当前位置：搜档网 › 九年级圆基础知识点

九年级圆基础知识点

；

学习必备欢迎下载

圆知识点复习

一、圆的概念

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；

2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（中垂线）

3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条

直线；

5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的

一条直线。

二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d < r ? 点 C 在圆内； A

r O 2、点在圆上 ?

d = r ? 点 B 在圆上； 3、点在圆外 ?

d > r ? 点 A 在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d > r ? 无交点；

2、直线与圆相切 ? d = r ? 有一个交点；

3、直线与圆相交 ? d < r ? 有两个交点；

d C

r d

d=r

r d

四、圆与圆的位置关系

外离（图 1） ?

无交点

? d > R + r ；

外切（图 2） ? 有一个交点 ? d = R + r ；

学习必备欢迎下载

相交（图3）?有两个交点?R-r

内含（图5）?无交点?d

图2r

图1

d r

图3

图4图5

五、垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径②AB⊥CD③CE=DE

④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

C D O

即：在⊙O中，∵AB∥CD O E

A B C D

∴弧AC=弧BD

六、圆心角定理

学习必备欢迎下载

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对

的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论F

中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，D

即：①∠AOB=∠DOE；②AB=DE；A C

③OC=OF；④弧BA=弧BD

七、圆周角定理

C 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵∠AOB和∠ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角B O ∴∠AOB=2∠ACB

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

B O

即：在⊙O中，∵∠C、∠D都是所对的圆周角A ∴∠C=∠D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在⊙O中，∵AB是直径或∵∠C=90?

∴∠C=90?∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵O C=OA=OB

B B

∴△ABC是直角三角形或∠C=90?

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半

的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O中，∵四边形ABCD是内接四边形

∴∠C+∠BAD=180?∠B+∠D=180?

C D B

∠DAE=∠C

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵MN⊥OA且MN过半径OA外端

∴MN是⊙O的切线

A E

M A N

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；

②过切点；

③垂直切线，

三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线

的夹角。

即：∵ P A 、 PB 是的两条切线

∴ P A = PB

PO 平分 ∠BP A

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ，

∴ P A ? PB = PC ? PD

（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

B O

C A

两条线段的比例中项。

O E

即：在⊙ O 中，∵直径 AB ⊥ CD ，

∴ CE 2 = AE ? BE

（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这

点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

即：在⊙ O 中，∵ P A 是切线， PB 是割线

∴ P A 2 = PC ? PB

（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长

的积相等（如上图）。

即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线

∴ PC ? PB = PD ? PE

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共

A O1

学习必备欢迎下载

弦。

如图：O O垂直平分AB。

即：∵⊙O、⊙O相交于A、B两点

∴O O垂直平分AB

12十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：Rt?O O C中，AB2=CO2=O O2-CO2；

121122

（2）外公切线长：C O是半径之差；内公切线长：C O是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形C O

在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt?BOD中进行：

B D A

OD:BD:OB=1:3:2；

B C （2）正四边形O

A E D 同理，四边形的有关计算在Rt?OAE中进行，OE:AE:O A=1:1:2：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在Rt?OAB中进行，AB:OB:OA=1:3:2.O

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式A

1、扇形：（1）弧长公式：l=nπR

180；O S l

（2）扇形面积公式：S=nπR21

=lR

3602

n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长S：扇形面积

学习必备欢迎下载

2、圆柱：

A D D1（1）圆柱侧面展开图

S=S+2S=2πrh+2πr2

表侧底

（2）圆柱的体积：V=πr2h （2）圆锥侧面展开图B

母线长

底面圆周长

（1）S

表=S+S=πRr+πr2

侧底

（2）圆锥的体积：V=

A C

r B

3π

r2h

圆的知识点总结史上最全的

A 图4 图5 圆的总结集合：圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线点与圆的位置关系: 点在圆内 dr 点A 在圆外直线与圆的位置关系: 直线与圆相离 d>r 无交点直线与圆相切 d=r 有一个交点直线与圆相交 dR+r 外切（图2）有一个交点 d=R+r 相交（图3）有两个交点 R-r

九年级圆基础知识点--(圆讲义)

一对一授课教案学员姓名：何锦莹年级：9 所授科目：数学一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

九年级圆基础知识点,(圆讲义)

一对一授课教案学员姓名：____何锦莹____ 年级：_____9_____ 所授科目：___数学__________ 上课时间：____ 年月日_ ___时分至__ __时_ __分共 ___小时一、圆的定义： 1. 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径． 2 圆的表示方法：通常用符号⊙表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作“O ⊙”，读作“圆O”． 3 同圆、同心圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆. 注意：同圆或等圆的半径相等． 1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦． 2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍． 3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距． 4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB． 5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆． 7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径．推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．一、圆的对称性 1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线． 2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心． 3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．二、垂径定理 1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 2. 推论1：⑴平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； ⑵弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑶平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．练习题；

