三角函数、平面向量与解三角形

高三高考数学临考前解答题针对性训练题组一

三角函数、平面向量与解三角形

1. 已知函数21()sin sin()3cos (3)3()2

2

f x x x x x R π

π=?+

-++

∈．

（1）求)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的单调递增区间；

（3）求)(x f 图象的对称轴方程和对称中心的坐标． 解:32

1212cos 32sin 21)(++-=x x x f

=???

?

??-x x 2cos 232sin 21=)32sin(π-x （1）T=π； （2）由)(22

3

222

z k k x k ∈+≤

-

≤+-

ππ

π

ππ

可得单调增区间]12

5

,12

[πππ

π+

-

k k （)z k ∈． （3）由ππ

π

k x +=

-2

3

2得对称轴方程为)(2

125z k k x ∈+=

ππ，

由ππ

k x =-

3

2得对称中心坐标为))(0,2

6

(

z k k ∈+

π

π

2已知向量(1,cos 3sin ),((),cos )a x x b f x x ωωω=-+=，其中ω＞0，且a b ⊥，又

()f x 的图像两相邻对称轴间距为3

2

π.

(Ⅰ)求ω的值；

(Ⅱ) 求函数()f x 在[－2,2ππ]上的单调减区间. 解： (Ⅰ) 由题意0a b ?=

()cos (cos 3)f x x x x ωωω∴=+

1cos 23222

x x

ωω+=+

1sin(2)26

x πω=

++

地面

O

t

h

O 由题意，函数周期为3π，又ω＞0，13

ω∴=； (Ⅱ) 由(Ⅰ)知12()sin()236

x f x π=

++ 2322,2362

x k k k z πππ

ππ∴+≤+≤+∈

332,2

k x k k z π

πππ∴+

≤≤+∈

又x []2,2ππ∈-，∴()f x 的减区间是[]

2,,22ππππ??

--????

. 3、在ABC ?中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，且满足222b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值； （Ⅱ）若3a =

B 的大小为,x AB

C ?的周长为y ，求()y f x =的最大值.

解：（Ⅰ）在ABC ?中，由2

2

2

b c a bc +-=及余弦定理得2221

cos 22

b c a A bc +-=

= 而0A π<<，则3

A π

=

；

（Ⅱ）由3,3

a A π

==

及正弦定理得

3

2sin sin sin 3b c a

B C A

====， 而2,3B x C x π==-，则222sin ,2sin()(0)33

b x

c x x ππ==-<< 于是232sin 2sin()23)336

y a b c x x x ππ

=++=+-=++

由203x π<<得5666x πππ<+<，当62x ππ+=即3

x π

=时，max 33y =

4、如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为3

2

m ，圆环

的圆心距离地面的高度为m 1，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点P 0处. (1)试确定在时刻t 时蚂蚁距离地面的高度)(t h ; (2)画出函数)(t h 在10≤≤t 时的图象；

(3)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过3

2

m ？

解：

地面

(1))(2cos 3

2

1)(m t t h π-

=…………………………4分 (2)图象如右实线部分…………………………8分 (3)由3

2

2cos 321)(>-=t t h π解得

6

5

61<

2

m . …………12分

5、设函数.cos cos sin 3)(2

a x x x x f ++=

（Ⅰ）写出函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间； （II ）当]3,6[π

π-

∈x 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为2

3

，)(x f 的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积.

解：（Ⅰ）,2

1)6

2sin(2

2cos 12sin 2

3)(+++=+++=a x a x x x f π………2分 .π=∴T ………4分

).

](3

2,6[)(.

3262236222Z k k k x f k x k k x k ∈+++≤≤++≤

+

≤+ππ

ππππ

πππππ

ππ的单调递减区间是故函数得由

………6分

（II ）.1)6

2sin(2

1,6

56

26

,3

6

≤+≤-∴≤+≤-∴≤≤-ππππππx x x

.

2

1

)62sin()(.

0,23)2121()211,3,6++=∴=∴=++-+++???

