第2讲 三角变换与解三角形

第2讲 三角变换与解三角形

感悟高考 明确考向

(2010·陕西)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)

海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的

D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？

主干知识梳理

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.(2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β. (3)tan(α±β)＝

tan α±tan β

1?tan αtan β

.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝

2tan α

1－tan 2α

.

3．三角恒等式的证明方法

(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简．

(2)等式的两边同时变形为同一个式子．(3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理

a sin A ＝

b sin B ＝

c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C .sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c

2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 5．余弦定理

a 2＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2

2ab .

变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1

2ab sin C . 7．解三角形

(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．

(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 热点分类突破 题型一 三角变换及求值

例1(1)已知0<β<π2<α<π，且cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝2

3，求cos(α＋β)；

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7，求2α－β的值．

变式训练1 已知α∈(

π2，π)，且sin α2＋cos α2＝6

2

.(1)求cos α的值； (2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π

2，π)，求cos β的值．

题型二正、余弦定理的应用

例2 已知△ABC是半径为R的圆内接三角形，且2R(sin2A－sin2C)＝(2a－b)sin B.

(1)求角C；(2)试求△ABC的面积S的最大值．

变式训练2 (2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A ＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)·sin C.(1)求A的大小；(2)求sin B＋sin C的最大值．

题型三正、余弦定理的实际应用

例3 (2009·福建)如图，某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝A sin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛运动员的安全，

限定∠MNP＝120°.

(1)求A，ω的值和M，P两点间的距离；

(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？

变式训练3 在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(3－1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2 n mile的C处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

规律方法总结

1．证明三角恒等式的常用方法

(1)从一边开始证它等于另一边，一般由繁到简．

(2)证明左右两边都等于同一个式子(或值)．

(3)运用分析法，证明其等式成立．

2．三角恒等变形的基本思路

(1)“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧．“化异为同”

是指“化异名为同名”，“化异次为同次”，“化异角为同角”．

(2)角的变换是三角变换的核心，如β＝(α＋β)－α，2α＝(α＋β)＋(α－β)等．3．已知两边及其一边的对角，判断三角形解的情况以已知a，b，A为例

(1)当A为直角或钝角时，若a>b，则有一解；若a≤b，则无解．

(2)当A为锐角时，如下表：

4.

(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.

(2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C.

(3)a＝b cos C＋c cos B.

5．在△ABC中，三边分别为a，b，c(a

(1)若a2＋b2>c2，则△ABC为锐角三角形．

(2)若a2＋b2＝c2，则△ABC为直角三角形．

(3)若a2＋b2

知能提升演练一、选择题

1．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝4

5

，且α是第二象限角，则tan(

π

4

＋α)

等于 ( ) A．7 B．－7 C.1

7

D．－

1

7

2．若f(sin x)＝3－cos 2x，则f(cos x)等于( )

A．3－cos 2x B．3－sin 2x C．3＋cos 2x D．3＋sin 2x

3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则

a＋b＋c

sin A＋sin B＋sin C

等于 ( )

A．3 3 B.239

3

C.

263

3

D.

29

2

4．在△ABC中，已知sin C＝2sin A cos B，那么△ABC一定是( ) A．等腰直角三角形 B．等腰三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

5．已知实数a，b均不为零，a sin 2＋b cos 2

a cos 2－

b sin 2

＝tan β，且β－2＝

π

6

，则

b

a

等于 ( )

A. 3

B.

3

3

C．－ 3 D．－

3

3

二、填空题

6．函数y＝sin4x＋cos4x的单调递增区间是______________________.

7．在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝4b sin A，则cos B＝__________________

8．(2010·广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝_______________.

三、解答题

9．已知函数f(x)＝a(2cos2x

2

＋sin x)＋b.

(1)当a＝－1时，求f(x)的单调递减区间；

(2)当a<0，x∈[0，π]时，f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．

10．(2009·安徽)在△ABC中，sin(C－A)＝1，sin B＝1 3 .

