幂等矩阵概念

幂等矩阵概念

幂等矩阵是指一个矩阵与自己相乘等于自己的方阵。具体来说，一个

n×n 的方阵 A 是幂等矩阵，当且仅当 A∗A=A。

幂等矩阵的一个显然的例子是单位矩阵，因为单位矩阵乘以自己的结

果仍然是单位矩阵。但幂等矩阵并不一定得是单位矩阵。例如，下面

这个矩阵

⎛

⎛

⎛

1 0

0 0

⎛

⎛

⎛

也是一个幂等矩阵，因为它乘以自己的结果还是它本身。

幂等矩阵在数学和工程学中有许多应用。例如，在矩阵代数中，幂等

矩阵可以用来形成正交矩阵和投影矩阵。在计算机科学中，幂等矩阵

也有诸多应用。例如，在关系型数据库中，幂等矩阵可以用来确保事

务执行的幂等性，即多次执行同一事务所产生的结果与一次执行相同。

除此之外，幂等矩阵还可以用于可重入算法的设计中。由于在可重入算法中，多次执行该算法的效果将等同于一次执行该算法。因此，使用幂等矩阵可以确保算法的正确性和可重入性。

总之，幂等矩阵作为一种特殊类型的矩阵，在数学和工程学中有着广泛的应用。它不仅是理论研究中的基础，也为工程应用和计算机科学中的问题提供了便利。

幂等矩阵的研究现状与意义

幂等矩阵的研究现状与意义 研究现状 幂等矩阵是一类具有良好性质的矩阵，在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛.先前已经有许多学者对幂等矩阵的一些性质和结论进行了归纳总结并对相关性质进行了推广，优化解题和证明问题的过程，使思维更简洁.四川师范大学陈明俭对幂等矩阵的若干等价条件进行了循环证明;雁北师范学院肖润梅介绍了幂等矩阵、对合矩阵的概念，讨论了幂等矩阵的充要条件;连云港师范学院王秀芳探讨了幂等矩阵的性质;内蒙古民族师院满良讨论了关于幂等矩阵秩的一类性质;大庆师范学院的董庆华、王成伟对幂等矩阵的相似标准型与分解形式进行了研究.学者们都在各自的研究课题上深入探讨，但目前能涵盖幂等矩阵完整性质的文献并不多，对于幂等矩阵分类问题的研究文献也很少. 意义 本文主要对幂等矩阵的若干等价命题、幂等矩阵的特征性质进行了概括并加以证明，以及对幂等矩阵的分类问题进行了研究.如本文首先对幂等矩阵下定义和刻划，接着对幂等矩阵的一些性质(包括幂等矩阵的特征值、幂等矩阵的秩的性质、幂等矩阵的和的性质等)进行了归纳总结，通过这部分内容来加深我们对幂等矩阵这一概念的理解，最后重点研究了幂等矩阵的分类问题.首先从 A'=A这类比较简单的幂等矩阵的分类问题入手，进而推广至k次幂等矩阵，

并对这类幂等矩阵分别在复数域和实数域上的分类问题进行讨论．这对我们理解幂等矩阵的本质，灵活运用幂等矩阵分析解决相关问题有一定的意义和作用. 在这次的研究中我学到了很多东西，不仅加深了我对幂等矩阵的理解，也让我积累了一些解决相关问题的经验.但是在这方面的知识我还有很多需要学习，今后我仍然会继续学习这方面的知识，不断完善自己.

