偏导数与方向导数的关系

偏导数与方向导数的关系

偏导数与方向导数的关系

偏导数和方向导数是微积分中常用的两个概念，它们虽然都关乎到函数的导数，但是概念上还是有很大的区别，特别是偏导数的概念性更加强烈一些，它可以粗略的被理解为函数在某个变量上的导数，而方向导数则是函数在某一个方向上的导数，二者的关系可以从下列几个方面来进行分析。

首先，要想明白偏导数与方向导数的关系，需要先了解他们的定义。偏导数指的是函数在某个变量上的导数，其定义为函数在相对于该变量的方向上的极限，而方向导数指的是函数在某一个方向上的极限。由此可见，偏导数是函数在某个单独方向上的极限，而方向导数则是函数在某一个方向上的极限，二者有着显著的区别。

其次，偏导数和方向导数之间也有着联系，这一点可以从函数定义上看出来。比如当一个函数的偏导数存在时，它的方向导数也必然存在，反之，当一个函数的偏导数不存在时，它的方向导数也将不存在。也就是说，当偏导数存在时，它就是该函数的方向导数，而当偏导数不存在时，它的方向导数也将不存在。因此，偏导数和方向导数之间存在着一定的联系。

最后，偏导数和方向导数也有不同的计算方法。偏导数可以使用微积分中常见的偏微分法计算，而方向导数则可以使用不定积分法进行计算，其计算方式也就有所不同。

综上所述，偏导数和方向导数之间存在着一定的关系，从函数定

义上可以看出，当函数的偏导数存在时，它的方向导数也必然存在，而当偏导数不存在时，它的方向导数也将不存在。此外，他们的计算方式也有所不同，偏导数用偏微分法计算，而方向导数则使用不定积分法计算。

方向导数的计算公式

方向导数的计算公式 方向导数是多元函数在其中一给定点沿任意指定方向的变化率。在数学中，有多种方法可以计算方向导数，其中包括利用梯度向量和利用偏导数的公式。 首先，我们来介绍利用梯度向量计算方向导数的方法。 假设有一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，在其中一点P(x1,x2,...,xn)处的梯度向量记为∇f，其定义为： ∇f = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) 方向导数D_u(f)表示函数f在给定点P沿着向量u=(a1,a2,...,an) 的方向的变化率，计算公式为： D_u(f) = ∇f · u = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) · (a1, a2, ..., an) 其中，·表示向量的点积运算。 利用上述公式，我们可以得到一个向量的方向导数。不过，需要注意的是，该公式适用于在其中一点P处的方向导数。如果我们需要计算沿着一条曲线的方向导数，则需要将曲线参数化为一个向量函数并将其代入计算。 另外一种计算方向导数的方法是基于偏导数的公式。在此之前，我们先来回顾一下偏导数的定义。 对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，其在其中一点P(x1,x2,...,xn)处的偏导数∂f/∂x_i 表示函数f在P点上沿着变量x_i方向的变化率。

有了偏导数的定义，我们可以得到沿任意指定方向的方向导数的计算 公式： D_u(f) = (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn) · (du_1/du, du_2/du, ..., du_n/du) 其中，du_i/du 表示向量u在第i个分量上的导数，即 u_i'(t)。 可以看出，该计算公式与梯度向量的计算公式相似，唯一的区别在于，在计算向量u在第i个分量上的导数时，需要应用链式法则。 在实际计算中，为了准确计算方向导数，我们可以采用以下步骤： 1.计算多元函数f的梯度向量∇f； 2.将所求的方向向量u归一化，即使其成为单位向量； 3.计算向量u在多元函数f的梯度向量∇f上的投影，即 D_u(f)=∇f·u。 需要注意的是，方向导数的数值大小不但与函数的梯度有关，还与方 向向量u的选择有关。因此，为了获得最大或最小的方向导数，我们需要 选择合适的方向向量u。常见的选择包括沿着梯度向量方向、沿着水平方 向和沿着垂直方向。 总结起来，方向导数的计算公式有两种方法：利用梯度向量和利用偏 导数。其中，利用梯度向量计算需要先计算多元函数的梯度向量，再与方 向向量进行内积运算；而利用偏导数计算则基于链式法则，将方向向量在 每个分量上的导数与多元函数在该分量上的偏导数相乘，并将结果相加。