(1)求sin A的值；

(2)设AC＝6，求△ABC的面积．

七年级数学第7章三角形检测题

数学：第7章三角形综合检测题A （人教新课标七年级下） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是（ ）．A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ） 3．已知三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 4．三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．属于哪一类不能确定 5．如图，在直角三角形ABC 中，AC ≠AB ，AD 是斜边上的高， DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，则图中与∠C （∠C 除外）相等的角的个数是（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6．下面说法正确的是个数有（ ） ①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=2 1∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在?ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。 A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 7．在?ABC 中，C B ∠∠,的平分线相交于点P ，设,?=∠x A 用x 的代数式表示BPC ∠的度数，正确的是（ ） （A ）x 2190+ （B ）x 2 190- （C ）x 290+ （D ）x +90 8．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于O ， 则∠AOC+∠DOB=（ ） A 、900 B 、1200 C 、1600 D 、1800 9．以长为13cm 、10cm 、5cm 、7cm 的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 10．给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形 ②三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角 ③三角形的角平分线是射线 ④三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 ⑤任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 ⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内。正确的命题有 ( ) 第2题图 第5题图 第8题图

高中数学竞赛教案讲义(7)解三角形

第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A ，B ，C 分别表示△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表示它们所对的各边长，2 c b a p ++=为半周长。 1．正弦定理：C c B b A a sin sin sin ===2R （R 为△ABC 外接圆半径）。 推论1：△ABC 的面积为S △ABC =.sin 2 1sin 21sin 21B ca A bc C ab == 推论2：在△ABC 中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC 中，A+B=θ，解a 满足) sin(sin a b a a -=θ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC 边上的高为bsinC ，所以S △ABC =C ab sin 2 1；再证推论2，因为B+C=π-A ，所以sin(B+C)=sinA ，即sinBcosC+cosBsinC=sinA ，两边同乘以2R 得bcosC+ccosB=a ；再证推论3，由正弦定理B b A a sin sin =，所以)sin()sin(sin sin A a A a --=θθ，即sinasin(θ-A)=sin(θ-a)sinA ，等价于21-[cos(θ-A+a)-cos(θ-A-a)]= 2 1-[cos(θ-a+A)-cos(θ-a-A)]，等价于cos(θ-A+a)=cos(θ-a+A)，因为0<θ-A+a ，θ-a+A<π. 所以只有θ-A+a=θ-a+A ，所以a=A ，得证。 2．余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA bc a c b A 2cos 2 22-+=?，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是BC 边上任意一点，BD=p ，DC=q ，则AD 2=.22pq q p q c p b -++ （1） 【证明】 因为c 2=AB 2=AD 2+BD 2 -2AD ·BDcos ADB ∠， 所以c 2=AD 2+p 2-2AD ·pcos .ADB ∠ ① 同理b 2=AD 2+q 2-2AD ·qcos ADC ∠， ② 因为∠ADB+∠ADC=π， 所以cos ∠ADB+cos ∠ADC=0， 所以q ×①+p ×②得 qc 2+pb 2=(p+q)AD 2+pq(p+q)，即AD 2=.22pq q p q c p b -++ 注：在（1）式中，若p=q ，则为中线长公式.2 222 22a c b AD -+=

专题1-2解三角形重难点、易错点突破(含答案)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记 根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 细说三角形中解的个数 解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源 我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，

把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情 况： 当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况： 根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当 a 不小于 b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法 已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a . 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区 域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）

A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

第七章 三角形

第七章三角形 测试1三角形的边 学习要求 1．理解三角形及与三角形有关的概念，掌握它们的文字表述、符号语言表述及图形表述方法． 2．掌握三角形三边关系的一个重要性质． (一)课堂学习检测 1、填空题： (1)由____________三条线段______所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做 ______；相邻两边的公共端点叫做______，相邻两边所组成的角叫做______，简称______． (2)如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作______，读作______．其中，顶点A所 对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示；顶点C 所对的边______还可用______表示． (3)由“连接两点的线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边有这样的性质 ______________________________．由它还可推出：三角形两边的差____________． (4)对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜ ______． (5)若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是 ____________，其中x可以取的整数值为____________． (二)综合运用诊断 2．已知：如图，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________. (2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________. (3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________． (4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______．3．选择题： (1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm，3cm，6cm (B)2cm，3cm，6cm (C)5cm，8cm，12cm (D)4cm，7cm，11cm (2)现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列 四根木条中应选取( )． (A)0.85m长的木条(B)0.15m长的木条 (C)1m长的木条(D)0.5m长的木条

