高三数学解三角形综合题含答案

解三角形综合题

【解三角形的实际应用】

解三角形定义：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

主要方法：正弦定理、余弦定理。

解三角形常用方法：

1.已知一边和两角解三角形：已知一边和两角（设为b、A、B），解三角形的步骤：

2.已知两边及其中一边的对角解三角形：已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判断是否有解，例如在中，已知

，问题就无解。如果有解，是一解，还是两解。解得个数讨论见下表：

3.已知两边及其夹角解三角形：已知两边及其夹角（设为a,b,C），解三角形的步骤：

4.已知三边解三角形：已知三边a，b，c，解三角形的步骤：

①利用余弦定理求出一个角；

②由正弦定理及A +B+C=π，求其他两角．

5.三角形形状的判定：

判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别，

依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：

①利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；

②利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数的恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B +C=π这个结论，在以上两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

6.解斜三角形应用题的一般思路：

(1)准确理解题意，分清已知与所求，准确理解应用题中的有关名称、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、象限角、方位角、方向角等；

(2)根据题意画出图形；

(3)将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后正确求解，演算过程要算法简练，计算准确，最后作答，

用流程图可表示为：

利用正弦定理、余弦定理在解决三角形的综合问题时，要注意三角形三内角的一些三角函数关系：

【2017年高考全国Ⅲ卷，理17】

ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .

已知sin 0A A +=，a

,b =2.

（1）求c ；

（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC,求△ABD 的面积. 【答案】（1）4c = ；（2

（2）由题设可得

π

2CAD ∠=

，所以π6

BAD BAC CAD ∠=∠-∠=. 故ABD △面积与ACD △面积的比值为1πsin

2

611

2

AB AD AC AD ??=?. 又ABC △的面积为1

42sin 2

BAC ??∠=，所以ABD △.

【考点】余弦定理解三角形；三角形的面积公式

【点拨】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

答题思路

【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查正弦定理、余弦定理的应用，均值不等式在确定最值时的应用，数形结合的思想，函数与方程的思想等.

【命题规律】 高考试题对该部分内容考查的主要角度有两种：一种是解三角形确定边长或角度值；一种确定边长或者面积范围．重点对该部分内容的考查仍将以能力考查为主，利用正弦定理、余弦定理确定三角形中的要素，列出函数解析式或利用均值不等式确定取值范围. 【答题模板】解答本类题目，以2017年试题为例，一般考虑如下两步：

第一步：利用题意得到∠A 的大小，然后求解边长即可 利用题意首先可求得2π

3

A =

，然后利用余弦定理得到关于边长的方程，解方程即可求得边长的值，注意三角形的边长需要舍去负值. 第二步：求解△ABC 的面积 利用(1)中的结论结合题意确定利用面积公式1

sin 2

S bc A =

，结合三角形

面积的比值：ABD △面积与ACD △面积的比值为1【方法总结】 1、正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C

===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 2、余弦定理：2222cos a b c bc A =+-

变式：（1）222cos 2b c a A bc

+-=

① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出A 是钝角还是锐角 当222b c a +>时，cos 0A >，即A 为锐角；

当222b c a +=（勾股定理）时，cos 0A =，即A 为直角； 当222b c a +<时，cos 0A <，即A 为钝角

② 观察到分式为齐二次分式，所以已知,,a b c 的值或者::a b c 均可求出cos A

（2）()()2

221cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知b c +和bc 时不需要计算出,b c 的值，进行整体代入即可

3、三角形面积公式：

（1）1

2S a h =

? （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111

sin sin sin 222S ab C bc A ac B ===

（3）()1

2

S a b c r =++? （r 为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）

4、三角形内角和A B C π++=（两角可表示另一角）。

()sin()sin sin A B C C π+=-= ()cos()cos cos A B C C π+=-=-

5、解三角形的常用方法：

（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解

（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 6、三角形中的不等关系

（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少

（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：

sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?<

其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效。

7、解三角形中处理不等关系的几种方法

（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域

（2）利用均值不等式求得最值.

