第二章 简单线性回归模型(西财教材)

第二章简单线性回归模型

第一节回归分析与回归方程

一、回归与相关

1、变量之间的关系

①函数关系：)

y=，其中y为应变量，x为自变量。

f

(x

②相关关系或统计关系（双向因果关系）：当一个或若干个变量x变化时，y发生相应的变化（可能是不确定的），反之亦然。

③单向因果关系：)

x

y=，其中u为随机变量。单一线性函数要求

f

(u

,

变量具有单向因果关系。

2、函数关系与相关关系的互相转化

3、相关关系的类型

①简单相关；

②复相关或多重相关；

③线性相关；

④非线性相关；

⑤正相关；

⑥负相关；

⑦不相关。

上述相关类型可直观地用（EViews软件）画图形来判断。例如，美国个人可支配收入与个人消费支出之间的相关关系可由下列图形看出，它们为正相关关系。

1500

2000

2500

3000

3500

1500

20002500300035004000

PDI

P C E

其中，PDI 为（美）个人可支配收入，PCE 为个人消费支出。 PROFIT 对STOCK 的折线图为

050

100

150

200

250

50

100

150

STOCK

P R O F I T

其中，STOCK 为（美）公司股票利息，PROFIT 为公司税后利润。

以下是利润与股息分别对时间的序列图（或称趋势图）

050

100

150

200

250

70

72

74

76

78

80

82

84

86

88

90

2040

60

80

100

12014070

72747678808284868890

GDP 对M2的折线图为

020000

40000

6000080000

100000

50000

100000

150000

M2

G D P

其中M2为（中国）广义货币供应量，GDP 为国内生产总值。 LM2对LPP 的曲线图为

10.5

11.0

11.512.0

4.9

5.0 5.1 5.2

5.3

LPP

L M 2

其中，LPP 为（中国）季度物价指数，LM2为季度广义货币供应量，变量前L 表示对变量取了对数。

4、相关关系的度量（相关程度） ① 总体相关系数

ρ=

② 样本相关系数： ()()XY

X X Y Y r --+表达式）

③ 计算相关系数应注意的问题： ●XY YX r r =。

●这里只是说明线性相关。 ●XY r 是ρ的样本估计值。

●相关系数仅反映变量之间的线性相关程度，而不反映它们之间的（单向）因果关系，原因是相关关系反映的是变量之间的双向因果关系。 ④运用EViews 进行相关程度的度量 ●用图形直观地进行判断。 ● 用计算简单相关系数进行判断。 下列表格为PDI 与PCE 之间地简单相关系数，

5、回归的含义

① “回归”的古典解释。●Francis Galton （1886年）。●K Pearson （1903年）。

② 什么是回归分析。依据变量间观测的数据，建立二者变动的具体统计规律，即它们之间的函数形式。

③ 回归分析与相关分析的联系和区别

●联系是回归分析是建立在相关分析基础之上的；而相关分析的相关系数可以通过回归分析得到。

●区别是相关分析中的两个变量有可能都是随机的，而回归分析中两个变量，解释变量是非随机的，应变量是随机的；相关分析是通过计算相关系数来度量变量之间的相关程度，而回归分析是通过解释变量的固定值来计算应变量的平均值；相关分析是对称的，而回归分析是非对称的。

PDI PCE PDI 1 0.997020834

PCE

0.997020834

1

二、总体回归函数

1、一个实例

资料见教材第17页——第18页的表2.1和表2.2。

E(Y︱X i)

12i n

E(Y︱X i)对X的线性回归图

y

X1 X2 ……X n x

Y对X的散点图

2、总体回归函数的建立

当解释变量X 取定各种值时，Y 的条件均值会随着发生相应变动，即 (|)()i i E Y X f X = 如果这种变动的轨迹是一条直线，即 12()i i f X X ββ=+ 则

12(|)i i E Y X X ββ=+ 三、 随机扰动项 1、随机误差项的含义

设个别值Y i 与Y 的条件平均值(|)i E Y X 的差异为i u ，即

(|)i i i u Y E Y X =-

或

(|)i i i Y E Y X u =+ 从而

12i i i Y X u ββ=++

从上述Y i 的表示可以看出，它由两部分组成，一部分为确定性部分12i X ββ+，另一部分为非确定部分i u （即随机误差部分），当随机部分i u 为零时，Y 值就等于它的系统部分。如果确定性部分是影响Y 的主要部分，则随机部分就应相对小，从而用确定性部分（线性）表示Y 才可能成立。

2、产生随机扰动项的原因 ●变量的设定误差。

●模型的设定误差（单一方程模型和联立方程模型）。 ●数据的误差。 ●偶然因素引起的误差。 四、 样本回归函数

1、从总体中随机地抽取两组样本（见教材第21页）。事实上，在重复抽样

的情况下，这样构成的样本可以有无数组。

2、在得到的这两条样本直线中（事实上，这样的样本直线可以有无数条），哪一条直线才是代表总体的直线，或者说与总体直线近似最好的一条，这正是计量经济学所要解决的问题。

3、样本回归函数的表达。设样本回归函数为

12???i i

Y X ββ=+

其中，1

?β是样本回归函数的截距项，2?β是样本回归函数的斜率系数。 4、残差。由于总体的Y 的均值(|)i E Y X 未知，通常关心估计值?Y

与实际值Y 之间的差异，记?i i i e Y Y =-，则称i e 为残差。残差又称是对总体中随机误差i u 的估计。有时也可将样本回归函数写成如下形式

12??i i

Y X e ββ=++ 5、总体回归函数与样本回归函数的对应关系。 总体回归函数为

12i i i Y X u ββ=++

样本回归函数为

12??i i

Y X e ββ=++ 其中，1?β是1β的估计，2?β是2β的估计，?Y 是(|)i E Y X 的估计，e 是i u 的估计。这样构成了利用样本回归函数对总体回归函数的重要推断关系。

第二节 简单线性回归模型的最小二乘估计

一、 简单线性回归模型的基本假定（经典假定、古典假定） 1、零均值假定。 2、同方差假定。 3、无自相关假定。

4、随机扰动项与解释变量不相关假定。

5、正态性假定。

假定1、2、3是针对随机误差项i u 而提出的，假定4是针对随机误差项与解

释变量之间的关系而提出的，假定5与分布有关。

关于y 也可以得到相应的假定结果（见教材第24页）。 为什么要提出这些假定？

1、为了保证得到的参数估计具有最优的统计特性。关于参数估计的评价标准和最优特性见教材第35页。

2、为了对真实参数1β和2β作出统计推断，包括建立参数估计1?β和2

?β的统计分布。

对于Y 也可以得到相应的假定条件（见教材第24页）。 二、普通最小二乘法（OLS ） 1、残差平方和最小原则的建立，即

22212???min min min ()min ()i i i i i Q e Y Y Y X ββ==-=--∑∑∑ 2、根据极值原理，求残差平方和的关于1?β和2

?β的偏导数。 121122

??2()0???2()0?i i

i i i Q Y X Q Y X X ββββββ?=---=??=---=?∑∑

3、写出正规方程组。

1

2

21

2

????i

i

i i

i

i

Y n X X Y X X

ββββ=+=+∑∑∑∑∑

4、由正规方程组解出未知参数的估计值，即教材第24页公式（2.2.12）和（2.2.13）。

5、估计式的离差形式。

6、一个例子（第25页）。

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/02/04 Time: 01:59 Sample: 1 10

Included observations: 10

C 37.22424 5.700871 6.529571 0.0002 X

0.541414

0.026741

20.24675

0.0000 R-squared

0.980858 Mean dependent var 142.8000 Adjusted R-squared 0.978465 S.D. dependent var 49.65391 S.E. of regression 7.286559 Akaike info criterion 6.986796 Sum squared resid 424.7515 Schwarz criterion 7.047313 Log likelihood -32.93398 F-statistic 409.9309 Durbin-Watson stat