第七节 方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 ㈠本课的基本要求 理解方向导数和梯度的概念并掌握其计算方法 ㈡本课的重点、难点 方向导数和梯度的概念为重点、其计算方法为难点 ㈢教学内容 一．方向导数 偏导数反映的是函数沿坐标轴方向的变化率。但许多物理现象告诉我们，考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的。例如，热空气是向冷的地方流动，气象学中就是确定大气温度、气压沿着某些方向的变化率。因此我们有必要来讨论函数沿任一指定方向的变化率问题。 设l 是xoy 平面上以),(000y x P 为始点的一条射线，)cos ,(cos βα=l e 是与l 同方向的单位向量。射线l 的参数方程为)0(,cos ,cos 00≥+=+=t t y y t x x βα。设函数 ) ,(y x f z =在点),(000y x P 的某个邻域)(0P U 内有定义，)cos ,cos (00βαt y t x P ++为l 上另一点，且)(0P U P ∈。如果函数增量),()cos ,cos (0000y x f t y t x f -++βα与P 到0P 的距离 t PP =0的比值 t y x f t y t x f ),()cos ,cos (0000-++βα，当P 沿着l 趋于0P （即+ →0t ） 时的极限存在，则称此极限为函数),(y x f 在点0P 沿方向l 的方向导数，记作 ) ,(00y x l f ??，即 lim 0) ,(00+ →=??t y x l f t y x f t y t x f ) ,()cos ,cos (0000-++βα。 ⑴ 注意 在方向导数中，由于ρ总是正的，因此是单向导数，即方向导数是函数沿射线方向的变化率。而在偏导数中，x ?与y ?的值则可正可负，因此，如果函数),(y x f z =在点P 沿着x 轴正向}0,1{=i ，y 轴正向}1,0{=j 的方向导数存在，其值就是y x f f ,；如果函数 ),(y x f z =在点P 沿着x 轴负向}0,1{-=-i ，y 轴负向}1,0{-=-j 的方向导数存在，其 值就是y x f f --,。 从方向导数的定义可知，方向导数 ) ,(00y x l f ??就是函数),(y x f z =在点),(000y x P 处沿方向l 的变化率。若函数),(y x f z =在点),(000y x P 的偏导数存在，}0,1{==i e l ，则 lim 0) ,(00+ →=??t y x l f t y x f t y t x f ) ,()cos ,cos (0000-++βα),(00y x f x =；

考研偏导全微分关系特详细讲解

微分偏导之间的关系 下面举例说明相关关系（对于的我们举反例对于A B 的证明之）。 （1） 首先证明可微则 ,f f x y ????存在。即对应上图的全微分 证：由可微的定义有△Z= A ·△x+B ·△y+o(ρ) 所以：f(x+△x,y+△y)-f(x,y)= A ·△x+B ·△y+o(ρ) 令：△y=0再对等式两边取极限有： f x ??=0 (,)f (,)lim x f x x y x y A x ?→+?-=? 同理 f y ??=B （2）在一点M （x O ,y O 例： 22(x y + 220x y +≠ f(x,y)= 0 , 220x y += 在点（0,0）可微 但是偏导并不连续。

由全微分可微的判别式（或称定义）：△Z= A ·△x+B ·△y+o(ρ) 求一点的偏导我们用定义（可用偏导数的连续性直接代入该点，但是在此偏导连续性是我们需证明的问题所以在这里我们只能用定义求一点偏导） A=(0,0)x f =00 f (,0)(0,0)lim sin 00x y x f x x →=-= ==- B=00 f (0,)(0,0)(0,0)lim 00y x y y f f y y =→-====- △Z=f(△x,△ y)-f(0,0)= 22(x y ?+? 则 00lim z x y ρρ →?-??-??= ==所以函数在（0,0）可微。下面证明在（0，0）偏导不连续。 首先求 ,f f x y ???? (,)(2f x y x x ?=? 由于x,y 的轮换性（也就是x 与y 可交换，地位相同在此不详述，后面空间积分用它时再详述） 所以（将x 与y 位置调换即可） (,)(2f x y y y ?=?

