平面向量及常见题型

平面向量及常见题型

向量知识点

☆零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行

☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量

0a 为单位向量?｜0a

｜＝1

☆平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量平行向量也称为共线向量

☆向量加法AB BC +=AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：

AB BC CD PQ QR AR +++

++=，但这时必须“首尾相连”．

☆实数与向量的积：

①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa

，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a

?=λλ；

（Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a

的方向相反；当0=λ时，

0 =a λ，方向是任意的

☆两个向量共线定理：

向量b 与非零向量a

共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ

☆平面向量的基本定理：

如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21,λλ使：

2211e e a

λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

☆平面向量的坐标运算：

(1) 若()()1122,,,a x y b x y =

=，则()1212,a b x x y y ±=±±，1212a b x x y y ?=?+?

(2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =--

(3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy)

(4) 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y =

=，则a b ⊥，02121=?+?y y x x

☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质

☆两个向量的数量积：

已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ 叫做a 与b 的数量积（或内积） 规定00a ?=

☆向量的投影：︱b ︱cos θ=

||

a b

a ?∈R ，称为向量

b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 ☆数量积的几何意义：

a ·

b 等于a 的长度与b 在a 方向上的投影的乘积

☆向量的模与平方的关系：2

2||a a a a ?==

☆乘法公式成立：

()()2

2

2

2

a b a b a

b a b +?-=-=-；

()

2

2

2

2a b a a b b ±=±?+2

2

2a a b b =±?+

☆向量的夹角：已知两个非零向量a 与b ，作OA =a , OB =b ,则∠AOB=θ （0

1800≤≤θ）叫做向量a 与

b 的夹角

cos θ=cos ,a b a b

a b

?<>=

?=

2

2

2

22

12

12121y x y x y y x x +?++

当且仅当两个非零向量a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

补充：

线段的定比分点

()()()设，，，，分点，，设、是直线上两点，点在P x y P x y P x y P P P 11122212l

l 上且不同于、，若存在一实数，使，则叫做分有向线段P P P P PP P 1212λλλ→=→

P P P P P P P P 12121200→

><所成的比（，在线段内，，在外），且λλ

x x x y y y P P P x x x y y y =++=++?????

??=+=+???????121212121

2112

2λλλλ，为中点时，

()()()如：，，，，，，?ABC A x y B x y C x y 112233

则重心的坐标是，?ABC G x x x y y y 123

12333

++++?? ???

经典例题

例1．已知

是

所在平面内一点，

为

边中点， 且

，那么（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．

解：

. 故选A ．

例2．在平行四边形中，，M 为BC 的中点，则______.（用表

示）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.

解：由得，，所以

。

例3．如图所示，D 是△ ABC 的边AB 上的中点，则向量( )

（A ） （B ） （C ） （D ）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.

解：，故选A.

例4.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足

且顺时针旋转后与同向，其中，则（）

（A）（B）

（C）（D）

命题意图:本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与

重合，故，应选D.

巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D.

点评：巧妙解法巧在取，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.

例5．设向量与的夹角为，且，， 则 _．

命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.

解:设

，由

得

∴时，，故填

例6．已知抛物线的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 （），过A 、B 两

点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．

（Ⅰ）证明

为定值；

（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出

的表达式，并求S 的最小值．

命题意图:本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程,以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力. 解：

