晶格振动与晶体的热学性质-习题
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
1。什么是简谐近似？
解:当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。
2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义.
解：由一维单原子链的色散关系2
sin
2qa
m
β
ω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为
2
2sin
qa qa
m
a
q
v p β
ω
== (1)
2
cos qa
m a dq d v g βω==
. 由（1）式及结合上图3。1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但当0→q 时，m
a
v p β
=为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原
子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。
由（2）式及结合上图3。1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度.但当0→q ，
m
a
v v p g β
==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即a
q π
=
时，0=g v ,
而m
a
v p β
π
2=
，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上
它是一种驻波。
3。周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果?如果晶体是无限大,q 的取值将会怎样？
解：由于实际晶体的大小总是有限的,总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响,波恩和卡门引入了周期性边界条件.其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1,2，3…。
引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。
如果晶体是无限大,波矢q 的取值将趋于连续。
4。什么叫声子?对于一给定的晶体,它是否拥有一定种类和一定数目的声子？
解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子,它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计,即具有能量为)(q w j 的声子平均数为
1
1)()
/()(-=
T k q w j B j e
q n
对于一给定的晶体,它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化.
5。试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处?
解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子,都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体"的粒子数目不守恒,但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。
6.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？
解:我们知道晶体比热容的一般公式为
2
)/()/(20
)1()()()(-=∂∂=⎰T k T k B B V V B B m
e d e T k k T E c ωωω
ωωρω 由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时,问题的关键在于如何求角频率的分布函数)(ωρ。但是对于具体的晶体来讲，)(ωρ的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中,
假设晶体中所有的原子都以相同的频率振动，而在德拜模型中，则以连续介质的弹性波来代表格波以求出)(ωρ的表达式。
爱因斯坦模型取得的最大成就在于给出了当温度趋近于零时,比热容V c 亦趋近于零的结果,这是经典理论所不能得到的结果。其局限性在于模型给出的是比热容V c 以指数形式趋近于零，快于实验给出的以3T 趋近于零的结果.德拜模型取得的最大成就在于它给出了在极低温度下,比热和温度3T 成比例，与实验结果相吻合。其局限性在于模型给出的德拜温度D Θ应视为恒定值,适用于全部温度区间，但实际上在不同温度下，德拜温度D Θ是不同的。 在极低温度下，并不是所有的格波都能被激发，而只有长声学波被激发，对比热容产生影响。而对于长声学波，晶格可以视为连续介质，长声学波具有弹性波的性质，因而德拜的模型的假设基本符合事实,所以能得出精确结果。
7.声子碰撞时的准动量守恒为什么不同于普通粒子碰撞时的动量守恒？U 过程物理图像是什么？它违背了普遍的动量守恒定律吗？
解：声子碰撞时，其前后的总动量不一定守恒，而是满足以下的关系式
n G q q q +=+321
其中上式中的n G 表示一倒格子矢量。
对于0=n G 的情况，即有321q q q =+,在碰撞过程中声子的动量没有发生变化,这种情况称为正规过程，或N 过程,N 过程只是改变了动量的分布,而不影响热流的方向，它对热阻是没有贡献的。对于0≠n G 的情况，称为翻转过程或U 过程,其物理图像可由下图3。2来描述：
在上图3。2中,21是向“右”的，碰撞后3是向“左"的，从而破坏了热流的方
向，所以U 过程对热阻是有贡献的.U 过程没有违背普遍的动量守恒定律,因为声子不是实物量子，所以其满足的是准动量守恒关系。
8。简要说明简谐近似下晶体不会发生热膨胀的物理原因；势能的非简谐项起了哪些作用？
解：由于在简谐近似下，原子间相互作用能在平衡位置附近是对称的，随着温度升高，原子的总能量增高，但原子间的距离的平均值不会增大，因此，简谐近似不能解释热膨胀现象。
势能的非简谐项在晶体的热传导和热膨胀中起了至关重要的作用. 9。已知由N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为
2
12
2)
(2)(-
-=
ωωπ
ωρm
N
.
式中m ω是格波的最高频率.求证它的振动模总数恰好等于N .
解：由题意可知该晶格的振动模总数为
⎰
⎰-
-=
=
m
m
d N d N m
ωωωπ
ωωωωρ0
2
12
20
)
(2)(
N N N
m
m
=-=
=)02
(2arcsin 20
π
πωωπω 10。若格波的色散关系为2
cq =ω和20cq -=ωω,试导出它们的状态密度表达式。
解：根据状态密度的定义式可知
ω
ωρω∆∆=→∆n
0lim
)( (1)
其中n ∆表示在ωωω∆+→间隔内晶格振动模式的数目.
如果在q 空间中，根据const =)(q ω作出等频率面，那么在等频率面ω和ωω∆+之间的振动模式的数目就是n ∆.由于晶格振动模在q 空间分布是均匀的,密度为3
)2/(πV (V 为晶体体积），因此有
的等频率面间的体积）＋和（频率为ωωωπ∆⨯=
∆3
)
2(V
n ⎰∆+=
ω
ωω
πdSdq V 3
)2( ……………………（2） 将（2）式代入(1)式可得到状态密度的一般表达式为
⎰
∇=
)
()2()(3
q dS
V
q ωπωρ (3)
（3）式中)(q q ω∇表示沿法线方向频率的改变率. 当2
cq =ω时，将之代入（3）式可得
2/12/322
331)2(421)2()(1)2()(ωπππωπωρc
V q cq V dS q V q ⋅=⋅=∇⋅=
⎰ 当2
0cq -=ωω,将之代入(3）式可得
2/102/322
33)(1)2(421)2()(1)2()(ωωπππωπωρ-⋅=⋅=∇⋅=
⎰c
V q cq V dS q V q 11。试求质量为m ，原子间距为2/a ，力常数交错为1β，2β的一维原子链振动的色散关系。当1210ββ=时，求在0=q 和a
q π
=
处的)(q ω，并粗略画出色散关系.