偏导数和方向导数的关系

偏导数和方向导数的关系 偏导数和方向导数是微积分中的重要概念，它们有着密切的关系。本文将探讨偏导数和方向导数之间的关系，并阐述它们在实际问题中 的指导意义。 我们首先来了解一下偏导数，所谓偏导数，是指在多元函数中， 只针对其中一个变量求导数，而将其他变量视为常数。以二元函数为例，若函数为f(x, y)，那么对于变量x的偏导数表示为∂f/∂x，对于 变量y的偏导数表示为∂f/∂y。偏导数可以衡量函数沿着特定方向的变 化率，从而帮助我们了解函数在不同变量上的变化情况。 而方向导数则是偏导数的一种推广，它衡量函数在特定方向上的 变化率。不同于偏导数只关注某个特定变量的变化，方向导数同时考 虑了所有变量的综合影响。若函数为f(x, y)，在点P(x0, y0)处沿着 向量v的方向导数表示为D_vf(x0, y0)，它的计算公式为D_vf(x0, y0) = ∇f·v，其中∇f表示函数的梯度（即偏导数组成的向量）。 偏导数和方向导数之间的关系在于，方向导数是偏导数的一种特例。可以通过选取合适的向量v，使得方向导数恰好等于某个偏导数。例如，在二元函数中，偏导数∂f/∂x等于函数在沿着x轴正方向的方向 导数，而偏导数∂f/∂y等于函数在沿着y轴正方向的方向导数。因此， 我们可以说，偏导数是方向导数的一种特殊形式。 偏导数和方向导数在实际问题中具有重要的指导意义。通过计算 偏导数，我们可以了解函数在各个变量上的变化趋势，帮助我们找到

函数的最大值、最小值以及驻点。而方向导数可以帮助我们确定函数在特定方向上的最大变化率，有助于优化问题的解决。例如，在工程领域中，通过对函数的方向导数进行分析，可以确定材料的最佳使用方向，提高材料的性能。 此外，偏导数和方向导数还与梯度有着密切的关系。梯度是一个向量，它的方向与函数在某点变化最快的方向一致，其模表示函数在该方向上的最大变化率。梯度的计算公式为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)，即梯度是偏导数的组合。方向导数可以通过梯度和方向向量的点积来计算，因此可以说，梯度是方向导数的一种表达形式。 综上所述，偏导数和方向导数在微积分中起着重要的作用。它们之间的关系是，方向导数是偏导数的一种特殊形式。通过计算偏导数和方向导数，我们可以更好地理解函数的变化情况，并在实际问题中做出合理的决策。因此，研究偏导数和方向导数的关系对于深入理解微积分的应用具有重要的指导意义。

偏导存在但方向导数不存在的例子

偏导存在但方向导数不存在的例子 例子1: 二元函数f(x, y) = |x| + |y| 考虑二元函数f(x, y) = |x| + |y|，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。 首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为： ∂f/∂x = sgn(x)，其中sgn(x)为x的符号函数 ∂f/∂y = sgn(y)，其中sgn(y)为y的符号函数 我们可以看到，无论在原点(0, 0)处，x和y的偏导数都不存在。这是因为在原点(0, 0)处，x和y的值都是0，而符号函数在0处的导数不存在。 接下来我们来看方向导数的计算。方向导数可以通过梯度向量和方向向量的点积来计算。对于方向向量(α, β)，其中α和β为实数，方向导数为： Df = ∇f · (α, β) 其中∇f为梯度向量。对于函数f(x, y) = |x| + |y|，梯度向量为： ∇f = (sgn(x), sgn(y)) 将其代入方向导数的计算公式，得到方向导数为：

Df = (sgn(x), sgn(y)) · (α, β) = αsgn(x) + βsgn(y) 我们可以看到，无论方向向量(α, β)的取值如何，由于在原点(0, 0)处，x和y的符号函数的值都是0，方向导数都会变成0。所以，在原点(0, 0)处，方向导数不存在。 例子2: 二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2) 考虑二元函数f(x, y) = xy/(x^2 + y^2)，我们可以观察到在原点(0, 0)处，偏导数存在但方向导数不存在。 首先计算偏导数，对于f(x, y)来说，其偏导数分别为： ∂f/∂x = (y(x^2 + y^2) - xy(2x))/(x^2 + y^2)^2 = y^3/(x^2 + y^2)^2 ∂f/∂y = (x(x^2 + y^2) - xy(2y))/(x^2 + y^2)^2 = x^3/(x^2 + y^2)^2 我们可以看到，在原点(0, 0)处，偏导数∂f/∂x和∂f/∂y都为0，因为分子为0，分母为常数。 接下来我们来看方向导数的计算。方向导数可以通过梯度向量和方向向量的点积来计算。对于方向向量(α, β)，其中α和β为实数，方向导数为：