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广。首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质。 [关键词] 幂等矩阵，性质，幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix . This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix . Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices. [Key Words] the idempotent, the nature, the idempotence, linear combination

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

幂等矩阵的性质及应用(定稿)

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JIU JIANG UNIVERSITY 毕业论文（设计） 题目幂等矩阵的性质及应用 英文题目Properties and Application of Idempotent Matrix 院系理学院 专业数学与应用数学 姓名邱望华 年级A0411 指导教师王侃民 二零零八年五月

幂等矩阵在数学领域以及其他许多领域应用都非常广泛，因此对幂等矩阵进行探讨具有很重要的意义。本文主要是对幂等矩阵的一些性质和结论进行归纳总结并对相关性质进行推广.首先对幂等矩阵简单性质进行了归纳总结，接着谈到了实幂等矩阵的等价条件并推广到复矩阵以及高次幂等矩阵，然后研究了幂等变换、幂等矩阵线性组合的幂等性、幂等矩阵线性组合的可逆性、幂等矩阵秩有关的性质. [关键词］幂等矩阵，性质,幂等性，线性组合

The idempotent matrix is widely applied in mathematics as well as other many places, so there is very vital significance to carry on the discussion to the idempotent matrix 。This paper mainly carries on the induction summary some simple nature and the important conclusion of idempotent matrix and carries on the promotion to the related nature. Firstly, this article has carried on the induction summary to its simple nature, then talkes about the equivalence condition of the solid idempotent matrix and extends to the equivalence condition of the plural idempotent matrix and the higher mode idempotent matrix 。Then the article studies the idempotent transformation、the idempotency of linear combinations of two idempotent matrices、the invertibility of linear combinations of two idempotent matrices。文档为个人收集整理，来源于网络个人收集整理，勿做商业用途 [Key Words] the idempotent，the nature, the idempotence, linear combination

矩阵代数简单介绍

线性代数复习 1.1 矩阵的概念 给定数域K 上nK 个数ij a ),,,2,1;,,2,1(n j m i ???=???=把它们按一定次序排成一个n 行K 列的长方形数表 ????? ? ??? ???? ????????=nK n n K K a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 ， 称为数域K 上的一个n 行K 列的矩阵，简称为K n ?矩阵。其中ij a 称为矩阵的第i 行、第j 列的元素。1k ?矩阵（只有一行）称为k 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）称为n 维列向量。 零矩阵、方阵、对角矩阵、单位阵 所有元素为零的矩阵称为零矩阵，记为0。00,0==+A A A 。 如果矩阵的行、列数都是n ，则称A 为n 阶方阵； n 阶方阵A 的元素按次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记为|A|。 在n 阶方阵中，若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵，记为Λ；若对角矩阵的主对角线元素全为1，则称之为单位阵，记为I ；特别地，I λ称为数量矩阵

1.2 矩阵的运算 ● 矩阵的加、减运算以及数乘运算 当矩阵A 和B 的行数和列数相等时，它们可以进行加、减运算；A ＋B 等于所有对应位置的元素相加、减。 数乘运算就是数k 乘矩阵A 中所有元素得到的矩阵。 A B B A +=+， ) ()(C B A C B A ++=++， A O A =+， O A A =-+)(， A A )()(kl l k =，A A A l k l k +=+)(， B A B A k k k +=+)(，A A =1， O A =0， A A -=-)1(． ● 矩阵相乘 记 s m ij a A ?=)(，n s ij b B ?=)(， n m ij c C ?=)(，且 AB C =，那么A 和B 相乘得到的矩阵C 的元素可用公式表示为 ∑== s k kj ik ij b a c 1 ， ) ,,1;,,1(n j m i ???=???=。注 意，在一般情况下矩阵乘法不满足交换律和消去律，即BA AB ≠； AC AB A =≠且0不能推出 C B =。 矩阵相乘满足如下运算规则：