圆的知识点总结

圆的知识的归纳总结与复习【知识与方法归纳】 1. 圆的特征：圆是由一条曲线围成的封闭图形，圆上任意一点到圆心的距离都相等。 2. 圆规画圆的方法：（1）把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离；（2）把有针尖的一只脚固定在一点上；（3）把装有铅笔尖的一只脚绕这个固定点旋转一周，就可以画出一个圆。 3. 圆各部分的名称：圆心用O表示；半径通常用字母r表示；直径通常用字母d表示。 4. 圆有无数条直径，无数条半径；同（或等）圆内的直径都相等，半径都相等。 5. 圆心和半径的作用：圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小。 6. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。 7. 同一圆内半径与直径的关系：在同一圆内，直径的长度是半径的2倍，可以表示为d=2r 或r= 。 8. 圆的周长：圆的周长是指围成圆的曲线的长。直径的长短决定圆周长的大小。 9. 圆周率：圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14. 10. 圆的周长的计算公式：如果用C表示圆的周长，那么C=πd或C=2πr。 11. 圆的周长计算公式的应用：（1）已知圆的半径，求圆的周长：C=2πr。（2）已知圆的直径，求圆的周长：C=πd。（3）已知圆的周长，求圆的半径：r=C π 2. （4）已知圆的周长，求圆的直径：d=C π。 12. 圆的面积的含义：圆形物体所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。 13. 圆的面积计算公式：如果用S表示圆的面积，r表示圆的半径，那么圆的面积计算公式是：S= 。 14. 圆的面积计算公式的应用：（1）已知圆的半径，求圆的面积：S= 。（2）已知圆的直径，求圆的面积：r= ，S= 或。（3）已知圆的周长，求圆的面积：r=C 2 π，S= 或。【经典例题】

初三下册数学圆知识点定理总结

1.垂径定理及推论: 如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”. 几何表达式举例： ∵ CD过圆心 ∵CD⊥AB 2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 几何表达式举例： 3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中） “等角对等弦”；“等弦对等角”； “等角对等弧”；“等弧对等角”； “等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”； “等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”. 几何表达式举例： (1) ∵∠AOB=∠COD ∴ AB = CD (2) ∵ AB = CD ∴∠AOB=∠COD 4．圆周角定理及推论: （1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图) （3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图) （5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图) （1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1）∵∠ACB=∠AOB ∴…………… （2）∵ AB是直径 ∴∠ACB=90° （3）∵∠ACB=90° ∴ AB是直径（4）∵ CD=AD=BD ∴ΔABC是RtΔ 5．圆内接四边形性质定理: 圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 几何表达式举例： ∵ ABCD是圆内接四边形 ∴∠CDE =∠ABC ∠C+∠A =180° 6．切线的判定与性质定理: 如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理. （1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径； ※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； ※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 几何表达式举例：（1）∵OC是半径∵OC⊥AB ∴AB是切线（2）∵OC是半径 ∵AB是切线 ∴OC⊥AB （3）…………… 7．切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角. 几何表达式举例： ∵ PA、PB是切线 ∴ PA=PB ∵PO过圆心 ∴∠APO =∠BPO 8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：

初三数学圆的基础知识小练习

初三数学圆的基础知识小练习 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

圆的基本知识一、知识点 5、圆与圆的位置关系：（内含、相交、外离）例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2 的半径为8厘米，圆心距为d，则：R+r=，R－r=；（1）当d=14厘米时，因为dR+r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（2）当d=2厘米时，因为dR－r，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（3）当d=15厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（4）当d=7厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是：（5）当d=1厘米时，因为，则⊙O1和⊙O2位置关系是： 6、切线性质：例4：（1）如图，PA是⊙O的切线，点A是切点，则∠PAO=度（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B是切点，则=，∠=∠； 7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少解：因为扇形的弧长=() 180 所以l=() 180 =(答案保留π) （2）扇形的面积：例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少

解：因为扇形的面积S= () 360 所以S= () 360 =(答案保留π) ②若扇形的弧长为12πcm ，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少解：因为扇形的面积S= 所以S== （3）圆锥：例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积= 知识点 1、与圆有关的角——圆心角、圆周角（1）图中的圆心角；圆周角；（2）如图，已知∠AOB=50度，则∠ACB=度；（3）在上图中，若AB 是圆O 的直径，则∠AOB=度； 2、圆的对称性：（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形，对称中心为．（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．如图，∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E ∴=，= 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆；例1：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ，（1）当d =2厘米时，有dr ，点在圆（2）当d =7厘米时，有dr ，点在圆（3）当d =5厘米时，有dr ，点在圆 4、三角形的外接圆的圆心——三角形的外心——三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心——三角形的交点；