高数下册复习知识

高数下册复习知识. 多元函数的微积分：将上册的一元函数微积分的概念拓展到多元函数 最典型的是二元函数 极限：二元函数与一元函数要注意的区别，二元函数中两点无限接近的方式有无限多种（一元函数只能沿直线接近），所以二元函数存在的要求更高，即自变量无论以任何方式接近于一定点，函数值都要有确定的变化趋势 连续：二元函数和一元函数一样，同样是考虑在某点的极限和在某点的函数值是否相等 导数：上册中已经说过，导数反映的是函数在某点处的变化率（变化情况），在二元函数中，一点处函数的变化情况与从该点出发所选择的方向有关，有可能沿不同方向会有不同的变化率，这样引出方向导数的概念 沿坐标轴方向的导数若存在，称之为偏导数 通过研究发现，方向导数与偏导数存在一定关系，可用偏导数和所选定的方向来表示，即二元函数的两个偏导数已经足够表示清楚该函数在一点沿任意方向的变化情况 高阶偏导数若连续，则求导次序可交换 微分：微分是函数增量的线性主要部分，这一本质对一元函数或多元函数来说都一样。只不过若是二元函数，所选取的线性近似部分应该是两个方向自变量增量的线性组合，然后再考虑误差是否是自变量增量的高阶无穷小，若是，则微分存在 仅仅有偏导数存在，不能推出用线性关系近似表示函数增量后带来的误差足够小，即偏导数存在不一定有微分存在 若偏导数存在，且连续，则微分一定存在 极限、连续、偏导数和可微的关系在多元函数情形里比一元函数更为复杂 极值：若函数在一点取极值，且在该点导数（偏导数）存在，则此导数（偏导数）必为零 所以，函数在某点的极值情况，即函数在该点附近的函数增量的符号，由二阶微分的符号判断。对一元函数来说，二阶微分的符号就是二阶导数的符号，对二元函数来说，二阶微分的符号可由相应的二次型的正定或负定性判断。 级数敛散性的判别思路：首先看通项是否趋于零，若不趋于零则发散。若通项趋于零，看是否正项级数。若是正项级数，首先看能否利用比较判别法，注意等比级数和调和级数是常用来作比较的级数，若通项是连乘形式，考虑用比值判别法，若通项是乘方形式，考虑用根值判别法。若不是正项级数，取绝对值，考虑其是否绝对收敛，绝对收敛则必收敛。若绝对值

二元函数的概念与性质

二元函数的概念与性质 二元函数是数学中的重要概念，它在多个学科领域中具有广泛的应用。本文将介绍二元函数的基本概念、性质以及相关应用。 一、二元函数的定义 二元函数，也称为二元映射，是指定义在两个变量上的函数。 一般表示为f(x, y)，其中x和y为自变量，f(x, y)为因变量。与一元函 数不同，二元函数的自变量是由两个变量组成的，它描述了两个变量 之间的关系。 二、二元函数的性质 1. 定义域和值域 对于二元函数f(x, y)，它的定义域是所有使函数有意义的(x, y) 的取值组合。值域则是函数在定义域内所能取得的所有可能值的集合。通过研究定义域和值域，可以得到函数的范围和特殊取值情况。 2. 连续性和可微性 二元函数的连续性和可微性是研究其平滑性和变化趋势的重要 性质。若函数在定义域内的任意一点都满足极限值与函数值相等，则 称该函数在该点连续；若函数在某一点的偏导数存在且连续，则称该 函数在该点可微。 3. 偏导数和方向导数

对于二元函数f(x, y)，可以求出在某一点的偏导数，即函数关 于其中一个自变量的导数，用∂f/∂x表示；也可以计算函数在某一点沿 着某一方向的方向导数，表示函数在该方向上的变化率。 4. 极值点和最值 二元函数的极值点是指在某一区域内使函数取得极大值或极小 值的点。通过求解偏导数，可以找到二元函数的驻点，然后再结合二 阶偏导数的符号来判断极值点的性质。 5. 函数的图像和曲面 对于二元函数，可以绘制其图像或曲面来直观地表示函数的变 化规律和特征。通过观察函数的图像，可以对函数的性质有更多的认 识和理解。 三、二元函数的应用 1. 经济学 在经济学中，二元函数常用于描述供需关系、边际效用和最优 化模型等问题。通过研究二元函数的曲线和极值点，可以对资源配置 和经济决策进行分析和优化。 2. 物理学 在物理学中，二元函数的概念被广泛应用于描述多个变量之间 的相互关系。例如，在力学中，可以利用二元函数来分析物体的运动；在电磁学中，可以用二元函数来表示电场和磁场的分布情况。

偏导数与全导数

Io偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导，另一个变量当做数 对X求偏导的话y就看作一个数，描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数，描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 对y求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向上的切线 这里在补充点。就是因为偏导数只能描述x方向或y方向上的变化情况，但是我们要了解各个方向上的情况，所以后面有方向导数的概念。 2。微分 偏增量： x增加时f(x,y)增量或y增加时f(x,y) 偏微分： 在detax趋进于0时偏增量的线性主要部分 detaz=fx (x,y) detax+o(detax) 右边等式第一项就是线性主要部分，就叫做在(x, y)点对x的偏微分这个等式也给出了求偏微分的方法，就是用求x的偏导数求偏微分 全增量： x,y都增加时f(x’y)的增量 全微分:

根号(detax方+detay方)趋于0时，全增量的线性主要部分同样也有求全微分公式，也建立了全微分和偏导数的关系 dz=Adx+Bdy其中A就是对x求偏导，B就是对y求偏导 希望楼主注意的是导数和微分是两个概念，他们之间的关系就是上面所说的公式。概念上先有导数，再有微分，然后有了导数和微分的关系公式，公式同时也指明了求微分的方法。 3 •全导数 全导数是在复合函数中的概念，和上面的概念不是一个系统，要分开。 u=a(t),v=b(t) z=f[a(t),b(t)] dz/dt就是全导数，这是复合函数求导中的一种情况，只有这时才有全导数的概念。 dz/dt二(偏z/偏u)(du/dt)+(偏z/偏v)(dv/dt) 建议楼主在复合函数求导这里好好看看书，这里分为3种情况。1 •中间变量一元就是上面的情况，才有全导数的概念。2•中间变量有多元，只能求偏导3•中间变两有一元也有多元，还是求偏导。 对于你的题能求对x的偏导数，对y的偏导数，z的全微分，不能求全导数如果z=f(x A2,2A x)只有这种情况下dz/dx才是全导数！ 偏导数就是 在一个范围里导数，如在(xO,yO)处导数。 全导数就是定义域为R的导数，如在实数内都是可导的 在数学中，一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数，而保持其他变量恒定(相对于全导数，在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。

方向导数计算公式的推导

方向导数计算公式的推导 方向导数是向量函数在给定方向上变化率的一种量度，其计算公 式可以根据链式法则推导得出。在本文中，我们将通过生动的例子和 详细的计算过程，为读者展示如何推导方向导数的计算公式，从而帮 助读者加深对该概念的理解。 在开始推导之前，我们需要先了解几个基本的概念： - 向量函数：函数的自变量是向量，因变量是标量的函数称为向 量函数。 - 偏导数：函数对其中一个自变量的求导称为偏导数。 - 链式法则：对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们的复合函数$h(x)=f(g(x))$ 的导数可以用链式法则求出： $$\frac{dh}{dx}=\frac{df}{dg}\cdot\frac{dg}{dx}$$ 在此基础上，我们可以开始推导方向导数的计算公式。 假设我们有一个二元函数 $z=f(x,y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是独立 变量，$z$ 是因变量。现在，我们要求在某个特定点 $(x_0,y_0)$ 处，沿着给定方向 $\vec{u}=(u_1,u_2)$ 的方向导数。 首先，我们可以将 $\vec{u}$ 进行标准化处理，即令 $\vec{v}=\frac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}$，其中 $\|\vec{u}\|$ 是$\vec{u}$ 的模长。这样，$\vec{v}$ 的模长就是 1，因此它可以表 示一个单位向量，表示给定方向上的变化。