矩阵基础知识

矩阵基础知识 贺国宏 编 为了学好测绘工程专业的核心课程〈测量平差基础〉，必须掌握以下所述矩阵的基础知识，同时，学习这些知识，对于学习测绘工程的其它课程，以及以后的深造，都是重要的。 1、矩阵的秩 定义：矩阵A 的最大线性无关的行(列)向量的个数r ，称为矩阵A 的行(列)秩。由于矩阵的行秩等于列秩，故统称为矩阵的秩，记为R(A)。 对于矩阵的秩有性质： {})(),(m in )(B R A R AB R ≤ (1) 2、矩阵的迹 定义：方阵A 的主对角元素之和称为该方阵的迹，记为 ∑==n i ii a A tr 1 )( (2) 对于矩阵的迹有下面的性质： (1) tr (A T )=tr (A) (3) (2) tr (A+B)=tr (A)+tr (B) (4) (3) tr (kA)=k tr (A) (5) (4) tr (AB)=tr (BA) (6) 3、矩阵的特征值和特征向量 定义：对于n 阶方阵A ，若存在非零向量χ，使得 x x λ=A (7) 则称常数λ为矩阵A 的特征值(或特征根)，而χ称为矩阵A 属于特征值λ的特征向量。 由此可得 =-χ)(A E λ0 (8) 因此，该齐次线性方程有非零解的条件是 0)(0111=++++=-=--a a a A E f n n n λλλλλΛ (9) 称λE-A 为矩阵A 的特征矩阵，而f (λ)为矩阵A 的特征多项式。显然，矩阵A 的特征根 ),,2,1(n i i Λ=λ为特征方程(9)的根。 应该指出，对于一般的实矩阵A ，特征根可能是复数，从而特征向量也是复数。以后将会看 到，对于实对称矩阵，其特征根和特征向量都是实的。这一点是很重要的。特征值和特征向量具有下列性质：

关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文

关于广义幂等矩阵的性质的探讨 左航（导师：谢涛） （湖北师范学院 数学与统计学院 湖北 黄石 435002） 1.引言 在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足2A A =的矩阵A 叫做幂等矩阵，把满足2σσ=的线性变换σ叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k 次幂等矩阵和k 次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n 阶k 次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b ，其中的系数矩阵A 往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。 1.幂等矩阵 定义1.1 任何一个满足幂等关系2A A =的矩阵A 称为幂等矩阵。显然，n 阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下： 1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值； 1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵； 1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()Rank P Tr P =； 1.1.4若P 为幂等矩阵，则'P 也为幂等矩阵； 1.1.5若P 为幂等矩阵，则I P -也为幂等矩阵()()Rank I P n Rank P -=-所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的； 1.1.6令n ?n 幂等矩阵P 的秩为r,则P 有r 个特征1和n r -个特征值0；

《计量经济学》第二章知识

第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为： v a a a a a a a a a a A mn m m n n ij ? ???? ???????== 2122221 11211][ 矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==n k kj ik ij b a c 1 ，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立 的： ● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？ 向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。 矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。 显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '， ● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。 ● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。 则称A 、B 是可逆矩阵，显然1 -=B A ，1 -=A B 。如下结果是成立的： 1111111)()()()(-------='='=A B AB A A A A 。

矩阵幂次方计算

矩阵幂次方计算 矩阵幂次方计算是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。本文将从定义、性质、计算方法等方面进行介绍。 一、定义 矩阵幂次方是指将一个矩阵连乘多次的结果，其中幂次方为正整数。设矩阵A为n阶方阵，则A的k次幂为A的k-1次幂与A的乘积，即A^k=A^(k-1)×A，其中A^0为单位矩阵。 二、性质 1. 矩阵幂次方具有结合律，即(A^k)^m=A^(k×m)。 2. 矩阵幂次方不满足交换律，即A^k×A^m≠A^m×A^k。 3. 矩阵幂次方具有分配律，即(A+B)^k=Σ(C(k,i)×A^i×B^(k-i))，其中 C(k,i)为组合数。 4. 矩阵幂次方具有幂等性，即A^k×A^k=A^(2k)。 三、计算方法 1. 直接计算法