解：下图3。3给出了该一维原子链的示意图
x 2n-2 x 2n+1 x 2n x 2n+1 x 2n+2 x 2n+3
图3.3
在最近邻近似和简谐近似下，第2n 和第（2n+1）个原子的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=++++-+)()()()(2122122212122
122121222
22n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（1） 当1210ββ=时，上述方程组（1）可变为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=++++-+)(10)()()(102121122212122
122121212
22n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ ……………（2） 为求格波解，令
⎪⎩⎪⎨⎧==-++-]
2)12[(12]2
)2[(2t qa
n i n t qa
n i n Be
x
Ae
x ωω ……………（3） 将(3）式代入（2)式,可导出线性方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=-++-=+----0
)11()10(0)10()11(212/2/12/2/12
1B m A e e m
B e e m A m iqa iqa iqa iqa ωβββωβ ……………（4） 令
2
01
ωβ=m
,从A ，B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
0)10)(10()11(2/2/2/2
/402220=++----iqa iqa iqa iqa e e e e ωωω (5)
由（5）式可解出)101cos 2011(2
02+±=qa ωω
当0=q 时,1cos =qa ,022ωω=+，0=-ω
当
π
时,1cos -=qa ，20ω，2ω
12。如有一维布喇菲格子，第n 2个原子与第12+n 个原子之间的力常数为β；而第n 2个原子与第12-n 个原子的力常数为'β。 （1） 写出这个格子振动的动力学方程; （2） 说明这种情况也有声学波和光学波； （3） 求0=q 时，声学波和光学波的频率； （4） 求a
q 2π±
=（a 为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。
解：（1)此题与（11)题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第n 2和第12+n 个原子的动力学方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧---=---=++++-+)()(')(')(21212222122
1222122
22n n n n n n n n n n x x x x dt x d m x x x x dt x d m ββββ (1)
（2）为求出方程组(1）的格波解，可令
⎩⎨⎧==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be
x Ae x ωω ……………（2） 于是将(2)式代入（1）式，可导出线性方程组为
⎪⎩⎪⎨⎧=-+++-=+--+--0
)'()'(0)'()'(22
B m A e m e m
B e m e m A m iqa iqa iqa iqa ωββββββωββ ……………（3) 令20'ωββ=+m ,21ωβ=m ，22
'ωβ=m
从A 、B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得
0)2cos 2()(2
22142412220=++--qa ωωωωωω (4)
由(4）式可解出
qa 2cos 22
2214241202ωωωωωω++±= ……………
（5） 由此可知，ω的取值也有+ω和-ω之分，即存在声学波和光学波 （3)由（5）式可知 当0=q 时，12cos =qa ,有 声学波频率)(222120ωωωω+-=
-，光学波频率)(2
22120ωωωω++=+
（4）同样由（5）式可知 当a
q 2π±
=时，12cos -=qa ，有
声学波频率2
22
12
0ωωωω--=-，光学波频率2
22
12
0ωωωω-+=+ 13。在一维双原子链中，如1/>>m M ，
（1）求证:
qa M
sin 21β
ω=
; 21
22)cos 1(2qa M
m m +=
βω. （2）画出ω与q 的关系图（设10/=m M )。
解：(1）在一维双原子链中，其第n 2个原子与第12+n 个原子的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=++++-)2()2(122222122
212122
22n n n n n n n n x x x dt x d M x x x dt x d m ββ (1)
为解方程组（1）可令
⎩⎨⎧==-++-]
)12[(12]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be
x Ae x ωω …………………（2) 将(2）式代入（1)式可得出
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--0
)2()cos 2(0)cos 2()2(22
B M A qa M
B qa m A m ωβββωβ …………………（3） 从A 、B 有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得
0sin 4
)(
2224=⋅
++
-qa m M m
M
β
βωβ
β
ω
可解出得
qa m M m
M
m
M
222
sin 4
)(
)(
β
ββ
β
β
β
ω⋅
-+
±+
= (4)
当（4）式中取“－”号时，有 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
+--+=
2
122
2
1
)sin )(41(1)(qa m M Mm mM
m M βω ……………(5） ∵1/>>m M ，∴(5）式中有
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
+)
(，
1sin 4sin 4sin )(4222
22<<=≈+qa M m qa M
Mm qa m M Mm 那么(5）式可简化为
qa M qa M m m qa M m m 222
1
221sin 2)sin 4211(1)sin 41(1βββω=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⋅--≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--≈
∴qa M
sin 21β
ω=
当(4)式中取“＋"号时,有
2
12
2
22cos )(41)()
(⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
-+-+
+=
qa m M Mm Mm
m M Mm
m M ββω ……………（6） ∵1/>>m M ，∴（6）式中有
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
+)
(，
m
Mm
M
Mm
m M β
ββ=
≈
-)
(
1cos 4cos 4cos )(422
2
22<<=≈-qa M m qa M
Mm qa m M Mm 那么（6）式可简化为
)cos 1(2)cos 4211()cos 41(2221
222
qa M
m
m qa M m m m qa M m m m +=⋅++≈++≈
ββββ
βω ∴21
22)cos 1(2qa M
m m +=
βω
(2) 相应的声子能量是多少eV?
(3) 这3种声子在300K 时各有多少个？
(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？
解:(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为：
μ
β
ω2max =
+
上式中g M m m M m mM 2424
1068.61
4/11067.151/--⨯=+⨯⨯=+=+=
μ为约化质量
m
βω2m in =
+ 所以有:
Hz 13
3
24max 1012.210
1068.65.12⨯=⨯⨯⨯=
--+ω Hz 133
24min 1090.110
1067.155
.12⨯=⨯⨯⨯⨯=
--+ω 而声学波频率的最大值的计算公式为：
m m
M M
⋅==
-β
β
ω22max
所以有：
Hz 12
3
24max 1050.910
1067.1545.12⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
---ω （2）相应的声子能量为：
eV J 2211334max
max 1040.110236.21012.214.3210625.6---++⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==ωε
eV J 2211334min
min 1025.110004.21090.114.3210625.6---++⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==ωε