接下来，我们需要求出沿着 $\vec{v}$ 方向的函数 $z=f(x,y)$ 的变化率，即方向导数。为此，我们需要先定义一个新的函数 $F(t)=f(x_0+tu_1,y_0+tu_2)$，表示在沿着 $\vec{u}$ 方向上以 $t$ 的速度运动时函数 $f(x,y)$ 的取值。 根据链式法则，我们可以得到： $$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dt}$$ 将 $x=x_0+tu_1$ 和 $y=y_0+tu_2$ 代入上式，得到： $$\frac{dF}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot u_1+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot u_2$$ 当 $t=0$ 时，$F(0)=f(x_0,y_0)$，因此方向导数可以表示为：$$D_{\vec{v}}f(x_0,y_0)=\lim_{t\rightarrow0}\frac{F(t)- F(0)}{t}=\frac{dF}{dt}\Bigg|_{t=0}=\frac{\partial f}{\partial x}\cdot u_1+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot u_2$$这就是方向导数的计算公式。它表示在给定方向 $\vec{u}$ 上，函数 $f(x,y)$ 的变化率，也就是函数的斜率或梯度。 通过本文的推导过程，我们可以看到，方向导数的计算公式是通过链式法则推导得出的，其原理是在沿着给定方向上以一定的速度运动时，函数的变化如何体现出来。掌握方向导数的计算公式可以帮助我们更好地理解向量函数的性质和应用，对于学习机器学习、计算机图形学等相关领域，也有着重要的指导意义。

方向导数的计算公式

方向导数的计算公式 方向导数是多元函数在一些给定方向上的变化率。它衡量了函数沿着 指定方向上的增大或减小的速率。在数学上，方向导数用于计算一个函数 在给定方向上的导数，也就是函数在给定方向上的变化率。 设多元函数 f(x1, x2, ..., xn) 在点 P(x1, x2, ..., xn) 处可微分，方向向量为 v = (a1, a2, ..., an)，则 f(x1, x2, ..., xn) 在点 P 沿方向 v 的方向导数可由如下的公式计算： D_vf = ∂f/∂x1 * a1 + ∂f/∂x2 * a2 + ... + ∂f/∂xn * an 其中，∂f/∂x1，∂f/∂x2，..., ∂f/∂xn 分别表示 f 对 x1, x2, ..., xn 的偏导数，a1, a2, ..., an 分别表示方向向量 v 的元素。 1. 首先求出函数 f 对每个变量的偏导数 (∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn)。 2. 将偏导数与方向向量的对应元素相乘，得到 (∂f/∂x1 * a1, ∂f/∂x2 * a2, ..., ∂f/∂xn * an)。 3. 对这些乘积求和，即 (∂f/∂x1 * a1 + ∂f/∂x2 * a2 + ... + ∂f/∂xn * an)，得到方向导数 D_vf。 需要注意的是，方向导数的计算公式中依赖于函数的偏导数。因此， 在求解方向导数之前，需要先计算函数的偏导数。 下面通过一个简单的例子来说明方向导数的计算过程。 例子： 考虑函数f(x,y)=x^2+y^2在点P(1,2)处沿着方向(1,-1)的方向导数。

偏导数的性质

偏导数的性质 偏导数是数学中重要的概念之一。偏导数指的是在多元函数中，某个变量保持不变，而其他变量发生改变时，函数的导数。偏导 数广泛应用于物理学、经济学、数学和其他学科中。本文将探讨 偏导数的性质。 一、一阶偏导数的对称性 一阶偏导数的对称性是指，如果一个函数在某一点的两个变量 的导数存在，那么这两个导数互相等价。具体来说，如果 $f(x,y)$在$(x_0, y_0)$处两个变量的导数均存在，那么 $f_x(x_0,y_0)=f_y(y_0,x_0)$。这也就是说，我们可以通过交换函 数中的变量来得到相同的结果。 为了证明这个性质，我们可以使用泰勒定理，设$f(x,y)$在 $(x_0,y_0)$处二阶可导，则： $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(y_0,x_0)(y- y_0)+O(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2})^2$$

因此，我们可以看到$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(y_0,x_0)$的系数是相等的。因此，一阶偏导数具有对称性。 二、二阶偏导数的连续性 如果一个函数在某一点的二阶偏导数都存在，那么这两个偏导数的交叠区域内的二阶偏导数也都存在，且它们是相等的。也就是说，如果$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处存在二阶连续偏导数，则 $f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$。 为了证明这个性质，我们可以考虑在一个交叉的小正方形中，对$f(x,y)$进行泰勒展开： $$f(x+h, y+k) = f(x,y) + \frac{\partial f}{\partial x} h + \frac{\partial f}{\partial y} k + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{h^2}{2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \frac{k^2}{2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} hk+ O(h^3) + O(k^3)$$ 这个泰勒展开中，$h$和$k$表示$x$和$y$的偏移量。我们可以看到，$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$和$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$都是$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$和