???-∈πππx x f a a a x 值的和（原函数的最大值与最小时当

………8分

)(x f 的图象与x 轴正半轴的第一个交点为)0,2

(π

………10分

所以)(x f 的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积

S =.4

32]2)62cos(21[]21)62[sin(2020?+=

++-=++π

π

π

ππ

x x dx x …12分

6、已知向量m 4x ，1），n ＝(cos 4x ，2cos 4x )。

（I ）

m ?n=1,求2cos()3

x π

-的值;

（II ） 记f(x)=m ?n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，

且满足（2a-c ）cosB=bcosC ，求函数f(A)的取值范围。

解：（I ）m ?2cos cos 444

x x x

+

=

11

cos 22222

x x ++ =1

sin()262

x π++ ∵m ?n=1

∴1

sin()262x π+

=┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分 2cos()12sin ()326x x ππ+=-+ =1

2

21

cos()cos()332

x x ππ-=-+=-┉┉┉┉┉┉┉6分

（II ）∵（2a-c ）cosB=bcosC

由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=┉┉┉┉┉┉7分 ∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=

∴2sin cos sin()A B B C =+ ∵A B C π++=

∴sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠

∴1cos ,23B B π

=

=┉┉┉┉┉┉8分 ∴203

A π

<<┉┉┉┉┉┉9分

∴1,sin()16262226

A A ππππ

<+<<+<┉┉┉┉┉┉10分 又∵f(x)=m ?n ＝1

sin()262x π++，

∴f(A)=1

sin()262

A π++ ┉┉┉┉┉┉11分

故函数f(A)的取值范围是（1,

3

2

）┉┉┉┉┉┉12分 7、在ABC ?中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边长，已知A A cos 3sin 2=.

(Ⅰ)若mbc b c a -=-2

2

2

,求实数m 的值; (Ⅱ)若3=

a ,求ABC ?面积的最大值.

解:(Ⅰ) 由A A cos 3sin 2=

两边平方得:A A cos 3sin 22=

即0)2)(cos 1cos 2(=+-A A 解得: 2

1

cos =

A …………………………3分 而mbc b c a -=-2

2

2

可以变形为

2

2222m

bc a c b =-+ 即2

1

2cos ==

m A ，所以1m =…………………………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 2

1

cos =

A ,则23sin =A …………………………7分

又

2

1

2222=-+bc a c b …………………………8分 所以2

2

2

2

2a bc a c b bc -≥-+=即2

a bc ≤…………………………10分 故4

33232sin 22=?≤=?a A bc S ABC

………………………………12分 8、已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且满足()2cos cos a c B b C -=

（I ） 求角B 大小；

（II ） 设()()sin ,1,1,1m A n ==-，求m n ?的最小值.

9、在成且已知的对边分别为角中c b a B c b a C B A ABC ,,,13

5

sin ,,,,,,=?等比数列。 （1）求

C

A tan 1

tan 1+

的值； （2）若c a B ac +=求,12cos 的值。 解：（I ）依题意，ac b =2

由正弦定理及.169

25

sin sin sin ,135sin 2===B C A B 得 3分 .51325169135sin sin sin sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1=?==+=+=+C A B C A C A C C A A C A 6分

（II ）由.0cos 12cos >=B B ac 知

由.13

12

cos ,135sin ±==B B 得（舍去负值） 8分

从而，.13cos 122

===B

ac b 9分

由余弦定理，得.cos 22)(2

2

B ac ac c a b --+= 代入数值，得).13

121(132)(132

+??-+=c a

解得.73=+c a 12分

10、在锐角ABC ?中，,,a b c 是角,,A B C 所对的边，S 是该三角形的面积，若

04

3

sin 3sin 2=+

-B B 。 （1）求角B 的度数；（2）若4,53a S ==，求b 的值。

解：（1）23sin =

B ，则舍去）3

2(,3π

π==B B …… （6分） （2）1

sin 5352

ac B c == ……………（9分）

2221

-2cos 1625-245212b a c ac B ∴=+=+???=

21b ∴ …………（12分）

11、已知2(cos,cos),(cos ,3sin)

a x x

b x x

ωωωω

==

（其中0<ω<1）,

函数()

f x a b

-若直线

3

x

π

=是函数()

f x图像的一条对称轴，

（I）试求ω的值；

（II）先列表在作出函数()

f x在区间[,]

ππ

-上的图像

解：

()()()2

2cos,cos cos,3sin2cos23cos sin

12cos3sin12sin2

6

f x a b x x x x x x x

x x x

ωωωωωωω

π

ωωω

=?=?=+

??

=++=++

?

??

()()

22

sin1

336362

31111

,010,

22332

x k k Z

K k k

πωππωπππ

π

ωωω

??

I=∴+=±∴+=+∈

?

??

∴=+∴-∴==

直线为对称轴,

()()()12sin

6

f x x

π

??

∏I=++

?

??

由知

列表

描点作图，函数()f x 在[],ππ-的图像如图所示。

(浙江专用)高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形学案

第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝1 3，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C.－79 D.－89 解析 cos 2α＝1－2sin 2 α＝1－2×? ????132 ＝7 9 . 答案 B 2.(2018·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2 4 ， 则C ＝( ) A.π2 B.π3 C.π4 D. π6 解析 根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2 ＋b 2 －c 2 4，所以sin C ＝a 2 ＋b 2 －c 2 2ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4 . 答案 C 3.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________. 解析 因为a ＝7，b ＝2，A ＝60°，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝2× 3 27＝21 7.由 余弦定理a 2 ＝b 2 ＋c 2 －2bc cos A 可得c 2 －2c －3＝0，所以c ＝3. 答案 21 7 3 4.(2017·浙江卷)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接 CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离 是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα== ， ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换

4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区 域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）

A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

三角函数与解三角形-专题复习

专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义 第一定义：设是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则 第二定义：设 是任意角，它的终边上的任意一点 P(x,y)，则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上，则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ，且5 4 cos - =α，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ，α所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 .

二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角，且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值； (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知α是三角函数的内角，且3 1 tan -=α，求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α（1）求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值；（2）求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

三角函数及解三角形知识点

三角函数知识点 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

平面向量与解三角形

第八单元平面向量与解三角形 (120分钟150分) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.锐角△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,若2c sin B=b,则角C的大小为 A.B.C.D. 解析:由正弦定理得2sin B==,∴sin C=,∴C=. 答案:A 2.若向量u=(3,-6),v=(4,2),w=(-12,-6),则下列结论中错误的是 A.u⊥v B.v∥w C.w=u-3v D.对任一向量,存在实数a,b,使=a u+b v 解析:因为u·v=0,所以u⊥v,显然w∥v,因为u与v不共线,所以对任意向量,存在实数a,b,使=a u+b v. 答案:C 3.在△ABC中,B=,三边长a,b,c成等差数列,且ac=6,则b的值是 A.B.C.D. 解析:因为2b=a+c,由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-3ac,化简得b=. 答案:D 4.在△ABC中,AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点,且·=·,则·等于 A.—4 B.0 C.4 D.8 解析:由·=·,得·(-)=·=0,即⊥,所以||=2,∠BAD=60°,所以 ·=4×2×=4. 答案:C 5.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若a2+b2=2c2,则cos C的最小值为 A.B.C.D.-

解析:cos C==≥=,当且仅当a=b时等号成立. 答案:C 6.设A(a,1),B(2,b),C(4,3)为坐标平面上三点,O为坐标原点,若与在方向上的投影相同,则 a与b满足的关系式为 A.5a-4b=3 B.4a-3b=5 C.4a+5b=14 D.5a+4b=14 解析:由与在方向上的投影相同,可得·=·?(a,1)·(4,3)=(2,b)·(4,3),即4a+3=8+3b,4a-3b=5. 答案:B 7.在△ABC内,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b sin B+a sin A=c sin C,c2+b2-a2=bc,则B等于 A.B.C.D. 解析:因为c2+b2-a2=bc,所以cos A==,所以cos A=,A=, 因为b sin B+a sin A=c sin C,所以b2+a2=c2,所以C=,B=. 答案:A 8.已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),其中x>1,y>0,若a∥b,则log2(x-1)+log2y等于 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:∵a∥b,则=,∴(x-1)y=8,∴log2(x-1)+log2y=log2(x-1)y=log28=3. 答案:C 9.在△ABC中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab且sin C=2sin A cos B,则△ABC是 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 解析:因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以a2+b2-c2=ab,cos C==,所以C=,因为sin C=2sin A cos B,所 以c=2a·,得a=b,所以△ABC是等边三角形. 答案:B 10.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是

三角函数与解三角形(师)

三角函数与解三角形 一、 y=Asin （ωx+φ）函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin （ωx+φ）的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin （ωx+φ）的图象】 1.振幅变换： sin y A x x R =∈，(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0≠，且的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换： 函数()sin y x x R ?=+∈，(其中0?≠)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?＞0时)或向右(当?＜0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向：“左加右减”). 一般地，函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈，的图象可以看作是用下面的方法得到的： (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位； (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变)； (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形 一、选择题： 1．设α是锐角,223)4 tan(,+=+απ 则=αcos （ ） 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增，在区间??? ???2,3ππ上单调递减，则=ω( ) A ．3 B ．2 4．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距 离 等 于 , π则 ) (x f 的单调递增区间是 （ ） A.Z k k k ∈????? ?+ - ,125,12 πππ π B. Z k k k ∈????? ? ++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈?? ??? ?+-,6,3 ππππ D.［Z k k k ∈?? ??? ? ++,32,6 ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为

（ ） 2 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos -=α且,,2 ? ? ? ??∈ππα则?? ? ? ? +4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．1 7 D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2） D ．（ ， ） 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin ? ????4x ＋π6 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π6＋2 9．函数)3 2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12 (π - 成中心对称 （ ） A.向左平移 12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12 π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6 π -=x 对称，那么=a （ ）

三角函数与平面向量(好)

三角函数与平面向量 一：考点分析 小题主要考查三角函数图象与性质，利用诱导公式与和差角公式、倍角公式、正余弦定 理求值化简，有时与向量相结合。大题一般三角函数的图象与性质与向量及解三角形相结合。 1任意角的三角函数： (1)弧长公式：I |aR R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，I 为弧长。 cosa 2.已知 tan -- =2,,则 3sin 2一一 -cos sin -- +1=( ) A.3 B.-3 C.4 D.-4 3 .已知sin 、,2 cos .. 3 , 则tan ( ) A.二 B .2 C D . 2 2 2 4.若 sin(— 3 1 5 ) ，贝U cos(—— )的值为 ( ) A 1 f 1 2 2 2^2 A. — B. c. D. 3 3 3 3 类型二：三角恒等变换 1.若 sin( ) 4 5 (o,—), 则sin 2 cos 的值等于 5 2 2 2.若 cos2 2 则cos +sin 的值为 sin( 4) 2 3.已知角 e 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 n 类型一： 诱导公式的应用 3 sin(2 ) cos(3 ) cos( ) 1 .化简： 2 sin( )sin(3 ) cos( ) (4)诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限) (2) 扇形的面积公式： S llR R 2 (3) 同角三角函数关系式：商数关系： 为圆弧的半径，I 为弧长。 , sin a tana 平方关系： sin 2a cos 2 a 1 k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性; 2 y = 2x 上，则

解三角形与三角函数专题

三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )在区间??????0，2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2). (1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值. 3.已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，c ＝5，cos B ＝1 7，求△ABC 中线AD 的长.

4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )＝cos x (cos x ＋3sin x ). (1)求f (x )的最小值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，S △ABC ＝334，c ＝7，求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小； (2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C . (1)求角A 的大小； (2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值.