(Ⅰ)由已知条件，得，．

设

，

，则

，

．

由，得

即

将（1）式两边平方并把

，

代入得

（3）

解（2）（3）式得，，且有，

抛物线方程为，求导得．

所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是，

即，．

解出两条切线的交点M的坐标为即．

∵，

所以

所以为定值，其值为0．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，，，

因而．

因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，

所以

于是，

由知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．

向量常见题型

类型（一）：向量的夹角问题

1.平面向量b a ,，满足4,1==b a 且满足

2.=b a ，则b a 与的夹角为

2.已知非零向量b a ,满足

）（，a b b b a 2-⊥=，则b a 与的夹角为

3.已知平面向量b a ,满足424)2.(==-=+-b a b a b a ，且）（且，则b a 与的夹角为

4.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=

5.已知

的夹角。

与求b a b a b a ,7,3,2=+== 类型（二）：向量共线问题

1. 已知平面向量），（x a 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x

2. 设向量），（），，（3212==b a 若向量b a +λ与向量)74(--=，c 共线，则=λ

3.已知向量），（），，（x b a

211==若a b b a 24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2

B ．0

C ．1

D ．2

_____

)10,(),54(),12,(.4=-===k C B A k OC OB k OA 则三点共线，，，，且，已知向量 5．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 共线，求实数k 的值； 6．已知a ，c 是同一平面内的两个向量，其中a =（1，2）若52=c ，且a ∥c ，求c 的坐标

类型（三）: 向量的垂直问题

1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为

2．已知a =（1，2），b =（-3，2）若k a +2b 与2a -4b 垂直，求实数k 的值 3．已知,24），（=a 求与a 垂直的单位向量的坐标。

4. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-=

5. =⊥-===k b c a k c b a ，则）若（，），（),2,()3,1(,13

6.

）

满足于（，若向量），（a c c b a +-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥c b a c ），则（ 类型（四）投影问题

1． 已知，4,5==b a ，b a 与的夹角3

2π

θ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2． 在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2

则π

3．关于c a b a ..=且0≠a ，有下列几种说法：

①

)(c b a -⊥； ② b ⊥c ；③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a

方向上的投影 ；⑤a b

λ=；⑥c b =其中正确的个数是 （ ）

（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 类型（五）求向量的模的问题

1. 已知零向量==+==b b a b a a ，则），（25,10.,12

2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ，则2,2,1

3. 已知向量a )3,1(=，=+-=b a b ，则)0,2( 4．已知向量b a b a

-==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为

6. 设向量a ，b 满足

1==b a 及334=-b a ，求b a 53+的值

类型（六）平面向量基本定理的应用问题

1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于 （ ）

(A) b a 2321+-

(B)b a 23

21-- (C)b a 2123- (D)b a 2

123+-

2.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101

3.设

e

e 2

1

,是平面向量的一组基底，则当

__________,2

1

==λ

λ时，02

21

1=+e e λλ

4.下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A)

)2,1(),0,0(2

1

-==e e

(B)

)7,5(),2,1(2

1

=-=e e

(C)

)10,6(),5,3(2

1

==e e

(D)

)4

3

,21(

),3,2(2

1

-=-=e e

5. （）），则，（），，（），，（==-==c c b a 241111 (A)b a +3 (B)

b a -3 (C) b a 3+- (D) b a 3+

类型（七）平面向量与三角函数结合题

1.已知向量(2sin ,cos )42x x m =，(cos ,3)4

x n =，设函数()f x m n =? ⑴求函数()f x 的解析式 （2）求()f x 的最小正周期；

（3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值．

2. 已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量))sin(,1(A B m -=，平面向量

).1),2sin((sin A C n -=

（I ）如果,3,3

,2=?=

=S ABC C c 的面积且π

求a 的值；

（II ）若,n m ⊥请判断ABC ?的形状. 3. 已知向量)cos 2,(sin ),sin ,2(2

x x b x a ==,函数b a x f ?=)(

(1)求)(x f 的周期和单调增区间；

(2)若在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，C b B c a cos cos )2(

=-，求)(A f 的取值范围。

.

,3,32)2(;)1.(2

1

.2

sin 2cos 2sin 2cos .4的值求的面积为若的大小求角），且

，（），，（的对边，，，的内角分别为，，已知c b S ABC a A n m A

A n A A m C

B A AB

C c b a +=?===-=?

