《高等数学教学资料》05第五节函数极限与最大值最小值.docx

第五节函数的极值与最大值最小值

在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(2 1),恒有f(x) /(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念.

分布图示

★函数极值的定义

★函数极值的求法★例1★例2★例3

笫二充分条件

★例4★例5★例6

最大值最小值的求法★例7

★例8★例9★例10

★例11★例］2

内容小结★课堂练习

★习题3・5 ★返回

内容要点

一、函数的极值

极值的必要条件

第一充分条件与第二充分条件

求函数的极值点和极值的步骤

(1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数;

(2)解方程f\x) = 0求出于(兀)的全部驻点与不可导点；

(3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值

点；

(4)求出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值.

二、函数的最大值与最小值

在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的

最大值或最小值问题.

求函数在创上的最大(小)值的步骤如下：

(1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就

是最大值，最小的就是最小值；

(2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点,

并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.

例题选讲

求函数的极值

例1 (E01)求出函数/(%) = x3 -3x2 -9x4-5的极值.

解f(x) =3X2-6X-9=3(X +1)(X一3),令f(x) = 0,得驻点x1=-l,x2=3.

列表讨论如下：

X(―-1)-1(-1, 3)3(3, 4- °°)

•厂⑴+0——0+

f(x)f极大值1极小值t

所以，极大值/(-!) = 10,极小值/(3) = -22.

例2 (E02)求函数的极值.

解⑴ 函数f(兀)在(-oo,+oo)内连续，除x = -l外处处可导，且厂(无)=孝二2;

3沿+1

(2)令f\x) = 0,得驻点x = l;兀=-1为/*(兀)的不可导点;

(3)列表讨论如下：

(-00,-1)-1(-1, 1)1(1,+呵/'(X)+不存在—0+

/⑴f极大值1极小值t

⑷ 极大值为/(-1) = 0,极小值为/⑴=-3^4.

3

例3求函数y(x) = x-jx2/3的单调增减区间和极值.

解求导数= 当"1时八0) = 0,而x = 0时/©)不存在，

因此，函数只可能在这两点取得极值.列表如下：

X(一8,0)0(0,1)1(1, + °°) f\x)+ 不存在—0+

fM/极大值0极小值-丄2/

由上表可见：函数/(兀)在区间(_oo,0),(l,+oo)单调增加，在区间(0,1)单调减少.在点x =()处有极大值，在点兀=1处有极小值/(I) = 如图.

例4 (E03)求出函数/(x) = x3 + 3x2一24兀- 20的极值.

解f(x) = 3x2 +6x-24 = 3(x + 4)(兀—2),令f\x) = 0,得驻点册=-4,勺=2.

又/'(x) = 6x + 6, ・・・/"(-4) = —18vO,故极大值于(一4) = 60, /*(2) = 18>0,

故极小值/(2) = -4&

注意：1./"(必)=0吋，/(X)在点勺处不一定収极值，仍用第一充分条件进行判断.

2.函数的不可导点，也可能是函数的极值点.

例5 (E04)求函数f(x) =(X2 -厅+ I的极值.

解由/，(X)=6X(X2-I)2=0,得驻点可=一1,七=0*3=1. f\x) = 6(x2 -l)(5x2 -1).

因f\x) = 6 > 0,故/(x)在x = 0处収得极小值，极小值为/(0) = 0.因厂(-1)=厂⑴=0,故用定理3无法判别.考察一阶导数f\x)在驻点册=-1及勺=1左右邻近的符号：

当兀取-1左侧邻近的值时，f(x) < 0;

当兀取-1右侧邻近的值吋，f(x) < 0;

因厂(兀)的符号没有改变，故/(兀)在x = -l处没有极值.同理，/(兀)在x = l 处也没有极值.如图所示.

例6求出函数/W=1-(X-2)2/3的极值.

2 --

解f'M = -一(兀-2) '("2). x = 2是函数的不可导点.

当xv2时，f(x) > 0;当x>2时，.厂(兀)v0. /. /(2) = 1为/(兀)的极大值.

