学而思初一数学培优汇总精华
第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成m
n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质：
① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2
(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。
ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若
||||||
0,a b ab ab a b ab +-则
的值等于多少
2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.平方
3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求
2200620
()(
)()x a b c d x a b c d -+++++-的值。
4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b
5、已知
2
(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6
6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,
a b b c c a
b c c a a b ------中有几个负数
7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为
0，b
a ，
b 的形式，求2006
2007a
b +。
8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且
||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =
+++++则
321ax bx cx +++的值是多少
9、若,,a b c 为整数，且
20072007
||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
3、计算：5917336512913
248163264+++++-
4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。
5、若三个有理数,,a b c
满足||||||1a b c a b c ++=，求||
abc abc 的值。 第二讲 数系扩张--有理数（二）
一、【能力训练点】： 1、绝对值的几何意义
① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。 ② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。 2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。 二、【典型例题解析】： 1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-
（2）若0x
，化简|||2|
|3|||x x x x ---
2、设0a ，且
||a
x a ≤
，试化简|1||2|x x +--
3、a 、b 是有理数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件 （1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a
b （6）若a
b ，则||||a b
4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。
5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那
么B 点在A 、C 的什么位置 6、设a b c
d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。
7、abcde 是一个五位数，a b c
d
e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。
8、设
1232006
,,,
,a a a a 都是有理数，令1232005()
M a a a a =+++
+
2342006()a a a a +++
+,
1232006()N a a a a =+++
+2342005()
a a a a +++
+,试比较M 、N 的大
小。 三、【课堂备用练习题】：
1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-+
+-求()f x 的最小值。
2、若|1|a b ++与2
(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。
3、如果0abc ≠，求||||||
a b c a
b c ++的值。 4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立
（1）|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-
5、化简下式：||||
x x x -
第三讲 数系扩张--有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。 （2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。 （4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。 二、【典型例题解析】：
1、计算：
3510.752(0.125)124478???
???+-+++-+- ? ? ?
?????? 2、计算：（1）、
()()560.94.48.11+-++-+
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
（3）、（-42
3）+111362324??????-+++- ? ? ?
??????
3、计算：①
() 232
321 1.75
343
??????
------+
? ? ?
??????
②
111 142
243??????-+---
? ? ???????
4、化简：计算：（1）
7111
4543
8248????????---+--+
? ? ? ?????????
（2）
3512
3.7540.125
8623
??
??????
----+-+-
? ? ?
??
??????
??
（3）
()()
34 01154
77
??
????
+-----+--+-
? ?
??
????
??
（4）
235
713
346??????-?+÷-
? ? ???????
（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（7
9
-
57
618
+
）
5、计算：（1）()()() 324 2311 -+?---
（2）
()()2 1998
1
110.533
3
??---??--
??
（3）
22831 210.52 552142??????
÷--?--÷? ? ? ?
??????
6、计算：
()
3
4
133 12100.5 1644
??
??
??
????+--?-÷---
??
??
? ?
??????
??
??
??
7、计算：
33232002 13471113
()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1) 81634242001 -?+----÷++-
：
第四讲数系扩张--有理数（四）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：
①凑整（凑0）；②巧用分配律
③去、添括号法则；④裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
1、计算：
237970.71
6.6 2.20.7 3.31173118?-?-÷+?+÷
2、
11
1111
111
1
(1)()(1)231996234
199723
1997
---
-
?++++
-----
1111
()
2341996?+++
+
3、计算：①223
2(2)|3.14|| 3.14|
(1)
π
π-+----
--- ②
{}
235324[3(2)(4)(1)]7-?-+?-?---÷--
4、化简：
111()(2)(3)(9)
1223
89x y x y x y x y +++
++++
???并求当2,x =9y =时的值。
5、计算：
22222222
2131411
2131411n n S n ++++=+++
+----
6、比较
123424816
2n n n
S =
+++++
与2的大小。
7、计算：33232002
13471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001-?+----÷++-
8、已知a 、b 是有理数，且a b ，含
23a b c +=
，23a c x +=，23c b
y +=，请将,,,,a b c x y 按
从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】：
1、计算（1）1111142870130208++++ （2）22
2
133599101++
+
???
2、计算：
111111
20072006200520041232323-+-+
-
3、计算：
1111(1)(1)(1)(1
)2342006-?-?-?