1. 【2017年高考全国Ⅰ卷，理17】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面

积为2

3sin a A

．

（1）求sin sin B C ；

（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 面积2

3sin a S A

=.且1sin 2S bc A =

（1）∵ABC

△∴

21

sin 3sin 2

a bc A A = ∴22

3sin 2

a bc A =

∵由正弦定理得22

3sin sin sin sin 2

A B C A =，

由sin 0A ≠得2sin sin 3

B C =

. （2）由（1）得2sin sin 3B C =

，1cos cos 6

B C =

∵πA B C ++=

∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2

A B C B C B B C =--=-+=-=

又∵()0πA ∈，

∴60A =?，sin A =

1cos 2A =

由余弦定理得2229a b c bc =+-=① 由正弦定理得sin sin a b B A =

?，sin sin a

c C A

=? ∴2

2sin sin 8sin a bc B C A

=?=②

由①②得b c +=

∴3a b c ++=+ABC △周长为32.【2017年高考全国Ⅱ卷，理17】（12分）

ABC ?的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知()2

sin 8sin 2

B

A C +=， （1）求cos

B ；

（2）若6a c +=，ABC ?的面积为2，求b 。 【答案】(1)15cos 17

B =； (2)2b =。

3.【2017年高考北京卷，理15】（13分） 在△ABC 中，A ∠ =60°，c =3

7

a . （Ⅰ）求sin C 的值；

（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积.

【答案】【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据正弦定理

=sin sin a c

A C

求sin C 的值；（Ⅱ）根据条件可知7,3,a c ==根据（Ⅰ）的结果求cos C ，再利用()sin sin B A C =+求解，最后利用三角形的面积1

sin 2

S ac B =

.

【考点】1.正余弦定理；2.三角形面积；3.三角恒等变换.

【点拨】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，

要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式

4.【2017年高考天津卷，理15】（13分）

在中，内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】(1).(2)

【解

析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，

进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

由（Ⅰ）及，得，所以，

（Ⅱ）

.故.

考点：正弦定理、余弦定理、解三角形

【点拨】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

5.【2017年高考山东卷，理16】设函数，其中.已知. （Ⅰ）求；

（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.

从而.

根据得到，进一步求最小值. 试题解析：（Ⅰ）因为，

所以

即时，取得最小值.

【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.

【点拨】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.

6.【2017年高考浙江卷18】（14分）已知函数f （x ）=sin 2

x –cos 2

x –x cos x （x ∈R ）．

（Ⅰ）求)3

2(

π

f 的值． （Ⅱ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为π，单调递增区间为Z k k k ∈++]3

2,6[ππ

ππ． 【解析】

（Ⅱ）由x x x 2

2

sin cos 2cos -=与x x x cos sin 22sin =得

)6

2sin(22sin 32cos )(π

+

-=--=x x x x f 所以)(x f 的最小正周期是π

由正弦函数的性质得

Z k k x k ∈+≤+≤+,22

36222πππππ 解得

Z k k x k ∈+≤

≤+,3

26

ππ

ππ

所以)(x f 的单调递增区间是Z k k k ∈++]3

2,6[

ππππ． 【考点】三角函数求值、三角函数的性质

【点拨】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，强调基础的

重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即

，然后利用三角函数

的性质求解．

7.【2017重庆二诊】在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()2sin 2sin 24C A B π??

-=- ???

．

（1）求sin cos A B 的值；

（2）若

a b =

，求B ． 【答案】（Ⅰ）1sin cos 2A B =

； （Ⅱ）6B π=或3

π

.

8. 【2017湖南娄底二模】已知ABC 中，2AC =，120A =?，cos 3sin B C =. （Ⅰ）求边AB 的长；

（Ⅱ）设D 是BC 边上一点，且ACD ，求ADC ∠的正弦值.

【答案】（Ⅰ）2AB =; .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由cos B C =得()cos 60B B =?-，展开求得30B =?，从而知三角形为等腰三角形；

（Ⅱ）根据面积公式求得CD ，在ACD 中，由余弦定理可得AD ，再由正弦定理即可求解. 试题解析：

（Ⅰ）因为120A =?，所以60C B =?-

，由cos B C =得

()cos 60B B =?

-1

sin 2B B ?=-??

?

3cos 2B B =.

即cos B B =

，从而tan B =

， 又060B ?<

1

2

AC CD ?

?sin30??=

，所以CD =.在ACD 中， 由余弦定理得2222AD AC CD AC =+-??7

cos 4

CD C =

，

AD =，

再由正弦定理得

sin sin AD AC

C ADC

=

∠

，故sin sin AC C ADC AD ?∠==. 9. 【2017江西4月质检】已知函数()4sin sin 3f x x x π??