eV J 2211234max
max 10625.010002.11050.914
.3210625.6-----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯==ωε
(3)由于声子属于玻色子,服从玻色—爱因斯坦统计，则有
140.11
1
1
1)
3001038.1/(10236.2)/(max 2321max ≈=-=
-=
⨯⨯⨯+--+e
e n T k B ω
261.11
1
1
1)
3001038.1/(10004.2)
/(min 2321min ≈=-=
-=
⨯⨯⨯+--+e
e
n T k B ω
465.31
1
1
1)
3001038.1/(10002.1)/(max 2321max ≈=-=
-=
⨯⨯⨯----e
e n T k B ω
（4）如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：
m c
513
8max
1088.810
12.210998.214.322-+⨯=⨯⨯⨯⨯==
ωπλ
15.在一维双原子晶格振动的情况下,证明在布里渊区边界a
q 2π±
=处，声学支格波中所有轻
原子m 静止,而光学支格波中所有重原子M 静止。画出这时原子振动的图像。
解：设第n 2个原子为轻原子，其质量为m ，第12+n 个原子为重原子,其质量为M ，则它们的运动方程为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-+=-+=++++-)2()2(122222122
212122
22n n n n n n n n x x x dt x d M x x x dt x d m ββ …………………（1） 为解方程组（1)可令
⎩⎨⎧==-++-]
)12[(1
2]
)2[(2t qa n i n t qa n i n Be x Ae x ωω …………………（2） 将（2）式代入（1）式可得出
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--0
)2()cos 2(0)cos 2()2(22B M A qa M
B qa m A m ωβββωβ …………………（3） 从A 、B 有非零解，方程组(3）的系数行列式等于零的条件出发，可得
0sin 4
)(
2224=⋅
++
-qa m M m
M
β
βωβ
β
ω
可解出得
qa m M m
M
m
M
222
sin 4
)(
)(
β
ββ
β
β
β
ω⋅
-+
±+
=± (4)
令a
q 2π
±
=，则可求得声学支格波频率为M
β
ω2=
-，光学支格波频率为m
βω2=+ 由方程组（3）可知，在声学支中，轻原子m 与重原子M 的振幅之比为
0/2/2/cos 2=-=M
m m qa B A βββ 由此可知,声学支格波中所有轻原子m 静止。
而在光学支中，重原子M 与轻原子m 的振幅之比为
0/2/2/cos 2=-=m
M M qa A B βββ 由此可知,光学支格波中所有重原子M 静止。 此时原子振动的图像如下图3.6所示：
的频率在a
q 2π
±
=处相等，都等于
M
β2。 而在一维单原子链中,其色散关系为2
sin 422
qa M βω=
，由此可见，在一维单原子链中只存在一支格波,其色散关系曲线与一维双原子链中的声学波的色散关系曲线基本相似，在其布里渊区边界，即a
q π
±=处,其格波频率为M
β
ω2
=,是双原子链的格波在布里渊边界
的频率值的2倍。
17。设晶体由N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为
239)(ωω
ωρm
N
=
。
式中m ω为格波的截止频率。
解：在德拜模型中,假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系
q v p =ω (1)
那么格波的状态密度为
23
41
)2()(q dq
d V πω
πωρ⋅⋅=
32
2
2p
v V ωπ⋅= ……………………(2） 又根据 ⎰=m
N d ωωωρ0
3)( (3)
将（2）式代入（3)式得
⎰=⋅m
N d v V p ωωωπ
032
2
32 ……………………（4） 由(4)式可得 N
V v m
p
2
3
318πω= ……………………（5) 把（5）式代入（2）式即可得 239)(ωωωρm
N
=
18.设晶体中每个振子的零点振动能是ω 2
1
，试用德拜模型求一维、二维和三维晶体的总零点振动能。设原子总数为N ，一维晶格长度为L ，二维晶格的面积为S ,三维晶格的体积为V .
解：（1）一维晶体的总零点振动能为：
)()()()21
)((0j N
q j j N
q j q q n q q n E j
j ωω ⋅-+=∑∑
∑∑==--+-=
N j T k j j N
j T k B j B j
e
e 1)
/(1
)
/(1)21
11
(ωω
ωω
设ωωρd )(表示角频率在ωωωd +→之间的格波数，而且
N d m
=⎰
ωωωρ0
)( (1)
上式中：m ω是最大的角频率;N 为晶体中的原子数。则上述的总零点能可以写成：
ωωρω
ωωωρωωωωd e d e E m B m
B T k T k )(1
)()2111
(
0)/(0
)/((0⎰⎰--+-= ωωωρωd m )(2
10 ⎰= ………………………………………（2) 考虑到一维晶体中，其状态密度为：
ω
ωωρd dq
dq dZ d dZ ⋅==
)( ………………………………………（3） 由于德拜模型考虑的是长声学波的影响，而长声学波可以看成连续媒质弹性波。对于
弹性波,一个波矢对应一个状态，则有： π
πqL
L q q Z x ==
∆=/22/2q
故
π
L
dq dZ = ………………………………………(4） 对于弹性波,q v P =ω,则
P v dq
d =ω
………………………………………(5） 将(4)和（5）式代入(2）式，得: P
v L
πωρ=
)( ………………………………………（6) 将（6）式代入（1）式，可得:L
Nv P
m πω=
将（6）式代入(2)式，可得一维晶体的总零点振动能： L
v N d v L
E P P L
Nv P
42120
0 πωπωπ=
=
⎰
（2)对于二维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法相似，只是
对于(1)式要改为：
N d m
2)(0
=⎰
ωωωρ (7)
而对于二维晶体，其状态密度函数为: 2
)(P
v S πω
ωρ=
(8)
将（8)式代入(7）式可得：2
124⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=S
Nv
P
m πω 将(8)式代入（2）式可得二维晶体的总零点振动能为：
2
3240
04622121
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛==⎰
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛S N Sv d v S E P P S Nv P
ππωπω
ωπ （3） 对于三维晶体来说，计算其总零点振动能基本方法与一维晶体的方法也基本相
似，只是对于（1)式要改为：
N d m
3)(0
=⎰
ωωωρ (9)
而对于三维晶体，其状态密度函数为：
3
22
23)(P v V πωωρ= ………………………………………（10) 将(10)式代入（9）式可得：3
132
6⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=V v N P
m πω
将(10)式代入（2)式可得三维晶体的总零点振动能为:
3
42
2
322
60
0616322131
32⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=⋅=
⎰
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛V N Vv d v V E P P V v N P
π
πωπω
ωπ 19.应用德拜模型，计算一维、二维情况下晶格振动的状态密度、德拜温度、晶格比热容。
解：在德拜模型中，假设晶体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系
q v p =ω (1)
（1）在一维情况下,晶格振动的状态密度为 p v L dq
d L πωπωρ=⋅⋅=
212)( ……………………（2） 上式中，L 表示一维晶格的总长度。
又由关系式
⎰=m
N d ωωωρ0
)( (3)
将式（3）代入式（2）可得
⎰=m
N d v L
p
ωωπ0
，由此求得L Nv p m πω= 于是德拜温度L
k Nv k B p
B m D πω=
=Θ 晶体的比热容为
ωπωωωωd v L
e e T k k c p
T k T k B B V B B m
⋅-=⎰
2
)/()/(20
)1()(
⎰
-=
)
/(0
2
22)
1(T k x x
p
B B m dx e e x v TL k ωπ （其中T k x B ω =） (2）在二维情况下，晶体振动的格波有2支，即一支纵波和一支横波,在德拜模型中，假设纵波和横波的波速相等，都等于p v ，即纵波和横波都有如下的色散关系 q v p =ω
先考率纵波，其状态密度为
22
1221)2()(p v S q dq
d S πω