?-
4、如果2(1)|2|0a b -++=，求代数式22006
2005
()()2()b a a b ab a b -++++的值。
5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221
(12)a b m m cd -+
÷-+的
值。
第五讲代数式（一） 一、【能力训练点】：
（1）列代数式； （2）代数式的意义； （3）代数式的求值（整体代入法） 二、【典型例题解析】： 1、用代数式表示：
（1）比x y 与的和的平方小x 的数。 （2）比a b 与的积的2倍大5的数。
（3）甲乙两数平方的和（差）。 （4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。 （6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。 （7）比a 的平方的2倍小1的数。 （8）任意一个偶数（奇数） （9）能被5整除的数。 （10）任意一个三位数。 2、代数式的求值：
（1）已知25a b a b -=+，求代数式
2(2)3()
2a b a b a b a b -+++-的值。 （2）已知225x y ++的值是7，求代数式2
364x y ++的值。
（3）已知2a b =；5c a =，求624a b c
a b c +--+的值(0)c ≠ （4）已知113
b a -=，求222a b ab a b ab ---+的值。
（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式
3
1Px qx ++的值。
（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。
（7）已知223
(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。
（8）当多项式210m m +-=时，求多项式32
22006m m ++的值。
3、找规律：
Ⅰ.（1）22(12)14(11)+-=+； （2）22
(22)24(21)+-=+ （3）22(32)34(31)+-=+ （4）22
(42)44(41)+-=+
第N 个式子呢 Ⅱ.已知
2222233+
=?； 2333388+=?；
244441515+
=?； 若21010a a b b +=?
（a 、b 为正整数），求?a b +=
Ⅲ.
32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想： 三、【备用练习题】：
1、若()m n +个人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要多少天
2、已知代数式2
326y y -+的值为8，求代数式2
31
2y y -+的值。
3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买
了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元
4、已知111
1n n a a +=
+
(1,2,3,
,2006)n =求当11a =时，122320062007?
a a a a a a ++
+=
第六讲 代数式（二） 一、【能力训练点】：
（1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。 二、【典型例题解析】：
1、 已知多项式
222
259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后，不含有y 的项，求2m n +的值。
2、当2
50(23)a b -+达到最大值时，求22
149a b +-的值。
3、已知多项式3225a a a -+-与多项式N 的2倍之和是32
4224a a a -+-，求N
4、若,,a b c 互异，且x y a b b c c a Z ==
---，求x y Z ++的值。
5、已知210m m +-=，求32
22005m m ++的值。
6、已知
2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。 7、已知,a b 均为正整数，且1ab =，求11a b
a b +
++的值。
8、求证
20061
20062
1111222
2
个个等于两个连续自然数的积。
9、已知1abc =，求111a b c
ab a bc b ac c ++
++++++的值。
10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果 三、【备用练习题】： 1、已知1ab =，比较M 、N 的大小。
1111M a b =
+++， 11a b
N a b =+++。
2、已知210x x --=，求3
21x x -+的值。
3、已知x y z K y z x z x y ===+++，求K 的值。
4、554433
3,4,5a b c ===，比较,,a b c 的大小。
5、已知22350a a --=，求432
412910a a a -+-的值。
第七讲 发现规律 一、【问题引入与归纳】
我国着名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。 二、【典型例题解析】 1、 观察算式：
(13)2(15)3(17)4(19)5
13,135,1357,13579,,
2222
+?+?+?+?+=
++=+++++++=按规律
填空：1+3+5+…+99= ，1+3+5+7+…+(21)n -= 2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第n 个小房子
用了多少块石子
3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块（2）第n 个图案中有白色地面砖多少块
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化
规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少第n 个图形中三角形的个数为多少 5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n 层有多少个点
（3）某一层上有77个点，这是第几层
（4）第一层与第二层的和是多少前三层的和呢前4层的和呢你有没有发现什么规律根据你的推测，前12层的和是多少
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上
述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为100
1n n
=∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）
可表示为50
1
(21);
n n =-∑又如“3333333333
12345678910+++++++++”可表示为10
3
1
n n
=∑，同学们，
通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：5
2
1
(1)
n n
=-∑= （填写最后的计算结果）。
7、 观察下列各式，你会发现什么规律
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … … 11×13=143，而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。
8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。 三、【跟踪训练题】1 1、有一列数1234
,,,,
n a a a a a 其中：1a =6×2+1，2a =6×3+2，3a =6×4+3，4a
=6×5+4；…则
第n 个数
n
a = ，当
n
a =2001时，n = 。
2
3、已知一个数列2，5，9，14，20，x ，35…则x 的值应为：（ ）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，
1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336
5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：
6观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律： 7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25 …………
752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952= 8、已知
()()12161
3212222++=
++++n n n n ，计算：