=+ ??

?

，在ABC ?中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c . （1）当0,

2x π??

∈????

时，求函数()f x 的取值范围； （2）若对任意的x R ∈都有()()f x f A ≤， 2b =， 4c =，点D 是边BC 的中点，求AD

的值.. 【答案】（1）[]0,3（2

）AD =

试题解析：（1）()2

2sin 23sin

cos f x x x x =+=

3sin2cos21x x -+=2sin 216x π?

?-+ ??

?，

当0,

2x π??∈????时， 52,666x πππ??-∈-????， 1sin 2,162x π?

???-∈- ????

???，所以()[]0,3f x ∈； （2）由对任意的x R ∈都有()()f x f A ≤得： 262

3

A A π

π

π

-

=

?=

，

由()

222124AD AB AB AC AC =+?+= ()2212cos 4c b cb A ++=()

221

74c b cb ++=，

所以AD =

.

10. 【2017江西4月质检】已知函数()4sin sin 3f x x x π??

=+ ??

?

，在ABC ?中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c . （1）当0,

2x π??

∈????

时，求函数()f x 的取值范围； （2）若对任意的x R ∈都有()()f x f A ≤， 2b =， 4c =，点D 是边BC 的中点，求AD

的值..

【答案】（1）[]0,3（2）AD =

【解析】试题分析：（1）根据正弦余弦的二倍角公式及两角差的正弦公式得()2sin 216f x x π?

?

=-

+ ??

?

，再由0,

2x π??

∈????

根据三角函数的有界性可得结果；（2）由对任意的x R ∈都有()()f x f A ≤可得x A =时， ()f x 有 最大值，进而可得结果.

11. 【2017四川资阳4月模拟】在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

2

1sin sin sin 24

B C B C -+=.

(Ⅰ) 求角A 的大小；

(Ⅱ) 若2b c +=，求a 的取值范围．

【答案】（Ⅰ）2π

3

A =

（Ⅱ）)

2

【解析】试题分析：

(1)利用题意结合诱导公式求得B C + 的值，结合三角形 内角和为π 求解角A 的值即可； (2)由余弦定理结合(1)中的结论得到b 的取值范围，据此求解边长a 的取值范围即可. 试题解析： （Ⅰ）由已知得

()

1cos 1

sin sin 2

4

B C B C --+=

， 化简得

1cos cos sin sin 1

sin sin 24

B C B C B C --+=，

整理得1cos cos sin sin 2B C B C -=，即()1

cos 2B C +=，

由于0πB C <+<，则π3B C +=，所以2π

3

A =．

12. 【2017江西南昌十所重点二模】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，D 是BC 边上靠近

点B 的三等分点， sin

2BAC ACB ∠+∠=

． （Ⅰ）若()2cos cos cos C a B b A c +=，求C ； （Ⅱ）若c = AD = 3，求△ABC 的面积．

【答案】（Ⅰ）3

C π

=

;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）利用正弦定理对题干条件进行化简即可求出C ； （2）利用余弦定理和三角形面积公式可以进行求解.

试题解析：（Ⅰ）由()2cos cos cos C a B b A c +=及正弦定理得

()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C +=()2cos sin sin C A B C ?+=

2cos sin sin C C C ?=，因为()0,C π∈，所以sin C ≠0，所以2cos 1C =．

又因为()0,C π∈，所以3

C π

=

．

（Ⅱ）由sin

sin cos 222BAC ACB B B π∠+∠-===

得21

cos 2cos 123

B B =-=． 由余弦定理得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=?，即222

133=323BD BD

+-??，得2BD =，

故6a =．过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中， sin AE AB B =?=

所以△ABC 的面积为

1

62

?=． 13. 【2017河北五邑三模】如图，在ABC ?中， 4

B π

=

，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设

,sin BAD αα∠==

. （1）求sin C ；

（2）若·

28BA BC =

，求AC 的长.