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是. 例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少 题型二：向量共线与垂直条件的考查 r r r r 例1（1）,a b r r为非零向量。“a b⊥r r”是“函数()()() f x xa b xb a =+?-

为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在ABC ?所在平面内，且 ,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且PA PB PB PC PC PA ?=?=?，则点O ，N ，P 依次是ABC ?的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 2 3).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(2 1，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α －3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的

取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==b a ，若正数k 和t 使得向量 b t a k y b t a x 1)1(2 +-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

平面向量部分常见的考试题型

平面向量部分常见的题型练习 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量, 4==且满足2.=，则与的夹角为 2.已知非零向量, （2-⊥=，则与的夹角为 类型（二）：向量共线问题 1. 已知平面向量），（x 32=，平面向量），，（182--=b 若a ∥b ，则实数x 2. 设向量），（，（3212==若向量b a +λ与向量)74(--=，共线，则=λ 3.已知向量） ，（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是（ ） A ．-2 B ．0 C ．1 D ．2 类型（三）: 向量的垂直问题 1．已知向量b a b x a ⊥==且），（)6,3(,1，则实数x 的值为 2 ．已知向量=--==b b a n b n a 与），若，（），，（211 3．已知=（1，2），=（-3，2）若k +2与2-4垂直，求实数k 的值 4． 42==，且b a 与的夹角为 3 π ，若的值垂直，求与k b a k b a k 22-+。 类型（四）投影问题 1． ，45==，与的夹角3 2π θ=，则向量在向量上的投影为 2． 在Rt △ABC 中，===∠AC C .,4,2 则π 类型（四）求向量的模的问题 1. 已知零向量====b a a ，则），（2510.,12 2. 已知向量, ====221 3. 已知向量a )3,1(= ，=+-=)0,2( 4. 设向量， 1== 及34=- ，求3+的值 类型（五）平面向量基本定理的应用问题 1．若=（1，1），=（1，-1），=（-1，-2），则等于 （ ） (A) 2321+- (B)2321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+-

平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

平面向量部分常见的考试题型总结

平面向量部分常见的题型练习 类型(一)：向量的夹角问题 1?平面向量a,b，满足a =1,b =4且满足a.b = 2，则a与b的夹角为 _________ 2?已知非零向量a,b满足a = b,b丄(b—2a),则a与b的夹角为___________ 3?已知平面向量a,b满足(a -b).(2a - b) —4且*2,” 以且，则a与b的夹角为_________________ 4?设非零向量a、b、c满足| a |=| b |=| c |,a ■ b = c，则：::a, b = ____ 5?已知a =2」b| =3, a +b = J7,求a与b的夹角。 6?若非零向量a,b满足a = b ,(2a+b).b=0,则a与b的夹角为____________ 类型(二)：向量共线问题 1. 已知平面向量a =(2,3x),平面向量b =( 一2,18),若a // b，则实数x ____________ 2. 设向量a = (2,1),b = (2,3)若向量，a - b与向量c = (- 4, - 7)共线，则，- 3?已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b - 2a平行，则实数x的值是( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4已知向量OA =(k,12),0B =(4,5),OC =(-k,10),且A, B, C三点共线， 则k = ___ 5. 已知A (1,3), B (—2,—3), C (x,7)，设AB =a , BC = b 且a // b，则x 的值为() (A) 0 (B) 3 (C) 15 (D) 18 6. 已知a= (1, 2), b= (-3 —2)若k a+2b与2a-4b共线，求实数k的值； 7. 已知a —c是同一平面内的两个向量，其中 a = (1 —2)若|^ = 2. 5，且a // c，求c的坐标 —I- 8. n为何值时，向量a ( n ,1)与b = (4, n)共线且方向相同？ 9. 已知a = 3,b = (1,2),且a // b，求a的坐标。 10. 已知向量a (2, -1),b ( -1, m),c =(-1,2)，若(a b)// c，则m= ________________ 11. 已知a,b不共线，c =ka ? b,d =a -b，如果c // d，那么k= _________ ,c与d的方向关系