0.628992 Prob(F-statistic)

0.000000

需要注意的是，由于抽样过程本身具有随机性，故样本的随机性是由抽样的随机性带来的。尽管在基本假定下，从理论上讲能得到最优的参数估计，但在实际获取样本的过程中，经过多次重复抽样，每次抽样得到的样本多不相同，因此，基于这些不同的样本分别推断总体，很可能得到的结论会有不同。这种不同有时候恰恰是研究问题的切入点。

三、参数的极大似然估计（ML ）

OLS 方法是应用最小二乘原则得到的参数估计，ML 是由随机样本建立似然函数来求出参数的估计。按照ML 法的原理，对于连续的随机变量，首先建立关于样本观测值的联合密度函数，即变量的似然函数。然后在已知样本观测值的条件下，求使得似然函数取极大值的总体分布参数所代表的总体具有极大概率来取得 这些样本观测值，最后用这些样本来表达出总体的未知参数。

设一元线性回归模型为

12221,2,

,()0()~(0,)

i i i

i i i Y X u i n

E u Var u u N ββσσ=++===

已知样本观测值为（Y i ，X i ）i=1，2，…，n 。则在u i 服从正态假定下，Y i 服从

正态分布为212??(,)i N X ββσ+，其中1?β和2?β为待求的参数估计量。由此建立变量的似然函数，即y 的所有样本观测值的联合概率函数为

2

122

1??()22

1212

2

21??(,,)(,,,)(2)i i i

Y X n n

L P Y Y Y e

β

βσββσπσ

-

--∑==

对上式取对数得

2

1

2

2

1??ln )()

2i

i

i

L n Y X σββσ

=--

--∑

对lnL 求极大等价于对212??()i i

i

Y X ββ--∑求极小值，即

21212

1

2

2

??()0???()

?i i

i i

i

i

Y X Y X ββββββ?--=??--=?∑∑

解出上式，即与教材第31页的式2.2.12和式2.2.13完全一样。需要说明的是OLS 估计量于ML 估计量只有在Y （残差项u ）服从正态分布时才是等价的。

四、参数估计的另一种方法(矩估计)

我们也可用代数的办法建立正规方程，由此得到总体参数的估计量。设总体回归函数为

12i i i Y X u ββ=++ 对上式两段分别求和

1

2

i

i

i

Y X u ββ=++∑∑∑∑

由假定1知，0=∑i u ，所以该式变为

1

2

i

i

Y n X

ββ=+∑∑

即为第31页的式2.2.10。如果对总体回归函数两端同时乘以X i ，得 212i i i i i i X Y X X X u ββ=++ 再对上式两端同时求和，得

21

2i i

i

i i i X Y X

X X u ββ=++∑∑∑∑

由假定4知，0i i X u =∑（为什么），所以可得第31页得式2.2.11，即

2

12i i i i X Y X X ββ=+∑∑∑

这样，便得到了一个正规方程组，由此可解出参数的估计量1?β和2

?β。

通过该途径得到而无需对残差平方和求一阶微分，这是一个重要的解决思路，说明了对单一方程运用若干估计方法之间的关联性，对我们进一步理解通过正规方程组求参数估计量具有重要帮助。

五、OLS 回归线的性质

1、12??ββ、分别是样本(,)i i X Y 的线性组合，由于Y 的随机性使得12

??ββ、是随机的，并且是12ββ、的点估计。

2、回归线通过样本均值点(,)X Y 。

3、?Y Y =

4、∑=0i e

5、?(,)0i i Cov Y e =

6、(,)0i i Cov X e =

六、最小二乘估计的统计性质

1、线性性，即参数估计12??ββ、是关于被解释变量y 的线性函数

2、无偏性，即1122

??()()E E ββββ==，。 3、有效性，即由最小二乘法得到的参数估计，如2

?β的方差为 2

2

2

?()()

i

Var X

X σβ=-∑

任设2β的另一线性无偏估计量为*2?β，则一定有 *22

??()()Var Var ββ≥ 上述统计性质的证明可见教材第60页——第62页的该章附录。

4、一致性。有兴趣可参阅唐国兴著《计量经济学——理论、方法和模型》，复旦大学出版社，1988年，第47页——第49页。

第三节 回归系数的区间估计和假设检验

一、几个重要分布的复习

1、设2~(,)i X N μσ，且i j X X ，相互独立（i j ≠）则

2

21

1

1

~(,)n n

n

i i i i

i i i U X N αμασ

α

====∑∑∑ 正态分布具有线性性

更一般地，设2~(,)i i i X N μσ，i j X X ，相互独立（i j ≠）则 22~(,)i i i i i i U X N ααμασ=∑∑∑ 特殊地，设2~(,)i X N μσ，则

2

11~(,)

n i i X X N n n σμ==∑ 2、设12,,

,n X X X 相互独立，且~(0,1)i X N ，则

222()1

~n

n

i n i X χχ==∑（自由度为n 的卡方分布）

推论，设设12,,,n X X X 相互独立，且2

~i

i n X χ，则

2()1

~n

i

n i X

χ=∑

其中，i n n =∑。

3、设~(0,1)X N ，2()~n Y χ，且,X Y 相互独立，则

()~n T t =

（自由度为n 的t 分布） 推论，设2~(,)X N μσ，2()2

~n Y

χσ，且,X Y 相互独立，则

()~n T t =

4、设22()()~,~m n X Y χχ，且,X Y 相互独立，则

(,)~m n X

Xn m F F Y Ym n

=

=（第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布） 二、参数区间估计与假设检验的意义

区间估计与假设检验均为统计推断，它们是同一问题的两个不同方面。在计量经济分析中，对于总体参数真值的估计，需要推断参数的变动范围，检验变量

之间关系存在的真伪或者是对经济理论成立与否的实证判断。这些问题的解决就是参数的区间估计与参数的假设检验，要进行这些工作首先需要建立估计量的统计分布。

三、回归系数估计量的分布

由概率论与数理统计知，研究参数真值的区间估计和假设检验问题，首先要知道来自样本的估计量的分布。在这里，我们推断研究的是总体回归函数中的1

β和2β，因此，首先对于它们的估计1?β和2?β的分布应该明确。根据基本假定，以及1?β、2?β分别是随机变量y 的函数和正态分布的性质，很容易得到1?β和2?β的分布。

1、2

σ已知的情况下

1

?β∽),(2221∑∑i

i x

n X

N σβ

2?β∽),(2

22∑i

x

N σβ 经变量的标准化后，它们均服从标准正态分布N （0，1）。

2、2σ未知的情况下。如果是大样本，则它们渐进服从正态分布（方差用2

σ的估计2?σ表示）。如果是小样本，则计算2σ的估计2?σ（见本章附录），可以证

明22?)2(σ

σ-n 服从自由度为（n-2）的2χ分布，根据t 分布的定义，1?β和2

?β服从自由度为n-2的t 分布。即

22

2???()t se

βββ-=∽()n t

11

1???()t se βββ-=∽()n t

四、回归系数的区间估计 1、区间估计的意义。

判断参数估计值的可靠性和稳定性。

设δ与α为两个正数，其中α满足01α<<，则

??()1P β

δββδα-≤≤+=- 称??(,)βδβδ-+为β的置信区间，1α-为置信概率，α为显著性水平，??,β

δβδ-+分别为置信下限和置信上限，?β

为β的点估计。 2、当总体方差2σ已知时，1β和2β的区间估计（教材第31页）。 3、当总体方差2σ未知时，如果是大样本情况，这时与情况2相同。 4、当总体方差2σ未知时，如果是小样本情况，这时是t 分布意义下的1β和2β的区间估计（教材第32页）。

能够利用EViews 软件在回归分析报告中，根据样本信息计算出在给定显著性水平下，参数的区间估计。

5、2σ的区间估计。 五、回归系数的假设检验

1、假设检验的基本思想（教材第34页）

在原假设（针对总体而言）成立的条件下，从总体中抽取一个样本，用它来检验此项假设是否成立。在这一过程中，利用适当的统计量，依据给定的显著性水平，构造一个小概率事件，如果该事件在一次实验中竟然发生了，则认为上述原假设不真，应拒绝原假设。