2021版高考数学第四章三角函数、解三角形第7讲解三角形的综合应用练习理北师大版

第7讲 解三角形的综合应用 [基础题组练] 1．已知A ，B 两地间的距离为10 km ，B ，C 两地间的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km B ．10 3 km C ．10 5 km D ．107 km 解析：选 D.由余弦定理可得，AC 2 ＝AB 2 ＋CB 2 －2AB ×CB ×cos 120°＝102 ＋202 － 2×10×20×? ?? ??－12＝700. 所以AC ＝107(km)． 2．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( ) A ．240(3－1) m B ．180(2－1) m C ．120(3－1) m D ．30(3＋1) m 解析：选C.因为tan 15°＝tan(60°－45°)＝tan 60°－tan 45° 1＋tan 60°tan 45° ＝2－3，所以 BC ＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)． 3．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m 解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，在Rt △BCD 中，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2 ＝h 2 ＋1002 －2·h ·100·cos 60°，即h 2 ＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.

三角函数及解三角形知识点

三角函数知识点 ????? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

(课程标准卷)高考数学二轮复习专题限时集训(七)第7讲解三角形配套作业文(解析版)

专题限时集训(七) [第7讲解三角形] (时间：45分钟) 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＋c2－b2＝3ac，则角B的值为( ) A.π 6 B. π 3 C.π 6 或 5π 6 D. π 3 或 2π 3 2．在△ABC，已知A＝45°，AB＝2，BC＝2，则C＝( ) A．30° B．60° C．120° D．30°或150° 3．△ABC的外接圆半径R和△ABC的面积的大小都等于1，则sin A sin B sin C的值为( ) A.1 4 B. 3 2 C. 3 4 D. 1 2

图7－1 4．如图7－1，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为( ) A．10 2 m B．20 m C．20 3 m D．40 m 5．在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝3，c＝8，B＝60°，则sin A的值是( ) A.3 16 B. 3 14 C.33 16 D. 33 14

6．若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，2) D ．(1,2) 7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B ＝( ) A.14 B.34 C.24 D.23 8．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A. 32 B.34 C. 32或 3 D.32或34 9．在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________. 10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km. 11．在△ABC 中，A ＝60°，BC ＝10，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，△BCD 的面积为1，则AC 的长为________． 12．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C . (1)求角C 的大小； (2)求3sin A －cos B ＋π 4的最大值，并求取得最大值时A ，B 的大小．

三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形 一、选择题： 1．设α是锐角,223)4 tan(,+=+απ 则=αcos （ ） 2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里 D ．103海里 3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增，在区间??? ???2,3ππ上单调递减，则=ω( ) A ．3 B ．2 4．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距 离 等 于 , π则 ) (x f 的单调递增区间是 （ ） A.Z k k k ∈????? ?+ - ,125,12 πππ π B. Z k k k ∈????? ? ++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈?? ??? ?+-,6,3 ππππ D.［Z k k k ∈?? ??? ? ++,32,6 ππππ 5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为

（ ） 2 2 C. 2 D. 22 6．已知5 4cos -=α且,,2 ? ? ? ??∈ππα则?? ? ? ? +4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．1 7 D ．7 7．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a b 的取值范围是（ D ） A ．（﹣2，2） B ．（0，2） C ．（ ，2） D ．（ ， ） 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π 3 是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D ) A ．y ＝4sin ? ????4x ＋π6 B ．y ＝2sin ? ????2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ? ???? 4x ＋π6＋2 9．函数)3 2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12 (π - 成中心对称 （ ） A.向左平移 12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12 π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6 π -=x 对称，那么=a （ ）

《第七章三角形》全章知识点归纳及典型题目练习(答案)