πωπωρ=⋅⋅
=
类似地可以写出横波的状态密度为222)(p
v S πω
ωρ= 加起来总的状态密度为
2
21)()()(p
v S πω
ωρωρωρ=
+= …………………（4） 又由关系式
⎰=m
N d ωωωρ0
2)( (5)
将(4)式代入（5）式得
⎰=m
N d v S p
ωωπω
022，由此可得2
124⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=S Nv P
m πω 于是得德拜温度为2
12
4⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
=ΘS
Nv
k k P
B B m D πω 而晶体的比热容为 ωπωωωωωd v S e e T k k c p
T k T k B B V B B m
22)/()/(20
)1()(⋅-=
⎰
⎰
-=
)
/(0
2
3222
3)
1(T k x x
p
B B m dx e e x v S
T k ωπ （其中T k x B ω =） 20.已知金刚石的弹性模量为1×1012N/m 2，密度为3。5g/cm 3。试计算金刚石的德拜温度D Θ。
解：假设金刚石的原子振动的格波为一连续介质的弹性波，其波速为
4
3
121069.110
5.3101⨯=⨯⨯==
ρK
v p m/s 而又金刚石的原子密度为29
233
30
10756.11002.610
12105.3⨯=⨯⨯⨯⨯==
-C
M N n ρ 个/m 3
由此可知金刚石的德拜温度为 3/12)6(πωn k v k B
p
B m D ==
Θ 3
/122923
434)14.310756.16(10
381.11069.110055.1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-- 2817=K
21.具有简单立方布喇菲格子的晶体,原子间距为2×10—
10m ，由于非线性相互作用，一个沿[100]方向传播,波矢大小为10
103.1⨯=q m -1的声子同另一个波矢大小相等当沿［110］方向传播的声子相互作用，合成为第3个声子，试求合成后的声子波矢。
解:易知简单立方格子的倒格子仍是一简单立方格子，其倒格基矢1b 、2b 和3b 互相垂直,长度为
10101014.310
214.322⨯=⨯⨯=-a πm -1，第一布里渊区就是原点和六个近邻格点连线的垂直平分面围成的立方体。 又因为
)102
23.110223.1(103.110101021j i i q q ⨯⨯+⨯⨯
+⨯=+ j i 10
10
1092.01022.2⨯+⨯=
由此可知21q q +落在第一布里渊区之外，即可知题所述两声子的碰撞过程是一个翻转过程或U 过程，此时两声子的碰撞产生第三声子满足准动量守恒，即有
n G q q q +=+321 (其中n G 表示一倒格矢)
为使3q 落在第一布里渊区里，取i G 10
1014.3⨯=n ，则有
i j i G q q q 10
10102131014.31092.01022.2⨯-⨯+⨯=-+=n
j i 10
101092.01092.0⨯+⨯-=
其大小为1010103103.11092.01092.0⨯=⨯+⨯-=j i q m —
1
22.设某离子晶体离子间的相互作用势能为
2024)(r
B r
e r u +
-
=πε。 式中B 为待定常数；r 为近邻原子间距。求该晶体的线膨胀系数.已知近邻原子的平均距离为3×10-10m 。
解：由平衡条件
0)(0
=r dr
r du ，可得
02430
2
002
=-r B
r e πε 由此可得0028πεr e B = 于是可求得
3002228))((!210r e dr r u d C r πε==, 4
002334))((!310r e dr r u d g r πε=
-= 那么线膨胀系数为
2
002012431e
r k r C gk dT d r B B πεδα===
2
1910
2312)106.1(10310381.110854.814.312----⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
5
104.5-⨯=K —
1
晶格振动部分习题参考解答
晶格振动部分习题参考解答 晶格振动部分习题参考解答 9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为 a/2，求在q=0,q= a π 处的(q).并定性画出色散曲线。m m 10 m m ____________________________________________________ →← →← 2 2 a a 解：已知 21 )cos 2(12122212 12 qa m m A ββββββω++- += (1) 21 )cos 2(12122212 12 0a m m ββββββω++- += (2) 由题意 2＝10 1＝10
代入（1）式 得 21 )cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21 )cos 20101(11qa m m +-ββ = []2 1)cos 20101(11qa m +-β 当q=0时 0)1111(0 2=-==m q A β ω 当q=a π时 m m a q A β β ωπ2)911(2 = -= = 把 2=10 1=10 代入（2）式 得 []2 1)cos 20101(1120qa m
++β ω＝ 当q=0时m q βω220 2 == 时a q π±= m a q β ωπ 202 0= = 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)= 0－Aq 2 （A 0），求证光学波 频率分布函数(格波密度函数)为：g()= ∑ -=) 1(31 s i 24πV 2 321 )(0A i ωω- i ω≤0 g()=0 i ω>0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为 g (i ω)d i ω= q d d V i
固体物理习题答案
第一章晶体的结构 习题解答 1.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数目之比. [解答]设原子的半径为R,体心立方晶胞的空间对角线为4R,胞的边长为,晶胞的体积为,一个晶胞包含两个原子，一个原子占的体积为,单位体积 晶体中的原子数为;面心立方晶胞的边长为 ,晶胞的体积为 ,一个晶胞包含四个原子，一个原子占的体积为,单位体积晶体中的原子数为 . 因此，同体积的体心和面心立方体晶体中原子数之比为： =0.909。 2．解理面是面指数低的晶面还是面指数高的晶面？为什么？ [解答]晶体容易沿解理面劈裂，说名平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大。因为面间距大的晶体晶面族的指数低，所以解理面是面指数低的晶面。 3．与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？ [解答]正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面与倒格式 垂直,则倒格晶面与正格 矢正交。即晶列 与倒格面垂直。 4．高指数的晶面族与低指数的晶面族相比，对于同级衍射，哪一晶面族衍射光弱？为什么？ [解答]对于同级衍射，高指数的晶面族衍射光弱，低指数的晶面族衍射光强。低指数的晶面族间距大，晶面上的原子密度大，这样的晶面对射线的反射（衍射）作用强。相反，高指数的晶面族面间距小，晶面上的原子密度小。另外，由布拉格反射公式
2d h k l s inθ=nλ 可知,面间距d h k l 大的晶面，对应一个小的光的掠射角θ面间距d h k l 小的晶面，对应一个 大的光的掠射角θ。θ越大，光的透射能力就越强，反射能力就越弱。 5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方，π /6；（2）体心立方，； （3）面心立方，；（4）六角密积，； （5）金刚石结构，。 [解答]设想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，表示晶胞体积，则致密度 （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚球堆积，如图1 · 2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切。因为a=2r，V=a3，晶胞内包含1个原子，所以 （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1·2所示，体心位置O的原子与处在8个角顶位置的原子球相切。因为晶胞空间对角线的长为 ，晶胞内包含2个原子，所以
习题 研究生
固体物理练习题 其中带* 的为附加题 第1讲晶体结构 1.1画出下列晶体结构的原胞，说明他们的Bravais格子，并标出原胞中原子的坐标。（1）面心立方金属、氯化钠、金刚石； （2）体心立方金属、氯化铯。 1.2利用钢球密堆模型，求致密度： （1）简单立方；（2）体心立方；（3）六方密堆；（4）金刚石结构。 1.3证明对于六角密堆积结构，理想的c/a比为（8/3）1/2≈1.633。又：金属Na在273 K 因马氏体相变从体心立方转变为六角密堆积结构，假定相变时金属的密度维持不变，已知立方相的晶格常数a = 0.423 nm，设六角密堆积结构相的c/a维持理想值，试求其晶格常数。 1.4画出正四面体的所有基本对称操作。 1.5写出面心立方晶格的基矢，轴矢，配位数，致密度，体积 1.6金刚石结构原子间的键间角与立方体的体对角线间的夹角相同，试用矢量分析方法证明这一夹角为109o28'。 1.7画出体心立方和面心立方晶格结构的金属在（100），（110）和（111）面上的原子排列。 1.8指出立方晶格（111）面与（110）面，（111）面与（100）面的交线的晶向。 1.9如将布拉维格子的格点位置在直角系中用一组数（n1，n2，n3）表示，证明 （1）对于体心立方格子，n i全部为偶数或奇数； （2）对于面心立方格子，n i的和为偶数。