高数方向导数计算公式

高数方向导数计算公式 高数方向导数计算公式 方向导数定义 方向导数是多元函数在一点沿着某个方向的变化率，可以用来刻画函数在该点上的变化趋势。在高数中，方向导数可以通过梯度向量来计算。 方向导数计算公式 给定二元函数f(x,y)，在点(x0,y0)处沿着单位向量u⃗=(a,b)的方向导数计算公式如下： D u⃗f(x0,y0)=∇f(x0,y0)⋅u⃗ 其中，∇f表示f的梯度向量，定义如下： ∇f(x,y)=(∂f ∂x , ∂f ∂y ) 方向导数计算公式的推导 方向导数可以理解为函数在某个方向的变化率，具体计算公式可以通过对函数的偏导数进行求解来得到。 对于函数f(x,y)的一阶偏导数，我们有： ∂f ∂x =lim Δx→0 f(x+Δx,y)−f(x,y) Δx

∂f ∂y =lim Δy→0 f(x,y+Δy)−f(x,y) Δy 当Δx和Δy趋近于 0 时，我们可以得到方向导数的计算公式： D u⃗f(x,y)=∂f ∂x a+ ∂f ∂y b 其中，u⃗=(a,b)是单位向量。 通过进一步推导，可以得到方向导数计算公式的简化形式： D u⃗f(x,y)=∇f(x,y)⋅u⃗ 其中，∇f表示梯度向量。 示例说明 考虑函数f(x,y)=x2+y2，要计算函数在点(1,2)沿着方向u⃗=(3,4)的方向导数。 首先，计算函数的梯度向量∇f： ∇f(x,y)=(∂f ∂x , ∂f ∂y )=(2x,2y) 将点(1,2)和方向向量u⃗=(3,4)代入计算公式，得到方向导数： D u⃗f(1,2)=∇f(1,2)⋅u⃗=(2,4)⋅(3,4)=2⋅3+4⋅4=22 因此，函数f(x,y)=x2+y2在点(1,2)沿着方向u⃗=(3,4) 的方向导数为 22。

4.7—方向导数与梯度

4.7—方向导数与梯度

第七节 方向导数与梯度 教学目的：(1) 理解方向导数和梯度的概念; (2) 掌握方向导数和梯度的计算方法。 教学重点：方向导数和梯度的计算 教学难点：方向导数和梯度的概念 教学方法：讲练结合 教学时数：2课时 一、问题的提出 实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行． 二、方向导数 由偏导数的定义知,z x ∂∂是),(y x f z =沿x 轴方向的变化率, z y ∂∂是),(y x f z =沿y 轴方向的变化率. 问题: 讨论函数),(y x f z =在一点0 P 沿其他方向 的变化率． 1、定义:设函数),(y x f z =在点0 P 的某一邻域) (P U 内有定义，l 为非零向量,其方向角为αβ和.

2、可微函数的方向导数的计算： 方向导函数：若函数(,)f x y 在区域D 内的任何点(,)x y 处沿方向l 的方向导数均存在，这样就定义了一个新的函数，称为(,)f x y 沿l 方向的方向导函 数，记作f l ∂∂。 定理7.1如果函数),(y x f z =在点),(y x P 是可微分的，则函数沿任意方向l 的方向导数都存在，且 有 cos cos f f f l x y αβ∂∂∂=+∂∂∂，其中,αβ为l 的方向角． 说明: 三元函数),,(z y x f u =在点),,(z y x M 处的方向导数——推广 γβαcos cos cos z u y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 其中, ). cos ,cos ,(cos | |10γβα==l l l 方向导数存在. 如: z 在(0,0)处 例1 求函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P ,到点)1,2(-Q 的方向的方向导数. 解：这里方向l 即为}1,1{-=PQ ,故x 轴到方向l 的转角4 πϕ-=. ; 1)0,1(2) 0,1(==∂∂y e x z , 22)0,1(2) 0,1(==∂∂y xe y z

函数的导数

函数的导数

普通函数的导数到算子的导数 中学中，我们首先接触的是一元函数，紧接着是二元函数与多元函数.而对于函数的导数，中学中只了解了一元函数的导数.导数作为微分学中重要的概念，描述函数在定义域上某点附近的变化率.随着知识的不断深入，在大学教材中，我们知道导数的本质是通过极限的形式对函数进行局部的线性逼近.随之，二元函数与多元函数的导数也相应给出.当然，还有其它形式的导数，例如本文介绍的Frechet 导数和Gateaux 导数.说到导数，导数的存在性也是非常重要的.由于导数是描述函数的局部性质，所以并不是所有的函数都有导数.同样，一个函数也不一定在所有的点上都有导数.若一个函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否者则称为不可导. 1.函数的导数与几何意义 定义1.1 (一元函数的可微性)D 是开区间，1:f D →¡，0x D ∈.如果函数的增量可表示为 000()()()()()y f x f x A x x o x x A x o x ∆=-=-+-=∆+∆ A 是只依赖于0x 的常数，则称f 在0x 可微.A x ∆为f 在0x 处相应于增量x ∆的微分.A 为f 在0x 的导数，记为0()f x '，其极限表示形式为

00000()()()lim lim x x f x x f x y A f x x x ∆→∆→+∆-∆'===∆∆ 一元函数导数的几何意义 如果函数f 在0x 处可微（可导），由公式 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆， 可以做出函数f 在0x 的导数0()f x '的几何图形，如下所示 图 1.1 由图1.1可知红线的斜率为00()()tan f x x f x y x x ϕ+∆-∆= =∆∆，当0x ∆→时，红线逐渐趋于蓝线ϕθ→，蓝线是函数f 上点00(,())x f x 的切线，则蓝线的斜率为 000 ()() tan lim tan lim x x f x x f x x θϕ∆→∆→+∆-==∆. 因此，一元函数导数的几何意义是函数在某点处的斜率.

函数的导数

普通函数的导数到算子的导数 一元函数导数的几何意义 如果函数f 在0x 处可微（可导），由公式 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆， 可以做出函数f 在0x 的导数0()f x '的几何图形，如下所示

图 1.1 由图1.1可知红线的斜率为00()()tan f x x f x y x x ϕ+∆-∆= =∆∆，当0x ∆→时，红线逐渐趋于蓝线ϕθ→，蓝线是函数f 上点00(,())x f x 的切线，则蓝线的斜率为 000 ()() tan lim tan lim x x f x x f x x θϕ∆→∆→+∆-==∆. 因此，一元函数导数的几何意义是函数在某点处的斜率. 定义1.2（二元函数的可微性）2D ⊂¡是开集，1:f D →¡，00 012 (,)x x x D =∈.如果函数的增量可表示为 000 121200001122121122000()() (,)(,) (,)(,)(||)()(||), y f x f x f x x f x x f x x x x f x x A x A x o x x A x x o x x ∆=-=-=+∆+∆-=∆+∆+-'=-+- 其中12,A A 是只依赖于0x 的常数，22012||()()x x x x -=∆+∆f 在0x 处可微（可导），称1122A x A x ∆+∆为f 在0x 处的全微分.此时，

0,1,2. i i x x f A i x = ∂ == ∂ 那么 1 1 2 2x x f x A A A f x = ∂ ⎛⎫ ⎪ ∂ ⎛⎫ ⎪ == ⎪ ⎪ ∂ ⎝⎭ ⎪ ∂ ⎝⎭ 此时，向量A称为f在 x的“梯度”，或“导数”.记作 ()() f x ∇，或 () f x '，导数的极限形式为 1 2 00 1120 1 000 1220 2 (,)() lim (). (,)() lim x x f x x x f x x f x f x x x f x x ∆→ ∆→ ⎛⎫ +∆- ⎪ ∆ ⎪ '= ⎪ +∆- ⎪ ⎪ ∆ ⎝⎭ 二元函数导数的几何意义 如果函数f在 x处可微（可导），由公式 1 2 00 1120 1 000 1220 2 (,)() lim () (,)() lim x x f x x x f x x f x f x x x f x x ∆→ ∆→ ⎛⎫ +∆- ⎪ ∆ ⎪ '= ⎪ +∆- ⎪ ⎪ ∆ ⎝⎭ ， 可以做出函数f在 x的导数 () f x '的几何图形，如下所示 图 1.2