叶空间中的点阵，具有[长度]-1量纲． 一个具有晶体点阵周期的周期函数n (r )＝n (r+R )展成傅氏级数后，其傅氏级数中的波矢在傅里叶空间中表现为一系列规则排列的点，这些点排列的规律性只决定于函数n (r )的周期性而与函数的具体形式无关．我们把在傅里叶空间中规则排列着的点的列阵称为倒易点阵．倒易点阵是(完整版)固体物理概念(自己整理)
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