直接计算法是指按照定义进行计算，即将矩阵连乘k次。这种方法的 时间复杂度为O(n^3×k)，效率较低，适用于矩阵较小的情况。 2. 分治法 分治法是指将矩阵分成若干个子矩阵，然后对子矩阵进行幂次方计算，最后将子矩阵的结果合并得到原矩阵的幂次方。这种方法的时间复杂 度为O(n^3×logk)，效率较高，适用于矩阵较大的情况。 3. 矩阵快速幂法 矩阵快速幂法是指将幂次方k转化为二进制形式，然后按照二进制位 进行计算。具体地，设矩阵A为n阶方阵，k的二进制表示为 b1b2...bm，则A^k=A^(b1×2^0+b2×2^1+...+bm×2^(m- 1))=A^(2^0×b1)×A^(2^1×b2)×...×A^(2^(m-1)×bm)。这种方法的时间复 杂度为O(n^3×logk)，效率最高，适用于矩阵较大的情况。 四、应用 矩阵幂次方计算在许多领域中都有广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器学习等。其中，矩阵快速幂法在计算机视觉中的应用尤为广泛，如图像变换、图像匹配等。 总之，矩阵幂次方计算是线性代数中的一个重要概念，掌握其定义、

对称等幂矩阵

对称等幂矩阵 数学中有一类矩阵，被称为“对称等幂矩阵”。它们具有特殊的性质，吸引着数学家和科学家的深度研究。 一、定义及性质 对称等幂矩阵是指满足以下两个条件的矩阵： 1. 矩阵是对称矩阵，即A=AT。 2. 矩阵的幂A^k是对称矩阵，即(A^k)=(A^k)T。 此外，对称等幂矩阵还具有以下性质： 1. 对称等幂矩阵的特征值均为实数。 2. 对称等幂矩阵可对角化为实对角矩阵，即存在一个实矩阵S，使得 S^-1AS=D，其中D是对角矩阵。 二、应用 对称等幂矩阵在数学和科学中有着广泛的应用。 1. 线性代数中的应用。对称等幂矩阵是线性代数中非常重要的一类矩

阵。在矩阵论、特征值及特征向量等方面有着广泛应用。 2. 物理学中的应用。对称等幂矩阵在物理学中也有着广泛的应用。例如，在量子力学中，哈密顿矩阵是对称等幂矩阵，它描述了量子体系 在时间上的演化。 3. 机器学习中的应用。对称等幂矩阵在机器学习中也有着广泛的应用。在人脸识别、图像处理等领域，对称等幂矩阵被用于特征提取和分类。 三、相关研究 对称等幂矩阵已经被广泛研究，在其中有着许多经典结果。以下是一 些相关研究的例子。 1. 黑尔定理。黑尔定理是指对称等幂矩阵的特征值的大小可以用从1 到n的某些整数来表示。 2. 莱特斯里多定理。莱特斯里多定理是指对于一个具有n个自由度的 实物理系统，有n-1个独立的对称量，可以用来描述物理系统的状态。 3. 矩阵均值问题。矩阵均值问题是指如何定义对称等幂矩阵的均值， 以及如何计算这个均值。 四、结论

对称等幂矩阵是一类具有特殊性质的矩阵，在数学和科学中有着广泛的应用。它们被广泛研究，并在其中产生了许多经典结果。随着科学技术的不断发展，对称等幂矩阵将在更多的领域得到应用。

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子

线性代数中的幂等矩阵与幂等算子线性代数是研究向量空间与线性变换的数学分支。在线性代数中，存在一类特殊的矩阵和算子，称为幂等矩阵和幂等算子。本文将介绍幂等矩阵和幂等算子的定义、性质以及应用。 一、幂等矩阵的定义和性质 在线性代数中，幂等矩阵是指矩阵和自身相乘后仍然保持不变的矩阵。具体地，对于一个n×n的矩阵A，如果满足A^2=A，那么A就是一个幂等矩阵。 幂等矩阵有以下性质： 1. 幂等矩阵的特征值只能是0或1。设A是一个幂等矩阵，λ是A 的特征值，那么有A^2x=Ax=λx。将A^2x=Ax代入到Ax=λx中可得 A(Ax)=λ(Ax)，即A^2x=λ^2x，由于A是幂等矩阵，即A^2=A，所以有λ^2x=λx，即(λ^2-λ)x=0。因为x不为0，所以必然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。 2. 幂等矩阵的秩等于其迹。设A是一个幂等矩阵，根据特征值的性质，A的特征值只能是0或1。设A的特征值1的个数为r，那么0的个数为n-r，由于特征值的个数等于矩阵的秩，所以A的秩为r。又因为迹等于特征值之和，所以A的迹为r×1+(n-r)×0=r。 3. 幂等矩阵具有不变子空间。设A是一个幂等矩阵，对于任意非零向量x，由A^2x=Ax可知Ax在不变子空间中。不变子空间是线性代数