2、'

≠'=221220:;:ββββH H 假设的提出

3、针对总体回归函数中参数假设检验的解释

①在12Y X u ββ=++中，系数2β反映了如果变量X 是决定变量Y 的主要影响因素，则2β就不应当为零。即

0:H ;0:H 2120≠β=β（双侧检验、双尾检验）

②构造t 统计量，即 )?(e ?s ?)?(e

?s ?t 2222ββ=

ββ-β=～t （n-2） （在0H 成立的情况下）

③给定α，查t 分布表，得临界值2

t α，若|t|＞2

t α，则拒绝零假设，表明X 对

Y 有显著性影响。在讲解过程中应说明经济意义上的因果关系十分重要。 ④能根据EViews 软件的回归分析报告进行参数的显著性检验。如

Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 08/02/04 Time: 01:59 Sample: 1 10

Included observations: 10

C 37.22424 5.700871 6.529571 0.0002 X

0.541414

0.026741

20.24675

0.0000 R-squared

0.980858 Mean dependent var 142.8000 Adjusted R-squared 0.978465 S.D. dependent var 49.65391 S.E. of regression 7.286559 Akaike info criterion 6.986796 Sum squared resid 424.7515 Schwarz criterion 7.047313 Log likelihood -32.93398 F-statistic 409.9309 Durbin-Watson stat

0.628992 Prob(F-statistic)

0.000000

4、参数2σ的假设检验

5、补充p 值检验

在假设检验中，有时会存在如下情况（见图形），在假设检验中，有时会存在如下情况（见图形）

由图形可知，对于不同的显著性水平，有可能出现不同的判断结果，这就需要在接受或拒绝原假设的决策问题上有依据。P 值检验就是解决这一类问题。其含义为：在一个假设检验问题中，拒绝H 0的最小显著性水平称为p 值。具体做法如下：对任意指定的α，在与p 值比较后可得到如下结论：

（1）如果α≥p 值，则在α下拒绝H 0。 （2）如果α＜p 值，则在α下接受H 0。

由上述表格中的数据知，截距项估计的p 值为0.0002，斜率系数估计的p 值为0，如果给定α=0.05，显然均有0.05大于两个参数估计的p 值，则拒绝H 0，即21,ββ是显著不为零，这与t 统计值检验是一致的。

第四节 拟合优度的度量

一、拟和优度的意义

1、为什么要建立拟和优度指标

建立样本回归函数是对样本散点的一种拟合，因此，各个散点对回归函数或多或少存在偏差（有正有负），如何从整体上反映这种偏差，即提出拟合优度指标。

2、拟和优度的含义，用什么指标反映拟和优度。 二、总变差的分解

1、总变差分解的过程（教材第36页）

（其中??()()0Y Y

Y Y --=∑） 记2()i TSS Y Y =-∑，2?()ESS Y Y =-∑，2?()RSS Y Y =-∑，即，TSS=RSS+ESS 。

2、对TSS=RSS+ESS 的说明。2()i TSS Y Y =-∑为总离差平方和，反映了

Y 的样本观测值的平均差异程度；；2?()ESS Y Y =-∑为Y 的估计值与均值的离差平方和，它反映了解释变量的变化所引起的对Y 的波动大小，即解释变量在

模型中存在的重要程度；2?()RSS Y Y

=-∑为残差平方和，反映的是Y 依据回归直线没有得到解释的变差。因此，ESS 越大说明回归直线拟和效果越好，而RSS 越小说明回归直线拟和误差越小。 三、拟和优度的度量——可决系数2R 1、可决系数的产生过程 对总变差的分解

即TSS=RSS+ESS 。

2、对2R 的解释 表达式

其中，222??(),(),()TSS Y Y RSS Y Y

ESS Y Y =-=-=-∑∑∑。 3、2R 的变动范围。0≤2R ≤1。其中，2R =0和2R =1为两种极端情况，通常为201R <<。

4、可决系数的特性

可决系数是非负的统计量；它是样本观测值的函数，是随抽样而变动的随机变量。

四、可决系数与相关系数的关系 1、r =2R ±。 2、它们之间的区别 ① 意义上的区别；

② 因果关系有否和是否对称的区别； ③取值范围的区别。 五、问题

虽然R 2给出了评价回归模型拟合好坏的度量，但不能根本回答解释变量X

对应变量Y 是否真正相关，X 对Y 的影响程度有多大，即当X 和Y 的样本相关系数不为零时，是否表示总体的X 与Y 就真正相关？

第五节 回归预测

一、回归分析结果的书写表达式

2?37.22420.5414(6.5296)(20.2468)

0.9809,..7.2866,409.9309,0.6290

Y

X R S E F DW =+====

二、应变量的预测 1、预测的一般意义

所谓预测，是指对经济变量未来不确定变化的一种推测。它既包括对未来值的推测，也包括对样本期内的实际值的拟合。

在上述图形中，T 1到T 2为利用样本的估计期，T 2到T 3为事后预测期，T 3以后为事前预测期。

例如，研究青年完婚对数（百对）x 与家具公司销售额之y 间的关系，下表给出家具公司销售额之y 对研究青年完婚对数（百对）x 的样本回归。数据见下表，

模型的书写格式为

2?9.38690.8155(9.1870)(5.5006)

0.8345,..0.9608,30.2563,8

Y

X R S E F n =+====

下面进行外推预测及评价，

2、预测的类型 ①点预测； ②区间预测；

③无条件预测：在回归模型中，所有前定变量的未来值均已知；

④有条件预测：前定变量的未来值不知是对Y 变量的未来值进行的推测； ⑤事前预测：预测的对象所处的时期是在样本期以外的未来时期； ⑥事后预测：预测对象处在样本数据发生之后的时期，有的时候事后预测时期就包括在样本期间以内。

3、Y 的平均值预测

① Y 的平均值E(Y F ∣X F )的点预测为12???F F

Y X ββ=+。 ② Y 的平均值E(Y F ∣X F )区间预测，在α2未知的情况下，Y 的平均值E(Y F ∣X F )的预测区间为

22??F F Y t Y t αα?-+ ?

式中，σ

?为σ的估计，即2

2

-=∑n e

σ。

4、Y 的个别值预测

① Y 个别值的点预测。由于?F Y 是E(Y F ∣Y F )的无偏估计，并且在大样本下，有E(?F Y -Y)=0,所以Y 的平均值点预测与其个别值的点预测是一致的，即有相同的预测公式：12???F F

Y X ββ=+。 ② Y 个别值的区间预测。

22????F F Y t Y t αασ?-+ ?

注意平均值与个别值的预测区间之区别，教材第41页——第42页，见图2.9。由图形知，Y 个别值的区间预测的精度要高于Y 的平均值区间预测。 5、预测效果的评价。通常由如下几种方法， ① 预测的均方误差。

RMS =

若RMS 较大，则说明预测误差较大，但RMS 是一个绝对量，它的大小与变量的单位有关，为了避免这一问题带来的不可比性，可采用预测的相对均方误差。 ② 预测的相对均方误差。