例7 (E05)求y = 2疋+ 3兀$ _ 12x + 14的在［-3,4］上的最大值与最小值.

解*«*= 6(x + 2)(兀一1),解方程f\x) = 0,得x, =-2,X2 =1.

计算/(-3) = 23; /(—2) = 34; /⑴二7; /⑷二142;

比较得最大值/⑷=142,最小值/(I) = 7.

例8求函数)usin2x-x在-彳冷上的最大值及最小值.

解函数y = sin2x- x在-巴工上连f\x) = / = 2cos2x-1, 2 2

令)/ = (),得/ = 土牛.

故皿¥上最大值为务最小值为号

例9 (E06)设工厂4到铁路线的垂直距离为20km,垂足为3.铁路线上距离B为100km 处有一原料供应站C,如图3-5-4.现在要在铁路BC屮间某处D修建一个原料屮转车站，再

由车站D 向工厂修一条公路.如果已知每km 的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么，D 应 选在何处，才能使原料供应站C 运货到工厂A 所需运费最省？

解 BD = x (km), CD = 100 — x (km), AD = ^202 + x 2 ・

铁路每公里运费眈公路每公里5R,记那里目标函数(总运费)y 的函数关系式: y = 5kAD + 3k-CD 即

y = 5k ・ 7400 +x 2 + 3k(l 00-x) (0

问题归结为：x 収何值时目标函数y 最小.

/ \ I

求导得y f = k 1 =一3，令y" = 0得x = 15(km).

、V400 + x~ ) 由于 y(0) = 400£, y(15) = 380£, y(100) = 100@£. 从而当BD = 15 (kmJB'J-，总运费最省.

例10（E07）某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部 租111去.当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20 元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入？

解 设房租为每月兀元，租出去的房子有50-（犬二型］套，每月总收入为

10

V =70 一一，解 R\x ） = 0,得兀=350 （唯一驻点）. 故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为/?（350） = 10890（元）.

求函数的最大值最小值

例11敌人乘汽车从河的北岸A 处以1米/分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从 河的南岸B 处向正东追击，速度为2千米/分钟，问我军摩托车何吋射击最好（相距最近射击 最好）?

解（1）建立敌我相距函数关系 设t 为我军从B 处发起追击至射击的事件（分）.敌我相距函数5（/）

5(f) = J(0.5 + r)2+(4-2r)2

⑵求5 = 5(r)的最小值点

5/-7.5 7(0.5 + z)2+(4-2r)2

令= o,得唯一驻点（ = 1.5.

故得我军从B 处发起追击后1.5分钟设计最好. 实际问题求最值应注意：

（1） 建立目标函数； （2） 求最值；

若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最人（或最小）值.

R(x) = U - 20) 50- x-180、

10 )

X = (x-20) 68——,

I 10丿 + (“20)卜茁

2 2

例12求内接于椭圆与+务=1而面积最大的矩形的各边之长. a~ b~ 解 设M(x,y)为椭圆上第一象限内任意一点，则 以点M 为一顶点的内接矩形的面积为

S(x) = 2x- 2y = — x^a 1 -x 2,0

a

且 S(0) = S(d) = 0.

Q

yla 2-x 2

是S(x)的最人值,最大值

仏=乎诗卜倍!=切

课堂练习

1. 下列命题正确吗？

若兀()为/(X )的极小值点，则必存在旳的某邻域，在此邻域内，/(兀)在兀()的左侧下降，而 在兀()的右侧上升.

2. 若/(d)是/(兀)在［d,切上的最大值或最小值，且广⑺)存在，是否一定有f(a) = 0?

4b a 2 -2x 2 万需2“

由 S3 = o,

求得驻点尤0 =

为唯一的极值可疑点.依题意，S(x)存在最大值，故

对应的y 值为

即当矩形的边长分别为血a, Qb 时面积最大.