第七章 三角形 1. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 ＿＿＿＿＿.组成三角形的线段叫做＿＿＿＿＿＿，相邻两边的 公共端点叫做_____________，相邻两边所组成的角叫做 ___________，简称___________.如图 以A 、B 、C 为顶点的三 角形ABC ，可以记作＿＿＿＿＿＿＿，读作_____________. △ABC 的三边，有时也用_____________表示，顶点A 所对的边BC 用____表示，顶点B 所对的边CA 用____表示，顶点C 所对的边AB 用____表示. 2. 三角形的分类 三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 ＿＿＿＿＿. 三角形 不等边三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 ＿＿＿＿＿＿＿. 3. 在等腰三角形中，相等的两边都叫做＿＿＿，另一边叫做 ＿＿，两腰的夹角叫做＿＿＿，腰和底的夹角叫做＿＿＿ ＿. 如右图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，那么腰是＿＿＿ 底是＿＿＿＿，顶角是＿＿＿＿，底角是＿＿＿＿＿. 4. 三角形的三边关系：_________________________________________. 5. 三角形的高 从△ABC 的顶点A 向它 所对的边BC 所在直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的_____ .如图⑴，AD 是△ABC 的高，则AD ⊥_____. 连接△ABC 的顶点A 和它所对的边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC ?? ??? ??? ?? ??

上的_____ .如图⑵，AD是△ABC的中线，则BD＝______. ∠BAC的平分线AD，交∠BAC的对边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的___________.如图⑶，AD是△ABC的角平分线，则∠BAD＝∠_______. 6.三角形是具有__________的图形，而四边形没有__________ . 7.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于_______. 8.三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.三角形的一个外角大 于与它不相邻的_________________ . 9.多边形的内角和公式：n边形的内角和等于________________.多边形的外角和等于 _______. 10.各种平面图形能作“平面镶嵌”的必备条件，是图形拼合后同一个顶点的若干个角的和恰好等于_______.（限定镶嵌的正多边形的边长相等，顶点共用）如果只用一种正多边形镶嵌，符合“平面镶嵌”的必备条件的正多边形是 ____________________________________.如果用两种正多边形镶嵌，哪些组合可以用来作平面镶嵌：_____________________________________________________________ ______________________________________________________.

第7讲解三角形应用举例

第7讲解三角形应用举例 、选择题 1.在相距2 km 的A , B 两点处测量目标点 C ,若/ CAB = 75°,/ CBA = 60°, C 两点之间的距离为（） B ^/2 km 则A , A 应 C.V 3 km km D.2 km 解析 AC 如图，在△ ABC 中，由已知可得/ AC 吐45 °,扃 2 sin ；,/AC = 2迈 x ￥=V 6(km). 答案 A 2.—艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航 行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向 是南偏东70 ，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ,那么B ，C 两点间 的距离是（ ） A.10迈海里 B.1^/3海里 D.20迄海里 解析女口图所示，易知, 在 △ ABC 中，AB = 20,/CAB = 30° ,ACB = 45°, BC AB 根据正弦定理得討.乔 解得BC = 10寸2（海里）. 答案 A 3.（2017合肥调研）如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距 离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与B 的距离为（ ） B A /3 a km A. a km C.>/2a D.2a km

解析 由题图可知，/ ACB = 120°, 由余弦定理，得 AB 2 =AC 2 + BC 2 - 2AC BC cosZACB =a 2 + a 2 -2a a ?—舟卜3a 2 ,解得 AB = ^/3a(km). 答案 B 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d = 0.6 km , 一艘客 船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头 B.已知AB = 1 km ,水的流速为2 km/h ,若客船从码头A 驶到码头B 所 用的最短时间为6 min ,则 客船在静水中的速度为（ ） B. 6V 2 km/h D.10 km/h 解析 设AB 与河岸线所成的角为0,客船在静水中的速度为V km/h ，由题意 知，sin 0=016 = 5，从而cos 0=4 ，所以由余弦定理得 1 4 厂 2X —x 2X 1X 5,解得 V = 6讥.选 B. 答案 B 5. 如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平 面内的两个测点C 与D ，测得/ BCD = 15°,/ BDC = 30°, CD = 30,并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°,则塔高AB 等于（） A .^/6 C.5迈 解析 在^BCD 中，/CBD = 180°-5°-0°W35°. 口 C on 由正弦定理得s^=砲’所以BC =吨 在 Rt ^ABC 中，AB = BCtan ZACB = 15^2x 73= 15^6. 答案 D 、填空题 A.8 km/h C.2V34 km/h B.15V 3 D.15^/6 x 2,+ 12 n