112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n 是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么这位学者结论正确吗 第八讲 综合练习（一）
1、若5x y x y -=+，求552233x y x y
x y x y -++
+-的值。
2、已知|9|x y +-与2(23)x y -+互为相反数，求x
y 。
3、已知|2|20x x -+-=，求x 的范围。
4、判断代数式||||x x x -的正负。
5、若|
|1abcd abcd =-，求||||||||a b c d a
b c d +++
的值。 6、若2
|2|(1)0ab b -+-=，求111
(1)(1)(2)(2)
ab a b a b +++++++
7、已知2
3x -，化简|2||3|x x +--
8、已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值等于2，P 是数轴上的表示原点的数，
求
10002
a b
P cd m abcd +-+
+的值。
9、问□中应填入什么数时，才能使|20062006|2006?-= 10、,,a b c 在数轴上的位置如图所示， 化简：|||1||||1||23|a b b a c c b ++------- 11、若0,0a
b
，求使||||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围。
12、计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)
21+++++-
13、已知
200420042004200320032003a ?-=-
?+，200520052005200420042004b ?-=-?+，200620062006
200520052005c ?-=-
?+，求abc 。
14、已知
99
9990
9911,99P q ==，求P 、q 的大小关系。 15、有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=。设
||||||
|
|
a b c x b c c a a b =+++++，求代数式
19992008x x -+的值。
第九讲 一元一次方程（一） 一、知识点归纳：
1、等式的性质。
2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。
4、一元一次方程解的情况讨论。 二、典型例题解析：
1、解下列方程：（1）2121
136x x -+=- （2）32122234x x ????--=+ ??
?????；
（3）
0.30.2 1.550.70.20.5x x
--+
=
2、 能否从(2)3a x b -=+；得到32b x a +=
-，为什么反之，能否从
3
2b x a +=
-得到(2)3a x b -=+，为什么
3、若关于x 的方程2236kx m x nk
+-=+，无论K 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值。 4、若
5545410
(31)x a x a x a x a +=++
++。求
543210
a a a a a a -+-+-的值。
5、已知1x =是方程11322mx x =-的解，求代数式22007
(79)m m -+的值。
6、关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数K 的值。
7、若方程
732465x x x --
=-与方程
3551
2246x x mx ---=-同解，求m 的值。 8、关于x 的一元一次方程
22
(1)(1)80m x m x --++=求代数式200()(2)m x x m m +-+的值。 9、解方程2006
122334
20062007x x x
x
+++
+
=????
10、已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解。 11、当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=，①有一解；②有无数解；③无解。
第十讲 一元一次方程（2） 一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题） 二、典型例题解析。
1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克
2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋 ：
4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少
5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数
6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班
7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的13后，用水加满，第二次倒出它的1
2后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。
8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算租几辆车
9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大
10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A 型抽水机，6天可抽干池
水，若用21部A 型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A 型抽水机抽水
11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A 处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间
数形结合谈数轴 一、阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数； 3、利用数轴比较有理数的大小；
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数；
例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：
1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a
b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有
（ ） （“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3、把满足
5
2≤ 2、利用数轴能直观地解释相反数； 例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。 拓广训练： 1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a 2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。（北京市“迎春杯”竞赛题） 3、利用数轴比较有理数的大小； 例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数 b a b a ,,,-的大小关系是 。 （用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练： 若0,0> n m >，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连接。 例4：已知5 与4的大小 拓广训练： 1、已知3->a ，试讨论 a 与3的大小 2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断 a 与 b 的 大小 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 例5： 有理数c b a ,, c b b a b a - ++++化简结果为（ ） A ．c b a -+3 2 B ．c b - 3 C ．c b + D ．b c - 拓广训练： 1、有理数c b a ,, 化简c c a b b a ----- -+11的结果 为2、已知 b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示，则成立的 ① ② ③ ④ 3、已知有理数c b a ,,在数轴上的对应的位置如下图：则 b a c a c -+-+-1化简后的结果是 （ ） A ．1-b B ．12--b a C ．c b a 221--+ D ．b c +-21 三、培优训练 1、已知是有理数，且 ()()0 1212 2 =++-y x ，那以y x +的值是（ ） A ．21 B ．23 C ．