高等数学第一章《函数与极限》

第一章 函数与极限 一、内容提要 （一）主要定义 【定义 1.1】 函数 设数集,D R ⊂如果存在一个法则，使得对D 中每个元素x ,按法则f ,在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称:f D R →为定义在D 上的函数,记作 (),y f x x D =∈. x 称为自变量,y 称为因变量,D 称为定义域. 【定义1.2】 数列极限 给定数列{} x n 及常数a ,若对任意0ε>,总存在正整数N ,使得当n N >时,恒有x a n -<ε成立,则称数列{} x n 收敛于a ,记为a x n n =∞ →lim . 【定义1.3】 函数极限 （1）对于任意0ε>,存在()0δε>,当δ<-<00x x 时,恒有()ε<-A x f .则称A 为()f x 当0x x →时的极限,记为A x f x x =→)(lim 0 . （2） 对于任意0ε>,存在0X >,当x X >时,恒有f x A ()-<ε.则称A 为 ()f x 当x →∞时的极限,记为lim ()x f x A →∞ =. （3）单侧极限 左（右）极限 任意0ε>,存在()0δε>,使得当000(0) x x x x δδ-<-<<-<时,恒有()ε<-A x f .则称当00()x x x x -+ →→时)(x f 有左（右）极限A ,记为 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→== 或00(0)((0))f x A f x A -=+=. 单边无穷极限 任意0ε>,存在0X >,使得当x X >（x X <-）时, 恒有 f x A ()-<ε, 则lim ()x f x A →+∞ =（lim ()x f x A →-∞ =） . 【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()f x 当0x x →(或x →∞)时的极限为零（|()|f x 无限增大）,那么称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷小（无穷大）.

高等数学教学教案 函数的极值与最大值最小值

§3. 5 函数的极值与最大值最小值 授课次序22

极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法: 设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ? ? ? , x n , 则比较 f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b ) 的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值. 解 ???∈-+-?-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ???∈+-?-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为2 3=x ; 不可导点为x =1和x =2. 由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最 大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0. 例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=. 设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ?CD +3k ?DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100). 现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2 -+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km). 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005 1 1500|+ ==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省. 例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则 y =5k ?CD +3k ?DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005( 2 -+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005 1 1500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当 AD =x =15km 时, 总运费为最省. D C 20km A B 100km

高等数学第一章：函数与极限

第一章：函数与极限 第一节：函数 1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。（重点在于单调性与奇偶性） 单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0 奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。奇函数如果连续则一定经过0点，值为0 周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为 a T

第二节：极限 1、数列极限 定义： εε<->>∃>∀⇔=∞ →A x N n N A x n n n ,,0,0lim M x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞ →,,0,0lim 性质： 1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界 3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。 4) 保号性：A x n n =∞ →lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0. 5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞ →∞ →≤lim lim 。 四则运算： 1) b a y x n n n +=+∞ →）（lim 2) b a y x n n n ⋅=⋅∞ →）（lim 3) b a y x n n n =∞ →）（ lim ，（b ≠0） 2、函数极限 定义： εε<->>∃>∀⇔=∞ →a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当 εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00 ，当 性质： 1) 唯一性，左极限等于右极限。 2) 局部有界性（重点）：极限存在，则某一空心邻域内有界（注意，一定是空心邻域，该点不一定存在） 3) 有序性：同数列极限