中一个重要的概念，表示矩阵作用下保持不变的向量组成的空间。幂 等矩阵的不变子空间是其所有特征值为1对应的特征向量张成的空间。 二、幂等算子的定义和性质 幂等算子是指线性变换与自身复合后仍然保持不变的线性变换。可 以看出，幂等算子的定义与幂等矩阵的定义是相似的。幂等算子的定 义如下：对于一个向量空间V上的线性变换T，如果满足T^2=T，那 么T就是一个幂等算子。 幂等算子也有一些类似于幂等矩阵的性质： 1. 幂等算子的特征值只能是0或1。与幂等矩阵类似，设T是一个 幂等算子，λ是T的特征值，那么有T^2v=Tv=λv。将T^2v=Tv代入到Tv=λv中可得T(Tv)=λ(Tv)，即T^2v=λ^2v，由于T是幂等算子，即 T^2=T，所以有λ^2v=λv，即(λ^2-λ)v=0。因为v不为零向量，所以必 然有(λ^2-λ)=0，即特征值λ满足λ(λ-1)=0，所以λ=0或λ=1。 2. 幂等算子的秩等于其迹。与幂等矩阵类似，幂等算子的秩等于其 特征值1的个数。这是因为特征值1的个数等于算子的不变子空间的 维度，而不变子空间是由所有特征值为1对应的特征向量张成的。 三、幂等矩阵与幂等算子的应用 幂等矩阵和幂等算子在数学和物理学中有广泛的应用。以下列举几 个典型的应用：

幂等阵可对角化的证明

幂等阵可对角化的证明 幂等阵指的是满足A^2=A的矩阵，而可对角化则是指存在可逆矩阵P，使得P^-1AP为对角矩阵。 现在我们来证明幂等阵可对角化。 假设A为一个n阶幂等矩阵，那么我们可以将其按照特征值分解，即 A = QΛQ^-1 其中Q是n阶可逆矩阵，Λ是n阶对角矩阵，对角线上的元素为A的特征值。 接下来我们来证明Λ也是幂等矩阵。 首先，对于任意的i，Λ的第i个对角线元素为λi，那么 Λ^2 = (q1λ1q1^-1)(q2λ2q2^-1) = q1λ1(q1^-1q2)λ2q2^-1 = q1λ1λ2q2^-1 = q1λ1(q1^-1q2)(q2^-1q2)λ2q2^-1 = q1λ1(q1^-1q2)Iq2^-1λ2 = QΛQ^-1QΛQ^-1 = QQ^-1AQQ^-1A = AA 因此，Λ也满足幂等矩阵的定义，即Λ^2=Λ。 接下来我们来证明，由于A和Λ都是幂等矩阵，因此它们具有相同的特征多项式，即

det(λI-A) = det(λI-Λ) 将两式展开可得 (λ-λ1)^r1(λ-λ2)^r2...(λ-λk)^rk = (λ-λ1)(λ- λ2)...(λ-λk) 其中，λ1,λ2,...,λk是A的特征值，r1,r2,...,rk是它们对应的重数。 由于A是幂等阵，因此它的特征值只能是0或1。因此，上式化简为 (λ-1)^s(λ-0)^t = (λ-1)^s(λ-0)^t 其中，s表示特征值为1的重数，t表示特征值为0的重数。由于A是幂等阵，因此t=n-s。因此，上式相等。 因此，A和Λ具有相同的特征值，因此它们是相似矩阵，即存在可逆矩阵P，使得P^-1AP=Λ。因此，A可对角化为Λ。