青岛版-数学-八年级上册-三角形易错点突破和重难点析解

三角形易错点突破和重难点析解 易错点突破 1．运用三角形三边关系性质致误 例1 若等腰三角形的一条边长为6厘米，另一边长为2厘米，则它的周长为（ ）. A ．10厘米 B ．14厘米 C ．10厘米或14厘米 D ．无法确定 错解：由于本题未指明所给边长是等腰三角形的腰还是底，所以需讨论：①当腰长为6厘米时，底边长为2厘米，则周长为()66214cm ++=；②当腰长为2厘米时，底边长为6厘米，则周长为()62210cm ++=. 故选C. 分析：本题错在没有注意到三角形成立的条件：“三角形的任意两边之和大于第三边”，当腰长为2厘米，底边长为6厘米时，不能构成三角形. 正解：本题只能把6厘米作为腰，2厘米作为底，故三角形的周长为14厘米，故选B. 2．应用判定方法致误 例2 如图3，已知AB=DC ，OA=OD ，∠A=∠D. 问∠1=∠2吗？试说明理由. 错解：∠1=∠2. 理由如下： 在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，OA=OD ，∠AOB=∠DOC. 所以△AOB ≌△DOC ，所以∠1=∠2. 分析：不存在“角角角（AAA ）”和“边边角（SSA ）”的判定方法，即对于一般三角形，“有三个角对应相等的两个三角形不一定全等”和“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.” 正解：在△AOB 和△DOC 中，因为AB=DC ，∠A=∠D ，OA=OD. 所以△AOB ≌△DOC （SAS ），所以∠1=∠2. 3．不理解“对应”致误 例3 已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，那么这两个三角形是否全等？ 错解：这两个三角形全等. 图3 图4

三角函数与解三角形 专题复习

专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式角错误!未找到引用源。的弧度数公式 r 角度与弧度的换算 错误!未找到引用源。 ①rad 180 1 ② 错误!未找到引用源。 弧长公式 扇形面积公式 2 第一定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则错误!未找到引用源。 第二定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则错误!未找到引用源。. 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角 的终边在直线043 y x 上，则 tan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角 的终边过点)30sin 6,8( m P ，且5 4 cos ，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角 的大小为 ， 所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2 cos sin tan

例1.已知 是三角形的角，且.5 cos sin (1)求 tan 的值； (2)把 2 2sin cos 1 用 tan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知 是三角函数的角，且3 1 tan ，求 cos sin 的值. 2、已知.3 4tan （1）求 cos 2sin 5cos 4sin 的值；（2）求 cos sin 2sin 2 的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

解三角形(复习课)教学设计

解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规律，本节主要以教师为主导，学生为主体，交流讨论，互助学习为主线的指导思想，采用“6+1”高效课堂教学模式，在教师的启发引导下，学生通过独立自主思考探究、同学之间相互交流讨论合作学习为前提，以“熟练运用正余弦定理解三角形”为基本

三角函数与解三角形知识点总结

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异 于原点），它与原点的距离是 0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =， () tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： 22221sin cos 1,1tan cos αααα+=+= （2）商数关系： sin tan cos α αα= （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成α π±2k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?????=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）???????-=+=+ααπααπsin )2cos(cos )2sin(