【答案】（1（2）5AC =

高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1

实用标准

—tanC。

例 1 ? (1 )在 ABC 中，已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800，所以 B 640，或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中，已知 a 20 cm ， b 28 cm ， 40°，解三角形（角度精确到 10，边长精确 到 1cm ) o 解：（1 ）根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ； 根据正弦定理，b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm)； 根据正弦定理，c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 （2 ）根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ，解三角形; ①当 B 640 时， C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中， sin A cos A

si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二：由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6

高三数学三角函数、解三角形章末复习测试_题型归纳

高三数学三角函数、解三角形章末复习测试_题型归纳 高三数学三角函数、解三角形章末复习测试（有答案） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是第一象限角，tan ＝34，则sin 等于() A.45 B.35 C．－45 D．－35 解析B由2k＜＜2＋2kkZ，sin cos ＝34，sin2＋cos2＝1，得sin ＝35. 2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B1，则△ABC是() A．直角三角形B．锐角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 解析A sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B＝sin[(A－B)＋B]＝sin A1， 又sin A1，sin A＝1，A＝90，故△ABC为直角三角形． 3．在△ABC中，A＝60，AC＝16，面积为2203，那么BC的长度为() A．25 B．51 C．493 D．49 解析D由S△ABC＝12ABACsin 60＝43AB＝2203，得AB＝55，再由余弦定理， 有BC2＝162＋552－21655cos 60＝2 401，得BC＝49. 4．设，都是锐角，那么下列各式中成立的是() A．sin(＋sin ＋sin B．cos(＋cos cos C．sin(＋sin(－) D．cos(＋cos(－) 解析C△sin(＋)＝sin cos ＋cos sin ，sin(－)＝sin cos －cos sin ， 又△、都是锐角，cos sin 0，故sin(＋sin(－)．

5．张晓华同学骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东 75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是() A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km 解析B如图，由条件知AB＝241560＝6 .在△ABS中，BAS＝30， AB＝6，ABS＝180－75＝105，所以ASB＝45. 由正弦定理知BSsin 30＝ABsin 45， 所以BS＝ABsin 30sin 45＝32.故选B. (2011威海一模)若函数y＝Asin(x＋)＋m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2， 直线x＝3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是() A．y＝4sin4x＋B．y＝2sin2x＋3＋2 C．y＝2sin4x＋3 ＋2 D．y＝2sin4x＋6＋2 解析D△A＋m＝4，－A＋m＝0，A＝2，m＝2. △T＝2，＝2T＝4.y＝2sin(4x＋)＋2. △x＝3是其对称轴，sin43＋＝1. 43＋2＋kZ)．＝k6(kZ)． 当k＝1时，6，故选D. 7．函数y＝sin(2x＋)是R上的偶函数，则的值是() A．0 B. C. D． 解析C当2时，y＝sin2x＋2＝c os 2x，而y＝cos 2x是偶函数． 8．在△ABC中“cos A＋sin A＝cos B＋sin B”是“C＝90”的()

高中数学解三角形和平面向量

高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题： 1.在△ABC 中，若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于（ B ） A ．60o B ．60o 或 120o C ．30o D ．30o 或150o 2．△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若c =2,b =6,B =120o ，则a 等于（ D ） A ．6 B ．2 C ．3 D ．2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ，A=45°，2=b 则sinB=（ A ） A ． 1 2 B ．22 C ． 3 2 D ．1 4．ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若5 ,22 a b A B ==，则cos B =（ B ） A ． 53 B ．54 C ．55 D ．5 6 5．在△ABC 中，若)())((c b b c a c a +=-+，则A ∠=（ C ） A ．0 90 B ．0 60 C ．0 120 D ．0 150 6．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为（D ） A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中， b a B A =--cos 1cos 1，则△AB C 一定是（ A ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a=1， ABC S b ?=则,3等于（ C ） A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3则角C 大小为（ B ） A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为（ A ） A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为（ D ）。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12．已知M 是△ABC 的BC 边上的中点，若向量AB =a ,AC = b ，则向量AM 等于（ C ） A ． 21(a －b ) B ．21(b －a ) C ．21( a ＋b ) D ．1 2 -(a ＋b ) 13．若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线，且 BC AB λ=则λ等于（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14．已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ C ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 （ C ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16．(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A ．31-或 B.13-或 C ．3 D ． -1 17. 若|2|= ，2||= 且（-）⊥ ，则与的夹角是 （ B ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π （D ）π12 5 183 =b ， a 在 b 方向上的投影是2 3 ，则 b a ?是（ B ） A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19．若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ，且c a ⊥r r ，则向量a r 与b r 的夹角为( C ) （A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例