圆的基本性质知识点整理

3.1 圆（1）在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做，线段OP叫做。如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：d＜r 点P在圆； dr 点P在圆上； d＞r 点P在圆；如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC 为O的直径. （1）点A是否在圆上？请说明理由. （2）写出圆中所有的劣弧和优弧. 如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？ ====================================================================== 3.1圆（2）（1）经过一个．．已知点能作个圆；（2）经过两个已知点A,B能作个圆；过点A,B任意作一个圆, 圆心应该在怎样的一条直线上？（3）不在同一条直线上的三个点一个圆经过三角形各个顶点的圆叫做，这个外接圆的圆心叫做三角形的，三角形叫做圆的；三角形的外心是的交点。锐角三角形的外心在；直角三角形的外心在；钝角三角形的外心在。

作图：已知△ABC ，用直尺和圆规作出△ABC 的外接圆 3.2图形的旋转图形旋转的性质图形经过旋转所得的图形和原图形；对应点到的距离相等，任何一对对应点与连线所成的角度等于。 3.3垂径定理（1）圆是图形，它的对称轴是。如图，直径CD 垂直于弦AB ，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD 是直径，CD ⊥AB ∴ 1、如图，射线OP 经过怎样的旋转，得到射线OQ ？ 3、如图，以点O 为旋转中心，将线段AB 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段B A ''，并求直线B A ''与直线AB 所成的锐角的度数。 2、如图,以点O 为旋转中心,将△ABC 按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。

初中数学圆的知识点总结

圆知识点一、圆的定义及有关概念 1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。 ' 在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。例 P 为⊙O 内一点，OP =3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；? 最长弦长为_______．解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP 垂直的弦，答案：10 cm ，8 cm. 知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内。当点在圆外时，d ＞r ；反过来，当d ＞r 时，点在圆外。当点在圆上时，d ＝r ；反过来，当d ＝r 时，点在圆上。当点在圆内时，d ＜r ；反过来，当d ＜r 时，点在圆内。例如图，在Rt ABC △中，直角边3AB =，4BC =，点E ，F 分别是BC ，AC 的中点，以点A 为圆心，AB 的长为半径画圆，则点E 在圆A 的_________，点F 在圆A 的_________．解题思路：利用点与圆的位置关系，答案：外部，内部 % 练习：在直角坐标平面内，圆O 的半径为5，圆心O 的坐标为(14)--，．试判断点(31)P -，与圆O 的位置关系．答案：点P 在圆O 上．知识点三、圆的基本性质 1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》一、圆的概念概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +；外切（图2）?有一个交点?d R r =+；相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+；内切（图4）?有一个交点?d R r =-；内含（图5）?无交点?d R r <-； A

r R d 图3 r R d 五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理 1、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B

圆的基本性质知识点

圆的基本性质复习总标 1．知道圆及有关概念，确定圆的条件。三角形的内心和外心。 2．能灵活运用弧、弦、圆心角和圆心角的关系解决问题；掌握圆的轴对称性、中心对称和旋转不变性；探索并理解锤径定理。 3.会用垂径定理进行有关计算。知识梳理 1.圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。 2.圆周角与圆心角（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 90圆周角所对的弦是圆的直径。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同源或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。 3.圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1.垂直于弦；2.经过圆心；3.平分弦（非直径）；4.平分弦所对的优弧；5.平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。易错知识点

1.弧是圆的一部分，直径是圆中最长的弦，半径不是弦。 2.垂径定理的推论:平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3.理解圆心角、弧、弦三者之间的关系时，应注意“同圆或等圆中”或“等弧”这个条件。 4.同一条弦所对的圆周角有两个，它们互补。中考规律盘点及预测本讲点内容在中考中，圆的基本性质在淡化与降低，证明难度成了考查知识的重点。旗本性质的应用主要有两个方面，一是应用弧、弦、弦心距、圆心角、圆周角各对量之间的关系进行证明；二是应用半径、半弦和弦心距构成直角三角形进行相关计算。多数以填空题、选择题或中等难度解答题等基本题型出现，难度一般不大。 1、（2009年安徽）如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且 CD=，，则AB 的长为…【】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 【解析】主要考察：垂径定理、勾股定理或相交弦定理.用垂径定理得，由勾股定理得HB=1 ，则()2 2 2 1R R =+-由此得2R=3 或由相交弦定理得 ()2 121R =?-，由此得2R=3，所以AB=3.选 B 2、（2008 绍兴）如图，量角器外缘边上有A P Q ，，三点，它们所表示的读数分别是180，70，30，则PAQ ∠的大小为（） A ．10 B ．20 C ．30 D ．40 【解析】主要考察：弧的度数与它所对的圆周角度数之间的关系。一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。()?=?-?==∠2030702 1 21Q P PAQ 选B 3、（2008年海南）如图, AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC =30°，点P 在线段 OB 上运动.设∠ACP =x ，则x 的取值范围是 . 第9题图