高等数学(函数与极限)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

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第五节函数的极值与最大值最小值 在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，两数先是单调增加(或减少)，到达某一点后又变为单调减少(或增加)，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点.如在上节例3的图3・4・5中，点兀=1和兀=2就是具有这样性质的点，易见，对兀=1的某个邻域内的任一点兀(2 1),恒有f(x) /(2),即曲线在点(2,/(2))处达到“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重耍的意义.由此我们引要入函数极值的概念. 分布图示 ★函数极值的定义 ★函数极值的求法★例1★例2★例3 笫二充分条件 ★例4★例5★例6 最大值最小值的求法★例7 ★例8★例9★例10 ★例11★例］2 内容小结★课堂练习 ★习题3・5 ★返回 内容要点 一、函数的极值 极值的必要条件 第一充分条件与第二充分条件 求函数的极值点和极值的步骤 (1)确定函数/(兀)的定义域，并求其导数; (2)解方程f\x) = 0求出于(兀)的全部驻点与不可导点； (3)讨论厂(劝在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值 点； (4)求出各极值点的函数值，就得到函数/(兀)的全部极值. 二、函数的最大值与最小值 在实际应用屮，常常会遇到求最大值和最小值的问题.如用料最省、容暈最大、花钱最少、效率最高、利润最大等.此类问题在数学上往往可归结为求某一函数(通常称为目标函数)的 最大值或最小值问题. 求函数在创上的最大(小)值的步骤如下： (1)计算函数/(兀)在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这些值中最大的就 是最大值，最小的就是最小值； (2)对于闭区间［d,b］上的连续函数/(兀)，如果在这个区间内只有一个可能的极值点, 并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区I'可上的最大值(或最小值)点.

高等数学同济大学版课程讲解函数的极限

课 时 授 课 计 划 课次序号：03 一、课 题：§函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–31（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、 授课 效果分析： 第三节函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时， ； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限．与数列极限不同的是，对 于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义1若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称

(完整版)高等数学-第1章函数与极限-1-3极限存在准则

1.5极限存在准则 两个重要极限 教学目的：知道极限存在准则，会用它证明一些极限的存在性。掌握两个重要极限。 教学重点： 极限存在准则, 两个重要极限 教学内容： 1.4.1 极限存在准则 1夹逼准则 定理1.4.1 若数列{}n x ，{}n y 和{}n z 满足 (1)n n n x y z ≤≤, 0n N >; (2) lim lim n n n n x z a →∞ →∞ == 则lim n n y a →∞ =。 证明 因lim n n x a →∞ =，则0ε∀>，1N ∃，1n N >时有n x a ε-<，即 n a x a εε-<<+ (1.4.1) 又lim n n z a →∞ =，对上述ε，2N ∃，2n N >时有n z a ε-<，即 n a z a εε-<<+ (1.4.2) 取012max{,,}N N N N =，n N >时(1.4.1)式与(1.4.2)式同时成立。 又0n N >时,n n n x y z ≤≤，于是n N >时 n n n a x y z a εε-<<<<+ 即 n y a ε-< 从而 lim n n y a →∞ =. 例1 证明0a >时，1n = 证明 1a >1n r =+，0n r >(1,2,)n =L 。 由二项式定理有， 2 (1)(1)112 n n n n n n n n n a r nr r r nr -=+=++ ++>+L 于是 0n a r n << 又 lim 0n a n →∞= 因此，由夹逼准则，lim 0n n r →∞ =. 于是 1n =

1a <时， 1 1a >，由上述结果有，lim 1n =，因此， 1 n n == 1a =时，结论显然成立，综上所述，0a >时，lim 1n =。 例2 求11 2 12lim()max{,,,}n n n n n n n m m n a a a a a a →∞ +++=L L ，其中 0 (1,2,)i a i m ≥=L 解 设12max{,,,}n a a a a =L ，于是 12n n n n a a a a <+++，0 0(,)x U x δ∀∈，有 ()()()g x f x h x ≤≤，则0 lim ()x x f x A →=. 例3 证明0 limcos 1x x →= 证明 因 2 22 01cos 2sin 2222x x x x ⎛⎫ <-=<⋅= ⎪⎝⎭ ，而20lim 02x x →=. 由定理1.4.2，0 limcos 1x x →=。 2 单调有界准则 定理1.4.3单调有界数列必有极限。 定理1.4.4若函数()f x 在(,)a +∞内单调增加（减少）且有上界（下界），则lim ()x f x →+∞ 存 在；若存在0δ>，00(,)x x x δ∈-时，函数()f x 内单调增加（减少）且有上界（下界），则 lim ()x x f x - →存在. 例4 设110x =，1n x +=(1,2,)n =L ，证明数列{}n x 收敛，并求它的极限. 证明 由110x =，24x ===知，12x x >.设对某个自然数k 有1k k x x +>， 则有 12k k x x ++== 由数学归纳法知，对一切自然数n 都有，1n n x x +>，即数列{}n x 单调减少。又