高三第一轮复习数学---解三角形及应用举例 一、教学目标：1．理解并掌握正弦定理、余弦定理、面积公式； 2．能正确运用正弦定理、余弦定理及关系式A B C π++=，解决三角形中的 计算和证明问题． 二、教学重点：掌握正弦定理、余弦定理及其变形形式，利用三角公式解一些有关三角形 中的三角函数问题． 三、教学过程： （一）主要知识： 掌握三角形有关的定理： 正余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bccos θ, bc a c b 2cos 222-+=θ；R C c B b A a 2sin sin sin === 内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A + 面积公式：S=21absinC=21bcsinA=2 1 casinB S= pr =))()((c p b p a p p --- (其中p=2 c b a ++, r 为内切圆半径) 射影定理：a = b cos C + c cos B ；b = a cos C + c cos A ；c = a cos B + b cos A （二）例题分析： 例1．在ΔABC 中，已知a=3,b=2,B=45°，求A,C 及边c ． 解：由正弦定理得：sinA=23 2 45sin 3sin = ?= b B a ,因为B=45°<90°且b

高中数学解三角形方法大全

解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b <

2020年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破

2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ＝＝＝2R，其中R 是三角形外接圆的半径． sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形：(1) a∶b ∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2 Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2 ．余弦定理：a2＝b 2＋c2－2 bccos A，b 2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． b 2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b 2－c2 变形：cos A ＝，cos B＝，cos C＝ 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S＝a·h a(h a表示a边上的高)．(2) S＝absinC ＝acsinB ＝bcsinA ＝ 2 2 2 2 4R

1 （3）S＝2r（a＋b＋c）（r 为内切圆半径）．应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】已知中，，点在边上，且．（1 ）若，求； （2 ）求的周长的取值范围． 【答案】（1 ）；（2 ）. 所以： 中，利用正弦定理得：

由于： 则： ，， 由于：，则：， 得到：， 所以的周长的范围是：. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中，所对的边分别为，. （1 ）求的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1 ）或（2）1

(完整版)高中数学解三角形方法大全

解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π<A ， C B A sin )sin(=+，C B A cos )cos(-=+，2 cos 2sin C B A =+ （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===，其中R 为AB C ?的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 【例1】考查正弦定理的应用 （1）ABC ?中，若ο 60=B ，4 2 tan = A ，2=BC ，则=AC _____； （2）ABC ?中，若ο 30=A ，2= b ，1=a ，则=C ____； （3）ABC ?中，若ο 45=A ，24=b ，8=a ，则=C ____； （4）ABC ?中，若A c a sin =，则c b a +的最大值为_____。

总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能如图，在ABC ?中，已知a、b、A （1）若A为钝角或直角，则当b a>时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b< < sin时，三角形有两解； 当b a≥时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在ABC ?中，角C B A、 、的对边分别为c b a、 、，则有 余弦定理： ? ? ? ? ? - + = - + = - + = C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ，其变式为： ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + = - + = - + = ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2 cos 2 cos 2 cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） c b a ABC ch bh ah S 2 1 2 1 2 1 = = = ? （ a h、 b h、 c h分别表示a、b、c上的高）； （2）B ac A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 = = = ? （3）= ?ABC S C B A R sin sin sin 22（R为外接圆半径） （4） R abc S ABC4 = ? ； （5）) )( )( (c p b p a p p S ABC - - - = ? 其中) ( 2 1 c b a p+ + = （6）l r S ABC ? = ?2 1 （r是内切圆的半径，l是三角形的周长）

高三数学二轮专题复习-三角函数与解三角形

高三数学第二轮专题复习 三角函数 题型一 三角函数与三角恒等变换 例1．已知函数f (x )＝sin ωx －sin ? ???ωx ＋π 3(ω＞0). (1)若f (x )在[0，π]上的值域为? ?? ? － 32，1，求ω的取值范围； (2)若f (x )在????0，π3上单调，且f (0)＋f ????π 3＝0，求ω的值． 例2．已知a ＝(sin x ，3cos x)，b ＝(cos x ，－cos x)，函数f(x)＝a·b ＋ 3 2 . (1)求函数y ＝f(x)图象的对称轴方程； (2)若方程f(x)＝1 3在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值． 例3.已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ? ?=-+- ?? ? ⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑴设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．

【过关练习】 1．已知函数ππ()sin cos 63f x x x ????=- +- ? ?? ?? ?，2()2sin 2x g x =. （1）若α 是第一象限角，且()5 f α= .求()g α的值； （2）求使()()f x g x …成立的x 的取值集合. 2.已知函数()πsin ,4f x A x x ? ?=+∈ ?? ?R ，且 5π3 122 f ??= ???. （1）求 A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，π0,2θ??∈ ???，求3π4f θ??- ??? . 3.已知函数()()()sin cos 2f x x a x θθ=+++，其中a ∈R ，ππ,22 θ??∈- ??? . （1）当a = ，4 θπ = 时，求()f x 在区间[]0,π上的最大值与最小值； （2）若02f π?? = ??? ，()1f π=，求,a θ的值.