可交换矩阵几个充要条件及其性质

可交换矩阵的几个充要条件及其性质 在高等代数中,矩阵是一个重要的内容.由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩阵的乘法不满足交换律,即当矩AB 有意义时,矩阵BA 未必有意义,即使AB ,BA 都有意义时它们也不一定相等.但是当A ,B 满足一定条件是,就有BA AB =,此时也称A 与B 是可交换的,可交换矩阵有许多良好的性质,本文主要研究矩阵可交换的几个条件及其常见的性质.本文矩阵均指n 阶实方阵. §1 矩阵可交换成立的几个充分条件 定理1.1(1)设A ,B 至少有一个为零矩阵,则A ,B 可交换。 (2)设A ,B 至少有一个为单位矩阵,则A ,B 可交换。 (3)设A ,B 至少有一个为数量矩阵,则A ,B 可交换。 (4)设A ,B 均为对角矩阵,则A ,B 可交换。 (5)设A ,B 均为准对角矩阵,则A ,B 可交换。 (6)设*A 是A 的伴随矩阵,则A 与*A 可交换。 (7)设A 可逆,则A 与1-A 可交换。 (8)设E AB =,则A ,B 可交换. 证 (1)对任意矩阵A ,均有OA AO =,O 表示零距阵,所以A ,B 至少有一个为零矩阵时,A ,B 可交换。 (2)对任意矩阵A ,均有EA AE =,E 表示单位矩阵，所以A ,B 至少有一个为单位矩阵时,A ,B 可交换。 (3)对任意矩阵A ,均有A kE kE A )()(=,k 为任意实数,则)(kE 为数量矩阵,所以A ,B 至少有一个为数量矩阵时,A ,B 可交换。 (4),(5)显然成立。 (6)A A E A AA **==,所以矩阵A 与其伴随矩阵可交换。 (7)A A E AA 11--==,所以矩阵A 与其逆矩阵可交换。 (8)当E AB =时,A ,B 均可逆,且互为逆矩阵,所以根据(7)可知A ,B 可交换. 定理1.2(1)设B A AB βα+=,其中α,β为非零实数, 则A ,B 可交换, (2)设E AB A m =+α,其中m 为正整数,α为非零实数,则A ,B 可交换.

幂等变换和幂等矩阵的性质

幂等变换和幂等矩阵的性质 中文摘要:本文在已有文献资料的基础上，对幂等变换和幂等矩阵的性质作了归纳。 关键词:幂等变换，幂等矩阵，性质 正文: （一）定义及说明 定义1.设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且2σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。 定义2.设A 是数域P 上的n 级方阵，若2A A =，则称A 为V 上的幂等矩阵。 因为数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合()()n L V P 对于线性变换的加法和数量乘法构成的P 上的线性空间与数域P 上的n 级方阵构成的线性空间n n P ⨯同构，即()()n n n L V P P ⨯≅。所以幂等变换σ对应于幂等矩阵A ,2A A =. （二）幂等变换的一个性质及其推广[1] 定理1.设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且2σσ=，则有 （1）()Ker σ={}()|V ξσξξ-∈,Im()σ={}()|V ξσξξ=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是σττσ= 将幂等变换的定义加以推广：设σ是数域P 上线性空间V 上的线性变换，且n σσ=，则称σ为V 上的幂等变换。 对于满足n σσ=的线性变换有类似性质 定理2. 设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，且n σσ=（2n ≥），则有 （1）()Ker σ={}1()|n V ξσξξ--∈，Im()σ={}1()|n V ξσξξ-=∈ （2）()Im()V Ker σσ=⊕ （3）若τ是V 的一个线性变换，则()Ker σ和Im()σ都在τ之下不变的充要条件是11n n σττσ--= 证明：已知n σσ=

矩阵

矩阵 数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。由m n个数排成的m行n列的矩形表 称为m×n矩阵,记作A或,也可记作(αij)或。数 称为矩阵的第i行第j列的元素。当矩阵的元素都是某一数域F中的数时,就称它为数域F上的矩阵,简称F上的矩阵。当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵,此时α11,α22,…,αnn称为n阶矩阵的对角线元素，当所有的非对角线元素αij(i ≠j)均为零时，A就称为n阶对角矩阵,简称对角矩阵。当对角线下面(或上面)的所有元素均为0时,A就称为上（或下）三角矩阵。在m×n矩阵A中取k个行和k个列,k≤m，n；由这些行与列相交处的元素按原来的位置构成的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。一个n阶矩阵A只有一个n阶子式,它称为矩阵A的行列式，记作│A│或det A。 矩阵-来源 英文名Matrix（SAMND矩阵）。在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。 数学上，矩阵用在解线性方程组上既方便，又直观。例如对于方程组。 a1x+b1y+c1z=d1 a2x+b2y+c2z=d2 a3x+b3y+c3z=d3 来说，我们可以构成一个矩阵： / \ |a1 b1 c1 | | | |a2 b2 c2 | | | |a3 b3 c3 | \ / 因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。 矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。

幂等矩阵的性质(1)

目录 中文摘要 (1) 英文摘要 (1) 1 引言 (1) 2 幂等矩阵的概念 (3) 3 幂等矩阵的性质 (4) 3. 1 幂等矩阵的主要性质 (4) 3. 2 幂等矩阵的等价性命题 (7) 3. 3 幂等矩阵的线性组合的相关性质 (11) 4 幂等矩阵与其他矩阵的关系 (14) 4. 1 幂等矩阵与对合矩阵 (14) 4. 1. 1 对合矩阵 (14) 4. 1. 2 幂等矩阵与对合矩阵的关系 (15) 4. 2 幂等矩阵与投影矩阵 (16) 4. 2. 1 投影矩阵 (16) 4. 2. 2 幂等矩阵与投影矩阵的关系 (17) 结束语 (19) 参考文献 (20) 致谢 (21) 英文原文 (22) 英文译文 (29)

幂等矩阵的性质 数学与应用数学专业2009级王素云 摘要:本文对幂等矩阵的一些性质进行归纳总结及推广, 并将幂等矩阵与其他特殊矩阵进行了比较. 给出幂等矩阵的概念. 讨论幂等矩阵的主要性质, 并将其进行推广. 然后研究了幂等矩阵的等价性命题, 以及幂等矩阵的线性组合的相关性质. 再结合对合矩阵和投影矩阵更深入的研究幂等矩阵的性质, 分别讨论了幂等矩阵与对合矩阵, 幂等矩阵与投影矩阵的关系. 关键字: 幂等矩阵; 性质; 对合矩阵; 投影矩阵; 广义逆矩阵 PROPERTIES OF IDEMPOTENT MATRIX Suyun Wang, Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics Abstract In this paper, some properties of the idempotent matrix are summarized and extended, and idempotent matrices are compared with other special matrix. The concept of idempotent matrices are given. The main properties of the idempotent matrix are discussed and promoted . Then, the equivalent propositions of idempotent matrix and the nature of the linear combinations of idempotent matrices are studied. The involution matrix and the projection matrix are used to discuss the nature of the idempotent matrices much deeper. The relationship between the idempotent matrix and involution matrix, the idempotent matrix and the projection matrix are discussed. Key Words the idempotent; the nature; involution matrix; the projection matrix; generalized inverse matrix 1 引言 幂等矩阵是矩阵中非常特殊的一类矩阵，也是非常重要且非常常见的一类矩阵，很多其他特殊矩阵都与幂等矩阵有着密切的联系，如对合矩阵及投影矩阵。幂等矩阵在数学领域及其他许多领域的应用都非常广泛，幂等矩阵更是矩阵论中的一个基础部分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要作用。近年来有关此问题的研究吸引了国内外许多研究学者的关注，关于幂等矩阵的研究已经成为矩阵论中的