21或23- D ．1-或23 2、（07乐山）如图，数轴上一动点A 向左移动25个单位长度到达点C ．若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2- 3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 4、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ） A ．d b c a +<+ B ．d b c a +=+ C ．d b c a +>+ D ．不确定的 5、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若 c a c b b a -=-+-，那么点 B （ ） A ．在A 、C 点右边 B ．在A 、 C 点左边 C ．在A 、C 点之间 D ．以上均有可能 6、设 1 1++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题） A ．y 没有最小值 B ．只一个x 使y 取最小值 C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值 D ．有无穷多个x 使y 取最小值 7、在数轴上，点A ，B 分别表示31- 和51 ，则线段AB 的中点所表示的数是 。 8、若0,0<>b a ，则使 b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是 。 9、x 是有理数，则 22195 221100++- x x 的最小值是 。 10、已知d c b a ,,, 且 , 64366====d c b a 求 c b a b d a -+--- 22323的值。 11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料： 点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中有一 点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点 时， ①如图2，点A 、B 都在原点的右边a b a b OA OB AB -=-=-=②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=； ③如图4，点A 、B 在原点的两边 ()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离 b a AB -=。 （2）回答下列问题： ①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ； ②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2 =AB ，那么x 为 ； ③当代数式 2 1-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ； B A O B (A) O a A O o ④求 1997 321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。 聚焦绝对值 一、阅读与思考 绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。 脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。 去绝对值符号法则： 2、恰当地运用绝对值的几何意义 从数轴上看 a 表示数a 的点到原点的距离； b a -表示数a 、数 b 的两点间的距离。 3、灵活运用绝对值的基本性质 ①0 ≥a ② 22 2a a a == ③ b a a b ?= ④ ()0≠=b b a b a ⑤ b a b a +≤+ ⑥ b a b a -≥- 二、知识点反馈 1、去绝对值符号法则 例1：已知 3 ,5==b a 且 a b b a -=-那么=+b a 。 拓广训练： 1、已知 , 3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2 c b a 。（北京市“迎春杯” 竞赛题） 2、若 5 ,8==b a ，且0>+b a ，那么b a -的值是（ ） A ．3或13 B ．13或-13 C ．3或-3 D ．-3或-13 2、恰当地运用绝对值的几何意义 例2： 1 1-++x x 的最小值是（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．-1 解法1、分类讨论 当1- ()()221111>-=--+-=-++x x x x x ； 当11≤≤-x 时，()2 1111=--+=-++x x x x ； 当1>x 时 ()221111>=-++=-++x x x x x 。 比较可知，1 1-++x x 的最小值是2，故选A 。 解法2、由绝对值的几何意义知 1 -x 表示数x 所对应的点与数1所对应的点之间的距离； 1 +x 表示数x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离； 1 1-++x x 的最小值是指x 点到 1与-1两点距离和的最小值。如图易知 当11≤≤-x 时，1 1-++x x 的值最小，最小值是2故选A 。 拓广训练： 已知 2 3++-x x 的最小值是a ， 2 3+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。 三、培优训练 1、如图，有理数b a , 则在 4 ,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）（湖北省荆州市竞赛题） A ．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个 2、若m 是有理数，则 m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数 3、如果 22=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2 C ．2≥x D ．2≤x 4、b a ,是有理数，如果 b a b a +=-，那么对于结论（1）a 一定不是负数；（2）b 可能是负 数，其中（ ）（第15届江苏省竞赛题） A ．只有（1）正确 B ．只有（2）正确 C ．（1）（2）都正确 D ．（1）（2）都不正确 5、已知 a a -=，则化简 2 1---a a 所得的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．32-a D ．a 23- 6、已知40≤≤a ，那么 a a -+-32的最大值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．8 D ．9 7、已知c b a ,,都不等于零，且 abc abc c c b b a a x +++= ，根据c b a ,,的不同取值，x 有（ ） A ．唯一确定的值 B ．3种不同的值 C ．4种不同的值 D ．8种不同的值 8、满足 b a b a +=-成立的条件是（ ）（湖北省黄冈市竞赛题） A ．0≥ab B ．1>ab C ．0≤ab D ．1≤ab 9、若52< x x x x +-----225 5 的值为 。 10、若0>ab ，则ab ab b b a a -+的值等于 。 11、已知c b a ,,是非零有理数，且0,0>=++abc c b a ，求abc abc c c b b a a +++的值。 12、已知d c b a ,,,是有理数， 16 ,9≤-≤-d c b a ，且 25 =+--d c b a ，求 c d a b ---的 值。 13、阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道()()()0000 <=>??? ??-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 2 1-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为 1 +x 与 2 -x 的零点值）。在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重 复且不遗漏的如下3种情况： （1）当1- 综上讨论，原式= ()()()221112312≥<≤-- ???-+-x x x x x 通过以上阅读，请你解决以下问题： 分别求出 2 +x 和 4 -x 的零点值；（2）化简代数式 4 2-++x x 14、（1）当x 取何值时， 3 -x 有最小值这个最小值是多少（2）当x 取何值时， 2 5+-x 有 最大值这个最大值是多少（3）求 5 4-+-x x 的最小值。（4）求 9 87-+-+-x x x 的最小 值。 