1.10 证明体心立方和面心立方格子互为正、倒格子。 1.11 对于密堆六方结构，原胞基矢为 123222 2a a a a c = +=- + =a i j a i j a k 试求倒格子基矢，并画出第一Brillouin 区。 1.12 考虑晶格中的一个晶面hkl （1）证明倒格矢123h k l =++G b b b 垂直于这个晶面； （2）证明晶格中另个相邻平行晶面的间距为()2/d h k l π=G ，对于简单立方晶格有 2 2 2 2 2 ()/()d h k l a h k l =++。 1.13 证明第一Brillouin 的体积为3 (2)/c V π，其中V c 是晶体原胞的体积。 1.14 * 试求面心立方结构，体心立方结构的结构因子，并讨论衍射的相消条件。 1.15 * 双原子线，设有A-B 键长为a /2，ABAB 排列……AB ，原子A 、B 的散射因子分别为f A ，f B ，X 射线束垂直作用于原子线。 （1）证明干涉条件为n λ = a cos θ，其中θ为衍射束与原子线之间的交角。 （2）倒格矢G = hb ，h 为整数，证明h 为奇数时衍射束的强度正比于│f A ? f B │2 ，h 为偶数 时正比于│f A + f B │2。
《固体物理学》房晓勇-思考题03第三章 晶体振动和晶体的热学性质
第三章晶体振动和晶体的热学性质 3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比 (1) 其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为 , (2) . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4) . (5) 由于 =， 则由(4)(5)两式可得,1 B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程. 由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. （2）与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不 符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。 解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉3.1.3，中南大学3.1.3） 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而hv 代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉3.1.5，中南大学3.1.5） 频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
固体物理题库-zzk-第一至第五章-1
第一章 晶体结构和X 射线 1、试证体心立方和面心立方各自互为正、倒格子 2、如果基矢a,b,c 构成正交关系，证明晶面族（h k l ）的面间距满足： 222)()()(1 c l b k a h d h k l ++= 3、证明以下结构晶面族的面间距： （1） 立方晶系：d hkl =a [h 2+k 2+l 2]-1/2 （2） 六角晶系：2/12222])()(34[-+++=c l a hk k h d hkl 4、等体积的硬球堆积成体心立方结构和面心立方结构，试求他们在这两种结构中的致密度分别为0.68和0.74。 5、试证密积六方结构中，c/a=1.633。 6、在立方晶胞中，画出（1 0 1），（0 2 1），（221）和（012）晶面。 7、如下图，B 和C 是面心立方晶胞上的两面心。 （1） 求ABC 面的密勒指数； （2） 求AC 晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。
8、六角晶胞的基矢为 . ,223,2 23k c c j a i a b j a i a a =+-=+= 求其倒格子基矢。 9、求晶格常数为a 的面心立方和体心立方晶体晶面族（h 1 h 2 h 3）之间的面间距（指导p30,10）。 10、讨论六角密积结构，X 光衍射的消光条件。 11、求出体心立方、面心立方的几何因子和消光条件。 12、原胞和晶胞的区别？ 13、倒空间的物理意义？ 14、布拉格衍射方程，原子和几何结构因子在确定晶格结构上分别起何作用？ 15、什么是布拉格简单格子，什么是复式格子？ 第二章 自由电子气 1、设有一个长度为L 的一维金属线，它有N 个导电电子，若把这些导电电子看成自由电子气，试求： （1） 电子的状态密度 （2） 绝对零度下的电子费米能级，以及费米能级随温度的变化关系。 （3） 电子的平均能量。 （4） 电子的比热。 2、二维电子气的能态密度2 )( πm E N =，证明费米能 ]1ln[/2-=T m k n B F b e T k E π 3、求出一维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个 电子对于比热的贡献。 4、求出二维金属中自由电子的能态密度、费米能级、电子的平均动能以及一个电子对于比热的贡献。
固体物理习题指导
固体物理习题指导 第一章 晶体的结构 第二章 晶体的结合 第三章 晶格振动与晶体热学性质 第四章 晶体的缺陷 第五章 能带 第六章 自由电子论和电子的输运性质 第一章 晶体的结构 思 考 题 1. 1. 以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比. [解答] 设原子的半径为R , 体心立方晶胞的空间对角线为4R , 晶胞的边长为3/4R , 晶胞的体积为 ()3 3/4R , 一个晶胞包含两个原子, 一个原子占的体积为()2/3/43 R ,单位体积晶体中的原子数为()3 3/4/2R ; 面心立方晶胞的边长为2/4R , 晶胞的体积为()3 2/4R , 一个晶胞包含四个原子, 一个原子占的体积为()4/2/43 R , 单位体积晶体中的原子数为()3 2/4/4R . 因此, 同体积的体心和面心 立方晶体中的原子数之比为2/323 ? ??? ??=0.272. 2. 2. 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ [解答] 晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 3. 3. 基矢为=1a i a , =2a aj , =3a ()k j i ++2a 的晶体为何种结构? 若=3a ()k j +2a +i 23a , 又 为何种结构? 为什么? [解答] 有已知条件, 可计算出晶体的原胞的体积 23 321a = ??=a a a Ω. 由原胞的体积推断, 晶体结构为体心立方. 按照本章习题14, 我们可以构造新的矢量 =-=13a a u 2a ()k j i ++-,
固体物理学答案朱建国版完整版
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固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编着）》使用 2020年11月25日
第1章晶体结构 (1) 第2章晶体的结合 (12) 第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20) 第4章晶体缺陷 (32) 第5章金属电子论 (35)
第1章 晶体结构 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 2 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b 那么， Rf Rb =3 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1，a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点若ABC 面的指数为（234），情况又如何 答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角 ，如下表所示。
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (3)
《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V=3r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 33 33=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 3 3≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ?