高三数学《解三角形》题型归纳

高三数学《解三角形》题型归纳（含解析） 题型一：求某边的值 （1）ABC △的内角A B C ，，的对边分别为,,a b c .已知2 5,2,cos 3 a c A === ，则b =_______. （2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ， AD ＝10， AB ＝14， ∠BDA ＝60?， ∠BCD ＝135? ，则BC ＝ ． （3）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，若a 2 －c 2 ＝3b ，且sin B ＝8cos A sin C ，则边b ＝ ． （4）钝角△ABC 的面积是1 2 ，AB ＝1，BC ＝ 2 ，则AC ＝ ． （5）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b － c ＝2，cos A ＝－1 4，则a 的值为________． （6）在ABC △中，已知3,120AB A ==o ，且ABC △的面积为153 4 ，则BC 边长为______． （7）在ABC △中，已知5,3,2AB BC B A ===,则边AC 的长为________． 答案：（1）3 （2）8 2 （3）4 （4） 5 （5）8 （6）7 （7）26 题型二：三角形的角 （1）在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3 BC ，则cos A ＝________． （2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，已知85,2b c C B ==,则cos C = （3）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A c B b += ．则A =________. （4）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边依次为a ，b ，c ，且 cos sin a c A C =，则A =________. （5）在△ABC 中，若tan :tan :tan 1:2:3A B C =，则A =________. （6）设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A B C >>, 320cos b a A =，则sin :sin :sin A B C =________. 答案：（1）－10 10 （2） 725

2014届高三数学(理)二轮复习练习：(九)解三角形

2014届高三数学(理)二轮复习练习：(九)解三角形

小题精练(九)解三角形 (限时：60分钟) 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a cos A＝b sin B，则sin A cos A＋ cos2B＝( ) A．－1 2 B. 1 2 C．－1 D．1 2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对 边，若A＝π 3 ，b＝1，△ABC的面积为 3 2 ， 则a的值为( ) A．1 B．2 C. 3 2 D. 3 3．在△ABC中，cos2A 2 ＝ b＋c 2c (a，b，c分别为角 A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形 4．(2013·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝π4 ， AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝( ) A. 10 10 B. 10 5 C.310 10 D. 5 5 5．在△ABC中，角A、B、C所对的边的长分别为a，b，c.若a2＋b2＝2c2，则cos C的最小值为( ) A. 3 2 B. 2 2 C.1 2 D．－ 1 2 6．(2014·长春市调研测试)直线l1与l2相交于

a，b.若2a sin B＝3b，则角A等于( ) A.π 12 B. π 6 C.π 4 D. π 3 10．(2014·湖南省五市十校联考)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为( ) A.π 4 B. π 3 C.π 2 D. 3π 4 11．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，则旗杆的高度为( )

高考数学复习 5.5 解三角形 角化边、边化角问题练习 文

5.4 解三角形 角化边、边化角问题 总纲：条件中同时含有 边和角，若不能直接使用正弦定理或者余弦定理得到答案，则都化成边（即“角化边”），或者都化成角（即“边化角”）来处理。 第一阶： 典例1（直接使用正余弦定理）：（2013年高考上海卷（理）改编）设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若22232330a ab b c ++-=,则C cos = 典例2：（不能直接使用定理） 在ABC ?中， （1） 已知A b B a cos cos =，判断ABC ?的形状 （2） 已知B b A a cos cos =，判断ABC ?的形状

第二阶： 方法指导：含有x sin 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 ， 角化边。 例3：（2013年高考天津卷（文））设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知 sin 3sin b A c B =, a = 3, 2 cos 3 B = . (Ⅰ) 求b 的值; (Ⅱ) 求sin 23B π? ?- ?? ?的值. 练习3．（2013年高考江西卷（文））设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知 12cos sin sin sin sin =++B C B B A (1) 求证: ,,a b c 成等差数列; (2) 若C =23 π ,求 a b 的值.

方法指导：含有a ,b ,c 的齐次式，优先考虑使用 正弦定理 边化角。 例4．（2013年高考陕西卷（理））设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 练习4．（2013年辽宁数学（理）试题）在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 而且 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b += a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 方法指导：含有x cos 的式子，优先考虑 余弦定理 角化边。 例 5.（2011山东理17）在ABC ?,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c ，已知 b a c B C A -=-2cos cos 2cos ． （I ）求A C sin sin 的值； （II ）若4 1 cos =B ，b =2，ABC ?的面积S 。

高中数学必修解三角形教案

高中数学必修解三角形 教案 WTD standardization office【WTD 5AB- WTDK 08- WTD 2C】

第2章 解三角形 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A =c a sin B =c b sin C =1 即c = sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B =. 同理，sin sin a c A C = （思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==.

高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案

高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]

即由指北方向逆时针旋转到达目标方向； ③南偏本等其他方向角类似。 ab C= sin 2 ABC中，sin A≤ π (0,] 6

222()2cos f x b x bc A x c =++=2222(cos )cos bx c A c c A ++-，因为2cos A 1,所以 222cos c c A -0，因此()f x 0恒成立，所以其图像与X 轴没有交点。 题型2 三角形解的个数 [例3]在ABC ?中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】 A 、7=a ，14=b ，?=30A ； B 、25=b ，30=c ，?=150 C ； C 、4=b ，5=c ，?=30B ； D 、6=a ，3=b ，?=60B 。 题型3 面积问题 [例4] ABC ?的一个内角为120°，并且三边构成公差为4的等差数列，则ABC ?的面积为 【解析】设△ABC 的三边分别：x －4、x 、x ＋4， ∠C=120°，∴由余弦定理得：﹙x ＋4﹚2=﹙x －4﹚2＋x2－2×﹙x －4﹚×x×cos120°，解得：x=10 ∴△ABC 三边分别为6、10、14。 题型4 判断三角形形状 [例5] 在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 【解析】把已知等式都化为角的等式或都化为边的等式。 方法一：22[sin()sin()][sin()sin()]a A B A B b A B A B --+=-+-- 由正弦定理，即知22sin cos sin sin cos sin A A B B B A = 由0 2,22A B π，得22A B =或22A B π=- 即ABC ?为等腰三角形或直角三角形 方法二：同上可得222cos sin 2cos sin a A B b B A = 由正、余弦定理，即得：2222222222b c a a c b a b b a bc ac +-+-= 即22222()()0a b c a b ---= a b ∴=或222c a b =+ 即ABC ?为等腰三角形或直角三角形 【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边） 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。（边化角） 1在△ABC 中，bCosA=acosB ，则三角形为( ) A 直角三角形 B 锐角三角形 C 等腰三角形 D 等边三角形 2在△ABC 中，若a2＞b2+c2，则△ABC 为 ；若a2=b2+c2，则△ABC 为 ；若a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，则△ABC 为

2021届高三数学总复习第一轮——解三角形

2021届高三数学总复习第一轮——解三角形考纲 思维导图

知识梳理 1. 正余弦定理 （1）正弦定理 2(R ) sin sin sin a b c ABC R ABC A B C ===在中，为外接圆半径△△ 推论： 2sin ,2sin ,2sin ; sin ,sinB ,sin ; 222::sin :sin :sin ;sin sin ,sin sin ,sin sin ;2sin sin sin a R A b R B c R C a b c A C R R R a b c A B C a B b A b C c B a C c A a b c R A B C ==========++=++ 适用范围：1. 已知两角和任一边，解三角形。 2. 已知两边和其中一边的对角，解三角形。 （2）余弦定理 222222 222 cos 2cos 2cosC 2b c a A bc a c b B ac a b c ab +-= +-= +-= 推论： 2222222222cos A,2cosB,2cosC, a b c bc b a c ac c a b ab =+-=+-=+- 适用范围：1.已知三边，解三角形； 2.已知两边和其中一边的对角，解三角形。 2 .三角形面积公式

,,,1 (h BC )2111 sin sinB sinA 222 ABC a b c ah ab C ac bc ==设的三边为所对的三个角分别为A,B,C,其面积为S. (1)　S=为边上的高； （2） S=△ 3.解三角形常用的几个结论 (1) 三角形的内角和定理A+B+C=π. 由此可得到sinA=sin(B+C), cosA= －cos (B ＋C) , tanA=－tan(B ＋C); sin cos 22cos sin 22 A B C A B C +=+= (2) 内角A,B,C 成等差数列 ?B= 60，A+C = 120. (3) 三角形中，大角对大边；较大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大。 4. 判断解的个数的方法

高中数学解三角形练习题

解三角形卷一 一．选择题 1．在△ABC 中，sin A :sin B :sin C =3:2:4，则cos C 的值为 A ．23 B ．－23 C ．14 D ．－14 2、在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为 A B C D 3、在ABC △中，::1:2:3A B C =，则sin :sin :sin A B C = A 、1:2:3 B 、 C 、 D 、2 4、在ABC △中，sin :sin :sin 4:3:2A B C =，那么cos C 的值为 A 、14 B 、14- C 、78 D 、1116 5、在ABC △中，13,34,7===c b a ，则最小角为 A 、3π B 、6π C 、4 π D 、12π 6、在ABC △中，60,16,A b == 面积3220=S ，则c = A 、610 B 、75 C 、55 D 、49 7、在ABC △中，()()()a c a c b b c +-=+，则A = A 、30 B 、60 C 、120 D 、150 8、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B === C 、7,5,80a b A === D 、14,16,45a b A === 二、填空题。 9．在△ABC 中，a ，b 分别是∠A 和∠B 所对的边，若a ＝3，b ＝1，∠B ＝30°，则∠A 的值是 ． 10．在△ABC 中，已知sin B sin C ＝cos 22 A ，则此三角形是__________三角形． 11. 在△ABC 中，∠A 最大，∠C 最小，且∠A ＝2∠C ，a ＋c ＝2b ，求此三角形三边之比为 ．

高考数学一轮复习解三角形题型归纳教案

姓名学生姓名填写时间 学科数学年级高三教材版本人教A版 阶段观察期□：第（）周维护期□本人课时统计第（）课时共（）课时 课题名称解三角形题型归纳总结复习课时计划 2 上课时间教学目标 同步教学知识内容 个性化学习问题解决 教学重点 教学难点 教学过程 教师活动 一、知识点复习 1、正弦定理及其变形 2( sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径） 12sin,2sin,2sin a R A b R B c R C === （）(边化角公式） 2sin,sin,sin 222 a b c A B C R R R === （）(角化边公式） 3::sin:sin:sin a b c A B C = （） sin sin sin (4),, sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2、正弦定理适用情况： （1）已知两角及任一边 （2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况） 已知a，b和A，求B时的解的情况: 如果sin A≥sin B，则B有唯一解；如果sin A1，则B无解. 3、余弦定理及其推论 222 222 222 2cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+- =+- =+- 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 b c a A bc a c b B ac a b c C ab +- = +- = +- =

4、余弦定理适用情况： （1）已知两边及夹角； （2）已知三边。 5、常用的三角形面积公式 （1）高底??=?21 ABC S ； （2）B ca A bc C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?（两边夹一角） ； 6、三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边） （3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+ 7、两角和与差公式、二倍角公式（略） 8、实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①） （2）方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

高中数学必修5解三角形教案

第2章 解三角形 2.1.1 正弦定理 教学要求：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用. 教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：在直角三角形中，边角关系有哪些？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？ 2. 由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角） 是否可以把边、角关系准确量化？ →引入课题：正弦定理 二、讲授新课： 1. 教学正弦定理的推导： ①特殊情况：直角三角形中的正弦定理： sin A = c a sin B =c b sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C == . ② 能否推广到斜三角形？ （先研究锐角三角形，再探究钝角三角形） 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据三角函数的定义，有sin sin CD a B b A ==,则sin sin a b A B = . 同理，sin sin a c A C =（思考如何作高？），从而 sin sin sin a b c A B C == . ③*其它证法：证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中S △ABC = 111 sin sin sin 222 ab C ac B bc A ==. 两边同除以12abc 即得：sin a A =sin b B =sin c C . 证明二：（外接圆法）如图所示，∠A ＝∠D ，∴2sin sin a a CD R A D ===， 同理 sin b B =2R ，sin c C ＝2R .