15、某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A ，B ，C ，D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好 16、先阅读下面的材料，然后解答问题： 在一条直线上有依次排列的()1>n n 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形： ① ② 如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P 设在1A 和2A 之间的任何地方都行, 因为甲和乙分别到P 的距离之和等于1A 到2A 的距离. A 1A （P ）2 如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床2A 处最合适，因为如果P 放在2A 处，甲和丙分别到P 的距离之和恰好为1A 到3 A 的距离；而如果P 放 在别处，例如D 处，那么甲和丙分别到P 的距离之和仍是1A 到 3 A 的距离，可是乙还得走从2 A 到D 近段距离，这是多出来的，因此P 放在2A 处是最佳选择。不难知道，如果直线上有4台机床，P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P 应设在第3台位置。 问题（1）：有n 机床时，P 应设在何处 问题（2）根据问题（1）的结论，求 617 321-+???+-+-+-x x x x 的最小值。 有理数的运算 一、阅读与思考 在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。 数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。 二、知识点反馈 1、利用运算律：加法运算律()()???++=+++=+c b a c b a a b b a 加法结合律加法交换律乘法运算律()()()??? ??+=+??=???=?ac ab c b a c b a c b a a b b a 乘法分配律乘法结合律乘法交换律 例1：计算：? ?? ?? --+-??? ? ?---32775.2324523 解：原式= 15.175.56.4375.26.432 775.23246.4-=-=--=---+ + 拓广训练： 1、计算（1）115292.011275208.06.0+ +--+-- （2）4941911764131159431+++??? ??+-??? ??+-+ 例2：计算：50 25249???? ?? - 解：原式=()498 25005025150105025110-=--=??? ???-?-=???? ??-- 拓广训练： 计算：()? ?? ??---????514 1312 15432 2、裂项相消 （1）b a ab b a 11+ =+；（2）()11111+-=+n n n n ；（3）()m n n m n n m +-=+11 （4）()()()()()211 11212++- +=++n n n n n n n 例3、计算2010200914 31321211?+ ???+?+?+? 解：原式= ??? ??-+???+??? ??-+??? ??-+??? ??-2010120091 41313121211 = 201012009141313121211-+???+-+-+- = 20102009 201011= - 拓广训练： 1、计算：2009200717 51531311?? ??+?+?+? 3、以符代数 例4：计算：??? ??-+÷??? ??-+39385271781712133937111712727 7 17 解：分析： 3976 10393711,17242617127,27341627717 === 令A = 3938527178171213 -+，则A 23976101724262734163937111712727717=-+=-+ 原式=22=÷A A 拓广训练： 1、计算：??? ?????++???? ?????+++-??? ?????+++???? ??+???++200513 1 21200613 1 211200513 1 211200613 1 21 4、分解相约 例5：计算： 2 93186293142842421??? ????+???+??+????+???+??+??n n n n n n 第一讲数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n（0,, n m n ≠互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) || (0) a a a a a ≥ ? =? -≤ ?②非负性2 (||0,0) a a ≥≥ ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若 |||||| 0, a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2．如果m是大于1的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2，求 220062007 ()()() x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那 么|||| a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2 (3)|2|0 a b -+-=，求b a的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b --- ---中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1， , a b a +的形式式，又可表示为0， b a，b 的形式，求 20062007 a b +。 第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） 最新(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义 第1讲与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－错误!，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数 正分数 负整数 负有理数 负份数 ； （2）按整数、分数分类，有理数?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数 整数0 负整数 正分数 分数 负分数 ；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝ 3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－错误!是分数，0.033 . 3是 无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－错误!，－301，31.25，－错误!，100，1，－3 001 中，负分数为，整数 为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－错误!，错误!，－错误!，0.1，－5.32，123， 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1，错误!，－错误!，错误!，－错误!，错误!，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是 第1讲 与有理数有关的概念 考点?方法?破译 1?了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量 2 ?会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想 3.理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义.会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个 数的相反数、绝对值、倒数 ? 经典?考题?赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前—7米⑵收人—50元⑶体重增加—3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量. 而相反意义的量包合两个要素： 一是它们的意义相反.二是它们具有数量.而且必须是同类两，如“向前与自后、 收入与支 出、增加与减少等等” 解：⑴向前—7米表示向后7米⑵收入—50元表示支出50元⑶体重增加—3千克表示体重 减小3千克? 【变式题组】 01.如果+ 10%表示增加10%那么减少8%可以记作（ ） A. —18% B . — 8% C . + 2% D . + 8% 02.（）如果+ 3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出 5吨大米表示为（） A. — 5 吨 B . + 5 吨 C . — 3 吨 D . + 3 吨 03.