平面向量题型汇总

《平面向量》题型汇总 类型（一）：向量的夹角问题 1.平面向量b a ,41==且满足 2.=b a ，则b a 与的夹角为 . 2.已知非零向量b a ,）（a b b 2-⊥=，则b a 与的夹角为 . 3.已知向量,满足 424)2.(==-=+-b a b a ）（，则与的夹角为 . 4.设非零向量、、满足=+==|,|||||，则>=<, . 类型（二）：向量共线问题 1.已知向量），（，（x 211==若24-+与平行，则实数x 的值是 . 2.已知），（），，（），，（73231x C B A --=，=且∥， 则x= . 3．已知a =（1，2），=（-3，2）若k +2与2-4共线，则k= . 4.已知,不共线，k -=+=,，如果∥，那么k= ,与的方向关系是 . 5. 已知向量且），（，（,221m -==a ∥b ，则=+b a 32 . 类型（三）: 向量的垂直问题 1．已知向量=--==n n 与），若，（，（211 . 2.已知),1,1(),0,1(==b a 当λ= 时，与λ+垂直？ 3.已知,24），（=与垂直的单位向量的坐标为 . 4. 已知向量的值为垂直，则实数与且向量），（λλb a b a b a 2)0,1(,23-+-=-= 5. =⊥-===k k 若（），（),2,()3,1(,13 . 6. ，若向量），（+-==)3,2(,21∥b ，___=+⊥（

类型（四）投影问题 1．已知，4,5==b a ，b a 与的夹角32πθ=，则向量b 在向量a 上的投影为 2．在Rt △ABC 中，===∠AC AB AC C .,4,2则π 3．关于c a b a ..=且0≠a ，下列几种说法正确的是 ① )(c b a -⊥； ② b ⊥c ； ③0).(=-c b a ④b 在a 方向上的投影等于c 在a 方向上的投影 ； ⑤a b λ=； ⑥c b = 类型（四）求向量的模的问题 1. 已知零向量==+==b b a b a a ，则），（25,10.,12 . 2. 已知向量b a ,满足=+=-==b a b a b a ，则2,2,1 . 3. 已知向量a )3,1(=，=+-=b a b ，则)0,2( . 4．已知向量b a b a -==则),cos ,1(),sin ,1(θθ的最大值为 . 5. 设向量a ，b 满足的值为则b a b a a b a +-⊥==2),2(,2,1 . 类型（五）平面向量基本定理的应用问题 1．若a =（1，1），b =（1，-1），c =（-1，-2），则c 等于 （ ） (A) b a 2321+- (B)b a 2 321-- (C)b a 2123- (D)b a 2 123+- 2.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝ . 3.已知b a c c b a μλμλ+=-===的值，使和），求，（），，（），，（011101

平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳 一。向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 １。向量得概念:既有大小又有方向得量,记作:或。注意向量与数量得区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？（向量可以平移)。 例:已知A(1，2)，B(４,2）,则把向量按向量＝（-1，3）平移后得到得向量就是 ２、向量得模：向量得大小（或长度），记作：或. 3。零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得; ４．单位向量:单位向量:长度为1得向量。若就是单位向量，则。(与共线得单位向量就是); 5。相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6。平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量,记作：∥,规定零向量与任何向量平行。 提醒：①相等向量一定就是共线向量，但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性！（因为有）； ④三点共线共线； 如图，在平行四边形中，下列结论中正确得就是( ) A、B、 C、Ｄ、 7．相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量.得相反向量就是－、。例：下列命题：(1)若，则。(2）若，则。（6）若，则。（3）若,则就是平行四边形。(4）若就是平行四边形，则。其中正确得就是_＿_____ 题型1、基本概念 １：给出下列命题: ①若｜|=｜｜,则＝;②向量可以比较大小；③方向不相同得两个向量一定不平行; ④若＝，=，则=；⑤若/／，//，则/／；⑥;⑦； 其中正确得序号就是。 ２、基本概念判断正误：（1）共线向量就就是在同一条直线上得向量。 （２)若两个向量不相等,则它们得终点不可能就是同一点. (3）与已知向量共线得单位向量就是唯一得。 （4）四边形ABCＤ就是平行四边形得条件就是。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型范文