初三数学圆的基础知识小练习

初三数学圆的基础知识小练习 Prepared on 24 November 2020

圆的知识点归纳总结大全

圆的知识点归纳总结大全一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论：平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。 7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。（直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。则AB=221221)()(y y x x -+- 10、圆的切线判定。（1）d=r 时，直线是圆的切线。 d = r 直线与圆相切。 d < r （r > d ）直线与圆相交。 d > r （r d ）点P 在⊙O 内 d > r （r

初三《圆》基础知识复习专题

《圆》章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外；三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r

外离（图1）? 无交点 ? d R r >+；外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+；相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；内切（图4）? 有一个交点 ? d R r =-；内含（图5）? 无交点 ? d R r <-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 六、圆心角定理图1 图2 图4 图5 B D

圆知识点总结及归纳

第一讲圆的方程（一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 展开并整理得x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，取D ＝－2a ，E ＝－2b ，F ＝a 2＋b 2－r 2，得x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. （2）将圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0通过配方后得到的方程为： (x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心，1 2D 2＋E 2－4F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2 ，－ E 2 )；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数都为1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．（二）点与圆的位置关系

（1）若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2>r2.

（2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

《圆》知识点归纳及相关题型整理

第五章中心对称图形（二） ——知识点归纳以及相关题目总结一、和圆有关的基本概念 1.圆：把线段OP的一个端点O固定，使线段OP绕着点O在平面内旋转1周，另一个端点P运动所形成的图形叫做圆。其中，定点O叫做圆心，线段OP叫做半径。以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”。圆是到定点的距离等于定长的点的集合。 2.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合。 3.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。 4.弦：连接圆上任意两点的线段。 5.直径：经过圆心的弦。 6.弧：圆上任意两点间的部分。优弧：大于半圆的弧。劣弧：小于半圆的弧。半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 7.同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆。 8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。（圆心不同） 9.等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。 10.圆心角：顶点在圆心的角。 11.圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角。 12.圆的切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长。 13.正多边形： ①定义：各边相等、各角也相等的多边形 ②对称性：都是轴对称图形；有偶数条边的正多边形既是轴对称图形有是中心对称图形。 14.圆锥： ①：母线：连接圆锥的顶点和底面圆上任意一点的线段。 ②：高：连接顶点与底面圆的圆心的线段。 15.三角形的外接圆：三角形三个顶点确定一个圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

16.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。二、和圆有关的重要定理 1.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 2.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 5.圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。 6.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧。推论：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 7.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。 8.直径（或半圆）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 9.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 10.确定圆的条件不在同一条直线上的三个点确定一个圆经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．这个三角形叫做这个圆的内接三角形。经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心。三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。 11.三角形的外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点 12.圆的切线垂直于经过切点的半径。 13.经过半径的外端并且垂直于这条半径的是直线是圆的切线。

圆知识点总结及归纳

(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

方法一：方法二：（四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是：（1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

九年级数学圆知识点归纳

:从网络收集整理.word版本可编辑. 圆知识点归纳一、圆的定义。 1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。 2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。二、圆的各元素。 1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。 5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。三、圆的基本性质。 1、圆的对称性。（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。（3 ）圆是旋转对称图形。 2、垂径定理。（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论： ?平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。 ?平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。 3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。（1）同弧所对的圆周角相等。（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。 4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O的半径为r，OP=d。 7、（1 （2 （直角三角形的外心就是斜边的中点。） 8、直线与圆的位置关系。d表示圆心到直线的距离，r表示圆的半径。直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切；直线与圆没有交点，直线与圆相离。 2 9A（x1，y1）、B（x2，y2）。 d= r 直线与圆相切。 d< r（r > d直线与圆相交。 d > r（r d点P在⊙O内 d > r（r

圆的基础知识

24.1《圆》教学设计一、教学目标知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质. 2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系. 数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系. 2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力. 问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题. 情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神. 二、重难点分析教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点．对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件．圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握．教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明．垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 三、学习者学习特征分析圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识. 四、教学过程（一）创设情境，引入新课圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积. 早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.

九年级圆基础知识点

圆的知识点总结史上最全的

九年级圆基础知识点--(圆讲义)

九年级圆基础知识点,(圆讲义)

最新九年级数学下册圆的知识点整理

圆的知识点总结

初三下册数学圆知识点定理总结

初三数学圆的基础知识小练习

圆的基本性质知识点整理

初中数学圆的知识点总结

初三数学圆知识点复习专题经典

圆的基本性质知识点

初三数学圆的基础知识小练习

圆的知识点归纳总结大全

初三《圆》基础知识复习专题

圆知识点总结及归纳

《圆》知识点归纳及相关题型整理

圆知识点总结及归纳

九年级数学圆知识点归纳

圆的基础知识

相关文档

最新文档