（）与纽约的时差一13 （负号表示同一时刻纽约时间比晚） ?如现在是时间15 : 00,纽 约时问是 _____ A. 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D 正整数 整数0 负整数 3. 1415926…是无限不循环小数， 它不能写成分数的形式， 所以n 不是有理数，—号是分数 0.0 33 3是无限循环小数可以化成分数形式， 0是整数，所以都是有理数，故选 【例2】在— 22 0.0 33 3这四个数中有理数的个数（ 正有理数 正整数 正分数 负有理数 【解法指导】有理数的分类： ⑴按正负性分类，有理数 负整数 负份数；按整数、分数 分数 正分数 分类，有理数 负分数 ;其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为 C. 第一讲 数系扩张--有理数(一） 一、【典型例题解析】: 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少? 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ) A ．相反数 B.倒数 Ｃ.绝对值 D.平方 ３、已知两数a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值是2,求 220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置,如下图所示,那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=,求b a 的值是( ) A.2 B.3 C.9 D ．6 ６、 有３个有理数a,b,c,两两不等,那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ ７、 设三个互不相等的有理数,既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示 为０，b a , b 的形式,求20062007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数,和为正数,且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数,且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算:１+２-3－4+５+6-７－８+…+2005＋２00６ 2、计算：1×2+2×3+３×4+…+n(n+1) 3、计算:59173365129 132******** +++++ - ４、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=,求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足 ||||||1a b c a b c ++=,求||abc abc h i n j c A A A学而思初一数学资料培优汇总(精 华) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0)a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图 所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知 2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成（互质）。 4、性质：①顺序性（可比较大小）； ②四则运算的封闭性（0不作除数）； ③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ①②非负性 ③非负数的性质：i）非负数的和仍为非负数。 ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若的值等于多少？ 2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求 的值。 4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那 么化简的结果等于（ A. B. C.0 D. 5、已知，求的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－22 7 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0???? ??? ???????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数 分类，有理数????????????????? 正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝…是无限 不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－22 7 是分数0.033. 3是无限循 环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若||||||0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为 0，b a ，b 的形式，求20062007a b +。 有理数初步（一） 板块一有理数基本概念 【知识导航】 正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正 数。正数都大于0。 负数：像-1、-3.12、 17 5 -、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫 做负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。 有理数：整数与分数统称为有理数。 无理数：无限不循环小数，如π。 注意：⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数。 【例1】 ⑴下列各组量中，具有相反意义的量是（） A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里 C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米 ⑵如果零上5C 记作5C + ，那么零下5C 记作（） A．-5 B．-10 C．5C - D．10C - ⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位 不升不降时水位变化记为____m ⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（） A．200米B．50米C．300米D．350米 ⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030() ml ±”字样， 请问“30ml ±”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为 589,573,627 ml ml ml，问抽查产品的容量是否合格？ 【例2】 ⑴一种零件的长度在图纸上是0.05 0.05 (20) + - 米，表示这种零件加工要求最大不超 过_______，最小不小于_____. ⑵1是（） A．最小的整数B．最小的正整数 C．最小的自然数 D．最小的有理数 1 第一讲 数系扩张--有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0)||(0) a a a a a ≥?=? -≤? ② 非负性 2 (||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则 的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求2 20062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2 (3) |2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么 ,, a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ，b 的形式，求2006 2007a b +。 8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且2007 2007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算： 59173365129 132******** +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc 的值。 