晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性

物理科学学院 季淑英 2014020231

摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴

一 什么是晶体

人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。

所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。

二 晶体的宏观对称

对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作

对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。

对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足

’r gr r =→，

如果这导致

）r （）gr （）’r （ρρρ==

那么g 是）r （ρ的一个对称操作。

2 对称元素

对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：

????

? ????????

??=????? ??z y x a a a

a a a a a a z y x 3332

31232221131211，，，

其中，M 为正交矩阵，????

?

??=3332

312322

211312

11a a a

a a a a a a M 2.1 对称中心和反演（i ）

取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -，

x - ????

?

??=1-0001-0001-M

2.2 对称面和反映（m ）

以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ，

， ????

? ??=1-00010001M

2.3 n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（

n ） 2.3.1n 次旋转对称轴（n 或者n C ）

若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次

旋转对称轴。

定理1：晶体结构中允许的转动对称轴只能是1、2、3、4和6重轴 证明：

如图所示1A ，2A 为一列点阵上相邻的两格点，其周期为a 。现晶体允许有n 次旋转轴通过格点，因为每个阵格的性质相同。以a 作半径转动角为n

2π

=

α将可得到另一个格点。绕1A 顺时针将2A 转α到格点1B ，而绕2A 逆时针将1A 转α到格点2B 。

1B 和2B 连线平行于1A ，2A 直线点阵，且1B 和2B 间的距离必须为a 的整数倍，设

为ma ，m 为整数。 则有：

ma -180cos 2a a 0=+）（α

2

1cos m

-=

α 1|2

m

-1|

≤ m

αcos

/n 2π

n

-1 1 0360 1 0 1/2 060 6 1 0 090 4 2 -1/2 0120 3 3

-1

0180

2

由上表可知，晶体的旋转对称轴只能是1、2、3、4和6重轴。

晶体中只有1，2，3，4，6 次旋转轴，没有5次轴和大于6次以上的轴，可以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面，而5边形和(n>6)边形不能布满平面空间 来直观理解。 2.3.2 n 次旋转反演轴（n ）

绕某一对称轴旋转/n π2=α以后，再经过中心反演晶体能自身重合，则称该轴为n 次旋转反演轴，称n 次旋转反演轴，又称像转轴。显然晶体的旋转反演

轴也只有1,2,3,4,6次，而不可能有5次或6次以上的旋转反演轴，用6，4，3，2，1

表示。

注意：只有黑色点具有旋转－反演轴对称关系

对于晶体的宏观对称性，有反演，反映，旋转轴三类对称操作，对应

643216,4,3,2,1，，，，，和i ，m 等12种操作，但这12种对称操作并不完全是线性无关

的（相互独立的），在研究晶体的对称性时，需要用三类操作的线性无关操作来简化问题。

定理2：在晶体的宏观对称性中，有以下8种基本对称操作元素，即

1，2,3,4,6，i ，m ，4

证明：

1表示中心反演，称为对称中心，即i 1=，2次旋转反演轴2代表垂直于该轴的

对称面（镜像）即m 2=。3的效果和3次旋转轴加上对称中心i 的总效果是一样的。6的效果和3次旋转轴加上垂直于该轴的对称面的总效果是一样的。

即i 1=，m 2=，i 33+=，m 36+=，在有1,2,3,4,6，i 和m 的情况下，它们都不是独立的，唯有4是一个独立的对称元素和对称操作。综上所得，在晶体的宏观对称性中，只有1，2,3,4,6，i ，m ，4这8种基本对称操作元素。

三 总结

晶体的理想外形及其宏观观察中所表现出来的对称性称为宏观对称性，它与有限分子的对称性一样，也具有点对称的性质。对称元素所对应的对称操作构成点群。

每个晶体的对称性是上述8种基本对称元素的可能组合，可以证明总共只能有32种不同的组合方式，称为32种晶体学点群。点群反映的是晶体理想外形的对称性，根据晶体对称性的差异对晶体进行科学的分类，为晶体的研究提供理论基础。

第三章 晶体的宏观对称

第三章晶体的宏观对称 第一节：对称性概述 教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。 晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。 一、几个相关术语 1.等同图形（同形等大的图形）； 2.对称操作； 3.对称元素； 4.关于左右型图形 的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。 二、宏观对称元素 1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。 2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。对称中心可以产生左右型、阶次为2。 3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画 图并作几何推导）。 对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。 4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。基转角、旋转反伸对称轴次、 先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。 反伸轴的等价对称操作： 一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明) 二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明) 三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明) 四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明) 六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明) 所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。 三、宏观对称要素和点阵的几何配置 1.对称中心对应于点阵点 2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行） 3.对称面对应于点阵面（包含平行） 四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置 对称中心总是位于晶体中心。 对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶 对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 31 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→，

如果这导致 ）r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换： ???? ? ???????? ??=????? ??z y x a a a a a a a a a z y x 3332 31232221131211，，， 其中，M 为正交矩阵，???? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a M 对称中心和反演（i ） 取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -， x - ???? ? ??=1-0001-0001-M 对称面和反映（m ） 以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ， ， ???? ? ??=1-00010001M n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） n 次旋转对称轴（n 或者n C ） 若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 2014020231 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→， 如果这导致 ） r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：

晶体的宏观对称

第四章晶体的宏观对称 在第二章中已经介绍，晶体的生长过程，实质上就是质点按照空间格子规律有规则地进行堆积的过程；所以，只要生长时有足够的自由空间，晶体就必然会长成一定形状的几何多面体。例如石盐常成立方体，而α-石英经常长成带有尖顶的六方柱体，等等。 在具有几何多面体外形的晶体——结晶多面体上，最突出的一个性质就是它的对称性。晶体外形上的对称性是由其内部格子构造的对称性所决定的。所以，一切晶体都是对称的。不过，不同晶体之间的对称性往往又是有差别的，这表现在它们的对称要素可以有所不同，并且因此构成不同的对称型。所以，有必要同时也有可能，根据晶体的对称特点来对晶体进行分类，即划分出不同的晶族和晶系。 由于晶体的对称性从本质上来讲取决于其内部的格子构造，因此，晶体的对称性不仅包含几何意义上的对称，而且也包含物理意义上的对称，亦即晶体中凡是具有方向性的物理性质，例如折射率、电导率、弹性模量、硬度等等，它们也都呈现相应的对称关系。这是因为，晶体的各项物理性质都是取决于其组成质点的种类和它们的排列方式的。所以，晶体的对称性决定并影响着晶体中涉及到几何及物理两方面的一切性质。反过来，根据晶体的几何外形以及它们的一系列物理性质，又可以用来正确地确定晶体的对称性。所以晶体的对称性对于我们认识晶质矿物的一系列特性都具有重要的意义。另一方面，晶体的对称性对于晶体的利用还具有指导意义。 在本章中我们将依次阐述以上的有关内容，但限于讨论晶体外形上的对称，即晶体的宏观对称。 第一节对称的概念和晶体对称的特点 一、对称的概念 图形相同部分有规律的重复，称为对称。具有对称特征的图形，称为对称图形。 对称是自然科学中最普遍的一种基本概念。自然界许多东西都具有对称特点，如植物枝叶的对生与互生，花瓣、动物形体及器官的对称生长、晶体界限要素的对称分布等；建筑物、交通工具、生活用品等，常具有对称的外形；在装饰、装潢设计、纺织品中也常可见到对称图案。所有对称物体和对称图案统称为对称图形。