《高等数学 》教学大纲

《高等数学》教学大纲 一、课程名称 《高等数学》 二、课程性质 《公共必修课》 （一）开课学期：第一学期和第二学期开设 （二）适用专业：理科非数学专业及部分文科专业 三、课程教学目的： 通过本课程的学习，使学生系统地获得高等数学的基本知识，领会微积分的思想和精髓，掌握必要的基础理论和常用的运算方法,并培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析方法的熏陶和运用这些方法解决实际问题的初步训练，为后继课程的学习和应用奠定必要的基础，进一步提高自身素质和数学实践能力。 四、课程教学原则与教学方法： 本课程作为数学课程具有抽象性强，认知难度大等特点，同时还兼有教学时数少，理论推证和习题课相对有限等特点。本课程主要采用讲授法，教学时教师要突出重点，化解教学难点，通过教学，要力图使学生掌握高等数学的基本概念，遵循从具体到一般的原则，通过引入具体的实例和应用模型让学生了解抽象数学概念产生的背景与渊源，演化与发展。教学时要深刻揭示各部分知识的结构以及知识之间的内在联系，使教学呈现出清晰的主干脉络和条理性，使学生学习有明确的目标意识，从而增强学生学习的自觉性，能动性和创造性。习题是学好数学的重要实践性环节，建议加强习题课教学，选一些典型的有代表性的习题进行精讲，每节课要给学生布置适量的习题去做，最终使学生能准确系统地理解高等数学的有关内容，掌握高等数学处理问题的思想方法。 五、课程总学时：

总学时为180学时（90+90），分两个学期开设，习题课占24学时，有条件时还需要另增加辅导课。 六、课程教学内容要点： 第一章函数与极限（建议24学时） 一、教学目的 掌握函数概念与几个特性；掌握反函数概念，图形与直接函数关系；掌握五类基本初等函数定义与性质；掌握复合函数及初等函数的概念；掌握数列极限与函数极限定义，对一般简单的极限会用定义证明；理解函数左右极限概念、以及极限存在与左，右极限之间的关系；掌握无穷小，无穷大概念与性质；理解无穷小的阶；会用等价无穷小求极限；掌握极限性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解函数连续性概念，会判别函数间断点类型；掌握连续函数运算和初等函数的连续性，掌握闭区间上连续函数的性质，并学会应用这些性质。 二、教学重点与难点 函数的概念与几个特性；复合函数及初等函数的概念；无穷小，无穷大概念与性质；极限性质及四则运算法则；连续函数运算和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。 第一节映射与函数 1．集合 2．映射 3．函数 第二节数列的极限 1．数列极限的概念 2．收敛数列的性质

《高等数学A(一)》“课程思政”教学设计案例

函数的极值与最大值最小值 一、案例简介 教学内容在高等数学课程体系及人才培养方案中的地位与作用：（一）教材分析 （1）课程定位 现代数学是建立在微积分理论之上的分析数学。高等数学是通俗版的微积分，是为本科非数学专业开设的一门微积分理论课，是培养科技创新人才的公共基础课。微积分的出现，与其说是整个数学史，不如说是整个人类历史上的一件大事，它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又回过头来深刻地影响着生产和自然科学的发展。通过对微积分的学习，学生能获得必要的基础知识、基础理论和常用的运算方法，为后续课程（特别是专业课程）的学习和进一步拓展数学知识奠定了基础。 （2）地位作用 《函数的极值与最大值最小值》是微分中值定理与导数的应用这章第五节内容，题目本身就是导数的应用，是学生应用导数的基础。它在几何、物理等其他学科中的应用，这也符合教学大纲中明确规定的培养学生最基本的数学素质的要求。极值和最值是数学、物理、工