RMSP = 一般短期预测精度，要求预测误差的相对均方误差RMSP ＜0.05，对中长期要求

最新第二章(简单线性回归模型)2-3答案

2.3拟合优度的度量 一、判断题 1.当 ()∑-2i y y 确定时，()∑-2 i y y ?越小，表明模型的拟合优度越好。（F ） 2.可以证明，可决系数2R 高意味着每个回归系数都是可信任的。（F ） 3.可决系数2R 的大小不受到回归模型中所包含的解释变量个数的影响。（F ） 4.任何两个计量经济模型的2R 都是可以比较的。（F ） 5.拟合优度2R 的值越大，说明样本回归模型对数据的拟合程度越高。（ T ） 6.结构分析是2R 高就足够了，作预测分析时仅要求可决系数高还不够。（ F ） 7.通过2R 的高低可以进行显著性判断。（F ） 8.2R 是非随机变量。（F ） 二、单项选择题 1．已知某一直线回归方程的可决系数为0.64，则解释变量与被解释变量间的线性相关系数为（ B ）。 A ．±0.64 B ．±0.8 C ．±0.4 D ．±0.32 2．可决系数2R 的取值范围是（ C ）。 A ．2R ≤-1 B ．2R ≥1 C ．0≤2R ≤1 D ．－1≤2R ≤1 3.下列说法中正确的是：（ D ） A 如果模型的2R 很高，我们可以认为此模型的质量较好 B 如果模型的2R 较低，我们可以认为此模型的质量较差 C 如果某一参数不能通过显著性检验，我们应该剔除该解释变量 D 如果某一参数不能通过显著性检验，我们不应该随便剔除该解释变量 三、多项选择题 1．反映回归直线拟合优度的指标有（ ACDE ）。 A ．相关系数 B ．回归系数 C ．样本可决系数 D ．回归方程的标准差 E ．剩余变差（或残差平方和） 2．对于样本回归直线i 01i ???Y X ββ+＝，回归变差可以表示为（ ABCDE ）。 A ．2 2i i i i ?Y Y -Y Y ∑ ∑ 　（－）　（－） B ．2 2 1 i i ?X X β∑ （－） C ．2 2 i i R Y Y ∑ （－） D ．2 i i ?Y Y ∑（－） E ．1 i i i i ?X X Y Y β∑ （－（）－） 3．对于样本回归直线i 01i ???Y X ββ+＝，?σ为估计标准差，下列可决系数的算式中，正确的有（ ABCDE ）。 A ．2i i 2 i i ?Y Y Y Y ∑∑（－）（－） B ．2i i 2 i i ?Y Y 1Y Y ∑∑ （－）－（－）

简单线性回归模型

第二章 简单线性回归模型 一、单项选择题 1．影响预测误差的因素有（ ） A ．置信度 B ．样本容量 C ．新解释变量X 0偏离解释变量均值的程度 D ．如果给定值X 0等于X 的均值时，置信区间越长越好。 2．OLS E 的统计性质（ ） A ．线性无偏性 B ．独具最小方差性 C ．线性有偏 D ．β∧ 是β的一致估计 3．OLSE 的基本假定（ ） A ．解释变量非随机 B ．零均值 C ．同方差 D ．不自相关 4.F 检验与拟合优度指标之间的关系( ) A ． 21111n p p R --?? ?- ?-?? B ． 21111n p p R --?? ?- ?-?? C ． 2111n p p R -???- ?-?? D ． 2111n p p R -???- ?-?? 5．相关分析和回归分析的共同点( ) A ．都可表示程度和方向 B ．必须确定解释(自)变量和被解释(因)变量 C ．不用确定解释(自)变量和被解释(因)变量 D ．都研究变量间的统计关系 6．OLS E 的基本假设有（ ） A ．解释变量是随机的 B ．随机误差项的零均值假设

C ．随机误差项同方差假设 D ．随机误差项线性相关假设 7．与 2 ()() 1 ()1i i i n x x y y i n x x i - --==∑∑ 等价的式子是（ ） A ．2 2 1()1i i i n x y nx y i n x n x i -=-=∑∑ B ．2()1()1i i i n x x y i n x x i --==∑∑ C ．2()1()1i i i n x x x i n x x i -=-=∑∑ D ．xy xx L L 8．下列等式正确的是（ ） A ．SSR=SST+SSE B ．SST=SSR+SSE C ．SSE=SSR+SST D ．SST=SST ×SSE 9．无偏估计量i β的方差是（ ） A ． 2 1 () n j j X X σ=-∑ B ． 2 2 1 ()n j j X X σ=-∑ C ． 2 () n j j X X σ=-∑

excel一元及多元线性回归实例

野外实习资料的数理统计分析 一元线性回归分析 一元回归处理的是两个变量之间的关系，即两个变量X和Y之间如果存在一定的关系，则通过观测所得数据，找出两者之间的关系式。如果两个变量的关系大致是线性的，那就是一元线性回归问题。 对两个现象X和Y进行观察或实验，得到两组数值：X1，X2,…，Xn和Y1，Y2，…，Yn,假如要找出一个函数Y=f(X),使它在 X=X1,X2, …,Xn时的数值f(X1),f(X2), …,f(Xn)与观察值Y1，Y2，…，Yn趋于接近。 在一个平面直角坐标XOY中找出（X1，Y1），（X2，Y2），…，（Xn，Yn）各点，将其各点分布状况进行察看，即可以清楚地看出其各点分布状况接近一条直线。对于这种线性关系，可以用数学公式表示： Y = a + bX 这条直线所表示的关系，叫做变量Y对X的回归直线，也叫Y对X 的回归方程。其中a为常数，b为Y对于X的回归系数。 对于任何具有线性关系的两组变量Y与X，只要求解出a与b的值，即可以写出回归方程。计算a与b值的公式为：

式中：为变量X的均值，Xi为第i个自变量的样本值，为因变量的均值，Yi为第i个因变量Y的样本值。n为样本数。 当前一般计算机的Microsoft Excel中都有现成的回归程序，只要将所获得的数据录入就可自动得到回归方程。 得到的回归方程是否有意义，其相关的程度有多大，可以根据相关系数的大小来决定。通常用r来表示两个变量X和Y之间的直线相关程度，r为X和Y的相关系数。r值的绝对值越大，两个变量之间的相关程度就越高。当r为正值时，叫做正相关，r为负值时叫做负相关。r 的计算公式如下： 式中各符号的意义同上。 在求得了回归方程与两个变量之间的相关系数后，可以利用F检验法、t检验法或r检验法来检验两个变量是否显著相关。具体的检验方法在后面介绍。

(完整版)第二章(简单线性回归模型)2-2答案

2.2 简单线性回归模型参数的估计 一、判断题 1.使用普通最小二乘法估计模型时，所选择的回归线使得所有观察值的残差和达到最小。（F) 2.随机扰动项和残差项是一回事。（F ） 3.在任何情况下OLS 估计量都是待估参数的最优线性无偏估计。（F ） 4.满足基本假设条件下，随机误差项i μ服从正态分布，但被解释变量Y 不一定服从正态分 布。 （ F ） 5.如果观测值i X 近似相等，也不会影响回归系数的估计量。 （ F ） 二、单项选择题 1．设样本回归模型为i 01i i ??Y =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i ?β的公式中，错误的是（ D ）。 A ． ()() () i i 1 2 i X X Y -Y ?X X β--∑∑＝ B ．() i i i i 12 2i i n X Y -X Y ? n X -X β∑∑∑∑∑＝ C ．i i 122i X Y -nXY ?X -nX β∑∑＝ D ．i i i i 12x n X Y -X Y ?βσ∑∑∑＝ 2．以Y 表示实际观测值，?Y 表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使（ D ）。 A ．i i ?Y Y 0∑（－）＝ B ．2 i i ?Y Y 0∑ （－）＝ C ．i i ?Y Y ∑（－）＝最小 D ．2 i i ?Y Y ∑ （－）＝最小 3．设Y 表示实际观测值，?Y 表示OLS 估计回归值，则下列哪项成立（ D ）。 A ．?Y Y ＝ B ．?Y Y ＝ C ．?Y Y ＝ D ．?Y Y ＝ 4．用OLS 估计经典线性模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，则样本回归直线通过点（ D ）。 A ．X Y （，） B ． ?X Y （，） C ．?X Y （，） D ．X Y （，） 5．以Y 表示实际观测值，?Y 表示OLS 估计回归值，则用OLS 得到的样本回归直线i 01i ???Y X ββ+＝满足（ A ）。 A ．i i ?Y Y 0∑（－）＝ B ．2 i i Y Y 0∑ （－）＝ C ． 2 i i ?Y Y 0∑ （－）＝ D ．2i i ?Y Y 0∑ （－）＝ 6．按经典假设，线性回归模型中的解释变量应是非随机变量，且（ A ）。 i u i e