n=1232 126112+?+?=6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3=??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中633.1)3 8(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。… 、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ?=+?? ?=+?? ?=+?? r r r r r r r r r 由倒格子基矢的定义：1232()b a a π=?Ω r r r 3 1230, ,22 (), 0,224 ,,0 2 2a a a a a a a a a a Ω=??==r r r Q ，223,,, 0,()224,,0 2 2 i j k a a a a a i j k a a ?==-++r r r r r r r r 同理可得：232() 2() b i j k a b i j k a ππ=-+=+-r r r r r r r r 即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相 同。 所以，面心立方的倒格子是体心立方。
固体物理总结晶格振动与晶体的热学性质完全版
第四章总结 第四章要求 1、掌握一维单原子链振动的格波解及色散关系的求解过程以及 格波解的物理意义； 2、掌握一维双原子链振动的色散关系的求解过程，清楚声学波 与光学波的定义以及它们的物理本质； 3、了解三维晶格的振动； 4、掌握离子晶体长光学波近似的宏观运动方程的建立过程及系 数的确定，清楚LST关系及离子晶体的光学性质； 5、了解局域振动的概念； 6、掌握晶格热容的量子理论；熟悉晶格振动模式密度； 7、掌握非谐效应的概念以及它在热膨胀和热传导中的作用。 一维晶格的振动和三维晶格的振动 晶格振动的简谐近似和简正坐标 状态及能量确定晶格振动谱的实验方法 离子晶体的长波近似 热容 晶格振动的爱因斯坦模型 热容量德拜模型 晶格状态方程 非简谐效应热膨胀
热传导 一 、晶格振动的状态及能量 1、一维单晶格的振动 一维单原子链 格波：晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体地在作振动，由于晶体 内原子间有相互作用，存在相互联系，各个原子的振动间都存在着固定的位相关系，从而形成各种模式的波，即各晶格原子在平衡位臵附近作振动时，将以前进波的形式在晶体中传播，这种波称为格波。 相邻原子之间的相互作用 βδ δ -≈- =d dv F a d v d ⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=2 2δβ 表明存在于相邻原子之间的弹性恢复力是正比于相对位移的 第n 个原子的运动方程) 2(11n n n n m μμμβμ-+=-+∙ ∙ ) (naq t i nq Ae -=ωμ 色散关系： 把 ω 与q 之间的关系称为色散关系，也称为振动频谱或振动谱。 ) 2 1 ( sin 4]cos 1[22 2 aq m aq m ββω= -= 其中波数为 λπ /2=q ，ω是圆频率，λ是波长 （1） “格波”解的物理意义 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω的振动，不同原子之间 有位相差。相邻原子之间的位相差为aq 。 （2）q 的取值范围【－(π/a) 黄昆固体物理习题解答 第三章晶格振动与晶体的热学性质 3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移 为，μ= a nj j sin(ωj_ j + σ j) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj) j j （1） μ2 n = ? ? ? ∑ μ j nj ? ? ? ? ? ? ∑ μ j * nj ? ? ? = ∑ μ j 2 nj + ∑ μ μnj*nj′ j j′ 由于μ μnj?nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项 μ相比是一小量，可以忽略不计。所以2= ∑ μ 2 nj n j 由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j a j sin( t naq j j j)dt a =j （2） T 0 2 已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为 1 L T ? 1 ? d μ?2 ?ρw a2 T 1 = ∫ ∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w La nj T 0 0 0 ? 2 ?dt??2T 0 j j j j 4 j j 其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。 1221 所以T nj = ρ w La j j=KT（3） 4 2 μKT 因此将此式代入（2）式有 nj 2 = ρ ωL 2 j 第三章 晶格振动与晶体的热学性质 1。什么是简谐近似？ 解:当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义. 解：由一维单原子链的色散关系2 sin 2qa m β ω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为 2 2sin qa qa m a q v p β ω == (1) 2 cos qa m a dq d v g βω== . 由（1）式及结合上图3。1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但当0→q 时，m a v p β =为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原 子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。 由（2）式及结合上图3。1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度.但当0→q ， m a v v p g β ==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即a q π = 时，0=g v , 而m a v p β π 2= ，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上 它是一种驻波。 3。周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果?如果晶体是无限大,q 的取值将会怎样？ 解：由于实际晶体的大小总是有限的,总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响,波恩和卡门引入了周期性边界条件.其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1,2，3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大,波矢q 的取值将趋于连续。 4。什么叫声子?对于一给定的晶体,它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子,它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计,即具有能量为)(q w j 的声子平均数为 1 1)() /()(-= T k q w j B j e q n 对于一给定的晶体,它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化. 5。试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处? 解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子,都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体"的粒子数目不守恒,但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。 6.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？ 解:我们知道晶体比热容的一般公式为 2 )/()/(20 )1()()()(-=∂∂=⎰T k T k B B V V B B m e d e T k k T E c ωωω ωωρω 由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时,问题的关键在于如何求角频率的分布函数)(ωρ。