程、技术等有关问题高度抽象的结果，现在已广泛应用于自然科学、技术科学、社会科学、经济科学等领域。 （二）教学重点、难点 （1）教学内容 本节课主要讲解极值的概念及判别法，通过具体问题，给出极值的第一充分条件和第二充分条件及其推广，最后给出最值得判定方法。要求掌握用求导函数求函数极值的方法，以及掌握函数最大值和最小值的求法及其简单的应用。 （2）教学重点 根据教学大纲的要求和本节课的地位，本节课的教学重点是：极（最）大值、极（最）小值概念，求函数极（最）大值、极（最）小值的方法。 （3）教学难点 本节课的教学难点在于1、极值的必要、充分条件；2、函数极值的求法的理解与掌握。 （三）教学目标 （1）知识目标 理解函数导数的概念与极值、最值的概念；理解导数的几何意义。在原有知识的基础上构建新的知识结构，实现导数的应用。

函数和极限：极限的计算和应用

函数和极限：极限的计算和应用函数和极限是高等数学中的重要概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。本文将介绍极限的计算方法以及其在数学和实际问题中的应用。 一、极限的计算方法 1.1 无穷小量法 利用无穷小量的性质来计算极限是一种常用的方法。无穷小量是指当自变量趋于某个值时，函数值趋于零的量。常见的无穷小量有常数型、多项式型和指数型等。通过对函数进行无穷小量展开，可以得到极限的近似值。 1.2 L'Hopital法则 L'Hopital法则是解决函数极限问题的重要工具。当直接代入极限的定义形式无法得到确定的结果时，可以对函数的导数进行求解。 L'Hopital法则的核心思想是将函数的极限转化为导数的极限，从而简化计算过程。 1.3 夹逼定理 夹逼定理是一种常用的极限计算方法。当需要计算某个函数在某点的极限时，可以通过夹逼定理来确定其极限值。夹逼定理利用了函数与两个其他函数之间的关系，通过比较确定函数的极限。 二、极限的应用

2.1 数列极限与函数极限的关系 数列极限是极限概念的一种特殊形式，与函数极限密切相关。通过研究数列极限的性质，可以推导出函数极限的性质。数列极限与函数极限的关系是高等数学中的重要内容之一。 2.2 极值问题 极限在求解极值问题中有广泛的应用。当需要求解函数的最大值或最小值时，可以通过求解函数极限来确定。极值问题在经济学、物理学等领域有着重要的应用。 2.3 泰勒展开与近似计算 泰勒展开是将一个函数在某一点附近展开成幂级数的方法。借助泰勒展开，可以将复杂的函数近似为简单的幂函数或多项式，从而便于计算和分析。泰勒展开在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。 2.4 极限在微分学和积分学中的应用 极限在微分学和积分学中起着核心作用。微分学在研究函数的变化规律和斜率等方面有着重要的应用，而积分学在计算面积、体积等方面有广泛的应用。极限作为微积分的基础，为这些应用提供了理论支撑。 三、总结 函数和极限是高等数学中重要的概念，它们在数学和其他学科中都有广泛的应用。本文介绍了极限的计算方法，包括无穷小量法、

【教案】人教A版(2019)选择性必修第二册5.3函数的极值与最大(小)值(2)教学设计

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(1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)=M． 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximum value）. 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)∀x∈I，都有f(x)≥m； (2)∃x0∈I，使得f(x0)=m． 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值（minimum value）. 如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上的所有函数值． 问题2下图是函数y=f(x)，x∈[a，b]的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？ 观察图象，我们发现，f(x1)，f(x3)，f(x5)是函数y=f(x)的极小值，f(x2)，f(x4)，f(x6)是函数y=f(x)的极大值． 问题3进一步地，你能找出函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值、最大值吗？ 从图可以看出，函数y=f(x)在区间[a，b]上的最小值是f(x3)，最大值是f(a)． 追问在下面两幅图中，观察[a，b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们 在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ 2

