第2章 平面解析几何初步
§2.3空间直角坐标系
考纲要求:①了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系表示点的位置.
②会推导空间两点间的距离公式.
§2.3.1-2空间直角坐标系、空间两点间的距离
重难点:了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会推导空间两点间的距离公式.
经典例题:在空间直角坐标系中,已知A (3,0,1)和B (1,0,-3),试问
(1)在y 轴上是否存在点M ,满足||||MA MB =?
(2)在y 轴上是否存在点M ,使△MAB 为等边三角形?若存在,试求出点M 坐标.
当堂练习:
1.在空间直角坐标系中, 点P(1,2,3)关于x 轴对称的点的坐标为( )
A .(-1,2,3)
B .(1,-2,-3)
C .(-1, -2, 3)
D .(-1 ,2, -3)
2.在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )
A .(-3,4,5)
B .(-3,- 4,5)
C .(3,-4,-5)
D .(-3,4,-5)
3.在空间直角坐标系中, 点A(1, 0, 1)与点B(2, 1, -1)之间的距离为( )
A .6
B .6
C .3
D .2
4.点P( 1,0, -2)关于原点的对称点P /的坐标为( )
A .(-1, 0, 2)
B .(-1,0, 2)
C .(1 , 0 ,2)
D .(-2,0,1)
5.点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是( )
A .( 4, 2, 2)
B .(2, -1, 2)
C .(2, 1 , 1)
D . 4, -1, 2)
6.若向量a 在y 轴上的坐标为0, 其他坐标不为0, 那么与向量a 平行的坐标平面是( )
A . xOy 平面
B . xOz 平面
C .yOz 平面
D .以上都有可能
7.在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是( )
A .关于x 轴对称
B .关于xOy 平面对称
C .关于坐标原点对称
D .以上都不对
8.已知点A 的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B 的坐标是(2 , t, t), 则A 与B 两点间距离的最小值为( )
A .55
B .555
C .553
D . 5
11 9.点B 是点A (1,2,3)在坐标平面
yOz 内的射影,则OB 等于( ) A .14 B .13 C .32 D .11
10.已知ABCD 为平行四边形,且A (4,1,3),B (2,-5,1),C (3,7,-5),则点D 的坐标为 ( )
A .(
2
7,4,-1) B .(2,3,1) C .(-3,1,5) D .(5,13,-3) 11.点),,(c b a P 到坐标平面xOy 的距离是( ) A .2
2b a + B .c C .c D .b a + 12.已知点)11,2,1(-A ,)3,2,4(B , )15,,(y x C 三点共线,那么y x ,的值分别是( ) A .2
1,4 B .1,8 C .21-,-4 D .-1,-8 13.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距离都是1,则该点到原点的距离是( ) A .26
B .3
C .23
D .36
14.在空间直角坐标系中, 点P 的坐标为(1, 3,2),过点P 作yOz 平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________.
15.已知A(x, 5-x, 2x-1)、B (1,x+2,2-x ),当|AB|取最小值时x 的值为_______________.
16.已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(p,3,q+2),若A、B、C三点共线,则p =_________,q=__________.
17.已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________.
18.求下列两点间的距离:
(1)A(1 , 1 , 0) , B(1 , 1 , 1);
(2)C(-3 ,1 , 5) , D(0 , -2 , 3).
19.已知A(1 , -2 , 11) , B(4 , 2 , 3) ,C(6 , -1 , 4) , 求证: ABC是直角三角形.
20.求到下列两定点的距离相等的点的坐标满足的条件:
(1)A(1 , 0 ,1) , B(3 , -2 , 1) ;
(2)A(-3 , 2 , 2) , B(1 , 0 , -2).
21.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,且边长为2a,棱PD⊥底面ABCD,PD=2b,取各侧棱的中点E,F,G,H,写出点E,F,G,H的坐标.
第七章 平面直角坐标系测试题(9班专用) 一、填空题 1.已知点A (0,1)、B (2,0)、C (0,0)、D (-1,0)、E (-3,0),则在y 轴上的点有 个。 2.如果点A ()b a ,在x 轴上,且在原点右侧,那么a ,b 3.如果点()1,-a a M 在x 轴下侧,y 轴的右侧,那么a 的取值范围是 4.已知两点A ()m ,3-,B ()4,-n ,若AB ∥y 轴,则n = , m 的取值范围是 . 5.?ABC 上有一点P (0,2),将?ABC 先沿x 轴负方向平移2个单位长度,再沿y 轴正方向平移3个单位长度,得到的新三角形上与点P 相对应的点的坐标是 . 6,如图所示,象棋盘上,若“将”位于点 (3,-2),“车”位于点(-1,-2),则“马”位于 . 7,李明的座位在第5排第4列,简记为(5,4),张扬的座位在第3排第2列,简记为(3,2),若周伟的座位在李明的后面相距2排,同时在他的左边相距3列,则周伟的座位可简记为 . 8.将?ABC 绕坐标原点旋转180后,各顶点坐标变化特征是: . 二、选择题 9.下列语句:(1)点(3,2)与点(2,3)是同一点;(2)点(2,1)在第二象限;(3)点(2,0) 在第一象限;(4)点(0,2)在x 轴上,其中正确的是( ) A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(2)(3)(4)D. 没有 10.如果点M ()y x ,的坐标满足 0=y x ,那么点M 的可能位置是( ) A.x 轴上的点的全体 B. 除去原点后x 轴上的点的全体 C.y 轴上的点的全体 D. 除去原点后y 轴上的点的全体 11.已知点P 的坐标为()63,-2+a a ,且点P 到两坐标轴的距离相等,则点P 的坐标是( ) A.(3,3) B.(3,-3) C. (6,-6) D.(3,3)或(6,-6) 12.如果点()3,2+x x 在x 轴上方,y 轴右侧,且该点到x 轴和y 轴的距离相等,则x 的值为( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 13.将某图形的各顶点的横坐标减去2,纵坐标保持不变,可将该图形( ) A.横向右平移2个单位 B.横向向左平移2个单位 C.纵向向上平移2个单位 D.纵向向下平移2个单位 14.下面是小明家与小刚家的位置描述: 小明家:出校门向东走150m ,再向北走200m ; 马将车8题图
(高二数学空间直角坐 标系
宁师中学“自主参与学习法”数学学科导学稿(学生版) 编号SXBx2-2-3 主编人:余奎 审稿人:高二数学 组 定稿日:协编人:高二数学备课组使用人:课题:2.3.1 空间直角坐标系 考纲解读 学习内容学习目标高考考点考查题型 空间坐标系; 空间距离1.明确空间直角坐标系是如何建立;明确 空间中的任意一点如何表示; 2 能够在空间直角坐标系中求出点的坐 标。 1.空间坐标 系 2.空间距离 选择,填空 题、解答题 中分支问题 问题1:空间直角坐标系 (1)定义:以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z轴.这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫作坐标,x轴、y轴、z轴叫作 坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面,分别称为xOy平面、yOz 平面、zOx平面. (2)画法:在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=45°或 135°,∠yOz=90°. (3)坐标:设点M为空间的一个定点,过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面,依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x、y和z,那么点M就和有序实数组(x,y,z)是一一对应的关系,有序实数组(x,y,z)叫作点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫作点M的横坐标,y叫作点M的纵坐标,z叫作点M的竖坐标. (4)说明:本书建立的坐标系都是右手直角坐标系,即在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 问题2:(1)平面直角坐标系的建立方法,点的坐标的确定过程、表示方法? (2).一个点在平面怎么表示?在空间呢? 二、课内探究 探究一:确定空间内点的坐标 例1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1 中,AD=3,AB=5,AA1=4, 建立适当的直角坐标系,写出此长方体各顶点的坐标. 变式1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F,G分别是BB',D'B',DB的中点,棱长为1,求E,F点的坐标. 探究二:关于一些对称点的坐标求法 (,,) P x y z关于坐标平面xoy对称的点; (,,) P x y z关于坐标平面yoz对称的点; (,,) P x y z关于坐标平面xoz对称的点; (,,) P x y z关于x轴对称的点; (,,) P x y z关于y对轴称的点; (,,) P x y z关于z轴对称的点; 三、课后练习 1. 关于空间直角坐标系叙述正确的是(). A.(,,) P x y z中,, x y z的位置是可以互换的 B.空间直角坐标系中的点与一个三元有序数组是一种一一对应的关系 C.空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分为八个部分 D.某点在不同的空间直角坐标系中的坐标位置可以相同 2. 已知点(3,1,4) A--,则点A关于原点的对称点的坐标为(). A.(1,3,4) --B.(4,1,3) --C.(3,1,4) -D.(4,1,3) - 3.已知ABC ?的三个顶点坐标分别为(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7) A B C -,则ABC ?的重心坐标为 . 4.在空间直角坐标系中,给定点(1,2,3) M-,求它分别关于坐标平面,坐标轴和原点的对称点的坐标. 四、课后反思
空间直角坐标系(11月21日) 一、选择题 1、有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在yoz平面上的点的坐标一定是(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在oz轴上的点的坐标可记作(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xoz平面上的点的坐标是(a,0,c)。 其中正确的个数是(C ) A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点的坐标为(C ) A、(1,-3,-4) B、(-4,1,-3) C、(3,-1,4) D、(4,-1,3) 3、已知点A(-3,1,-4),点A关于x轴的对称点的坐标为(A ) A、(-3,-1,4) B、(-3,-1,-4) C、(3,1,4) D、(3,-1,-4) 4、点(1,1,1)关于z轴的对称点为(A ) A、(-1,-1,1) B、(1,-1,-1) C、(-1,1,-1) D、(-1,-1,-1) 5、点(2,3,4)关于xoz平面的对称点为(C ) A、(2,3,-4) B、(-2,3,4) C、(2,-3,4) D、(-2,-3,4) 6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C) A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.x轴上 7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为一个单位长度,则棱CC1中点坐标为(C ) A、(1 2 ,1,1)B、(1, 1 2 ,1)C、(1,1, 1 2 )D、( 1 2 , 1 2 ,1) 8、点P( 2 2, 3 3,- 6 6)到原点的距离是(B) A.30 6B.1 C. 33 6 D. 35 6 9、点M(4,-3,5)到x轴的距离为(B) A.4 B.34 C.5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中,点P(1,2,3),过点P作平面xOy的垂线PQ,垂足为Q,则Q的坐标为(D) A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0) 11、点M(-2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B) A.(-2,0,2) B.(-2,0,0) C.(0,1,2) D.(-2,1,0) 12、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为(B) A.9 B.29 C.5 D.2 6 二、填空题 1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 3 2,),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________. 2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时x的值为_______________. 3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(p,3,q+2),若A、B、C三点共线,则p =_________,q=__________. 4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________.
X 的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛 一、圆的方程 1. 圆的标准方程: ______________________ , 圆心: ________, 半径:________. 2. 圆的一般方程: 圆心: 二、位置关系的判断 (1) 点与圆 由两点间的距离公式计算点到圆心的距离",比较",r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r, 则计算矿二 _________________ ,比较沪,尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 , 则计算 _____________________ ,与0比较大小. (2) 直线与圆 ① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离",比较 ",r 大小. ② 联立直线与圆方程,得到一元二次方程,根△判断: 'A
(2)直线与圆相交求弦长 结合垂径定理和勾股定理,半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式:厂2=〃2+(_厂 2 2. 圆与圆位置关系常见考査角度 (1) 两圆相交求公共弦所在直线方程 设圆G :x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0, C2:x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 (0 — D? )x + (E] — £*2) y + F[—尸2 = 0 - (2) 两圆相交求公共弦长 求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离, 垂径定理、勾股定理结合求弦长. 四、轨迹方程 在平面直角坐标系中,点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 (X, y )满足的关系式. 五、空间直角坐标系Ovvz (右手直角坐标系) 如图1, 0点叫做坐标原点,牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. zn 六、空间直角坐标系中点的坐标 如图2,过点M 分别作垂直于X 轴,y 轴和Z 轴的平面,依 次交X 轴,y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴,y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ,y,刀. 有序实数组馆)* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标, 记作MS ,y, z ).其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ . -1 -- B? 1 "Z C' A ' C >1 \ >1 0 X
《平面直角坐标系》练习题 班别:___________姓名:_______________ 一、选择题 1. 若m<0,则点P(3,2m)所在的象限是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 点 M(3,-4)关于x轴的对称点的坐标是 ( ) A. (3,4) B. (?3,?4) C. (?3,4) D. (?4,3) 3.P(a,b) 是第二象限内一点,则Q(b,a) 位于 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列说法:①坐标轴上的点不属于任何象限;②y轴上点的横坐标为0;③平面直角坐标系中,(1,2) 和 (2,1) 表示两个不同的点;④点(3,0) 在x轴上,其中你认为正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 若点A(3?m,n+2)关于原点的对称点B的坐标是(?3,2),则m,n的值为 ( ) A. m=?6,n=?4 B. m=0,n=?4 C. m=6,n=4 D. m=6,n=?4 6. 已知点A(?3,2)与点B(x,y)在同一条平行y轴的直线上,且B点到x轴的矩离等于3,则B点的坐标是 ( ) A. (?3,3) B. (3,?3) C. (?3,3)或(?3,?3) D. (?3,3)或(3,?3) 7. 定义:平面内的直线l1与l2相交于点O,对于该平面内任意一点M,点M到直线l1,l2的距离分别为a,b,则称有序非负实数对(a,b)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,距离坐标为(2,3)的点的个数是 ( ) A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 8. 