多元线性回归模型的案例分析

1. 表1列出了某地区家庭人均鸡肉年消费量Y 与家庭月平均收入X ，鸡肉价格P 1，猪肉价格P 2与牛肉价格P 3的相关数据。 年份 Y/千 克 X/ 元 P 1/(元/千克) P 2/(元/千克) P 3/(元/千克) 年份 Y/千克 X/元 P 1/(元/ 千克) P 2/(元/ 千克) P 3/(元/千克) 1980 2.78 397 4.22 5.07 7.83 1992 4.18 911 3.97 7.91 11.40 1981 2.99 413 3.81 5.20 7.92 1993 4.04 931 5.21 9.54 12.41 1982 2.98 439 4.03 5.40 7.92 1994 4.07 1021 4.89 9.42 12.76 1983 3.08 459 3.95 5.53 7.92 1995 4.01 1165 5.83 12.35 14.29 1984 3.12 492 3.73 5.47 7.74 1996 4.27 1349 5.79 12.99 14.36 1985 3.33 528 3.81 6.37 8.02 1997 4.41 1449 5.67 11.76 13.92 1986 3.56 560 3.93 6.98 8.04 1998 4.67 1575 6.37 13.09 16.55 1987 3.64 624 3.78 6.59 8.39 1999 5.06 1759 6.16 12.98 20.33 1988 3.67 666 3.84 6.45 8.55 2000 5.01 1994 5.89 12.80 21.96 1989 3.84 717 4.01 7.00 9.37 2001 5.17 2258 6.64 14.10 22.16 1990 4.04 768 3.86 7.32 10.61 2002 5.29 2478 7.04 16.82 23.26 1991 4.03 843 3.98 6.78 10.48 （1） 求出该地区关于家庭鸡肉消费需求的如下模型： 01213243ln ln ln ln ln Y X P P P u βββββ=+++++ （2） 请分析，鸡肉的家庭消费需求是否受猪肉及牛肉价格的影响。 先做回归分析，过程如下： 输出结果如下：

eviews多元线性回归案例分析

中国税收增长的分析 一、研究的目的要求 改革开放以来，随着经济体制的改革深化和经济的快速增长，中国的财政收支状况发生了很大的变化，中央和地方的税收收入1978年为519.28亿元到2002年已增长到17636.45亿元25年间增长了33倍。为了研究中国税收收入增长的主要原因，分析中央和地方税收收入的增长规律，预测中国税收未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国税收收入增长的因素很多，但据分析主要的因素可能有：（1）从宏观经济看，经济整体增长是税收增长的基本源泉。（2）公共财政的需求，税收收入是财政的主体，社会经济的发展和社会保障的完善等都对公共财政提出要求，因此对预算指出所表现的公共财政的需求对当年的税收收入可能有一定的影响。（3）物价水平。我国的税制结构以流转税为主，以现行价格计算的DGP等指标和和经营者收入水平都与物价水平有关。（4）税收政策因素。我国自1978年以来经历了两次大的税制改革，一次是1984—1985年的国有企业利改税，另一次是1994年的全国范围内的新税制改革。税制改革对税收会产生影响，特别是1985年税收陡增215.42%。但是第二次税制改革对税收的增长速度的影响不是非常大。因此可以从以上几个方面，分析各种因素对中国税收增长的具体影响。 二、模型设定 为了反映中国税收增长的全貌，选择包括中央和地方税收的‘国家财政收入’中的“各项税收”（简称“税收收入”）作为被解释变量，以放映国家税收的增长；选择“国内生产总值（GDP）”作为经济整体增长水平的代表；选择中央和地方“财政支出”作为公共财政需求的代表；选择“商品零售物价指数”作为物价水平的代表。由于税制改革难以量化，而且1985年以后财税体制改革对税收增长影响不是很大，可暂不考虑。所以解释变量设定为可观测“国内生产总值（GDP）”、“财政支出”、“商品零售物价指数” 从《中国统计年鉴》收集到以下数据 财政收入（亿元） Y 国内生产总值(亿 元） X2 财政支出（亿 元） X3 商品零售价格指 数（%) X4 1978519.283624.11122.09100.7 1979537.824038.21281.79102 1980571.74517.81228.83106

第二章(简单线性回归模型)2-2答案教学文稿

第二章(简单线性回归模型)2-2答案

2.2 简单线性回归模型参数的估计 一、判断题 1.使用普通最小二乘法估计模型时，所选择的回归线使得所有观察值的残差和达到最小。（F) 2.随机扰动项i u 和残差项i e 是一回事。（F ） 3.在任何情况下OLS 估计量都是待估参数的最优线性无偏估计。（F ） 4.满足基本假设条件下，随机误差项i μ服从正态分布，但被解释变量Y 不一定服从正态分 布。 （ F ） 5.如果观测值i X 近似相等，也不会影响回归系数的估计量。 （ F ） 二、单项选择题 1．设样本回归模型为i 01i i ??Y =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i ?β的公式中，错误的是（ D ）。 A ． ()() () i i 1 2 i X X Y -Y ?X X β--∑∑＝ B ． () i i i i 1 2 2i i n X Y -X Y ?n X -X β ∑∑∑∑∑＝ C ．i i 122i X Y -nXY ?X -nX β∑∑＝ D ．i i i i 12 x n X Y -X Y ?βσ∑∑∑＝ 2．以Y 表示实际观测值，?Y 表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使（ D ）。 A ．i i ?Y Y 0∑（－）＝ B ．2 i i ?Y Y 0∑ （－）＝ C ．i i ?Y Y ∑（－）＝最小 D ．2 i i ?Y Y ∑ （－）＝最小 3．设Y 表示实际观测值，?Y 表示OLS 估计回归值，则下列哪项成立（ D ）。 A ．?Y Y ＝ B ．?Y Y ＝ C ．?Y Y ＝ D ．?Y Y ＝ 4．用OLS 估计经典线性模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，则样本回归直线通过点（ D ）。 A ．X Y （，） B ． ?X Y （，） C ．?X Y （，） D ．X Y （，） 5．以Y 表示实际观测值，?Y 表示OLS 估计回归值，则用OLS 得到的样本回归直线

简单线性回归分析思考与练习参考答案

第10章 简单线性回归分析 思考与练习参考答案 一、最佳选择题 1．如果两样本的相关系数21r r =，样本量21n n =，那么（ D ）。 A. 回归系数21b b = B ．回归系数12b b < C. 回归系数21b b > D ．t 统计量11r b t t = E. 以上均错 2．如果相关系数r =1，则一定有（ C ）。 A ．总SS =残差SS B ．残差SS =回归 SS C ．总SS =回归SS D ．总SS ＞回归SS E. 回归MS =残差MS 3．记ρ为总体相关系数，r 为样本相关系数，b 为样本回归系数，下列（ D ）正确。 A ．ρ=0时，r =0 B ．|r |＞0时，b ＞0 C ．r ＞0时，b ＜0 D ．r ＜0时，b ＜0 E. |r |=1时，b =1 4．如果相关系数r =0，则一定有（ D ）。 A ．简单线性回归的截距等于0 B ．简单线性回归的截距等于Y 或X C ．简单线性回归的残差SS 等于0 D ．简单线性回归的残差SS 等于SS 总 E ．简单线性回归的总SS 等于0 5．用最小二乘法确定直线回归方程的含义是（ B ）。 A ．各观测点距直线的纵向距离相等 B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小 C ．各观测点距直线的垂直距离相等 D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小 E ．各观测点距直线的纵向距离等于零 二、思考题 1．简述简单线性回归分析的基本步骤。 答：① 绘制散点图，考察是否有线性趋势及可疑的异常点；② 估计回归系数；③ 对总体回归系数或回归方程进行假设检验；④ 列出回归方程，绘制回归直线；⑤ 统计应用。 2．简述线性回归分析与线性相关的区别与联系。