但是对于具体的晶体来讲，)(ωρ的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中, 第一章 晶体结构 1、把等体积的硬球堆成下列结构，求球可能占据的最大体积和总体积之比。 （1）简立方 （2）体心立方 （3）面心立方（4）金刚石 解：（1）、简立方，晶胞内含有一个原子n=1，原子球半径为R ，立方晶格的顶点原子球相切，立方边长a=2R,体积为()3 2R ， 所以 ()33 344330.526 2n R R K V R πππ⋅==== （2）、体心立方晶胞内含有2个原子n=2，原子球半径为R ，晶胞边长为a ，立方晶格的体对角线原子球相切，体对角线长为4个原子半径，所以43 a R = 33 3 44 23330.68843n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫ ⎪⎝⎭ （3）、面心立方晶胞内含有4个原子n=4，晶胞的面对角线原子球相切，面对角线长度为4个原子半径，立方体边长为a,所以4 2 a R = 33 3 4442330.74642n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫ ⎪⎝⎭ (4)、金刚石在单位晶格中含有8个原子，碳原子最近邻长度2R 为体对角线 1 4 长，体对角线为83R a = 33 3 4483330.341683n R R K V R πππ⋅⨯====⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2、证明面心立方和体心立方互为倒格子。 09级微电子学专业《固体物理》期末考复习题目 至诚 学院 信息工程 系 微电子学 专业 姓名： 陈长彬 学号： 210991803 3、证明：倒格子原胞体积为 ()3 * 2 c v v π =，其中v c为正格子原胞的体积。 4、证明正格子晶面 与倒格矢 正交。 5能写出任一晶列的密勒指数，也能反过来根据密勒指数画出晶列；能写出任一晶面的晶面指数，也能反过来根据晶面指数画出晶面。 见课件例题 以下作参考： 15.如图1.36所示，试求： （1） 晶列ED ，FD 和OF 的晶列指数； （2） 晶面AGK ,FGIH 和MNLK 的密勒指数； （3） 画出晶面（120），（131）。 密勒指数：以晶胞基矢定义的互质整数( )。 [截a,b,c.] 晶面指数：以原胞基矢定义的互质整数( )。 [截a1, a2, a3.] 注意： a) 互质整数所定义的晶面不一定代表最近原点的晶面； b) 所有等价的晶面(001)以{001}表示； c) 晶面不一定垂直于晶向(其中li=hi)；仅对具有立方对称性的晶体， 才垂直于晶向； d) 对理想布喇菲格子，晶面的两面是等价的，故有=，但对复式格子的实际晶体，这是不成立的。如 AsGa 的（111）面与不等价，前者为As 面而后者为Ga 面；它们在许多物理、化学性质上都不一样，如腐蚀速度，生长速度等就不一样。 a x y z A B D C G F E O I H y x A a K O G L N M z 图1.36 解：（1）根据晶列指数的定义易求得晶列ED 的晶列指数为[111]，晶列FD 的晶列指数为[110]，晶列OF 的晶列指数为[011]。 （2）根据晶面密勒指数的定义 晶面AGK 在x ，y 和z 三个坐标轴上的截距依次为1，-1和1，则其倒数之比为1:1:11 1 :11:11=-，故该晶面的密勒指数为（111）。 () 321h h h 332211b h b h b h K h ++= 第三章晶格振动和晶体的热学性质 [引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0 C=的规律不符。1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论， V 认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0 C=的规律的结论，但与低温 V 下3 C T的实验结果不符。1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质， ~ V 晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3 ~ C T的结果。随后，玻恩及玻 V 恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。 因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。这种近似称为绝热近似。晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。 本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情 况，最后讨论晶体的热学性质。 [本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程 §3-1一维单原子链 考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0 ………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ?，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为： ()∑≠=N j i ij x U ?21……………………………………………(3-1-2) 式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0 是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对 位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将?展开为： ………………(3-1-3) 于是有：() ∑∑∑≠≠≠+???? ????+???? ????+=j i ij ij j i ij ij j i ij u x u x x U Λ20 2200 412121???…………… (3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格 ()()() Λ+??? ? ????+???? ????+=+=2 220021ij ij ij ij ij ij ij ij u x u x x u x x ????? 固体物理学·习题指导配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用 2019年11月20日 第1章晶体结构 (1) 第2章晶体的结合 (12) 第3章晶格振动和晶体的热学性质 (20) 第4章晶体缺陷 (33) 第5章金属电子论 (37) 第1章 晶体结构 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以R f 和R b 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问R f /R b 等于 多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a ： 对于面心立方，处于 面心的原子与顶角原子的距离为：R f = 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：R b = 32 a 那么， Rf Rb =23a a =63 1.2 晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，OA 、OB 和OC 分别与基失a 1， a 2和a 3重合，除O 点外，OA ，OB 和OC 上是否有格点？若ABC 面的指数为（234），情况又如何？ 答：晶面族（123）截a 1,a 2,a 3分别为1,2,3等份，ABC 面是离原点O 最近的晶面，OA 的长度等于a 1的长度，OB 的长度等于a 2长度的1/2，OC 的长度等于a 3长度的1/3，所以只有A 点是格点。若ABC 面的指数为（234）的晶面族，则A 、B 和C 都不是格点。 1.3 二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴b a 、，夹角ϕ，如下表所示。 序号 晶系 基矢长度与夹角 关系 布拉维晶胞类型 所属点群 1 斜方 任意2 ,π ϕ≠ b a 、 简单斜方（图中1所示） 1，2 2 正方 2,π ϕ= =b a 简单正方（图中2所示） 4，4mm 3 六角 32,π ϕ==b a 简单六角（图中3所示） 3，3m ，6，6mm 4 长方 2 ,π ϕ= ≠b a 简单长方（图中4所示） 有心长方（图中5所示） 1mm ，2mm 1 简单斜方 2 简单正方 3 简单六角 晶体的热学性质与晶格振动的相干性的实验 验证方法 晶体是由高度有序排列的原子、分子或离子构成的固体物质，具有独特的物理性质。