平面向量 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与 终点的大写字母表示，如：几何表示法 AB ，a ；坐标表示法,(y x yj xi a =+= 向 量的大小即向量的模（长度），记作|AB |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行a ＝ ? ｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共 线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同 一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的 平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a =大小相等，方向相同),(),(2211y x y x =???==?21 2 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b ==，则a +b =AB BC +=AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量

平面向量典型例题67629

平面向量经典例题： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)，∵λa ＋b 与c 共线，∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ， 3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝( 3，1)＋(0,2)＝( 3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝ 3k ＋3 3＝0，∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－ 611 B ．－116 C.611 D.11 6 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a ＋b 与a －λb 垂直， ∴(a ＋b )·(a －λb )＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝611 . 3. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD 中， ∵|a |＝|b |＝|c |，c ＝a ＋b ，∴△ABD 为正三角形，∴∠BAD ＝60°，

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳 题型一 平面向量的线性运算 例 1：记 N ?? ?，y ＝ ?t ? ≤ y t N i !{?，y }＝ y t ? ≤ y 设 a t b 为平面向量，则( ) yt ? ? y ?t ? ? y A ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |} B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |} C ．N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 D ．N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误． 方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时 |a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b ＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与 N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b ＝3t |a －b |＝1，这时 N ?? a + b 2 t a －b 2 = ?，而 a 2 + b 2 ＝5，不可能有 N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2，故选 C 项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项； 也可从选择题的特点入手，通过对 a t b 特殊化，从而得到 a + b t |a －b |的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ?,若ˉC ˉˉB ˉ˙＝a t ˉC ˉˉA ˙＝b t a ·b ＝O t a ＝1t b ＝2t 则ˉA ˉˉ?ˉ˙＝( ) A.1 a －1 b B.2 a －2 b C.3 a －3 b D.4 a －4 b 3 3 3 3 5 5 5 5 【答案】 D 【解析】方法一： a ·b ＝0t ?A C B ＝?0°t A B ＝ 5t C ?＝ 2 5 . 5 B ?＝ 5 t A ?＝ 4 5 t A ? : B ?＝4 : 1. ˉA ˉˉ?ˉ˙＝4 ˉA ˉˉB ˉ˙＝4 (ˉC ˉˉB ˉ˙ — ˉC ˉˉA ˙)＝ 4 a －4 b .

平面向量典型题型大全

平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例2 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r ＝_____ （3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r ，其中λ等于 （ ） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形， 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A

平面向量典型题型大全#精选.

平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例 2 （1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③ ()()AB CD AC BD ---=_____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____ （3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=，其中λ等于（ ） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形， 则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = F E C B A

平面向量题型归纳归纳

平面向量题型归纳 一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ） A.AB CD = B.AB AD BD -= C.AD AB AC += D.AD BC +=0 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-。例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则 AB DC =。其中正确的是_______ 题型1、基本概念 1：给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ?=；⑦00a ?=； 其中正确的序号是 。

平面向量常见题型与解题方法归纳学生版

平面向量常见题型与解题方法归纳 （1） 常见题型分类 题型一：向量的有关概念与运算 例1：已知a 是以点A (3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a 的终点坐标是 . 例2：已知| a |=1,| b |=1，a 与b 的夹角为60°, x =2a －b ，y =3b －a ,则x 与y 的夹角的余弦是多少？ 题型二：向量共线与垂直条件的考查 例1（1）,a b r r 为非零向量。“a b ⊥r r ”是“函数()()()f x xa b xb a =+?-r r r r 为一次函数”的 A 充分而不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 （2）已知O ，N ，P 在所在平面内，且，且，则点O ，N ，P 依次是的 A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 例2．已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝(21, 23).(1) 若存在实数k 和t ，便得x ＝a ＋(t 2－3)b , y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求函数的关系式k ＝f(t)；(2) 根据(1)的结论，确定k ＝f(t)的单调区间. 例3： 已知平面向量a ?＝(3，－1)，b ?＝(21，23)，若存在不为零的实数k 和角α，使向量c ?＝a ?＋(sin α－3)b ?, d ?＝－k a ?＋(sin α)b ?,且c ?⊥d ?，试求实数k 的取值范围. 例4：已知向量)1,2(),2,1(-==，若正数k 和t 使得向量

