圆的概念 公式及推导完整版

〖圆的定义〗

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

〖圆的相关量〗

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是

3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。

〖圆和圆的相关量字母表示方法〗

圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d

扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S

〖圆和其他图形的位置关系〗

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

【圆的平面几何性质和定理】

〖有关圆的基本性质与定理〗

圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。

圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

〖有关切线的性质和定理〗

圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。

切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd

2.圆的面积S=πr2

3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=nπr2/360=rl/2

5.圆锥侧面积S=πrl

弦切角定义

顶点在圆上，一边和圆相交，另

图示

一边和圆相切的角叫做弦切角。

如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠PCA为弦切角）。

弦切角定理

弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角）

弦切角定理证明：

证明一：设圆心为O，连接OC，OB,连接BA并延长交直线T于点P。

∵∠TCB=90-∠OCB

∵∠BOC=180-2∠OCB

此图证明的是弦切角∠TCB

∴,∠BOC=2∠TCA（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）∵∠BOC=2∠CAB（圆心角等于圆周角的两倍）

∴∠TCA=∠CAB（定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角）

证明已知：AC是⊙O的弦，AB是⊙O的切线，A为切点，弧是弦切角∠BAC所夹的弧.

求证：（弦切角定理）

证明：分三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边AC上

∵AC为直径，AB切⊙O于A，

∴弧CmA=弧CA

∵为半圆,

∴∠CAB=90=弦CA所对的圆周角

B点应在A点左侧

（2）圆心O在∠BAC的内部.

过A作直径AD交⊙O于D,

若在优弧m所对的劣弧上有一点E

那么，连接EC、ED、EA

则有：∠CED=∠CAD、∠DEA=∠DAB

∴∠CEA=∠CAB

∴（弦切角定理）

（3）圆心O在∠BAC的外部,

过A作直径AD交⊙O于D

那么∠CDA+∠CAD=∠CAB+∠CAD=90

∴∠CDA=∠CAB

∴（弦切角定理）

弦切角推论:若两弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

举例: 例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.

解：连结OA，OB.

∵在中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）

例1：如图，在中，∠C=90，以AB为弦的⊙O与AC相切于点A，∠CBA=60° , AB=a 求BC长.

解：连结OA，OB.

∵在中, ∠C=90

∴∠BAC=30°

∴BC=1/2a(ＲＴ△中30°角所对边等于斜边的一半）

例2：如图，AD是ΔABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB，AC分别相交于E，F.

求证：EF∥BC.

证明：连DF.

AD是∠BAC的平分线∠BAD=∠DAC

∠EFD=∠BAD

∠EFD=∠DAC

⊙O切BC于D ∠FDC=∠DAC

∠EFD=∠FDC

EF∥BC

例3：如图，ΔABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，CD⊥AB于D，MN切⊙O于C，求证：AC平分∠MCD，BC平分∠NCD.

证明：∵AB是⊙O直径

∴∠ACB=90

∵CD⊥AB

∴∠ACD=∠B，

∵MN切⊙O于C

∴∠MCA=∠B，

∴∠MCA=∠ACD，

即AC平分∠MCD，

同理：BC平分∠NCD.

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切

线的夹角。

如图中，切线长AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半径

AO=AO公共边

∴RtΔABO≌RtΔACO（H.L）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

切线长定理推论：圆的外接四边形的两组对边的和相等

切线长的概念．如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导学生理解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

推广：连接BC，BC⊥AO

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

相交弦说明

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，

则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

编辑本段如何证明

证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角

推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。

几何语言：

∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线

∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）

推论：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

几何语言：

∵PBA，PDC是⊙O的割线

∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）

由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD

证明

切割线定理证明:

设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB 证明：连接AT, BT

∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)

∠P=∠P(公共角)

∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)

则PB：PT=PT：AP

即：PT²=PB·PA

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）

相交弦说明

几何语言：

若弦AB、CD交于点P

则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

几何语言：

若AB是直径，CD垂直AB于点P，

则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

如何证明

证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等.）∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB ＝PC·PD

注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法. P点若选在圆内任意一点更具一般性。

从圆外一点P引两条割线

证明：如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD 证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD

∴由圆周角定理，得∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半

径的圆

106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直

平分线

107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距

离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦

相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两

弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所

对的弦是直径

119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

120定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它

的内对角

121①直线L和⊙O相交d＜r

②直线L和⊙O相切d=r

③直线L和⊙O相离d＞r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积

相等

131推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的

两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割

线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

135①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)

④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n(n≥3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

圆的知识点概念公式大全

圆知识点概念公式大全 一．圆定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成图形叫圆．这个固定端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点距离等于定长点组成图形．3．确定圆条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆位置，半径长确定圆大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心一样且半径相等圆叫做同圆； 2．圆心一样，半径不相等两个圆叫做同心圆； 3．半径相等圆叫做等圆． 三．弦与弧 1．连结圆上任意两点线段叫做弦．经过圆心弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长弦，直径等于半径2倍． 2．圆上任意两点间局部叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点弧记作AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合弧叫做等弧．

3．圆任意一条直径两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆弧叫做优弧，小于半圆弧叫做劣弧．4．从圆心到弦距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对弧组成图形叫做弓形． 四．与圆有关角及相关定理 1．顶点在圆心角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份弧对应1︒圆心角，我们也称这样弧为1︒弧．圆心角度数与它所对弧度数相等． 2．顶点在圆上，并且两边都与圆相交角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等． 推论2：半圆〔或直径〕所对圆周角是直角，90︒圆周角所对弦是直径． 〔在同圆中，半弧所对圆心角等于全弧所对圆周角〕 3．顶点在圆内，两边与圆相交角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角度数等于圆内角所对两条弧度数与一半．

圆的概念公式及推导(完整版)

〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。 【圆的平面几何性质和定理】 〖有关圆的基本性质与定理〗 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗

圆的概念及公式总结

圆的概念及公式总结 圆是平面几何中的一类特殊图形，它是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合。圆可以被认为是一个闭合的曲线，并且具有一些特殊的性质和公式，我们可以通过这些公式来计算圆的周长、面积和其他相关参数。 以下是圆的一些重要的概念和公式总结： 1.圆和圆心：圆由圆心和半径组成。圆心可以用一个坐标来表示，通常记作（h，k）。 -圆心到任一点的距离都相等。 -圆心到圆上任一点的距离等于半径的长度。 2. 直径（diameter）：直径是通过圆心的两个点之间的距离。直径是圆的最长线段，它的长度等于半径的两倍。 3. 半径（radius）：半径是从圆心到圆上任一点的距离。通常用字母r表示。 4. 弦（chord）：弦是圆上两点之间的线段。直径是最长的弦。 5. 弧（arc）：弧是圆上两点之间的部分。圆根据弧的长度可以分为小弧、大弧和半弧。 6. 弧长（arc length）：弧长是弧的长度，可以通过圆的周长公式来计算。 - 周长（circumference）：周长是圆形边界上的长度。通常用C表示。

7. 扇形（sector）：扇形是由圆心、圆上两点和相应的弧组成的图形。 -扇形面积公式：A=1/2r²θ，其中r是半径，θ是扇形的角度（以 弧度为单位）。 8. 圆心角（central angle）：圆心角是以圆心为顶点的角。它的大 小通常用度数或弧度来度量。 9. 弦长（chord length）：弦长是通过弦上的两个点之间的距离。 可以通过圆心角和半径计算弦长。 - 弦长公式：c = 2rsin(θ/2)，其中r是半径，θ是圆心角（以弧 度为单位）。 10. 扇形面积（sector area）：扇形面积是扇形所占的圆的面积的 比例。 -扇形面积公式：A=πr²(θ/360)，其中r是半径，θ是圆心角（以 度数为单位）。 11. 圆的面积（area）：圆的面积是指圆所占的平面区域的大小。 -圆的面积公式：A=πr²，其中r是半径。 通过上述概念和公式，我们可以计算出圆的周长、面积、弦长等参数，这些参数在实际中有很多应用，例如建筑设计、物理学、工程等领域。

圆的知识点概念公式大全

圆的知识点概念公式大全 一．圆的定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆． 三．弦和弧 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的弧记作?AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 四．与圆有关的角及相关定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． 4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 五．垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论： ⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等．

圆的概念及公式总结

1 ．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母 O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3 ．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4 ．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5 ．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母 d 表示。 6 ．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7 ．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8 ．在同一个圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的一半。 1 用字母表示为： d ＝2 r r ＝2 d 用文字表示为：直径 =半径×2 半径 =直径÷2 9 ．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。

10 ．圆的周长总是直径的 3 倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取 3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11 ．圆的周长公式： 1.知道直径 d ：圆周长 = ×直径： C = d 2.知道半径 r ：圆周长=2××半径： C=2 r 12.知道圆的周长 C 求直径： d=C 知道圆的周长 C 求半径：r= C 2 13、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 S = r2 2.已知 d 时：S = (d 2)2 14 ．求圆面积的公式： 1.已知 r 时： 3.已知 C 时：先求出半径( r= C 2)，然后S = r2 或者直接用公式： S = (C 2)2 15 ．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16 ．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17 ．一个环形，外圆的半径是 R ，内圆的半径是 r

六年级上册圆概念及公式的总结

圆的概念及公式总结 1．圆的定义：平面上的一种曲线围成的封闭图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d 表示。 6．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为： d ＝２r r ＝1 2d 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率， 用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：1.知道直径d ：圆周长=π×直径：C=πd 2.知道半径r ：圆周长=2×π×半径：C=2πr 12.知道圆的周长C 求直径：d=C ÷π 知道圆的周长C 求半径：r= C ÷ π÷2 13、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 14．求圆面积的公式：1.已知r 时：2S r π= 2.已知d 时：()2 2S d π=÷ 3.已知C 时：先求出半径（r= C ÷π÷2），然后用第一条公式 或者直接用公式：()2 2S C ππ=÷÷

圆的概念 公式及推导完整版)

圆公式〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫 做圆。定点称为圆心，定长称为半径。轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为 距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。〖圆的相关量〗圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是 3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为 劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆心角和圆周角：顶 点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆 周角。内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形 的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。 这个扇形的半径成为圆锥的母线。〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆--⊙半径 --r 弧--⌒直径--d 扇形弧长／圆锥母线--l 周长--C 面积--S 〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点， 则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。直 线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为 相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP ⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB 与⊙O相交，PO＜r。两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公 共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心 距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。【圆的 平面几何性质和定理】 〖有关圆的基本性质与定理〗圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。圆 的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形， 其对称中心是圆心。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆 定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。〖有关圆周角和圆心 角的性质和定理〗在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中 有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半。直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。〖有 关外接圆和内切圆的性质和定理〗一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆 心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各 内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。〖有关切线的性质和定理〗 圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆 的切线。切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切 线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直 线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。切线的长定理：从圆外一点到圆 的两条切线的长相等。〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积 S=πr? 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=nπr?/360=rl/2 5.圆锥侧面积S= πrl 弦切角定义顶点在圆上，一边和圆相交，另图示一边和圆相切的角叫做弦 切角。如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC(∠

圆的概念及公式总结

圆的概念及公式总结 1．圆的定义:平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点,这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径.直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆里，所有的半径都相等,所有的直径都相等。 7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍,半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２rr ＝d 用文字表示为:直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长. 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率,用字母表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式:1。知道直径d：圆周长=×直径:C=d 2.知道半径r ：圆周长=2××半径：C=2r 12。知道圆的周长C求直径：d=C知道圆的周长C求半径：r= C2 13、圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 14．求圆面积的公式：1。已知r时:2。已知d时： 3.已知C时：先求出半径（r= C2），然后 或者直接用公式： 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r 它的面积是或S=（R2—r2） 18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长与圆周长的一半的区别在于,半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。 半圆的周长公式：Ｃ＝d2＋d或Ｃ＝r＋2r＝5.14r 圆周长的一半:Ｃ＝d2 或Ｃ=r 19．半圆面积＝圆的面积2公式为：Ｓ＝ｒ22 20．外方内圆阴影部分的面积：0.86ｒ2外圆内方阴影部分的面积：1。14ｒ2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍,直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。

圆的基本概念

圆的基本概念 圆的基本概念 圆是数学中的一个重要概念，是一种平面图形，由一条固定点到平面 上任意一点距离相等的所有点组成。本文将从定义、特征、性质、公 式等方面全面介绍圆的基本概念。 定义 圆是平面上一条固定点（圆心）到平面上任意一点距离相等的所有点 所组成的图形。 特征 1. 圆心：圆心是指固定点，通常用字母O表示。 2. 半径：半径是指圆心到圆周上任意一点之间的距离，通常用字母r 表示。 3. 直径：直径是指通过圆心并且两端在圆周上的线段，直径长度为半 径长度的两倍，通常用字母d表示。 4. 弧：弧是指连接圆周上两个点所对应的线段，通常用字母AB表示。

性质 1. 圆周率π：π是一个无理数，约等于3.1415926。它表示单位长度 下一个完整圆周所对应的长度。 2. 圆周长公式：一个完整圆周的长度等于2πr。 3. 圆面积公式：一个半径为r的完整圆形面积为πr²。 4. 圆心角：圆心角是指以圆心为顶点的角，其所对应的弧长等于半径 长度的弧度数，通常用字母θ表示。 5. 弦：弦是指连接圆周上两个点的线段。 6. 切线：切线是指与圆周相切的直线，与半径垂直。 公式 1. 弧长公式：一段弧所对应的长度等于该弧所在圆周的半径长度乘以 该弧所对应的圆心角度数除以360°。即L=θr（其中L表示弧长，θ表示圆心角度数，r表示半径长度）。 2. 弦长公式：一条弦所对应的长度等于该弦两端到圆心距离之差的平 方根乘以2。即l=2×√(r²-d²/4)（其中l表示弦长，d表示直径长度）。 3. 切线定理：切线与半径垂直。当一条切线与一条半径相交时，它们 所在点处形成一个直角三角形。根据勾股定理可得到切线长公式 t=√(r²-d²/4)（其中t表示切线长度）。 总结

圆的概念公式及推导完整版

圆的概念公式及推导完整版 圆是在平面上由离一个固定点距离相等的所有点构成的几何图形。圆 由圆心和半径组成，其中圆心表示固定点，半径表示圆心到圆上任意一点 的距离。 一、圆的定义： 圆可以通过以下定义来描述：在平面上，固定一个点O作为圆心，取 一个长度为r的固定线段OP作为半径，那么满足OP=OP’的所有点P构 成的集合就是圆。 二、圆的基本性质： 1.所有圆上的点到圆心的距离都相等，即圆上任意两点之间的距离相等。 2.圆的直径是通过圆心的任意两点构成的线段，直径的长度等于半径 的两倍。 3.圆的半径和直径是圆上的重要元素，在圆的几何证明中经常被使用。 三、圆的周长和面积公式的推导： 1.周长公式的推导： 假设圆的半径为r，利用圆的定义，可以得到圆的周长公式C=2πr， 其中π约等于3.14或22/7 设圆的周长为C，将C分成n段，每段长度为s，那么每段所对应的 弧长也是相等的，即s=2πr/n。当n趋向于无穷大时，每段趋向于无穷小，弧长s趋向于0，此时所有的弧长连成一个圆，即C=2πr。

因此，圆的周长公式C=2πr可以得到。 2.面积公式的推导： 假设圆的半径为r，利用圆的定义，可以得到圆的面积公式S=πr^2将圆上的点P连接圆心O，并连接P与圆上的一点A，可以得到一个扇形OAP，其中OA为半径，OP为弧长。我们可以发现，当扇形的弧长OP 趋向于圆周C时，扇形会无限逼近一个三角形OAP。 当扇形无限接近三角形时，扇形的面积可近似于三角形的面积。由于三角形的面积公式为S=1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。 在三角形OAP中，底边为弧长OP，高为半径OA，所以三角形OAP的面积为S=1/2(OP*OA)。 当弧长OP趋向于圆周C时，三角形OAP无限接近一个圆的半圆，此时圆的半径OA等于三角形的高，所以S=1/2(OP*OA)进一步化简为 S=1/2(C*r)。 因此，圆的面积公式S=πr^2可以得到。 四、圆的其他公式和性质： 1.弧长公式：设圆的半径为r，圆心角为θ度，则弧长L=rθ。 2.扇形面积公式：设圆的半径为r，圆心角为θ度，则扇形的面积S=1/2r^2θ。 3. 弓形面积公式：设圆的半径为r，弓形对应的圆心角为θ度，则弓形的面积S=1/2r^2(θ-sinθ)。

圆的概念-公式-定理-推论

圆的概念公式定理推论 初三（4）班周雍 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 “知二推三”。（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分劣弧，（5）平分优弧。知道其中两个，就可以推出另外三个 平行弦所夹的弧相等 弦心距的概念 弦到圆心的距离叫弦心距 圆心角的概念 顶点在圆心，另外两点在圆上所形成的角 尺规作图找出圆心 任意画两条弦，做这两条弦的垂直平分线，交点就是 圆心。 圆周角 顶点在圆上，其它两点也在圆上所形成的角 同弧或等弧所对的圆周角相等 【直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。】 圆心角和圆周角的大小关系 同弧或等弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半 【∠1=∠P】 圆内接四边形的性质 圆内接四边形对角互补 相交弦定理 如果圆内有两条弦分割出的两条线段大小的乘积相等 确定圆的条件 经过1点、2点都可以画无数个圆。

不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 外接圆 外接圆的由来：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。这个三角形叫做圆的内接三角形。 外心：外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。因为垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以，三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等。 三角形与外心的位置关系 锐角三角形的外心在锐角三角形的内部； 直角三角形的外心在斜边的中点； 钝角三角形在三角形的外部。 点与圆的位置关系 如果这个点到圆心的距离大于半径，则点 在圆外【d＞r】 如果这个点到圆心的距离等于半径，则点 在圆上【d=r】 如果这个点到圆心的距离小于半径，则点在圆内【d＜r】 【圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。】 直线和圆的位置关系 1、相交：直线和圆有两个交点【d＜r】 2、相切：直线和圆有一个交点【d=r】 3、相离：直线和圆没有交点【d＞r】 切线和切点 直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。 圆的切线的性质 圆的切线会垂直于经过切点的半径 圆切线的判定 1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 2、圆心到直线的距离当等于半径的时候，这条直线就是圆的切线。 弦切角的定义 圆相交于同一点的弦和切线的夹角叫弦切角

圆的概念及公式总结

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圆的概念及公式总结 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 d 用字母表示为： d＝２r r ＝1 2 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。11．圆的周长公式：1.知道直径d：圆周长=π×直径：C=πd 2.知道半径r ：圆周长=2×π×半径：C=2πr 12.知道圆的周长C求直径：d=C÷π知道圆的周长C求半径：r= C÷π÷2 13、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。

14．求圆面积的公式：1.已知r 时：2S r π= 2.已知d 时： ()2 2S d π=÷ 3.已知C 时：先求出半径（r= C ÷ π÷2），然后2S r π= 或者直接用公式：()22S C ππ=÷÷ 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 17．一个环形，外圆的半径是R ，内圆的半径是r 它的面积是22S R r ππ=- 或S=π(R 2-r 2) 18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直 径。 半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷2＋d 或 Ｃ＝πr ＋2r ＝ r 圆周长的一半：Ｃ＝πd ÷2 或 Ｃ=πr 19．半圆面积＝圆的面积÷2 公式为：Ｓ＝πｒ2÷2 20．外方内圆阴影部分的面积：ｒ2 外圆内方阴影部分的面积：ｒ2 21．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的 倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 例如：在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积 扩大9倍。 22．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小 23．轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重 合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

初中圆的所有公式定理

初中圆的所有公式定理 圆是初中数学中非常重要的一个概念，它是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。在初中数学中，我们学习了许多关于圆的公式和定理，下面就让我们来一一了解。 一、圆的基本概念 圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。其中，定点叫做圆心，到圆心距离相等的点叫做圆上的点，距离叫做半径。 二、圆的周长和面积公式 1. 周长公式：C=2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π≈3.14。 2. 面积公式：S=πr²，其中S表示圆的面积，r表示圆的半径，π≈ 3.14。 三、圆的弧长和扇形面积公式 1. 弧长公式：L=α/360°×2πr，其中L表示圆的弧长，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈3.14。 2. 扇形面积公式：S=α/360°×πr²，其中S表示扇形的面积，α表示圆心角的度数，r表示圆的半径，π≈ 3.14。

四、圆的切线和切点定理 1. 切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线垂直。 2. 切点定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。 五、圆的切线长度定理 如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。 六、圆的切线角定理 如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线夹角等于圆心角的一半。 七、圆的切线定理 如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直。 八、圆的切线长度定理 如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆心的连线在切点处与圆的切线垂直，且切线长度等于圆心到直线的距离。

圆的概念及公式总结

圆的概念及公式总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

圆的概念及公式总结 1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。 2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O 表示。它到圆上任意一点的距离都相等． 3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。半径一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。 6．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。 8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。 用字母表示为：d＝２r r ＝1 2 d 用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷2 9．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母π表示。圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，取π≈3.14。世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。 11．圆的周长公式：1.知道直径d：圆周长=π×直径：C=πd 2.知道半径r ：圆周长=2×π×半径：C=2πr 12.知道圆的周长C求直径：d=C÷ π知道圆的周长C求半径：r= C÷π÷2 13、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 14．求圆面积的公式：1.已知r时： 2 S r π = 2.已知d时：()22 S d π =÷ 3.已知C时：先求出半径（r= C÷π÷2），然后2 S r π = 或者直接用公式： ()22 S C ππ =÷÷ 15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r 它的面积是 22 S R r ππ =-或S=π(R2-r2) 18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。 半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。半圆的周长公式：Ｃ＝πd ÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r＝5.14 r 圆周长的一半：Ｃ＝πd÷2 或Ｃ=πr