二次根式知识点及典型例题
第17章:二次根式
第一课时:二次根式的概念与性质
知识点1:二次根式的定义:
（1）
(a ≥0)的式子叫做二次根式。 （2）
(a ≥0)表示非负数a 的算术平方根 （3） 二次根式的要求
① 根指数为2
② 被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数
类型一：二次根式的识别
例1
：已知式子 其中一定是二次根式的是 ①②④ 。
知识点2:二次根式中字母的取值范围：
（1） 二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。 （2） 二次根式无意义的条件：被开方数小于0 （3） 二次根式做分母时: 被开方数大于0.
类型一：求字母的取值范围
例1：x 取何值时，下列各式有意义？
11
(6
250
1 6.60166
301
2210
2
201
1
22x x x x x x x x x x x x x -
---??
-?+-?-?
-??-?--≥解：（）由题意知解得≥5且≠≠ 所以当≥5且≠有意义
≥ （）由题意知＞解得
＜x ≤3且x ≠2≠ 所以当
＜x ≤3且x ≠2有意义
类型二：根据字母隐含的的取值范围，求代数式的值（较难） 例2
：x y y =
若、为实数，且
222224040, 14,20,2,4
x x x x x x x y --=+==
≥，即≥4, ≥即≤4, 所以又因为≠所以
222
40404,
1
20,2
4
3
2
x x x
x x y
--∴=
+∴=∴=
===
解:由题意知:≥且≥
又≠
知识点3：二次根式的性质：
（1）双重非负性：①被开方数为非负数，即a≥0；②二次根式的值为非负数，即a≥0（2）两个性质：性质1：（a）2= a（a≥0）
语言叙述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。
或叙述为：一个非负数先开平方再平方等于这个数本身。
性质2
(0)
(0)
a a
a
a a
?
==?
-
?
≥
＜
语言叙述：一个数先平方再开平方等于这个数的绝对值。
2
2
2
22
22
1
=
=
2(0),
(0)
1a(0)
(0)
(0)
(0)
x a x x
x a
x a
x x x
a a
x x x a
a a
a a
a
a a
===
=
=
==
?
===?
-
?
?
==?
-
?
证明：性质：设①则
把
把
性质≥两边平方得：
≥由性质得：≥所以
＜
≥
＜
类型一：简单的计算与化简
例1：计算与化简
2
222
;4
=243=12.
888
111
3(0)
43
3(0)
x x
x
x x
?=?
=-===
=-===
-
?
-=?
-
?
（
解:(1)
（
≥
（
＜
类型二：在实数范围内因式分解
例2：在实数范围内因式分解。
22
222
222
(1)3(2)1611
(1)3=(
(2)1611(4)(4
a b
a a a a
b b b b
--
--=+
-=-=-
解：
注：性质1
的逆用：2(0)
a a
=≥
类型三:利用非负数定理进行的较复杂的计算
例3:已知实数x 、y 、z
满足2
1
20,4
x y z z --+
= 求x+y+z 的值。
2
2214
14
11
22
12()02
1120()0 2()=0
22
011120()04420x y z x y z x y z x x y y z y x y z z z -+
+-
=---+-=-?-=???
+==-++=-+-+=????-==??解：原式化为：因为≥≥且 所以解得所以 注：非负数定理:几个非负数和为0，则这几个非负数均为0.
类型四:根字母的取值范围、字母隐含的的取值范围、图象或三角形三边关系等
(0)
(0)a a a a a ?==?-?≥＜进行较复杂的化简
例4
(23)x <<
:
230,20,30
=23(2)(3)353=(3)3x x x x x x x x x x x x x x
<<∴>->-<∴+---=+---=----=-解 原式 注： 例5
2
2212100.
230 232104421
=21
=(21)(23)21232
x x x x x x x x x x x x =---->-=--∴---=--+=要脱掉绝对值符号必须知道是大于，还是小于≥所以≥，从而 又
原式
例6：实数a,b 在数轴上数轴上位置如图所示，化简a b ++
0,
00,0=()()2a b a b a b b a a b b a a b b a a b b a a
<>>∴+<
->∴++-=-++-=--+-=-解：由图象可知：且 原式
例7：若a 、b 、c 为△ABC a b
ABC ,,0,0,0=()()()3a a b c a c b c a b
a b c a b c c a b a b c a b c c a b
b c a a b c a b c a b c
?∴<++><+∴--<-+>--<∴--+-+---=+-+-+-+-=--+解：、b 、c 是的三边 原式
类型五:复杂问题的分析方法之一:从特殊到一般
例8：已知m 、n 是两个连续的自然数（m 设p p =则是奇数还是偶数？ 325 ==+=分析：对于复杂问题我们可从特例入手，寻找解题的方向。如取m=2,则 22 ,(1)q m m m m m P n m n m m n n m p -=+-== =+=++解:由题意知：n=m+1,则q+n=n(n-1)+n=n 所以因为、为连续的自然数，所以m 、n 中必定有一奇一偶。 所以必定为奇数，所以总是为奇数 注：对于性质2 (0)(0)a a a a a ?==?-? ≥＜一定要分两步走，这样避免出错。 知识点4 ：2 与 不同点：①从运算顺序来看: 2先开方后平方 注：2表示一个正数a 的算术平方根的平方，而a 的平方的算术平方根； ②从取值范围来看：2:00a a ≥可以是正数、、负数。 ③从运算结果看：（a ）2= a （a ≥0） (0) (0) a a a a a ?==? -?≥＜ 联系：①当被开方数都是非负数，20a a ==即≥时 ②20a a a ==-当＜时 第二课时：二次根式的运算 知识点5：二次根式的性质3（二次根式的乘法法则）：)0,0(≥≥=?b a ab b a 。 语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。 注：（1）公式逆向运用可得：)0,0(≥≥?= b a b a ab 语言叙述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 （2）,0,0a b a b 千万注意公式中必须满足≥≥，否则易出错 222)()()a b a b a b = ==证明：左边右边 得证 注：证明时性质2 的逆用： (0)a a = ≥ (3) = = = 33 =33 33====或 类型一：公式成立的条件 例11 1x -= 1 110,10x x x x x +-==∴+-分析:≥≥ 1 01,110x x x x + ?? -?≥ 解：由题意知：解得：≥故成立的条件是：≥≥ 例2 25(3)(5)15 9 253515 -=- ?-===?= 请你判断正误，并说明理由。 解：小颖的解题过程正确，小南的解题过程是错误的。小南没有考虑到公式 b ab =0,0a b ≥ ≥. 类型二：二次根式比较大小 例3：比较 -- 2323(0======---=>∴<∴->-∴->-解：方法二：作差比较法 （） 例4 的大小 2222(11(25(252 ,+-=+-+=?<∴<<解： 例5：比较 0,0)a b a b +>>与 22 2()2()2()0 =a b ab a a b b a b a b +-=-+ =∴+ =解： ≥ ≥ （当且仅当时，取“”） 注：比较大小最常用的方法是作差比较法，其次是作商比较法。例4不是直接作差比较，而 是先平方再作差比较。 类型三：二次根式的简单计算与化简 例6：计算 (-4218472 (3)900 2302=?=-?=-====解：(1)原式 （）原式=6(-3)原式 例7 ．化简：34618;(2) 535a b c a a b c a 32241846368235255 a a b c a = =?=???=== = 解：(1)原式 （）原式 类型四：挖掘字母的隐含条件进行较复杂的二次根式化简. 例8.（1）已知xy<0, (2)化简：(a -2 10,00,0 xy x y x y y x y x y <>∴<>∴===-解：（） 原式 21 20,10 1 111a a a a a -<-∴=--==--（）由题意知：≥且≠解得: 原式（ 例9.阅读下列解答过程，然后答题.已知a 2 1 () ( a a a =-- = =- 解：原式① ② ③ （1）上述解答是否有错误？有；（填“有”或“无”） （2）若有错误，错在 ①②，错误原因是 a 小于0由根号内 移到根号外要变号，由根号外移到根号内也要变号。 （3）写出正确的解题过程。 3 2 000 11 ()()() ( a a a a a a a a a a -< =- -=-+- - =- =-+ 解：由题意知:≥且 ≠，解得 所以原式 类型五：把根号外面的数移入根号内。 例10.把根号外面的数或字母移入根号内 43 22 (1)(2)(4)(5)20) (2)(3) 11 (4) (5)0 (2)(2) 4 a a a a a a a a a b a b a b -< === == = ∴=== < ∴=--= --= - 解：(1)原式原式原式由题意知：>0, 所以a>0 原式 原式 注：只能把正数由根号外移入根号内，负数中负号的一定要写在根号外。 类型六：二次根式的估算（主要采用放缩法） 例 11. 的结果估计在7至 8 之间 (填整数 ) 4910 3443444748 ===+< ∴<<∴+<+<+<< 分析：原式 例12. (n 为正整数）的整数部分。 22221 1 n n n n n n n n <+<++< ∴<<+ 解： 类型七：利用乘法公式进行复杂的二次根式化简。 例13.2,2, a b == 已知 22222 2 2 2 22()242(54)185 ()22(54)18(54(5418 a b a b ab a b a b ab a b +=-+=+?-=∴===+=+-=-?-=+=++++-=解: 原式注:或 或 例 14.221,1,x y x xy y ==++若求的值。 222221)1)2,1)11()32317 ()1817 x y xy x y xy x y xy -=-===-=∴=-+=+?==+-=-=-=解： 原式注：方法二:原式 练课课练P8 第5 题：22 1111222 x y x xy y ==-+已知求的值.答案： 课课练P9 达标3 ：21,212x x x = ++已知求的值。 答案： 知识点6：二次根式的性质4（二次根式的除法法则） (00a b =≥，＞） 语言叙述：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。 注：（1 (00a b ≥，＞） 语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 （2）,0,0a b a b >千万注意公式中必须满足≥，否则易出错 ====证明：左边右边得证 注：证明时性质2 的逆用：(0)a a = ≥ (3)最后的结果必须是最简二次根式 ：见知识点7 类型一：公式成立的条件 22 31.(1)1906<9. 60 810 (1)( x x x x x x x x x x x x x + -=+-- ?=?->?= +>∴ ==+- === 例且为偶数，求≥ 解：解得：≤ 又因为为偶数，所以 从而 原式 类型二：二次根式的简单计算与化简 2. 1 8 2 3(3)113132134 4)=+=+=-+=例计算解：(1)原式（）原式原式（原式 2 323. (0)( 0,0) 424 2 (0) 525 1(2)(0,0)()x a b x x x ab ab a b a ab ab a a ab a ab >>>= =>= ===>>例化简解:(1)原式原式 (0)(3)(0) a a ?>??= ==?? 32193 3(4) 200442 2 a a a a a a a a ∴∴=== ≥，≥原式 类型三：二次根式大小的比较 5 4.,. 7 25 49 525257 494949 a b c a b c a b c c a b ===< = ===== ? <<∴< < 例若用“ ”把、、连接起来 解： 又 知识点7：最简二次根式与分母有理化 1. 最简二次根式应满足的条件为： (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式且二次根式不做分母 (2) 被开方数中不得含有开得尽方的因数或者因式。 === 33 = 33 33 === 2.二次根式的分母有理化： 222 2 (0)()() a a a b a b a b → → =+-= - 分母有理化因式 (1) （）分母为多项式： 注：利用公式 ≥和公式来去掉根号. 类型一：最简的二次根式的识别 例1.下列二次根式中，是最简的二次根式的有③⑤⑥⑧ 4 ⑧ (0) (0) x mn mn mn === > ===? ? < ?? 分析因为隐含了＞1这个条件 类型二：已知最简二次根式，求字母取值。 例2.x y 、的值。 211 32212 x y x x y y +-== ?? ?? -+== ?? 解：由题意知解得 类型三：简单的分母有理化。 例 3.,3*5 a a b b b *=+ 定义试求 3 3*55 55 =+=== 解： 6 5 不能写成 1 1 5 。 3515 5 55 == 。 练课课练P6 中考 2 化简 例4.若 1 1, x x x =+ 求的值 . 1 1 2 1)1) x ==== - ∴= + = 解： 原式 练课课练P7达标2：(52 - - 答案： 练课课练P9达标 4 ：2 a b a b =+= 若则与的关系是a=b 22 1(1)1 n n n n +-=-=-- = 证明：()( . 注： = = 例5. 计算： (20121) ++ …… 22 11) 1) 1201212011 = ++ ==-=-= 解：原式… 注：裂项相消法是解决带省号问题的常用方法。 11111 () () n n k k n n k k =-= + + 常用的裂项技巧：(1) 练课课练P9课堂3 + …… 练课课练P12第8的大小。 知识点8：同类二次根式的概念及二次根式的加减与混合运算。 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称它们为同类二次 根式。（即：先化简——最简二次根式；再判断——被开放数相同） 2.二次根式相加减：先把每个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别进行合并。解答二次根式加减问题的三步曲：即“先化简——再判断——最后合并”。 3．二次根式的混合运算顺序：与整式运算的顺序类似，先做乘方、开方，再做乘除，最后做加减，有括号的先算括号里面的。在二次根式的运算中，整式的运算律及乘法公式仍然适用。 类型一：同类二次根式的识别 例1. 下列二次根式中，与-是同类二次根式的是（D） A.C D 10 ==== 分析 类型二：根据同类二次根式求字母的值。 例2 ．a a b 若、的值. 2, 3 3 22 231 2 a a b a a b a a b a a b a +== =+ ? = ? += ?? ?? =+ ??= ?? 解: 由 又由同类二次根式得2 联立方程组，得解得 31 , 22 a a b ===== 且此时.故 练习：最简二次根式2b a b 、的值，若不能，请说明理由。 答案：2 3 1, 2 b a b == 求出，但此时 不合题意，舍去。故满足条件的a b 、不存在。 类型三：简单的二次根式混合运算。 例3．计算 - (2) (3)(- 20 442(2002 -+- （） 2 (9) 3 6 2 =?- =-?=- 解：原式 16(21 1621(116 =-+-+ =-+----=- 解：原式 例4.化简 (1)(? 2 22 23 () 2 9 9 b a b a b =?-? ==-?=- 解：原式 2 62 3 x =?- == 解：原式 类型四：利用因式分解约分简化计算 5. 例 = == 解：(1)原式 (2) 1 = === 原式 类型五：先分母有理化再用乘法公式进行复杂的二次根式化简. 例6:已知: 1 2 1 + = x， 1 2 1 - = y，求2 22 4 3y xy x+ +的值 . 1 1 21 2 1 1 21 x y == == - + ==== - 解： 22 1)1)1) 3(2142(21 19 ∴=+-+ =+-++++ =- 原式 类型六：利用性质2进行复杂的二次根式化简 例7：已知：的值； 求 a a a a a a a a - + - - - + - = 2 2 21 2 1 2 1 , 3 1 解: 3 1 = a 1 3 1 1< - = - ∴a 21 (1)(1)1 111 1(1)(1) a a a a a a a a a a a a - --- ∴==--=--=-+ --- 原式 当33 34313 111,3 1-= +-=+ -==a a a 原式时. 二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（）2= （≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 （2）、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。 （4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 （7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；② 例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①；② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1）（）2=- （）;（2）=- （） （3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （） 2．下面的计算中，错误 ．．的是（） A．=±0.03 B．±=±0.07 C．=0.15 D．-=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（） A．=+=3+4=7 B．=- C．（-）2= D．=1-= 4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6； 《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( ) A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 二次根式（提高） 责编：常春芳 【学习目标】 1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由. 2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进 行计算和化简． 【要点梳理】 要点一、二次根式及代数式的概念 1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质 1、 ； 2.； 3. . 要点诠释： 1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式， 即2()(0a a a =≥）. 2.2a 与2()a 要注意区别与联系：1）a 的取值范围不同，2()a 中a ≥0，2a 中a 为任意值. 2）a ≥0时，2()a =2a =a ；a <0时，2()a 无意义，2a =a -. 【典型例题】 类型一、二次根式的概念 1．当x 是__________时， +在实数范围内有意义？ 【答案】 x ≥- 且x ≠-1 【解析】依题意，得23010≥①≠②x x +??+? 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1时，+在实数范围内有意义. 【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念. 举一反三： 【变式】（2015?随州）若代数式11x x +-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．x≠1 B. x ≥0 C. x≠0 D. x ≥0且x≠1 【答案】D 提示：∵代数式 +有意义， ∴， 解得x ≥0且x ≠1． 类型二、二次根式的性质 2.根据下列条件，求字母x 的取值范围： (1) ； (2). 【答案与解析】(1) (2) 【总结升华】二次根式性质的运用. 举一反三： 【：二次根式及其乘除法（上）例1(1)(2)】 【变式】x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？ （1）y=x -－1 1+x ,___________________；（2）y=222+-x x ，______________________； 【答案】(1)01001x x x x -+≠∴≠-Q ≥，≤且 （2）22 22(1)10,x x x x -+=-+>∴Q 为任意实数. 3. （2016?潍坊）实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |+ 的结果是（ ） A ．﹣2a +b B ．2a ﹣b C ．﹣b D ．b 【思路点拨】直接利用数轴上a ，b 的位置，进而得出a ＜0，a ﹣b ＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注： 二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． 二次根式分类经典 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）121+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1 213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若 1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-=-+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10< 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3) 例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a 人教版初中数学二次根式经典测试题及答案 一、选择题 1．下列各式中，不能化简的二次根式是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】 A 、 B 选项的被开方数中含有分母或小数；D 选项的被开方数中含有能开得尽方的因数9；因此这三个选项都不是最简二次根式．所以只有 C 选项符合最简二次根式的要求． 【详解】 解：A =，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B = ，被开方数含有小数，不是最简二次根式； D =，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 所以，这三个选项都不是最简二次根式． 故选：C ． 【点睛】 在判断最简二次根式的过程中要注意： （1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式； （2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式． 2．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式=49?=49?=2×3=6，所以B 选项错误； C 、原式=1336=136 ，所以C 选项错误； D 、原式255164=- =-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a |＋2(a b )-的结果是（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】 根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()()22a a b a b a a b -=-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， 《二次根式》培优专题之一 ——难点指导及典型例题 【难点指导】 1、如果a 是二次根式，则一定有a ≥0；当a ≥0时，必有a ≥0； 2、当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根，因此有 ()a a =2；反过来，也可以将一个非负数写成 ()2a 的形式； 3、()2a 表示a 2的算术平方根，因此有a a =2，a 可以是任意实数； 4、区别()a a =2和a a =2 的不同： ( 2a 中的可以取任意实数，()2a 中的a 只能是一个非负数，否则a 无意义． 5、简化二次根式的被开方数，主要有两个途径： （1）因式的内移：因式内移时，若m ＜0，则将负号留在根号外．即： x m x m 2-=(m ＜0)． （2）因式外移时，若被开数中字母取值范围未指明时，则要进行讨论．即： 6、二次根式的比较： （1）若，则有；（2）若，则有． 说明：一般情况下，可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小． < 【典型例题】 1、概念与性质 2、二次根式的化简与计算二次根式知识点总结及练习题大全
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