一般线性回归分析案例

一般线性回归分析案例 1、案例 为了研究钙、铁、铜等人体必需元素对婴幼儿身体健康的影响，随机抽取了30个观测数据，基于多员线性回归分析的理论方法，对儿童体内几种必需元素与血红蛋白浓度的关系进行分析研究。这里，被解释变量为血红蛋白浓度（y）,解释变量为钙(ca)、铁(fe)、铜(cu)。 表一血红蛋白与钙、铁、铜必需元素含量 (血红蛋白单位为g；钙、铁、铜元素单位为ug) case y（g）ca fe cu 17.0076.90295.300.840 27.2573.99313.00 1.154 37.7566.50350.400.700 48.0055.99284.00 1.400 58.2565.49313.00 1.034 68.2550.40293.00 1.044 78.5053.76293.10 1.322 88.7560.99260.00 1.197 98.7550.00331.210.900 109.2552.34388.60 1.023 119.5052.30326.400.823 129.7549.15343.000.926 1310.0063.43384.480.869 1410.2570.16410.00 1.190 1510.5055.33446.00 1.192 1610.7572.46440.01 1.210 1711.0069.76420.06 1.361 1811.2560.34383.310.915 1911.5061.45449.01 1.380 2011.7555.10406.02 1.300 2112.0061.42395.68 1.142 2212.2587.35454.26 1.771 2312.5055.08450.06 1.012 2412.7545.02410.630.899 2513.0073.52470.12 1.652 2613.2563.43446.58 1.230

(完整版)第二章(简单线性回归模型)2-2答案

2.2简单线性回归模型参数的估计 、判断题 1. 使用普通最小二乘法估计模型时， （F ） 2. 随机扰动项u i 和残差项e i 是一回事。 （F ） 3. 在 任何情况下OLS 估计量都是待估参数的最 优线性无偏估计。 （F ） 布。 5.如果观测值X i 近似相等，也不会影响回归系数的估计量 】、单项选择题 1.设样本回归模型为 Y i =" ? X i +e i D ）。 A. ?= ■ 1 X i X X i X Y i -Y ? X i Y i -nXY c. - X i 2-nX 2 2 ?以 丫表示实际观测值 ,Y?表示回归估计值， 则普通最小二乘法确定的 ?的公式中, 错误的是 ?n X i Y i - X i Y i i n X i 2- X i 2 ?_ n X i Y i - X i Y i i 1 2 x 则普通最小二乘法估计参数的准则是使 （D ） A. （丫— Y i ）=o c. （Y — ￡ ）=最小 「？ 一 Y A . （X, 丫 ） 5.以丫表示实际观测值， 丫？表示OLS 估计回归值，则用 OLS 得到的样本回归直线 丫 ?一 ?） 4?满足基本假设条件下，随机误差项 i 服从正态分布，但被解释变量 Y 不一定服从正态分 所选择的回归线使得所有观察值的残差和达到最 3. 丫表示实际观测值 丫？表示OLS 估计回归值，则下列哪项成立（ D A. 4.用OLS 估计经典线性模型 Y i — 0 i X i + u i ，则样本回归直线通过点（ .（X, Y?）

满足（A）。 A.（Y i—丫i）一0 B . （Y i —Y）2 - 0 C.（Y—丫）2-0 D .（丫Y）-0 6.按经典假设，线性回归模型中的解释变量应是非随机变量，且（

多元线性回归分析预测法

多元线性回归分析预测法 (重定向自多元线性回归预测法) 多元线性回归分析预测法（Multi factor line regression method，多元线性回归分析法） [编辑] 多元线性回归分析预测法概述 在市场的经济活动中，经常会遇到某一市场现象的发展和变化取决于几个影响因素的情况，也就是一个因变量和几个自变量有依存关系的情况。而且有时几个影响因素主次难以区分，或者有的因素虽属次要，但也不能略去其作用。例如，某一商品的销售量既与人口的增长变化有关，也与商品价格变化有关。这时采用一元回归分析预测法进行预测是难以奏效的，需要采用多元回归分析预测法。 多元回归分析预测法，是指通过对两上或两个以上的自变量与一个因变量的相关分析，建立预测模型进行预测的方法。当自变量与因变量之间存在线性关系时，称为多元线性回归分析。 [编辑] 多元线性回归的计算模型[1] 一元线性回归是一个主要影响因素作为自变量来解释因变量的变化，在现实问题研究中，因变量的变化往往受几个重要因素的影响，此时就需要用两个或两个以上的影响因素作为自变量来解释

因变量的变化，这就是多元回归亦称多重回归。当多个自变量与因变量之间是线性关系时，所进行的回归分析就是多元性回归。 设y为因变量，为自变量，并且自变量与因变量之间为线性关系时，则多元线性回归模型为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x1每增加一 个单位对y的效应，即x1对y的偏回归系数；同理b2为固定时，x2每增加一个单位对y的效应，即，x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： 其中，b0为常数项，为回归系数，b1为固定时，x2每增加一 个单位对y的效应，即x2对y的偏回归系数，等等。如果两个自变量x1,x2同一个因变量y呈线相关时，可用二元线性回归模型描述为： y = b0 + b1x1 + b2x2 + e 建立多元性回归模型时，为了保证回归模型具有优良的解释能力和预测效果，应首先注意自变量的选择，其准则是： (1)自变量对因变量必须有显著的影响，并呈密切的线性相关； (2)自变量与因变量之间的线性相关必须是真实的，而不是形式上的； (3)自变量之彰应具有一定的互斥性，即自变量之彰的相关程度不应高于自变量与因变量之因的相关程度； (4)自变量应具有完整的统计数据，其预测值容易确定。 多元性回归模型的参数估计，同一元线性回归方程一样，也是在要求误差平方和()为最小的前提下，用最小二乘法求解参数。以二线性回归模型为例，求解回归参数的标准方程组为 解此方程可求得b0,b1,b2的数值。亦可用下列矩阵法求得

多元线性回归模型案例

我国农民收入影响因素的回归分析 本文力图应用适当的多元线性回归模型,对有关农民收入的历史数据和现状进行分析,探讨影响农民收入的主要因素,并在此基础上对如何增加农民收入提出相应的政策建议。?农民收入水平的度量常采用人均纯收入指标。影响农民收入增长的因素是多方面的，既有结构性矛盾因素，又有体制性障碍因素。但可以归纳为以下几个方面：一是农产品收购价格水平。二是农业剩余劳动力转移水平。三是城市化、工业化水平。四是农业产业结构状况。五是农业投入水平。考虑到复杂性和可行性，所以对农业投入与农民收入，本文暂不作讨论。因此，以全国为例，把农民收入与各影响因素关系进行线性回归分析，并建立数学模型。 一、计量经济模型分析 (一)、数据搜集 根据以上分析，我们在影响农民收入因素中引入7个解释变量。即：2x -财政用于农业的支出的比重，3x -第二、三产业从业人数占全社会从业人数的比重，4x -非农村人口比重，5x -乡村从业人员占农村人口的比重，6x -农业总产值占农林牧总产值的比重，7x -农作物播种面积，8x —农村用电量。

资料来源《中国统计年鉴2006》。 (二)、计量经济学模型建立 我们设定模型为下面所示的形式： 利用Eviews 软件进行最小二乘估计，估计结果如下表所示： DependentVariable:Y Method:LeastSquares Sample: Includedobservations:19 Variable Coefficient t-Statistic Prob. C X1 X3 X4 X5 X6 X7 X8 R-squared Meandependentvar AdjustedR-squared 表1最小二乘估计结果 回归分析报告为： () ()()()()()()()()()()()()()()() 2345678 2? -1102.373-6.6354X +18.2294X +2.4300X -16.2374X -2.1552X +0.0100X +0.0634X 375.83 3.7813 2.066618.37034 5.8941 2.77080.002330.02128 -2.933 1.7558.820900.20316 2.7550.778 4.27881 2.97930.99582i Y SE t R ===---=230.99316519 1.99327374.66 R Df DW F ====二、计量经济学检验 (一)、多重共线性的检验及修正 ①、检验多重共线性 (a)、直观法 从“表1最小二乘估计结果”中可以看出，虽然模型的整体拟合的很好，但是x4x6