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(

三角函数与平面向量综合题的六种类型

第1讲 三角函数与平面向量综合题3.17 题型一：三角函数与平面向量平行(共线)的综合 【例1】 已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sinA ，cosA ＋sinA)与向量→q ＝(cosA －sinA ，1＋sinA)是共线向量. （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2的最大值. 题型二. 三角函数与平面向量垂直的综合 【例2】 已知向量→a ＝(3sinα,cosα)，→b ＝(2sinα，5sinα－4cosα)，α∈(3π 2 ，2π)，且→a ⊥→b ． （Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求cos(α2＋π 3)的值． 题型三. 三角函数与平面向量的模的综合 【例3】 已知向量→a ＝(cosα,sinα)，→b ＝(cosβ,sinβ)，|→a －→b |＝2 5 5.(Ⅰ)求cos(α－β)的值；(Ⅱ) 若－π2＜β＜0＜α＜π 2，且sinβ＝－513，求sinα的值. 题型四 三角函数与平面向量数量积的综合 【例4】设函数f(x)＝→a ·→b .其中向量→a ＝(m ，cosx)，→b ＝(1＋sinx ，1)，x ∈R ，且f(π2)＝2.（Ⅰ） 求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值. 题型五：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例5】（山东卷）在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan C = （1）求cos C ；（2）若5 2 CB CA ?= ，且9a b +=，求c ． 题型六：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算 【例6】()f x a b =? ，其中向量(,cos 2)a m x = ，(1sin 2,1)b x =+ ，x R ∈，且函数 ()y f x =的图象经过点(,2)4 π ． （Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。 题型七：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题 【例7】设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈ ，函数()()f x a a b =?+ . （Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3 ()2 f x ≥成立的x 的取值集. 【跟踪训练】 三角函数与平面向量训练反馈 1、已知向量=（x x x 3,52-），=（2，x ），且⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A 、｛0，2，3｝ B 、｛0，2｝ C 、｛2｝ D 、｛0，-1，6｝ 2、设02x π≤≤, sin cos x x =-,则 （ ） A ．0x π≤≤ B ． 74 4x π π≤≤ C ．544 x ππ ≤≤ D ． 32 2 x π π ≤≤ 3、函数1cos 4tan 2sin )(++?=x x x x f 的值域是 。 4、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos cos 2B b C a c =-+. （1）求角B 的大小； （2）若 b a ＋ c ＝4，求a 的值. 5、已知向量 )1),3 (cos(π + =x ，)21),3(cos(-+ =π x ，)0),3 (sin(π+=x 函数 x f ?=)(， x g ?=)(， x h ?-?=)( （1）要得到)(x f y =的图象，只需把)(x g y =的图象经过怎样的平移或伸缩变换？ （2）求)()()(x g x f x h -=的最大值及相应的x ．

专题 三角函数及解三角形(解析版)

专题 三角函数及解三角形 1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论： ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（ 2 π，π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④ D ．①③ 3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2 π为周期且在区间( 4 π， 2 π)单调递增的是 A ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x | 4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0， 2 π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α= A ． 15 B ． 5 C 3 D 5 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5 x ωπ + ）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论： ①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x

③()f x 在（0, 10 π ）单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④ 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π ，且4g π?? = ???38f π??= ??? A ．2- B ． C D ．2 7．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________． 8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ，则ABC △的面积为_________． 9．【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?，则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若 45BDC ∠=?，则BD =___________，cos ABD ∠=___________． 11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ； （2 2b c +=，求sin C ． 12．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求B ；

高三数学解三角形,平面向量与三角形的综合练习

解三角形，平面向量与三角形的综合练习 一、填空题 1．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为______________． 2．已知向量a 与b 的夹角为120o ，且4==a b ，那么g a b 的值为________． 3．已知向量)3,1(=，)0,2(-=，则b a +=_____________________. 4． )6cos()(π ω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则=ω 5．b a ρ?,的夹角为ο 120，1,3a b ==r r ，则5a b -=r r 6．若BC AC AB 2,2= =，则ABC S ?的最大值 7．设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为 ． 8．设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 9．若向量a r ，b r 满足1 2a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3 π，则a b +=r r ． 10．若3 sin()25 πθ+=，则cos2θ=_________。 11．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若 ( ) C a A c b cos cos 3=-， 则=A cos 。 12已知a r 是平面内的单位向量，若向量b r 满足()0b a b -=r r r g ，则||b r 的取值范围是 。 13．.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===? 则A ＝ . 14． 关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题： ①若g g a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-． ③非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60o ． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题 1．已知函数()cos(2)2sin()sin()344 f x x x x π ππ =- +-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程

三角函数与解三角形练习题

三角函数及解三角形练习题 一．解答题（共16小题） 1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小． 2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π． （Ⅰ）求cosθ； （Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域． 3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点． （Ⅰ）数a的值； （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间． 4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域． 5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值． 7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]． （1）若∥，求x的值； （2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值． 8．已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式； （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围． 9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式； （Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值． 10．已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值； （Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值． 11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．

高考真题_三角函数与解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 三角函数 一、三角恒等变换（3题） 1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ） （B （C ）12- （D ）12 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 2.（2016年3卷）（5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34 sin ,cos 55αα=-=-，所以 2161264 cos 2sin 24252525 αα+=+?=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 3.（2016年2卷9）若π3 cos 45α??-= ???，则sin 2α= （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ????? ，故选D ． 二、三角函数性质（5题） 4.（2017年3卷6）设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2?? ??? 上先递减后递增，D 选项错误，故选D.

专题复习解三角形与平面向量

专题复习 解三角形与平面向量 1．三角形的有关公式： (1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sin A ＋B 2 ＝ (2)正弦定理： (3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝1 2 r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)． 2．平面向量的数量积 a · b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件． 3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2＝|a |2＝ ； (3)a ∥b ?a ＝λb ? ＝0；(4)a ⊥b ?a ·b ＝0?|a ＋b |＝|a －b |? ＝0. (5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论 (1)PA →＋PB →＋PC →＝0?P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA → ?P 为△ABC 的 ； (3)向量λ? ?? ???AB →|AB → |＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|?P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形 例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π 4，则△ABC 的面积为( )A ．1 ＋ 33 ＋1 C ．1－3 3 －1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝ 3 2 ，且b

高三数学理科二轮复习 1-4-11三角变换与解三角形、平面向量

高考专题训练十一 三角变换与解三角形、平面向量 班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上． 1．a ，b 是不共线的向量，若AB →＝λ1a ＋b ，AC → ＝a ＋λ2b (λ1，λ2 ∈R)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为( ) A ．λ1＝λ2＝－1 B ．λ1＝λ2＝1 C ．λ1λ2＋1＝0 D ．λ1λ2－1＝0 解析：只要AC →，AB → 共线即可，根据向量共线的条件即存在实数λ使得AC →＝λAB →， 即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，由于a ，b 不共线，根据平面向量基本定理得1＝λλ1且λ2＝λ，消掉λ得λ1λ2＝1. 答案：D 2．(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 解析：a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0， 即a ·b －(a ·c ＋b ·c )＋c 2≤0 ∴a ·c ＋b ·c ≥1. 又|a ＋b －c |＝(a ＋b －c )2

＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1. 答案：B 3．(2011·全国)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝ －12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于( ) A ．2 B. 3 C.2 D ．1 解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC → ＝c (ⅰ)若OC 在∠AOB 内，如图 因为a ·b ＝－1 2 ，所以∠AOB ＝120°， 又〈a －c ，b －c 〉＝60°，则O ，A ，C ，B 四点共圆． |AB |2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos120°＝3，∴|AB |＝ 3. 2R ＝|AB |sin120°＝33 2＝2，∴|OC |≤2，即|c |≤2. (ⅱ)若OC 在∠AOB 外，如图