若点P(a,b)在第四象限,则点Q(b,?a)所在的象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 在平面直角坐标系xOy中,对于点P(x,y),我们把点P(?y+1,x+1)叫做点P的伴随点.已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,?,这样依次得到点A1,A2,A3,?,A n,?.例如:点A1的坐标为(3,1),则点A2的坐标为(0,4),?;若点A1的坐标为(a,b),则点 A2015的坐标为 ( ) A. (?b+1,a+1) B. (?a,?b+2) C. (b?1,?a+1) D. (a,b) 10. 在平面直角坐标系中,把点P(?3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P?的坐标为 ( ) A. (3,2) B. (2,?3) C. (?3,?2) D. (3,?2) 11. 在平面直角坐标系中,点A(?2,1)与点B关于原点对称,则点B的坐标为 ( ) A. (?2,1) B. (2,?1) C. (2,1) D. (?2,?1) 12. 如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行.从 内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示, 则顶点A55的坐标是 A. (13,13) B. (?13,?13) C. (14,14) D. (?14,?14)
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则: 遵循对称性,尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法: 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系. 类型举例如下: (一)用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠ A 为直角,A B ∥CD ,AB =4,AD =2,D C =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--u u u u r ,,,(010)CD =-u u u r ,,. 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ, 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r . (二)利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB = ,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1= 3 π .求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =1,BB 1=2,AB = 2,∠BCC 1= 3 π,
(同步复习精讲辅导)北京市-高中数学空间直角坐标系讲义新 人教A版必修2 重难点易错点解析 题一 题面:有下列叙述 ① 在空间直角坐标系中,在ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在yoz平面上的点的坐标一定是(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在oz轴上的点的坐标可记作(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xoz平面上的点的坐标是(a,0,c)。 其中正确的个数是() A、1 B、2 C、3 D、4 题二 题面:已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点的坐标为() A、(1,-3,-4) B、(-4,1,-3) C、(3,-1,-4) D、(4,-1,3) 金题精讲 题一 题面:已知点A(-3,1,-4),点A关于x轴的对称点的坐标为() A、(-3,-1,4) B、(-3,-1,-4) C、(3,1,4) D、(3,-1,-4) 题二
题面:点(2,3,4)关于xoz 平面的对称点为( ) A 、(2,3,-4) B 、(-2,3,4) C 、(2,-3,4) D 、(-2,-3,4) 题三 题面:点P (a ,b ,c )到坐标平面xOy 的距离是( ) A 、22a b + B 、|a| C 、|b| D 、|c| 题四 题面:在空间直角坐标系中,点P 的坐标为(1,2,3),过点P 作yOz 平面的垂线PQ , 则垂足Q 的坐标是______________。 题五 题面:A (1,-2,11),B (4,2,3),C (6,-1,4)为三角形的三个顶点,则ABC ?是( ) A 、直角三角形 B 、钝角三角形 C 、锐角三角形 D 、等腰三角形 题六 题面:若点A (2,1,4)与点P (x ,y ,z )的距离为5,则x ,y ,z 满足的关系式是_______________. 题七 题面:已知点A 在x 轴上,点B (1,2,0),且|AB 则点A 的坐标是_________________. 题八
《平面直角坐标系》章节复习 考点1:考点的坐标与象限的关系 知识解析:各个象限的点的坐标符号特征如下: (特别值得注意的是,坐标轴上的点不属于任何象限.) 1、在平面直角坐标中,点M (-2,3)在( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2、在平面直角坐标系中,点P (-2,2x +1)所在的象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3、若点P (a ,a -2)在第四象限,则a 的取值范围是( ). A .-2<a <0 B .0<a <2 C .a >2 D .a <0 4、点P (m ,1)在第二象限内,则点Q (-m ,0)在( ) A .x 轴正半轴上 B .x 轴负半轴上 C .y 轴正半轴上 D .y 轴负半轴上 5、若点P (a ,b )在第四象限,则点M (b -a ,a -b )在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6、在平面直角坐标系中,点(12)A x x --,在第四象限,则实数x 的取值范围是 . 7、对任意实数x ,点2(2)P x x x -,一定不在.. ( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 8、如果a -b <0,且ab <0,那么点(a ,b)在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限, D 、第四象限. 考点2:点在坐标轴上的特点 x 轴上的点纵坐标为0, y 轴上的点横坐标为0.坐标原点(0,0) 1、点P (m+3,m+1)在x 轴上,则P 点坐标为( ) A .(0,-2) B .(2,0) C .(4,0) D .(0,-4) 2、已知点P (m ,2m -1)在y 轴上,则P 点的坐标是 。
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.