简单线性回归模型练习题

第二章 简单线性回归模型练习题 一、术语解释 1 解释变量 2 被解释变量 3 线性回归模型 4 最小二乘法 5 方差分析 6 参数估计 7 控制 8 预测 二、填空 1 在经济计量模型中引入反映（ ）因素影响的随机扰动项t ξ，目的在于使模型更符合（ ）活动。 2 在经济计量模型中引入随机扰动项的理由可以归纳为如下几条：（1）因为人的行为的（ ）、社会环境与自然环境的（ ）决定了经济变量本身的（ ）；（２）建立模型时其他被省略的经济因素的影响都归入了（ ）中；（３）在模型估计时，（ ）与归并误差也归入随机扰动项中；（4）由于我们认识的不足，错误的设定了（ ）与（ ）之间的数学形式，例如将非线性的函数形式设定为线性的函数形式，由此产生的误差也包含在随机扰动项中了。 3 （ ）是因变量离差平方和，它度量因变量的总变动。就因变量总变动的变异来源看，它由两部分因素所组成。一个是自变量，另一个是除自变量以外的其他因素。（ ）是拟合值的离散程度的度量。它是由自变量的变化引起的因变量的变化，或称自变量对因变量变化的贡献。（ ）是度量实际值与拟合值之间的差异，它是由自变量以外的其他因素所致，它又叫残差或剩余。 4 回归方程中的回归系数是自变量对因变量的（ ）。某自变量回归系数β的意义，指的是该自变量变化一个单位引起因变量平均变化（ ）个单位。 5 模型线性的含义，就变量而言，指的是回归模型中变量的（ ）；就参数而言，指的是回归模型中的参数的（ ）；通常线性回归模型的线性含义是就（ ）而言的。 6 样本观察值与回归方程理论值之间的偏差，称为（ ），我们用残差估计线性模型中的（ ）。 三、简答题 1 在线性回归方程中，“线性”二字如何理解 2 用最小二乘法求线性回归方程系数的意义是什么 3 一元线性回归方程的基本假设条件是什么 4 方差分析方法把数据总的平方和分解成为两部分的意义是什么 5 试叙述t 检验法与相关系数检验法之间的联系。 6 应用线性回归方程控制和预测的思想。 7 线性回归方程无效的原因是什么 8 回归分析中的随机误差项i ε有什么作用它与残差项t e 有何区别

线性回归模型

线性回归模型 1.回归分析 回归分析研究的主要对象是客观事物变量之间的统计关系，它是建立在对客观事物进行大量试验和观察的基础上，用来寻找隐藏在那些看上去是不确定的现象中的统计规律性的方法。回归分析方法是通过建立模型研究变量间相互关系的密切程度、结构状态及进行模型预测的一种有效工具。 2.回归模型的一般形式 如果变量x_1,x_2,…,x_p与随机变量y之间存在着相关关系，通常就意味着每当x_1,x_2,…,x_p取定值后，y便有相应的概率分布与之对应。随机变量y与相关变量x_1,x_2,…,x_p之间的概率模型为 y = f(x_1, x_2,…,x_p) + ε（1） f(x_1, x_2,…,x_p)为变量x_1,x_2,…,x_p的确定性关系，ε为随机误差项。由于客观经济现象是错综复杂的，一种经济现象很难用有限个因素来准确说明，随机误差项可以概括表示由于人们的认识以及其他客观原因的局限而没有考虑的种种偶然因素。 当概率模型（1）式中回归函数为线性函数时，即有 y = beta_0 + beta_1*x_1 + beta_2*x_2 + …+ beta_p*x_p +ε (2) 其中，beta_0，…,beta_p为未知参数，常称它们为回归系数。当变量x个数为1时，为简单线性回归模型，当变量x个数大于1时，为多元线性回归模型。 3.回归建模的过程 在实际问题的回归分析中，模型的建立和分析有几个重要的阶段，以经济模型的建立为例：

（1）根据研究的目的设置指标变量 回归分析模型主要是揭示事物间相关变量的数量关系。首先要根据所研究问题的目的设置因变量y，然后再选取与y有关的一些变量作为自变量。通常情况下，我们希望因变量与自变量之间具有因果关系。尤其是在研究某种经济活动或经济现象时，必须根据具体的经济现象的研究目的，利用经济学理论，从定性角度来确定某种经济问题中各因素之间的因果关系。（2）收集、整理统计数据 回归模型的建立是基于回归变量的样本统计数据。当确定好回归模型的变量之后，就要对这些变量收集、整理统计数据。数据的收集是建立经济问题回归模型的重要一环，是一项基础性工作，样本数据的质量如何，对回归模型的水平有至关重要的影响。 （3）确定理论回归模型的数学形式 当收集到所设置的变量的数据之后，就要确定适当的数学形式来描述这些变量之间的关系。绘制变量y_i与x_i（i = 1,2,…,n）的样本散点图是选择数学模型形式的重要手段。一般我们把（x_i,y_i）所对应的点在坐标系上画出来，观察散点图的分布状况。如果n个样本点大致分布在一条直线的周围，可考虑用线性回归模型去拟合这条直线。 （4）模型参数的估计 回归理论模型确定之后，利用收集、整理的样本数据对模型的未知参数给出估计是回归分析的重要内容。未知参数的估计方法最常用的是普通最小二乘法。普通最小二乘法通过最小化模型的残差平方和而得到参数的估计值。即 Min RSS = ∑（y_i – hat(y_i）)^2 = 其中，hat(y_i)为因变量估计值，hat(beta_i)为参数估计值。 （5）模型的检验与修改 当模型的未知参数估计出来后，就初步建立了一个回归模型。建立回归模型的目的是应用它来研究经济问题，但如果直接用这个模型去做预测、控制和分析，是不够慎重的。因为这个模型是否真正揭示了被解释变量与解释变量之间的关系，必须通过对模型的检验才能决定。统计检验通常是对回归方程的显著性检验，以及回归系数的显著性检验，还有拟合优度的检验，随机误差项的序列相关检验，异方差性检验，解释变量的多重共线性检验等。 如果一个回归模型没有通过某种统计检验，或者通过了统计检验而没有合理的经济意义，就需要对回归模型进行修改。 （6）回归模型的运用 当一个经济问题的回归模型通过了各种统计检验，且具有合理的经济意义时，就可以运用这个模型来进一步研究经济问题。例如，经济变量的因素分析。应用回归模型对经济变量之间的关系作出了度量，从模型的回归系数可发现经济变量的结构性关系，给出相关评价的一些量化依据。 在回归模型的运用中，应将定性分析和定量分析有机结合。这是因为数理统计方法只是从事物的数量表面去研究问题，不涉及事物的规定性。单纯的表面上的数量关系是否反映事物的本质这本质究竟如何必须依靠专门学科的研究才能下定论。 Lasso 在多元线性回归中，当变量x_1,x_2,…,x_3之间有较强的线性相关性，即解释变量间出现严重的多重共线性。这种情况下，用普通最小二乘法估计模型参数，往往参数估计方差太大，使普通最小二乘的效果变得很不理想。为了解决这一问题，可以采用子集选择、压缩估计或降维法，Lasso即为压缩估计的一种。Lasso可以将一些增加了模型复杂性但与模型无关的