结论一般地，如果在区间[a，b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它 必有最大值和最小值． 问题4最值与极值有什么区别和联系？ 最值与极值的区别是： 1.极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质； 2.函数的极大(小)值可以有多个，而最大(小)值是唯一的； 3.函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值，而最大值一定大于最小值(常值函数除外). 4.函数的极值不能在区间(定义域)端点取到，而函数最值可以在端点取到. 最值与极值的联系是： 最值有时是函数的极值. 问题5如何求函数在区间[a，b]上的最大值与最小值呢？ 结合上面两幅图，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值． 3

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念

高数函数与极限教案

授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课时间： 20 年9月 日 使用班级： 授课章节名称： 第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 教学目的： 1.理解复合函数的定义及复合过程，分段函数的定义及表示方法，极限的概念，函数左极限与右极限的概念； 2.熟练掌握∞→x 和 x x →时f(x)的极限存在的充要条件； 3.理解无穷大、无穷小的概念； 4.掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求教学重点： 1.函数极限与数列极限的概念，求极限的方法； 2.无穷大量与无穷小量的概念及性质. 教学难点： 1.函数极限的定义； 2.无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用。 教学方法：讲授，启发式、讲练结合 教学手段：传统讲授。 作业： 层次1：书16页1、2（1）（2）、4、6 层次2：书16页5、7 教案实施效果追记： （手书） 第1章 函数、极限与连续 第1节 函数（二）、第2节 极限 复习及课题引入（时间：5分钟）： 1、作业题处理； 2、复习函数的相关性质以及基本初等函数的相关知识点。 讲授新内容 ※※※※ 一、函数的概念（二）（时间：15分钟） 1、复合函数： 【引例】（公司员工问题） 某公司员工的工资占公司利润的若干比例，而公司的利润又取决于所销售的商品的数量，因此，该公司员工的工资由所销售商品的数量决定。 定义7设 ()u f y =,其中()x u ϕ=,且函数()x u ϕ=的值域包含在函

数 ()u f y =的定义域内,则称()[]x f y ϕ=为由()u f y =与()x u ϕ=复 合而成的复合函数,其中u 称为中间变量. 例如，x u u y sin ,2 ==可复合成x y 2 sin =. 注意： ①、并不是任意两个函数都能构成复合函数. 如，21u y -=和22+=x u 就不能构成复合函数。因为对函数 21u y -=而言， 必须要求变量[]11，-∈u ，而222≥+=x u ，所以对任何x 的值，y 都得不到确定的对应值。 ②、利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以 把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算时很重要的。 例4、将下列复合函数进行分解. (1)x y cos ln =; (2)3 sin x y =. 解 (1)x y cos ln =是由u y ln =,x u cos =复合而成的. (2)3 sin x y =是由3 u y = ,x u sin =复合而成的. 2、初等函数： 定义8：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数. 例如：x y cos ln =，1 ) 1(2-++=x x x x y ，2cos 2+=x y 等都是初等函数。 3、分段函数： 定义9：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数. 注: (1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集. (2)分段函数一般不是初等函数.除⎩⎨⎧-==,,x x x y ,0, 0<≥x x 例如：