热学性质是晶体的重要特征之一，它与晶格振动的相干性密切相关。在本文中，我们将讨论晶体热学性质与晶格振动的相干性的实验验证方法。 一、晶体热学性质的基本概念 晶体的热学性质包括热容、热导率和热膨胀等。热容是指物质单位质量在温度变化下吸收或释放的热量，通常用比热容表示。热导率是指在温度梯度下，物质单位面积的导热速率，它决定了晶体对热的传导能力。热膨胀是指晶体在温度升高时由于热量引起的体积扩大。 二、晶格振动的相干性及其对热学性质的影响 晶格振动是指晶体中原子、分子或离子在平衡位置附近发生的微小振动。晶格振动的相干性是指振动在晶体中传播时保持一定相位关系的特性。相干性决定了晶体的热学性质，例如热导率。当晶格振动的相干性较强时，振动能够高效传播并促进热量的传导。 三、实验验证方法 1. 热容的实验验证方法 热容的实验验证常常使用差示扫描量热计（DSC）进行。利用DSC 测量晶体在温度变化下与标准物质的热量差异，可以得到晶体的比热 容。实验时，先将待测晶体和标准物质分别放入两个试样舱中，然后 将试样舱加热至相同温度。在升温或降温过程中，记录两个试样舱中 热量的变化。通过比较晶体和标准物质的热量差异，可以计算出晶体 的比热容。 2. 热导率的实验验证方法 热导率的实验验证常常使用热导率仪进行。热导率仪利用恒定温度 梯度和导热传导原理，测量晶体的导热率。在实验中，将待测晶体样 品插入热导率仪中，然后利用热导率仪施加恒定温度梯度，通过测量 样品两端的温度差和导热板的功率，可以计算出晶体的热导率。 3. 热膨胀的实验验证方法 热膨胀的实验验证常常使用热膨胀仪进行。热膨胀仪利用样品的长 度变化来测量晶体的热膨胀系数。在实验中，样品放置在热膨胀仪中，受到加热后样品会发生长度变化。通过测量样品长度的变化，可以计 算出晶体的热膨胀系数。 四、实验注意事项 1. 实验前需要对实验仪器进行校准，以确保测量结果的准确性。 2. 选择适当的样品量和样品尺寸，以保证实验的可重复性和可比性。 3. 控制好实验条件，例如恒定的温度梯度和恒定的加热速率，以获 得可靠的实验数据。 课后练习 思考题： 第一章晶体结构 1-1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 1-2.晶格点阵与实际晶体有何区别和了解？ 1-3.晶体结构可分为Bravais格子和复式格子吗？ 1-4.图1.34所示的点阵是布喇菲点阵（格子）吗？为什么？如果是，指明它属于那类布喇菲格子？如果不是，请说明这种复式格子的布喇菲格子属哪类？ （a）（b）（c）（d） 图1.34 1-5.以二维有心长方晶格为例，画出固体物理学原胞、结晶学原胞，并说出它们各自的特点。 1-6.倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？ 1-7.一个物体或体系的对称性高低如何判断？有何物理意义？一个正八面体（见图）有哪些对称操作？ 1-8.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 1-9. 5.晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基矢、和重合，除O点外,OA、OB和OC上是否有格点？若ABC面的指数为（234），情况又如何？ 1-10.带轴为[001]的晶带各晶面，其面指数有何特点？ 1-11. 与晶列[l1l2l3]垂直的倒格面的面指数是什么? 1-12. 在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的? 1-13. 六角密积属何种晶系?一个晶胞包含几个原子? 1-14.体心立方元素晶体, [111]方向上的结晶学周期为多大?实际周期为多大? 1-15. 面心立方元素晶体中最小的晶列周期为多大?该晶列在哪些晶面内? 1-16. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 第二章固体的结合 2-1.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯键和氢键的基本特征. 2-2.有人说“晶体的内能就是晶体的结合能”，对吗？ 2-3.当2个原子由相距很远而逐渐接近时，二原子间的力与势能是如何逐渐变化的？ 2-4.为什么金属比离子晶体、共价晶体易于进行机械加工并且导电、导热性良好？ 2-5.是否有与库仑力无关的晶体结合类型? 2-6.如何理解库仑力是原子结合的动力? 2-7.晶体的结合能,晶体的内能,原子间的相互作用势能有何区别? 2-8.原子间的排斥作用取决于什么原因? 2-9.原子间的排斥作用和吸引作用有何关系?起主导的范围是什么? 2-10.共价结合为什么有“饱和性”和“方向性”? 2-11.共价结合,两原子电子云交迭产生吸引,而原子靠近时,电子云交迭会产生巨大的排斥力,如何解释? 2-12.试解释一个中性原子吸收一个电子一定要放出能量的现象. 2-13.如何理解电负性可用电离能加亲和能来表征? 2-14.何为杂化轨道? 2-15.你认为固体的弹性强弱主要由排斥作用决定呢,还是吸引作用决定? 第三章晶格振动与晶体的热学性质 3-1.什么是简谐近似？ 3-2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义。 3-3.周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，的取值将会怎样？ 3-4.什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 3-5引入玻恩卡门条件的理由是什么? 3-6.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？ 第一章 晶体结构 1、填空题 1.1理论证明由10种对称素只能组成（ 32 ）种不同的点群即晶体的宏观对称只有32个不同类型 1.2 根据晶胞基矢之间的夹角、长度关系可将晶体分为（ 7大晶系 ）对应的只有（14种布拉伐格子 ） 1.3面心立方晶体在（100）方向上表面二维布拉伐格子是（ 正方格子 ）在（111）方向上表面二维布拉伐格子是( 密排结构 ) 1.4晶体表面二维晶格的点群表示，由于晶格周期性在Z 轴方向的限制，二维晶格的对称素只有( 6 )个，即垂直于表面的n 重转轴( 1、2、3、4、6 )，垂直于表面的镜面反演( 1 ) 个。由( 6 )种对称素可以组成( 10 )种二维点群，按照点群对基矢的要求划分，二维格子有( 4 )个晶系，( 5 )种布拉伐格子 1.5在结晶学中, 晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的（ 周期性 ）又要考虑晶体的（ 宏观对称性 ） 1.6六角密积属（ 六角晶系 ）, 一个晶胞( 平行六面体 )包含（ 两个 ）原子. 1.7对晶格常数为a 的SC 晶体,与正格矢R =ai +2aj +2ak 正交的倒格子晶面族的面指数为 ( 122 ), 其面间距为( a 32π ). 1.8典型离子晶体的体积为V , 最近邻两离子的距离为R , 晶体的格波数目为( 3 43R V π ), 长光学波的( 纵 )波会引起离子晶体宏观上的极化. 1.9金刚石晶体的结合类型是典型的( 共价结合 )晶体, 它有( 6 )支格波 1.10按照惯例，面心立方原胞的基矢为（ )(2),(2),(2321i k a a k j a a j i a a +=+=+= ），体心立方原胞基矢为（ )(2),(2),(2321i k j a a k j i a a k j i a a ++-=++-=-+= ）。 2、简答题 1.10简述基本术语基元、格点、布拉菲格子。 基元：组成晶体的最小基本单元，整个晶体可以看成是基元的周期性重复排列构成。 格点：将基元抽象成一个代表点，该代表点位于各基元中等价的位置。 布拉菲格子：格点在空间周期性重复排列所构成的阵列。 1.11 在结晶学中, 晶胞是按晶体的什么特性选取的? 答：在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 1.12六角密积属何种晶系? 一个晶胞包含几个原子? 解答 六角密积属六角晶系 一个晶胞平行六面体包含两个原子. 1.13 解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 解答]晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大. 因为面间距大的晶面族的指数低, 所以解理面是面指数低的晶面. 1.14 与晶列[l 1l 2l 3]垂直的倒格面的面指数是什么?固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
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