(完整word版)多元线性回归模型案例分析

多元线性回归模型案例分析 ——中国人口自然增长分析一·研究目的要求 中国从1971年开始全面开展了计划生育,使中国总和生育率很快从1970年的5.8降到1980年2.24,接近世代更替水平。此后，人口自然增长率（即人口的生育率）很大程度上与经济的发展等各方面的因素相联系，与经济生活息息相关，为了研究此后影响中国人口自然增长的主要原因，分析全国人口增长规律，与猜测中国未来的增长趋势，需要建立计量经济学模型。 影响中国人口自然增长率的因素有很多，但据分析主要因素可能有：（1）从宏观经济上看，经济整体增长是人口自然增长的基本源泉；（2）居民消费水平，它的高低可能会间接影响人口增长率。(3)文化程度，由于教育年限的高低，相应会转变人的传统观念，可能会间接影响人口自然增长率（4）人口分布，非农业与农业人口的比率也会对人口增长率有相应的影响。 二·模型设定 为了全面反映中国“人口自然增长率”的全貌，选择人口增长率作为被解释变量，以反映中国人口的增长；选择“国名收入”及“人均GDP”作为经济整体增长的代表；选择“居民消费价格指数增长率”作为居民消费水平的代表。暂不考虑文化程度及人口分布的影响。 从《中国统计年鉴》收集到以下数据（见表1）： 表1 中国人口增长率及相关数据

设定的线性回归模型为： 1222334t t t t t Y X X X u ββββ=++++ 三、估计参数 利用EViews 估计模型的参数，方法是： 1、建立工作文件：启动EViews ，点击File\New\Workfile ，在对 话框“Workfile Range ”。在“Workfile frequency ”中选择“Annual ” (年度)，并在“Start date ”中输入开始时间“1988”，在“end date ”中输入最后时间“2005”，点击“ok ”，出现“Workfile UNTITLED ”工作框。其中已有变量：“c ”—截距项 “resid ”—剩余项。在“Objects ”菜单中点击“New Objects”，在“New Objects”对话框中选“Group”，并在“Name for Objects”上定义文件名，点击“OK ”出现数据编辑窗口。 年份 人口自然增长率 （%。） 国民总收入（亿元） 居民消费价格指数增长 率（CPI ）% 人均GDP （元） 1988 15.73 15037 18.8 1366 1989 15.04 17001 18 1519 1990 14.39 18718 3.1 1644 1991 12.98 21826 3.4 1893 1992 11.6 26937 6.4 2311 1993 11.45 35260 14.7 2998 1994 11.21 48108 24.1 4044 1995 10.55 59811 17.1 5046 1996 10.42 70142 8.3 5846 1997 10.06 78061 2.8 6420 1998 9.14 83024 -0.8 6796 1999 8.18 88479 -1.4 7159 2000 7.58 98000 0.4 7858 2001 6.95 108068 0.7 8622 2002 6.45 119096 -0.8 9398 2003 6.01 135174 1.2 10542 2004 5.87 159587 3.9 12336 2005 5.89 184089 1.8 14040 2006 5.38 213132 1.5 16024

第二章(简单线性回归模型)2-5答案(可编辑修改word版)

一、判断题 2.5 回归模型预测 1. Y ?f 是对个别值Y f 的点估计。（F ） 2.预测区间的宽窄只与样本容量 n 有关。（F ） 3. Y ?f 对个别值Y f 的预测只受随机扰动项的影响。（F ） 4.一般情况下，平均值的预测区间比个别值的预测区间宽。（F ） 5.用回归模型进行预测时，预测普通情况和极端情况的精度是一样的。（F ） 二、单项选择题 1. 某一特定的 X 水平上，总体 Y 分布的离散度越大，即 2 越大，则（ A ）。 A. 预测区间越宽，精度越低 B ．预测区间越宽，预测误差越小 C 预测区间越窄，精度越高 D ．预测区间越窄，预测误差越大 2. 在缩小参数估计量的置信区间时，我们通常不采用下面的那一项措施（D ）。 A. 增大样本容量 n B. 预测普通情形而非极端情形 C.提高模型的拟合优度 D.提高样本观测值的分散度 三、多项选择题 1. 计量经济预测的条件是（ABC ） A. 模型设定的关系式不变 B ．所估计的参数不变 C.解释变量在预测期的取值已作出预测 D ．没有对解释变量在预测期的取值进行过预测 E ．无条件 2. 对被解释变量的预测可以分为（ABC ） A. 被解释变量平均值的点预测 B.被解释变量平均值的区间预测 C.被解释变量的个别值预测 D.解释变量预测期取值的预测 四、简答题 1. 为什么要对被解释变量的平均值以及个别值进行区间预测？ 答：由于抽样波动的存在，用样本估计出的被解释变量的平均值Y ?f 与总体真实平均值 E (Y f X f 之间存在误差，并不总是相等。而用Y ?f 对个别值Y f 进行预测时，除了上述 提到的误差，还受随机扰动项的影响，使得总体真实平均值 E (Y f X f 并不等于个别值 Y f 。 一般而言，个别值的预测区间比平均值的预测区间更宽。 2. 分别写出 E ( Y f X f 和Y f 的置信度为1 -的预测区间。 ? 1 (X - X )2 ? ? 1 (X - X )2 ? 答： E ( Y X ： Y ? ± t ? + f ? ； Y ： Y ? ± t ? 1 + + f ? 。 f f f n ? 2 x 2 ? i ? f f n ? 2 x 2 ? i ? ∑ ∑

多元线性回归实例分析

SPSS--回归-多元线性回归模型案例解析！(一） 多元线性回归，主要是研究一个因变量与多个自变量之间的相关关系，跟一元回归原理差不多，区别在于影响因素（自变量）更多些而已，例如：一元线性回归方程为： 毫无疑问，多元线性回归方程应该为： 上图中的x1, x2, xp分别代表“自变量”Xp截止，代表有P个自变量，如果有“N组样本，那么这个多元线性回归，将会组成一个矩阵，如下图所示： 那么，多元线性回归方程矩阵形式为： 其中：代表随机误差，其中随机误差分为：可解释的误差和不可解释的误差，随机误差必须满足以下四个条件，多元线性方程才有意义（一元线性方程也一样） 1：服成正太分布，即指：随机误差必须是服成正太分别的随机变量。 2：无偏性假设，即指：期望值为0 3：同共方差性假设，即指，所有的随机误差变量方差都相等 4：独立性假设，即指：所有的随机误差变量都相互独立，可以用协方差解释。 今天跟大家一起讨论一下，SPSS---多元线性回归的具体操作过程，下面以教程教程数据为例，分析汽车特征与汽车销售量之间的关系。通过分析汽车特征跟汽车销售量的关系，建立拟合多元线性回归模型。数据如下图所示：

点击“分析”——回归——线性——进入如下图所示的界面：

将“销售量”作为“因变量”拖入因变量框内，将“车长，车宽，耗油率，车净重等10个自变量拖入自变量框内，如上图所示，在“方法”旁边，选择“逐步”，当然，你也可以选择其它的方式，如果你选择“进入”默认的方式，在分析结果中，将会得到如下图所示的结果：（所有的自变量，都会强行进入） 如果你选择“逐步”这个方法，将会得到如下图所示的结果：（将会根据预先设定的“F统计量的概率值进行筛选，最先进入回归方程的“自变量”应该是跟“因变量”关系最为密切，贡献最大的，如下图可以看出，车的价格和车轴跟因变量关系最为密切，符合判断条件的概率值必须小于0.05，当概率值大于等于0.1时将会被剔除）

常见非线性回归模型

常见非线性回归模型 1.简非线性模型简介 非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。 柯布—道格拉斯生产函数模型 εβα+=L AK y 其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。 对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。 单方程非线性回归模型的一般形式为 εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y ΛΛ 2.可化为线性回归的曲线回归 在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为

线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如下列模型。 （1）εββ++=x e y 10 （2）εββββ+++++=p p x x x y Λ2210 （3）ε+=bx ae y (4)y=alnx+b 对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。 对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y Λ22110 对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。 乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。加性误差项模型认为t y 是等方差的。从统计性质看两者的差异，前者淡化了t y 值大的项（近期数据）的作用，强化了t y 值小的项（早期数据）的作用，对早起数据拟合得效果较好，而后者则对近期数据拟合得效果较好。 影响模型拟合效果的统计性质主要是异方差、自相关和共线性这三个方面。异方差可以同构选择乘性误差项模型和加性误差项模型解决，必要时还可以使用加权最小二乘。