高等数学函数极限与连续习题及答案.docx

%3 -1 "T―「相同. X — L 错误 ..•当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 + 丁+1与g.= V 1函数关系相同，但定义域不同，所以f(x)%(x) X — L 是不同的函数。 2、 如果\f(x] > M (M 为一个常数)，则/■(》)为无穷大. 错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、 如果数列有界，则极限存在. 错误 如：数列%…=(-!)"是有界数列，但极限不存在 limL,,| = a lim = a "Too' ' co • 错误 如：数列 ％=(—l)", 1)"| = 1,但lim(-l)"不存在。 n —>ool I n —>oo 5、 如果 lim f(x) = A ,则 f(x) = A +a (当 x co 时，a 为无穷小). XTOO 正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、 如果 a 〜P,则 a - p = 6>(a). 正确 lim — = 1,是 a a — /3 :.lim ------- — a 7、 当XT 。时，1 — COSX 与亍是同阶无穷小. C • 2 X 1 2sin 一 1 . [.1-cosx [. 2 「 c 1 正确 lim ------------ -- —— 二 lim - - ——=lim 2 •— xtO 工2 X ->0 工2 XT O 4 8、 limxsin — = lim%-limsin — = 0 . x —>0 JQ x —>0 x —>0 JQ 错误 V limsin-不存在，.•.不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 XT0 X 9、 lim 1 + 1 x) 错误•.•limfl + 上]=e “A x) 1x1 10、 点x = 0是函数)=二的无穷间断点. X 错误 lim — = lim — = 一1, lim — = lim — = 1 x —>0-0 JQ x —>0-0 JQ XT O+O 尤 x —>0+0 JQ 1、函数 f (X )= I? + % + 1 与函数 g(') 4、 n —>oo =0,即a-/3是a 的高阶无穷小量。 / 、 .x sin — 2 x < 2 ?

高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ 2. （i ）数列{}n x a 的 （ii ）f x ∞→lim ( (iii) x f x x →lim )( (iv)（v （vi ）柯西条件是： ε>∀1.2.洛必达（L’ho x 趋如告诉f （x ）,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞∙0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞∙0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； 3211253)! 32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m x m x m x x x x x θ cos=221242)!22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 4.5.6.0>>>c b a ， n x =a （2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222)2(1)1(11lim n n n n 解：由n n n n n n n 1 111)2(1)1(1102222 22 =+++<++++< ，以及01 0lim lim ==∞ →∞ →n n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞ →n n n n n 2 221 211 1lim 解：由n n n n n n n n n n n n n n n n +=+++++<++++++<=++222222111121111111 ,以及

高中数学人教A版(新)选择性必修第二册 一元函数的导数及其应用 教学设计 -函数的极值与最大(小)值

5.3.2 函数的极值与最大（小）值 一、教学目标 1. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值； 3. 体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系. 二、教学重难点 1. 教学重点 利用导数求函数的极值、最值. 2. 教学难点 含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题. 三、教学过程 （一）新课导入 问题1 在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？ （二）探索新知 1. 函数的极值 问题2 观察图（1），当t a =时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？ 图（1） 图（2） 放大t a =附近函数()h t 的图象，如图（2）.可以看出，()0h a '=；在t a =的附近，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<.这就是说，在t a =附近，函数值先增（当t a <时，()0h t '>）后减（当t a >时，()0h t '<）.这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=.

对于一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？ 问题 3 如图，函数()y f x =在x a b c d e =，，，，等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的正负性有什么规律？ 以x a b =，两点为例，可以发现，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>.类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<. 我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. 例1 求函数31 ()443 f x x x =-+的极值. 解：因为31 ()443 f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x =-=+-'. 令()0f x '=，解得2x =-或2x =. 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如表所示. 因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为28(2)3 f -=； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为4 (2)3 f =-. 问题4 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

(整理)高等数学——函数与极限

《高等数学》教案 第一章：函数与极限（18课时） 第一节：映射与函数 教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。 一、集合 1、 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。 全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。 空集φ： A ⊂φ。 2、 集合的运算 并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \： }|{\B x A x x B A ∉∈=且 补集（余集）C A ：I ＼A 集合的并、交、余运算满足下列法则：

交换律：A B B A ⋃=⋃ A B B A ⋂=⋂ 结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂ 分配律： )()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂ 对偶律： (c c c B A B A =⋃) c c c B A B A ⋃=⋂)( 笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域 1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间] ()[b a b a ,,。 2）无限区间：（,a -∞），(],a -∞，[),a +∞，(),a +∞，(),-∞+∞。 3）邻域：}{),(δδδ+-=a x a x a U 注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为),(δa U 。 二、映射 映射概念 定义 设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作 Y X f →： 其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即)(x f y =。 注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。 三、函数 1、 函数的概念 定义 设数集R D ⊂，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为 D x x f y ∈=,)(。 注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、 函数的几种特性 1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）。 3）函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。 4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)