5、（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：____ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ________。 6、结合数轴求得23 x x -++的最小值为_____，取得最小值时x 的取值范围为____________。 第三节 一元一次不等式及其应用 一、课标导航 二、核心纲要 1.一元一次不等式的解法步骤 (1)去分母：在不等式的两边都乘以各分母的最小公倍数； 注：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号． (2)去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号； 注：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号． (3)移项：把含有未知数的项都移到不等式的一边，不含未知数的项移到不等式的另一边； 注：①移项要变号；②不要丢项． (4)合并同类项：把不等式化成ax >b （或彻（或a b x <)． 注：①不要把分子、分母位置颠倒；②当a<0时，系数化1要变号. 2.一元一次不等式的实际应用 (1)审：审清已知、未知及关键字词和语句； (2)找：找出题目中的不等关系； (3)设：设适当的未知数； (4)列：列不等式； (5)解：解不等式； (6)答：检验是否符合题意，作答． 3.一元一次不等式的综合应用 (1)-元一次不等式的特殊解； (2)-元一次不等式与方程； ＊(3)含字母系数的不等式． 对于不等式ax >b ， ①若a>0，则;a b x > ②若a<0，则;a b x < ③若a=0，b<0，则不等式的解集是任意实数； 若a-0，b≥O，则不等式无解． ＊ (4)含有绝对值的不等式的解法（a>O ）． ①l x la 的解集是x<一a 或x>a. 注：可利用数轴来确定在一定条件下的特殊解. 4.数学思想 . 领先中考培优课程M A T H E M A T I C S 3 平面坐标系 知识目标 目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念 目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标 模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航 1有序数对 有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 2平面直角坐标系 3、点的坐标 平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。 在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角 坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向： 竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴 的交点为平面坐标系的原点。 如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别 叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的 点不属于任何象限。 Ⅰ 第一象限 Ⅳ 第四象限 Ⅲ 第三象限 Ⅱ 第二象限 原点 如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴 的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。 ①由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。 ②由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b) ③ 整式的乘法与因式分解拓展（二） 因式分解基本方法 1．提公因式法 2．公式法 3．分组分解法 4．十字相乘法 【例1】因式分解 4⑴x 2－4xy ＋y 2－z 2 ⑵a 3－a ＋2b －2a 2b ⑶x 2－2xy ＋y 2＋2x －2y ＋ 1 【例2】因式分解： 9⑴a 2(x －y )＋4b 2(y －x ) 3⑵x 3y 3＋x 4y 2＋5x 2y 4＋x 2y 2 9(⑶a －b )2＋12(a 2－b 2)＋4(a ＋b )2 【例3】因式分解 ⑴x 2＋5x ＋6 ⑵x 2＋6x －7 ⑶ x 2 －6x ＋5 【例4】 ⑴把代数式ax 2－4ax ＋4a 分解因式，下列结果正确的是( ) A ．a (x －2)2 B ．a (x ＋2)2 C ．a (x －4)2 D ．a (x ＋2)(x －2) ⑵若x 2－ax －1可以分解为(x －2)(x ＋b )，则a ＋b 的值为( ) A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2 ⑶已知(x ＋a )(x ＋b )＝x 2－13x ＋36，则ab 的值是( ) A ．13 B ．-13 C ．36 D ．-36 【例5】因式分解 2⑴x 2＋x －3 8⑵x 2＋26x ＋15 18⑶x 2＋3x －10 【例6】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2 ＝(1＋x )＋x (1＋x )＋x (x ＋1)2 ＝(1＋x )[1＋x ＋x (x ＋1)] ＝(x ＋1)2(x ＋1) ＝(x ＋1)3 ⑴上述因式分解的方法是___，共应用了___次； ⑵若分解1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)2011，则需应用上述方法___次，结果是___； ⑶分解因式1＋x ＋x (x ＋1)＋x (x ＋1)2＋…＋x (x ＋1)n ＝___。(n 是正整数) 知识回顾： 因式分解的四大基本方法 1 培优数学试题 1、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a ， b 的形式，求20062007a b +。 2、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且|||| || ||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac =+++++则32 1ax bx cx +++的值是多少？ 3、 若|||||| 0,a b ab ab a b ab +-则的值等于多少？ 4、如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 5、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 22006200()()()x a b c d x a b c d -+++++-的值。 6、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。 7、(1)123456-+-+-+…20012002+-的值是__________________。 (2)如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所 示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b (3)已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 8、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 9、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 10、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()()1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++ 初一数学培优专题讲义四---几何图形初步 典型问题：（一）数线段——数角——数三角形 问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 问题2．如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展：1、 在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 类比：从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ 类比联想：如图，可以得到多少三角形？ （二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义： 文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点 图形语言：M 几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点 ∴ 1 2 AM BM AB == ，22AM BM AB == 典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ） （A ）AP= 21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2 1 AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2 1 =；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ． 其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC= 1 2 AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ． 5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ） A 2（a-b ） B 2a-b C a+b D a-b （三）与角有关的问题 A D B M C N 学而思初中数学课程规划 来源：本站原创文章作者：中考网小编2011-05-01 15:40:58 [标签：2011初一暑假班数学] [当前8392家长在线讨论] 初中数学的学习不同于小学： 小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。 初中班型设置介绍: 初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班 初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛 班，联赛班 初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班 联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识； 竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识； 基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。 到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。 下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明： 2011年学而思初中教学体系 体 系 联赛体系竞赛体系领先中考培优体系 班 型 定 位 数学超常发展，冲击竞赛一等奖中考满分，兼顾竞赛同步提高，冲击中考满分 学 制 设 计 一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容 课 程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班 大1.2-1.5倍 每节课的容量与难度比尖子班大 1.5-1.8倍 每节课的容量是校内课程的3-5 倍，难度比校内课程高1.5-2倍 适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为 冲击初中数学联赛，希望在数学方面 有独特发展，例如未来参加IMO或 CMO比赛，高中数学联赛冲击一等 奖。 课内知识学习轻松，在保证中考路径 的同时兼顾拔高与竞赛。未来目标为 冲击中考满分，同时参加一些数学竞 赛，激发兴趣，锻炼思维。 从课内知识上夯实基础、同步提 高，同时拓宽视野，系统化学习， 目标冲击中考满分 人教版七年级数学下册 培优资料 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 第12讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角一共构成哪几对邻补角 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的 反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角 是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝ 21∠BOC ，∠FOC ＝2 1 ∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1∠AOC ＝ ()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2 1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度 数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . A C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E D 1 4学而思初一数学资料培优汇总精华
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第三节 一元一次不等式及其应用-学而思培优
人教版七年级数学下册培优资料教师版
第 12 讲 与相交有关概念及平行线的判定
【解】⑴∵OE、OF 平分∠BOC、∠AOC ∴∠EOC＝ 1 ∠BOC，∠FOC＝ 1 ∠AOC ∴
2
2
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符 号表示它们.
∠EOF＝∠EOC＋∠FOC＝ 1 ∠BOC＋ 1 ∠AOC＝ 1 BOC AOC 又∵∠BOC＋∠
2
2
2
AOC＝180° ∴∠EOF＝ 1 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF、∠AOF；∠BOE 2
的补角是：∠AOE.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
【变式题组】
经典·考题·赏析
01．如图，已知直线 AB、CD 相交于点 O，OA 平分∠EOC，且∠EOC＝100°，则∠BOD
的度数是（
）
【例 1】如图，三条直线 AB、CD、EF 相交于点 O，一共构成哪几对对顶角？一共
A．20° B． 40° C．50°
D．80°
构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
AE
D
E D
1
4
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有 6 对对顶角. 12 对邻补角.
C
B
F
A
O
A
C （第 1 题图）
32 （第 2 题图）
【变式题组】
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝
.
01．如右图所示，直线 AB、CD、EF 相交于 P、Q、R，则：
C
E
【例３】如图，直线 l1、l2 相交于点 O，A、B 分别是 l1、l2 上的点，试用三角尺完成下
⑴∠ARC 的对顶角是 邻补角是
. .
列作图：
A
P
⑴经过点 A 画直线 l2 的垂线.
⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有 2 对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有 6 对对顶角；
A
Q
F
RB D
⑵画出表示点 B 到直线 l1 的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】
O
B
l2
当四条直线相交于一点时，共有 12 对对顶角. 问：当有 100 条直线相交于一点时共有
对顶角.
01．P 为直线 l 外一点，A、B、C 是直线 l 上三点，且
PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点 P 到直线 l 的距
l1
【例２】如图所示，点 O 是直线 AB 上一点，OE、OF 分别
离为（
）
平分∠BOC、∠AOC． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角.
A．4cm
B． 5cm C．不大于 4cm
D．不小于 6cm
F
C
E 02 如图，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶，M、N 为位于公路两侧的村
庄；
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的
⑴设汽车行驶到路 AB 上点 P 的位置时距离村庄 M 最近.行驶到 AB 上点 Q 的位
定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
A
O
B
置时，距离村庄 N 最近，请在图中的公路上分别画出点 P、Q 的位置.
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