第七章三角形试卷A1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 第七章三角形 A1卷?基础知识点点通 班级 姓名 得分 、选择题（3分X 8=24分） 一个三角形的三个内角中 A 、至少有一个钝角 C 、至多有一个锐角 B 、至少有一个直角 D 、 至少有两个锐角 下列长度的三条线段能组成三角形的是 A 、 3, 4, 8 B 、 5, 6, 11 关于三角形的边的叙述正确的是 三边互不相等 B 、 至少有两边相等 任意两边之和一定大于第三边 A 、 C 、 图中有三角形的个数为 A 、 4个 B 、 6个 A 第（4 ） 题 C 、 1, 2, 3 ) 6, 10 ) 最多有两边相等 （） D 、 10 个 如图在△ ABC 中，/ ACB=90 0 , CD 是边AB 上的高。那么图中与/ A 相等的角 是 A 、/ B B 、 / ACD F 列图形中具有稳定性有 (3) ( 5个 4个 D 、 2个 B 、 3个 一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是 A 、三角形 B 、四边形 一个多边形内角和是 1080°, A 、 6 B 、 7 一、填空题（4分X 9=36分） 9. _______________ 一个三角形有 ________________ 条边， 个内角， 个顶点， 10. 如图，图中有 —个三角形，把它们用符号分别表示为 — 11?长为11, 8, 6, 4的四根木条，选其中三根组成三角形有 分别是— 12.如图，在△ ABC 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空: 1 1 C 、 7. C 、五边形 D 、 则这个多边形的边数为 六边形 个外角 种选法，它们 ⑴BE= ⑵/ BAD=

高考真题_三角函数与解三角形真题(加答案)

全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析 三角函数 一、三角恒等变换（3题） 1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A ） （B （C ）12- （D ）12 【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=1 2 ，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式. 2.（2016年3卷）（5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34 sin ,cos 55αα=-=-，所以 2161264 cos 2sin 24252525 αα+=+?=，故选A ． 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式． 3.（2016年2卷9）若π3 cos 45α??-= ???，则sin 2α= （A ） 7 25 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - 【解析】∵3cos 45πα??-= ???，2ππ 7sin 2cos 22cos 12425ααα????=-=--= ? ????? ，故选D ． 二、三角函数性质（5题） 4.（2017年3卷6）设函数π ()cos()3 f x x =+，则下列结论错误的是（） A ．()f x 的一个周期为2π- B ．()y f x =的图像关于直线8π 3 x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x = D ．()f x 在π (,π)2 单调递减 【解析】函数()πcos 3f x x ? ?=+ ?? ?的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2?? ??? 上先递减后递增，D 选项错误，故选D.

2019高考数学文一轮复习第4章三角函数与解三角形第7讲含解析

2AC ·AD 2×30 5×20 10 6 000 2 2 一、选择题 1.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40°，灯塔 B 在观察站南偏东 60°，则灯塔 A 在灯塔 B 的( ) A ．北偏东 10° B ．北偏西 10° C ．南偏东 80° D ．南偏西 80° 解析：选 D.由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°， 所以∠DBA ＝10°，因此灯塔 A 在灯塔 B 南偏西 80°. 2．已知 A 、B 两地间的距离为 10 km ，B 、C 两地间的距离为 20 km ，现测得∠ABC ＝ 120°，则 A ，C 两地间的距离为( ) A ．10 km C ．10 5 km 解析：选 D.如图所示，由余弦定理可得： B ．10 3 km D ．10 7 km AC 2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以 AC ＝10 7(km)． 3. 如图，两座相距 60 m 的建筑物 AB ，CD 的高度分别为 20 m 、50 m ，BD 为水平面， 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于( ) A ．30° C ．60° B ．45° D ．75° 解析：选 B.依题意可得 AD ＝20 10 m ，AC ＝30 5 m ，又 CD ＝50 m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得 AC 2＋AD 2－CD 2 cos ∠CAD ＝ （30 5）2＋（20 10）2－502 6 000 2 ＝ ＝ ＝ ， 又 0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头 A 出发匀速驶往河 对岸的码头 B .已知 AB ＝1 km ，水的流速为 2 km/h ，若客船从码头 A 驶到码头 B 所用的最短 时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为( )

三角函数及解三角形知识点总结

三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

1. 任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意 一点（异于原点），它与原点的距离是0r =>，那么 sin ,cos y x r r αα= =，()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号： （一全二正弦，三切四余弦） ＋ ＋ － ＋ － ＋ － － － ＋ ＋ － sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系：22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= （2）商数关系：sin tan cos α αα = （用于切化弦） ※平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式（把角写成 απ ±2 k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限） Ⅰ）??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ）?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ） ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ）?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ）???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ）??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin(