数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
目的要求：
1．了解数学推理的常用方法：演绎法与归纳法；
2．理解数学归纳原理的科学性；
3．初步掌握数学归纳法的适用场合及证明步骤．
内容分析：
1．本课是数学归纳法及其应用举例的第一课时．教师应从已学过的知识中，选择含有归纳思想方法的内容入手，引导学生体验知识形成、发现的过程．例如等差数列通项公式是通过前有限项归纳出一般结论的；凸n边形内角和公式是根据三角形、四边形、五边形、六边形内角和而发现的，……，由此提炼出不同于演绎法的数学推理方法：归纳法（由特殊到一般）．
2．通过学生易于理解的一些问题，说明归纳法的两难境地：完全归纳法结论可靠，但要“完全”归纳，要么不可能做到，要么很难做到；不完全归纳法虽然简单，但结论的可靠性无法保证．通过介绍近现代数学中有名的“哥德巴赫猜想”或“费尔马猜想”，激发学生的数学兴趣，让学生接触近代的数学，感受归纳法在数学发现中的重要应用．
3．通过对不完全归纳法的分析，引导学生寻求保证结论可靠的办法：关键是“传递性”是否具备，若“传递性”具备，正确的结论就会由一而二，由二而三，以至无穷．这方面例子很多，也很有趣，教师应据具体情况，借助“道具”或多媒体技术展现一、二例，详加分析；在分析过程中向“两个步骤，一个结论”靠拢，向数学归纳法原理靠拢．
以下例子，可供选用：
①古代用烽火台传递军情．结合“烽火戏诸侯”故事，说明数学归纳法两个步骤缺一不可．
②多米诺（D o m i n o）骨牌游戏．学生大多有过体验，借助道具很好演示．
③小孩数数发展过程．引导学生回忆，生动有趣。
4．本节课重点在于讲清数学归纳法的原理、适用范围及证明步骤．指出它对某些与正整数n有关的数学命题往往有用．教师可抓住机会用通俗的例子讲清原理并完整地展示证明步骤。
①证明命题对第一个值n0成立（即n＝n0时命题成立）；
②利用n=k（k≥n0）成立，推出n＝k＋1时命题成立；
根据①、②可知，命题对一切n∈N+，n≥n0均成立．
5．对于例1，教师应规范板书，供学生解题时模仿．严防出现“依此类推”式的不完全归纳法；强调n=k成立必须应用在证明n=k＋1成立的过程中，不可应用等差数列求和公式证明n＝k+1成立．
6．三个课堂练习最好让学生板演．通过板演，发现学生证明过程中的错误．教
师及时纠正、剖析，对书写规范要强调；对学生板演中好的方面予以鼓励．本课中由k到k＋1的推证，不要增加难度，注意它的可接受性．
教学过程
1．介绍归纳法，引出课题
①观察：6＝3＋3，8=5＋3，10=3＋7，12=5＋7，14=3＋11，16＝5＋11，……78=67＋11，……，我们能得出什么结论（教师启发、引导，注意捕捉学生的议论）？这就是由1742年德国数学家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想”．
②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”．
这两种下结论的方法都是由特殊到一般，这种推理方法叫归纳法．归纳法是否能保证结论正确？
①是不完全归纳法，有利于发现问题，形成猜想，但结论不一定正确．
②是完全归纳法，结论可靠，但一一核对困难．
数学中有一种数学归纳法，它也是由特殊到一般，通过它的证明，一定能保证结论正确（出示课题）．
2．讲清原理，得出方法步骤
在等差数列{a n}中，已知首项为a1，公差为d，那么a1＝a1＋0×d，a2＝a1＋1×d，a3=a1＋2×d，a4=a1＋3×d，……，a
=？
n
由以上可知，a n＝a1＋(n－1)d，结论的猜测运用的是归纳法，是完全归纳法还是不完全归纳法？结论正确吗？如何证明呢？
①先看a n＝a1＋(n－1)d，对于n=1成立吗？（成立）
②假设a n＝a1＋(n－1)d，对于n=k成立，那么当n=k＋1时，成立吗？
即若a k＝a1＋(k－1)d成立，当n＝k＋1时，a k+1＝a k＋[(k＋1)－1]d成立吗？
（启发学生从等差数列定义入手，a k+1＝a k＋d，……·，进行推导证明）
③这就是数学归纳法．它一定能保证结论正确．’
举多米诺骨牌的例子，形象地说明数学归纳法成立的道理．
让学生回忆自己小时候学数数的经历。
先会数1，2，3；再数到10；再数到20以内的数；再数到30以内的数，……，终于有一天我们可以骄傲地说：我什么数都会数了．为什么呢？（教师注意激活学生原有的学习体验）
因为会数1，2，3，……有了数数的基础，会在前一个数的基础上加1得到后一个数，进行传递，所以，可以说什么数都会数了．
④得到数学归纳法的两个步骤：
（I）证明当n＝n0（如n＝1或2等）时，结论正确；
（II）假设n＝k（k∈N+且k≥n0）时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确．3．初步应用，让学生形成新的知识体验
例1：用数学归纳法证明1＋3＋5+……＋(2n－1)＝n2.
分析：① 1＋3＋5+……＋(2n－1)=n2是由无数命题组成，
1号命题：1=12；
2号命题：1＋3＝22；
3号命题：1＋3＋5＝32；
……
k号命题：1＋3＋5＋……＋(2k－1)＝k2；
k＋1号命题：1＋3＋5＋……＋(2k－1)＋(2k＋1)=(k＋1)2；
……
②怎样验算n＝1时，等式成立？
③如何实现n=k到n=k＋1的过渡？
④得到什么式子才能称n＝k＋1时等式成立？
⑤书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式．
教师边讲边板书，为学生提供一个范例，供证明时模仿．
4．课堂练习，巩固提高
板演①②③，时间紧可采用分组练习，用多媒体平台投影学生解答，教师及时点评，抓住学生板演中“美丽的错误”加深对原理的理解，强调数学归纳法略显“刻板”的证题步骤．
5．归纳小结
①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；
②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；
③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；
④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．
布置作业
1．教科书习题2．1第1、2题．
2．参考题：①简析我国古代烽火传递军情的合理性；
②分析产生“烽火戏诸侯”闹剧的原因．
简答：古代边疆戍兵，每隔一定距离建筑一高台，发现军情，一台燃起狼烟，邻合见后，也立即起火，这样军情就能很快传告全线戍兵．发生烽火戏诸侯闹剧的原因是第一台谎报军情（为买宠妃一笑而点燃烽火），邻台依次迅速起火，造成“谬误传递”．
数学归纳法及其应用举例（2）
目的要求
1．进一步理解数学归纳法原理：只有两个步骤正确，才能下结论：对一切n ∈N +，命题正确（强调缺一不可）．
2．会用数学归纳法证明一些简单的命题．
3．理解为证n ＝k ＋1成立，必须用n ＝k 成立的假设．
4．掌握为证n =k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．
内容分析
1．本课为数学归纳法的第二课时，重点在于应用数学归纳法原理证明恒等式，在讲具体例子之前，应利用第一课时思考题及教科书例子说明数学归纳法两个步骤的作用，两步相辅相成，缺一不可！
缺少第一步，递推缺乏正确的基础（即使第一步再简单，也不能省略）；“烽火戏诸侯”中就因为第一步不正确，产生“谬误传递”；在“2＋4＋6+……＋2n =n 2＋n +1的证明中，第二步由n =k 推出n ＝k ＋1的运算虽然符合规则，但是证明了一个不等的恒等式．
缺少第二步，是不完全归纳法，即使验算再多，仅仅是有限的（对“哥德巴赫猜想”，借助计算机，已验证到108以内的偶数均成立，但这不能代替证明）．因此用数学归纳法证题时，必须有两个步骤，
两个步骤完成后，通常还要作一个结论．
2．在证明传递性时，应注意：
① 证n ＝k ＋1成立时，必须用n ＝k 成立的结论，否则就不是数学归纳法证明．对于这一点，学生可能难以理解：n =k 成立是假设的，用假设来证明可靠吗？应指出，这一步是证明传递性，正确性由第一步保证．
② 证n ＝k ＋1成立时，可先列出n =k +1成立的数学式子，作为证明的目标，否则，学生在证明时会迷失方向．
如在本课例2中，
第二步证明是“已知：12＋22＋32＋……＋k 2=1(1)(21)6
k k k ++，求证 12＋22＋32＋……＋k 2+(k +1)2=1(1)[(1)1)[2(1)1]6
k k k +++++． ③ 弄清传递性证明的已知和求证后，讲解的关键要抓住三点：由n ＝k 过渡到n =k ＋1，左边相差什么式子？整式恒等变形常用方法有哪些？如何变形？
3．对初值应验算几个的问题．学生对第一步中仅就n =n 0验证不放心，需不
需要对n 0的后续多个数值进行验证？应向学生指出，一般验算第一个值就行了，
因为在传递性作用下，“由一而二，由二而三，以至无穷”．
4．数学归纳法证明恒等式内容丰富，很多整齐美观的恒等式（恒等式系列）
可用数学归纳法证明．限于篇幅，不可贪多求全，应尽量讲透一、二例．选题时，应选用由n ＝k 过渡到n =k +1时只添加一、二项的题，不要涉及添加多项或每项均发生变化的情况，以免增加学生负担．
5．对要证恒等式的“来历”，一般不要主动跟学生讲，以免转移重点（虽然这很有趣）．
教师不可扼制学生的求知欲，有学生提出时，可建议看些课外读物，或在第二课堂安排有关讲座，也可印成阅读材料供有兴趣又学有余力的学生课外探讨．
教学过程
1．抓住“两个步骤”，进行数学归纳法原理复习．用不完全归纳法说明缺乏 传递性证明不行，那么可以省去第一步吗？
例证明：2＋4＋6＋……＋2n ＝n 2＋n ＋1，
若n =k 时，2＋4＋6＋……＋2k ＝k 2＋k ＋1,
当n ＝k ＋1时，2＋4＋6＋……＋2 k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋1＋2 k ＋2
＝(k ＋1)2＋(k +1)＋1.
即n ＝k ＋1时，原等式成立．
但n ＝1时， 2≠3；n ＝2时，6≠7．∴ 原等式不正确．
由此，师生共同得到结论：两个步骤，缺一不可．教师补充：两个步骤完成之后，还要下结论．
2．通过例题教学，深化对数学归纳法的认识
（1） 出示例2，用数学归纳法证明：
12＋22＋32＋……＋n 2=1(1)(21)6
n n n ++， 分析：① 问学生第一步应做什么？本题的n 0应取多少？然后让学生进行验
证，以得到证明的基础．学生验证后，教师规范板书，为学生示范．
② 启发学生，认识到在证传递性时，已知什么，求证什么，
在草稿纸上写上：“已知12＋22＋32＋……＋k 2=1(1)(21)6
k k k ++, 求证，12＋22＋32＋……＋k 2+(k +1)2=1(1)[(1)1)[2(1)1]6
k k k +++++”. 比较两个式子的左边，相差什么？启发学生理解，求证式的左边与已知式的左边相差一项：(k ＋1)2．
③ 启发学生应用归纳假设（即②中的已知）对上式进行推理变形，放手让学生进行推导，直到得到结论．
证明见教科书第64页～65页．证明过程中，教师边启发，边板书，为学生作证明示范．结束之后，教师引导学生反思整个分析及证明过程．强调传递性证明中，要弄清已知，求证，而且一定要用这里的归纳假设（已知），不用就不是数学归纳法．
（2）出示例3，用数学归纳法证明：
1×4＋2 × 7＋3×10＋……+n (3n ＋1)=n (n ＋1)2．
组织学生边证明边讨论，基本上由学生完成，形成亲身体验．教师在学生尝试的过程中，边巡视，边指导，注意抓住下述要点：
①④知道“……”省略了什么， 3×10的后一项是什么，n (3n ＋1)的前一项是什么，再前面一项是什么；
② 初始值n 0是什么，如何验证；
③ 传递性证明实质就是证明命题：
已知1×4＋2×7＋3×10＋……＋k (3 k ＋1)＝k (k ＋1)2，
求证1×4＋2×7＋3×10＋……＋(k +1)[3(k +1)＋1)]＝(k +1)[(k ＋1)+1]2，
完成证明后，让学生反思全过程．知道在用数学归纳法证明恒等式时，第二步证明中常用到因式分解、配方、添拆项、乘法公式等变形手段．
3．复习巩固，小结提高
（1）出示：如下证明对吗？（幻灯或多媒体展示）
求证：23111111()22222
n n ++++=-. 证明：① 当n ＝1时，左边=21，右边1－21=21，等式成立． ② 设n =k 时，有23111111()22222
k k ++++=-． 那么，当n =k ＋1时，有
1123111[1()]11111221()12222212
k k k +++-++++==--， 即n =k ＋1时，命题成立．
根据①、②可知，对n ∈N +，等式成立．
引导学生认识到这不是数学归纳法，那么如何改进呢？（由学生完成）
（2）分组练习，教科书第66页练习1、2．3．
（3）小结：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：
①式子结构要分清；
② 由n =k →n =k +1时，要用归纳假设．
③ 常把n =k +1成立的式子写在草稿纸上，作为变形目标．
④ 恒等变形常用的方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等．
布置作业
教科书习题2．1第3（1）（2）、4题（据情况选做或提示后做）．
数学归纳法及其应用举例（3）
目的要求
1．会用数学归纳法证明整数（整式）整除问题．
2．会用数学归纳法证明一些简单的几何问题．
3．了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤．
内容分析
1．数学归纳法在应用上具有广泛性，除上节课利用它证明恒等式外，还在整除性、几何、组合等式、不等式、三角恒等式等方面具有广泛应用．限于课时要求，仅就具体例子介绍数学归纳法在整除方面和几何方面的应用。
2．整除问题包括整数整除问题和多项式整除问题，有关知识在小学、初中介绍过．因时间跨度大．对此应作复习，在讲多项式整除性例题前建议增加一道整数的整除问题，使学生对整除的变形规律、叙述方式有更多感性认识．有了这个台阶，学生对整式整除问题会感觉轻松些．
3．例4证明中由22k k x y -能被x ＋y 整除，推导2(1)2(1)k k x y ++-能被x ＋y 整除所作变形难度大，注重启发学生寻找合适的变形方式．变形关键是使2(1)2(1)k k x y ++-中出现22k k x y -，以便用归纳假设，这是证明整除问题常用的变形． ① n =k ?n =k ＋1中，还可以进行另一种变形，增、减项22k y x ；
② 还可类比证明：22n n x y -能被x －y 整除；22n n x y -能被x 2－y 2整除； n n x y -能被x －y 整除．
4．数学归纳法证明几何题，体现了数学发现的一种重要方法：“实验—归纳—猜想—证明”．建议有条件的学校借助多媒体技术，将此例改成探索性问题，展示数学结论形成的过程，给学生一个暴露思维的机会，使学生在探索中享受数学发现的快乐．掌握数学归纳法证明几何题的关键：发现递推关系．
本题借助多媒体技术，形象直观演示初值验算，在k 条直线上增加一条直线带来的变化（可多次演示），使递推关系不易发现的难点轻松突破，从而提高课堂效率．另外，本题的证明表述也是一个难点，教师应边讲边示范，给出一定时间让学生尝试、思考，说理要充分．要为学生作表率，“桃李不言，下自成蹊”．
若教师不能规范叙述，充分说理，学生在做作业时就可能出现“凑递推关系式”的假证明．
5．本课由相对独立的两块内容构成．内容多，方法新，书写难度大．课堂练习、习题数量多，不宜再补充习题，增加容量与难度．要尽可能用多媒体技术进行教学，对不具备现代教育技术工具的学校，可考虑拆分为两课时，在每一类问题中增加一些探索性问题．巩固训练，对数学归纳法进行小结复习．
教学过程
1．复习旧课，提出任务
《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有 一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又 叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。 （2）研究性课题：杨辉三角。 （3）数列的极限。 （4）函数的极限。 （5）极限的四则运算。 （6）函数的连续性。 本章难点内容是： （1）数学归纳法的原理及其应用。 （2）极限的概念。 【基础知识导引】 1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3．掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1．归纳法
前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 （1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 （2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况，结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2．数学归纳法 在生活与生产实践中，像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个，因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论，所得结论又不一定正确，要是找到把所得结论递推下去的根据，就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想：即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ，如果当0n n =时，命题成立，再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时，命题成立（这时命是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知，用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，要分两个步骤，且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础，缺少第一步，递推就缺乏正确的基础，一方面，第一步再简单，也不能省略。另一方面，第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了，一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步，就失去了递推的基础。例如，假设n=k 时，等式 成立，就是。那么， 。这就是说，如果n=k 时等式成立， 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时，上式左边=2，右边31112=++=，左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础，第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起，才能得出普遍性结论。因此，完成一、二两点后，还要做一个小结。 在证明传递性时，应注意： （1）证n=k+1成立时，必须用n=k 成立的假设，否则就不是数学归纳法。应当指出，n=k 成立是假设的，这一步是证明传递性，正确性由第一步可以保证，有了递推这一步，联系第一步的结论（命题对0n n =成立），就可以知道命题对10+n 也成立，进而再由第二步可知1)1(0++=n n ，即20+=n n 也成立。这样递推下去，就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 （2）证n=k+1时，可先列出n=k+1成立的数学式子，作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设，已知的定义、公式、定理等，不能直接将n=k+1代入命题。 3．这一节课本中共安排了五个例题，例1～例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =（这里10=n ）时等式成立。再假设当n=k 时等式成立，利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的，不能不利用假设。例如：求证：。
高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思
课题：数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能： 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤；初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等)． 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想．过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率．让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用，逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程，培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识，并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神； 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解，感受数学内在美的震撼力，从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神； 3. 学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新的精神； 4. 持续增进师生互信，生生互助，共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析，初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境，启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个，大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等； 教师总结：财主的儿子很傻很天真，但他懂一样思想方法，是什么？以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法，这就是今天的课题. 人们通常
浅谈数学归纳法在高考中的应用
1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先
数学归纳法在离散数学中的应用
数学归纳法在离散数学中的应用 在由一系列有限的特殊事例得出一般性结论的推理方法称为归纳法。而 数学归纳法则是用于证明与自然数n 有关的结论的归纳法：如果我们能够证明当n=1时结论是成立的，而且我们能用相同的方法由n=1命题成立证得n=2命题也成立；由n=2命题成立证得n=3成立；由n=3命题成立证得n=4成立…而且这个过程显然可以无穷进行下去。则我们就断言对于所有自然数n 命题都是成立的。数学归纳法的一般形式为，关键是归纳： 初始步）：先证n ＝1时，结论成立； 归纳步)：再证若假设对自然数n ＝k 结论成立（或者对所有小于等于n 的 自然数k 结论都成立），则对下一个自然数n ＝k+1结论也成立； 结论）： 根据初始步和归纳步的证明得出结论对所有自然数都成立。 当结论与多个自然数有关时这样一类题目的时候，要注意的一点就是对所要进行归纳的自然数的选择。 例1、对群
高中数学《数学归纳法及应用举例》说课稿
《数学归纳法及应用举例》第一课说课方案 一、说教材 （一）教材分析 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了 由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为 一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。 数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。并且，本 节内容是培养学生严密的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。 （二）教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问 题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何 让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。 1.知识目标 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 2.能力目标 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。 3.情感目标 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 （三）教学重难点 根据教学大纲要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，确定如下教学重难点： 1.重点 （1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 2.难点 （1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、说教法 本课采用交往式的教学方法。交往教学法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同 探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动 性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性 得到张扬，因而创造性得到解放。 三、说学法 本课以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生主要采用“探究式学习法”进行学习。本课学生的 学习主要采用下面的模式进行： 观察情景提出问题分析问题猜想与置疑（结论或解决问题的途径） 论证应用。 探究学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程。学生在探究问题过程中学习，在探究问题 的过程中激发学生的好奇心和创新精神;在探究过程中学习科学研究的方法;在探究过程中形成坚韧不拔
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为：
利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n )时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立， 再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或 n≥n 且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳0 的，属于完全归纳。 运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 一、运用数学归纳法证明整除性问题 例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。 证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。命题成立。 (2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 姓名甘国优指导教师赵慧炜 中文摘要:数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法,其应用极为广泛。本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想,体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力。 关键词：数学归纳法;步骤；证明方法. Ａbstｒact：Maｔhｅmatical inｄuｃtioｎ is a ｃommon evidencｅｍｅt ｈod iｎ mathematics， it is have very broａd appliｃation。 In this pａｐｅr，aｕｔhor researｃh ｉntｏ the ｓtep oｆｔhｅ Mathematica ｌ indｕctiｏn , it includes sｕmmaｒiz，ｅvideｎce ａnｄｇuess embod ｙ thｅ idea oｆtｈe eｖidｅnce oｆmatｈｅmatｉcaｌｉndｕctiｏn． Aｌso at herｅ ,we summaｒiz tｈｅmethoｄoｆ the mａthｅmat ｉcal induｃtioｎapplicaｔion iｎsolvｅａlgebra iｄenｔities ， g ｅoｍetric ,ordｅr anｄ porｔfolio ，and so on .ａlso analyze the c ｏmmoｎerrorｓ on ａｐpｌｉcation and into duct sｋｉｌl of tｈe ｐroof ,ｐroｏf ｏｆskills iｎtｒｏｄuceｄ. Iｔ is ｈelp to inｃr ｅａsed tｈe leｖeｌ of the Mathematiｃal indｕction’s appｌicａtion．Key woｒｄs：Maｔｈematical induction; Steps ; Proｏf． 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法,他有着其他方法所不能代替的作用,也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法。我们在学习
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用 数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等. 上述过程主要体现在数学归纳法的过程及注意事项，主要是证明恒等式的一些例子，下面我们看看数学归纳法应用的其他类型. （1）证明恒等式（略） （2）证明不等式. 例题：记()11111,23n S n n N n =+ ++???+>∈，求证：()212,2 n n S n n N >+≥∈. 证明：（1）当2n =时，2211125211234122 S =+++=>+，∴当2n =时，命题成立. （2）设n k =时，命题成立，即2111112322 k k k S =+++???+>+，则当1n k =+时，121111111123221222k k k k k S ++=+++???++++???+++ 11121111112212222222222k k k k k k k k k k k +>++++???+>++=++=+++++ 故当1n k =+时，命题也成立. 由（1），（2）可知，对n N ∈，2n ≥，212 n n S >+. 注意：利用数学归纳法证不等式，经常要用到“放缩”的技巧. （3）证明数或式的整除性 例题：求证：()()2111n n a a n N -+++∈能被21a a ++整除 证明：（1）当1n =时，()21111211a a a a ?-+++=++，命题显然成立. （2）设n k =时，()2111k k a a ?-+++能被21a a ++整除.则当1n k =+时， ()()() 2122121111k k k k a a a a a a +-++++=?+++()()()()212212111111k k k k a a a a a a a ---+??=+++++-+? ? ()()()212112111k k k a a a a a a --+??=++++++?? 由归纳假设，以上两项均能被21a a ++整除，故1n k =+时，命题成立. 由（1），（2）可知，对n N ∈，命题成立
数学归纳法的七种变式及其应用..
数学归纳法的七种变式及其应用 摘要：数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法，又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题，在实数中也广泛应用，还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法，因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上，给出了数学归纳法的另外五种变式，其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法，并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用，为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词：数学归纳法；七种变式；应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起，所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支，例如：证明等式、不等式，三角函数，数的整除，在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法，如第一数学归纳法，操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上，又衍生出了第二数学归纳法，反向归纳法，二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足： 1） ()1p 成立（即当1n =时命题成立）； 2）只要假设()p k 成立（归纳假设），由此就可证得()1p k +也成立（k 是自然数），就能保证对于任意的自然数n ，命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关，而是从某个自然数a 开始的，因此，将第一类数学归纳法修改为： 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥，*a N ∈), 如果 1）当n =a 时,()p a 成立；
第一数学归纳法及其应用 毕业论文
2012届本科毕业论文 第一数学归纳法及其应用 院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名 学号 指导教师 完成时间2012.5
第一数学归纳法及其应用 摘要：数学归纳法是数学思维方法中最重要、最常用的方法之一, 这不仅因为其中大量问题都与自然数有关, 更重要的是它贯穿于发现问题和解决问题的全过程. 本文对数学归纳法的由来、运用技巧以及需要注意的问题进行较为完整的系统论述. 重点阐述了第一数学归纳法的精髓和一般的解题思路, 以及在求解数学问题中的应用和技巧. 关键词：归纳法第一数学归纳法不等式数列 1 引言 对于数学归纳法的研究国内已有不少论文, 这些论文在具体方面做了详尽的论述. 同时还有数量不少的论文从数学归纳法的细微处着眼. 我国的数学期刊或数理杂志, 如《数学教育报》, 《数学通报》, 《数学通讯》等, 刊载的相关文章都从各个角度具体阐述了数学归纳法的常见问题. 数学归纳法是数学中一种重要的证明方法, 也是中学数学一个非常重要的内容, 用于证明与无穷的自然数集相关的命题. 但凡涉及无穷, 总会花费数学家大量时间与精力, 去理解并弄清它的真正意义. 普通归纳法与自然数这一最古老的数学概念及“无穷”这个无法直观感觉的概念相结合的“数学归纳法”, 自然也需要一个漫长的认识过程.在16世纪晚期, 数学归纳法开始出现在代数中. 1575年意大利数学家莫洛里克斯（1494-1575）在他的著作《算术》中就提出了这种方法, 并证明了 2 135(21) +++++=, 虽然莫洛里克斯并没有把数学归纳法贯彻到底, 例如n n 经有限的验证后便以“等等”一类的话代替了必要的演绎, 但是可以说莫洛里克斯算是一个与数学归纳法有关的一个早期的数学家, 一般认为, 历史上第一次成功利用数学归纳法的是17世纪法国数学家帕斯卡（1623-1662）, 1654年, 帕斯
数学归纳法在高中数学中应用
数学归纳法在高中数学中的应用-中学数学论文 数学归纳法在高中数学中的应用 冯宁 （东莞市玉兰中学，广东东莞523413） 摘要：《全日制高中数学课程标准》指出在培养学生演绎推理能力的同时要重视合情推理能力的培养，与之对应的是归纳、猜想的思想和数学归纳的方法。数学归纳法是高中阶段一种重要的数学方法，它可用来解答或证明数列、函数、恒等式、不等式和几何等方面的问题，培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力。 关键词：数学归纳法；高中数学；合情推理；演绎推理 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-02-0123-01 数学归纳法是高中阶段一种重要的数学方法，它常用来处理数列通项和其它关于自然数N的变化规律问题，以培养学生的观察、猜想与归纳的合情推理能力。在实际的教学中，教师对于数学归纳法的讲授和应用多停留在数列相关问题上。其实数学归纳法在中学数学中的应用远不止于此，它还可用来解答或证明恒等式、不等式、整除性和几何等方面的问题。 一、利用数学归纳法处理恒等式问题 例1、证明:C1n+2C2n+…+nCnn=n·2n－1n∈N。 分析:本题可运用二项展开式定理和倒序相加的技巧方法来证明，也可应用数学归纳法来证明。 证明:（1）当n=1时，显然命题成立； （2）假设当n=k时命题成立，即:C1k+2C2k+…+kCkk=k·2k－1。
则当n=k+1时，C1k+1+2C2k+1+3C3k+1+…+k+1Ck+1k+1=C0k+C1k+2C1k+C2k+3C2k +C3k+…+k+1Ckk=C1k+2C2k+…+kCkk+C0k+2C1k+…+k+1Ckk=k·2k－1+C0k+C1k+…+Ckk+C1k+2C2k+…+kCkk=k·2k－1+2k+k·2k－1 =k+1·2k 即当n=k+1时等式成立。 综上所述，当n∈N时，等式C1n+2C2n+…+nCnn=n·2n－1恒成立。二、利用数学归纳法处理不等式问题
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿
说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时） （选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节） 一、教材分析 1．内容的前后联系、地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的 学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。不 完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特 殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全 归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安 排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学 命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题. 2. 教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对 已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于 置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订 以下教学目标。 【知识目标】 （1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 （2）初步理解数学归纳法原理。 （3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 （4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 （1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密 的逻辑推理能力。 （2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新 能力。 【情感目标】 （1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困 难，勇于探索的精神。 （2）让学生通过对数学归纳法原理的理解，感受数学内在美的振憾力，从而使学生喜 欢数学。 （3）学生通过置疑与探究，培养学生独立的人格与敢于创新精神。 3．教学重点、难点 【重点】（1）初步理解数学归纳法的原理。 （2）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 （3）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 （2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、教法、学法分析 【教法的选择】
数学归纳法及其应用 论文
自学考试本科毕业论文论文题目：数学归纳法及其运用 学校名称：桂林师范高等专科学校 专业名称：数学教育 准考证号： 030114300393 姓名：何东萍 指导教师：李政
目录 内容摘要 一、数学归纳法的由来 （一）数学归纳法的概念 （二）数学归纳法的命名 （三）归纳法的证明 二、数学归纳法的步骤 三、数学归纳法的几种形式 （一）第一数学归纳法 （二）第二数学归纳法 （三）倒推归纳法 （四）跳跃归纳法 （五）螺旋式归纳法 四、数学归纳法的应用 （一）数学归纳法在生物方面的应用（二）数学归纳法在初等数学方面的应用（三）数学归纳法在几何方面的应用 五、数学归纳法的变体 （一）从0以外的数字开始 （二）针对偶数与奇数 （三）递归归纳法 六、数学归纳法常见误区及注意 （一）易错例题 （二）数学归纳法需注意 文献参考
数学归纳法及其应用 班级:数学教育2班姓名:何东萍指导老师：李政 【内容摘要】本文讲述了数学归纳法的历史由来和理论原理，通过数学归纳法的基本形式的学习和理解，用相应实例进行解析说明数学归纳法在各方面的具体应用。最后总结了数学归纳法的常见误区和应用技巧，并对未来发展的场景作出了预测。在中学数学的过程中，有一种很常见并且很基本的数学方法——数学归纳法。对于数学归纳法，人们常常有这样的疑问:数学归纳法的原理是什么？数学归纳法的证明过程为什么要用这样的规定格式？数学归纳法的应用前景会如何？ 【关键词】数学归纳法；归纳法的分类；归纳法的应用； 一、数学归纳法的由来 在最早的使用数学归纳法的证明出现于Francesco Maurolico的Arithmeticorum libri duo（1575年）。Maurolico利用递推关系证明出前n个奇数的总和是n^2，数学归纳法之谜便由此解开。 （一）数学归纳法的概念 数学归纳法有这么一个典型的例子：如果你有一排很长的直立着的多米诺骨牌那么第一张骨牌将倒下，其中某一个骨牌倒了，与其相邻的下一个骨牌也会倒，所以我们可以由此推断出所有的的骨牌都将要倒。也就能确定出这么一种递推关系，只要能够满足这两个条件就会导致所有骨牌全都倒下，用数学的方式可以简述为: （1）第一块骨牌倒下； （2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下。这样，无论有多少骨牌,只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。 关于数学归纳法，新教材是这样描述的:“从特殊的事例推出一般原理的推
高中数学第四全国青年教师优秀课观摩大赛 《数学归纳法及其应用举例》教案
《数学归纳法及其应用举例》教案 教学目标： 1．认知目标：了解数学归纳法的原理，掌握用数学归纳法证题的方法。 2．能力目标：培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3．情感目标：激发学生的求知欲，增强学生的学习热情，培养学生辩证唯物主义的世界观和勇于探索的科学精神。 教学重点： 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点： 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程： 一．创设情境，回顾引入 师：本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》（板书）。首先给大家讲一个故事：从前有一个员外的儿子学写字，当老师教他写数字的时候，告诉他一、二、三的写法时，员外儿子很高兴，告诉老师他会写数字了。过了不久，员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客，员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写，一直到了晚间也没有写完，请问同学们，这是为什么呢？ 生：因为有姓“万”的。 师：对！有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横，而是这么写的“万”。通过这个故事，你对员外儿子有何评价呢？ 生：（学生的评价主要会有两种，一是员外儿子愚蠢，二是员外儿子还是聪明的。） 师：其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的，但遗憾的是他猜错了！在数学 上，我们很多时候是通过观察→归纳→猜想，这种思维过程去发现某些结论，它是一种创造性的思维过程。那么，我们在以前的学习过程中，有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢？ 生：有。例如等差数列通项公式的推导。 师：很好。我们是由等差数列前几项满足的规律：d a a 011+=，d a a +=12，d a a 213+=，d a a 314+=，……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法，归纳法有什么特点吗？ 生：由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。特点：特殊→一般。 师：对。（投影展示有关定义） 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的对象是涉及事物的一部分还是全部，分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有（有限种）特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法。那么，用完全归纳法得出的结论可靠吗？ 生：（齐答）可靠。 师：用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢？为什么？ 生：不可靠。这是因为只考察了部分情况，结论不一定具有普遍性。
人教版数学备课资料浅谈数学归纳法的应用
浅谈数学归纳法的应用 数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛．在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。 一、用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。 例1、是否存在正整数m ，使得f （n ）=（2n +7）·3n +9对任意自然数n 都能被m 整除?若存在，求出最大的m 值，并证明你的结论;若不存在，请说明理由. 证明：解：由f （n ）=（2n +7）·3n +9，得f （1）=36， f （2）=3×36， f （3）=10×36， f （4）=34×36，由此猜想m =36. 下面用数学归纳法证明： （1）当n =1时，显然成立. （2）假设n =k 时， f （k ）能被36整除，即f （k ）=（2k +7）·3k +9能被36整除;当n =k +1 时，［2（k +1）+7］·3k +1+9=3［（2k +7）·3k +9］+18（3k － 1－1）， 由于3k －1－1是2的倍数，故18（3k － 1－1）能被36整除.这就是说，当n =k +1时，f （n ）也能被36整除. 由（1）（2）可知对一切正整数n 都有f （n ）=（2n +7）·3n +9能被36整除，m 的最大值为36. 二、用数学归纳法证明恒等式问题 对于证明恒等的问题，在由证等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，使问题的证明有目的性． 例2、是否存在常数c b a ,,，使得等式)(12 ) 1()1(32212222c bn an n n n n +++=+?++?+?对一切自然数n 成立？并证明你的结论． 解：假设存在c b a ,,，使得题设的等式成立，则当时3,2,1=n 也成立，代入得 ??? ? ?? ?? ?++=++=++=c b a c b a c b a 3970)24(2122)(614 解得10,11,3===c b a ，于是对3,2,1=n ，下面等式成立： )10113(12 ) 1()1(32212222+++= +?++?+?n n n n n n 令2 22)1(3221+?++?+?=n n S n 假设k n =时上式成立，即)10113(12 ) 1(2+++= k k k k S k 那么2 1)2)(1(+++=+k k S S k k