b t a k y b t a x 1)1(2+-=++=与垂直，求k 的最小值. 题型三：向量的坐标运算与三角函数的考查 向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查. 例7．设函数f (x )＝a · b ，其中向量a ＝(2cos x , 1), b ＝(cos x ,3sin2x ), x ∈R.（1）若f(x )＝1－3且x ∈[－3π，3π]，求x ；（2）若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m , n) (m ﹤2 π)平移后得到函数y ＝f(x )的图象，求实数m 、n 的值. 例8：已知a =（cosα，sin α）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直； （2）若k a +b 与a -k b 的模大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α 巩固练习 1.函数的图象按向量a r 平移到,的函数解析式为当为奇函数时，向量a r 可以等于 1. 2.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为. 如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是________. 3给出下列命题 ① 非零向量、满足||=||=|-|，则与+的夹角为30°； ② ·＞0是、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将函数y =|x -1|的图象按向量=（-1，0）平移，得到的图像对应的函数为y =|x |； ④若（）·（）=0，则△ABC 为等腰三角形 以上命题正确的是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上）

平面向量经典习题-提高篇

平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共 线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116

C.6 11 D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)，∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b 间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2 ，a与b的夹角为60°，

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳 一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作： AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向 线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或 || a 。 3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ± )； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、共线； 、、共线?AB AC 如图，在平行四边形ABCD中，下 D 列结论中正确的是（） A.AB CD = B.AB AD BD -= C.AD AB AC += D.AD BC +=0 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相 反向量。的相反向量是－、AB BA =-。例：下列 命题：（1）若a b =，则a b=。（2）若, ==，则a c =。 a b b c （6）若//,// a b b c，则//a c。（3）若AB DC =，则ABCD是平 行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则AB DC =。其中正确的是_______ 题型1、基本概念 1：给出下列命题：

高中数学-平面向量及常见题型

高中数学-平面向量及常见题型 向量知识点 ☆零向量：长度为o 的向量，记为0 ,其方向是任意的， 0与任意向量平行 ☆单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a 0为单位向量 I a 0 I = 1 ☆平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量 平行向量也称为共线向量 uuu uuu uuu ☆向量加法AB BC = AC 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： uuu LUUT uuur uuu uuu uuu AB BC CD L PQ QR AR ，但这时必须“首尾相连”. ☆实数与向量的积: ①实数入与向量a 的积是一个向量，记作入a ，它的长度与方向规定如下： （】）a a ； （n ）当 0时，入a 的方向与a 的方向相同；当 0时，入a 的方向与a 的方向相反；当 0时，a 0， 方向是任意的 ☆两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b = a ☆平面向量的基本定理： 如果e i ,e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 a ，有且只有一对实数 i , 2使: a i0 2e 2，其中不共线的向量 e n e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 ☆平面向量的坐标运算： uun ⑵若 A X i , 2i , B X 2, 22 ，则 AB X 2 X i ,y 2 y ⑶若 a =（x,y ），贝u a =（ x, y) ☆向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质 ra 若 r b y2 r b ra 则 y2 X y2 % X2 X r b ra x i y 2 X 2 y i r X>, y 2，则 a//b r b y1 ra 若 o 2 y 卷 ^1 X ra 则 y2 X2, r b y2 ra 若 5)

平面向量典型题型大全

平面向量典型题型大全

平面向量 题型1.基本概念判断正误： 例2 （1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____ （3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为 （ ） A ．125,1313??- ?? ? B ．125,1313 ??-- ?? ? C ．125125,,13131313????-- ? ?? ? ? ? 或 D ．125125,,13131313 ????-- ? ?? ? ? ? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的 中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=FD DA AF 0 ②+-=FD DE EF 0 ③+-=DE DA BE 0 ④+-=AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++= 12.已知点A ，(0,0)B ，C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ， 那么有BC CE λ=，其中λ等于（ ） A.2 B.12 C.-3 D.－1 3 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量 F E C B