概率1收敛与强大数定律

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。 一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

依概率收敛和弱大数定律

§2 依概率收敛与弱大数定律 一、依概率收敛 二、弱大数定律 一、依概率收敛 尽管分布函数完全反映了随机变量取值的分布规律, 但是两个不同的随机变量可以有相同的分布函数. 例如, 向区间[0,1]上随机等可能投点,ω表示落点的位置，定义 ξω(),,=???10 ωω∈∈[,.](.,]005051 ηω(),,=???01 ωω∈∈[,.](.,]005051. (1) 则ξ和η具有相同的分布函数 F(x)=?????,1,2/1, .1,10, 0≥<≤0, lim (||) n n P →∞ -≥ξξε=0, (3) 或 lim (||) n n P →∞ -<ξξε=1, ' )3( 则称ξn 依概率收敛(convergence in probability)于ξ，记作 ξn P ?→?ξ. 注 定义1要求所有ξ和ξn 的定义域相同. ξn P ?→?ξ可直观地理解为：除去极小的可能性，只要n 充分大，ξn 与ξ的取值就可以任意接近. 从上面例子可以看出, 由ξn d ?→?ξ并不能导出 ξn P ?→?ξ. 关于这两种收敛性之间的关系，我们有下面的定理. 定理1 设ξ 和ξn 是定义在概率空间 (Ω,F, P)上的随机变量序列. 1. 如果ξn P ?→?ξ, 则 ξn d ?→?ξ. 2. 如果ξn d c ? →?, c 为常数，则ξn P c ?→?. 证 1. 设F 和 F n 分别是ξ和ξn 的分布函数，x 表示F 的连续点. 任意给定ε>0,

概率论复习题及答案

复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

依分布收敛与中心极限定理

第四章 第四章 极限定理 §1 依分布收敛与中心极限定理 一、 一、分布函数弱收敛 二、性质 三、中心极限定理 概率论早期发展的目的在于揭示由于大量随机因素产生影响而呈现的规律性. 贝努里首先认识到研究无穷随机试验序列的重要性，并建立了概率论的第一个极限定理——大数定律，清楚地刻画了事件的概率与它发生的频率之间的关系. 棣莫佛和拉普拉斯提出将观察的误差看作大量独立微小误差的累加，证明了观察误差的分布一定渐近正态——中心极限定理. 随后，出现了许多各种意义下的极限定理. 这些结果和研究方法对概率论与数理统计及其应用的许多领域有着重大影响. 本章着重介绍上述大数定律和中心极限定理等有关内容. §1 依分布收敛与中心极限定理 我们知道，如果ξ是概率空间 (Ω, F , P)上的随机变量，那么它的分布函数F(x)=P(ξ≤x )刻画了它的全部概率性质. 因此，对随机变量序列的研究就必须首先对相应的分布函数序列作深入研究. 一、分布函数弱收敛 定义1 设F 是一分布函数，{F n }是一列分布函数，如果对F 的每个连续点x ∈R ，都有F n (x) →F(x) (n →∞)，则称F n 弱收敛(weak convergence)于F ，记作F n W ? →? F. 设ξ是一随机变量，{ξn }是一列随机变量，如果ξn 的分布函数列弱收敛于ξ的分布函数， 则称ξn 依分布收敛(convergence in distribution)于ξ，记作ξn d ? →?ξ. 注1 注1 分布函数逐点收敛的极限函数未必是分布函数. 例如, F n (x)=???,1,0., n x n x ≥< 该分布函数列处处收敛于0, 但G(x)≡0不是分布函数. 因此对一般的分布函数列，要它们逐点收敛于分布函数，要求是过高了，不得不如定义1加上限制. 注2 定义1中的限制条件“对F 的每个连续点x ，F n (x) →F(x)”是足够宽的，例如,

概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理

概率论与数理统计作业 班级 姓名 学号 任课教师 第五章 大数定律及中心极限定理 教学要求： 一、了解大数定律的直观意义； 二、掌握Chebyshev 不等式； 三、了解Chebyshev 大数定理和贝努里大数定理； 四、会用中心极限定理估算有关事件的概率． 重点：中心极限定理． 难点：切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理． 综合练习题 一、选择题 1.设12,,,n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且 1,2,,i n = .令∑==n i i n X Y 1 ，1,2,,i n = ，()x Φ为标准正态分布函数，则 ()=?? ????????≤--∞ →11lim p np np Y P n n （B ）. （A ）0 ； （B ）()1Φ； （C ）()11Φ-； （D ）1.6 . 2.设()x Φ为标准正态分布函数，0,1,i A X A ?=? ?事件不发生， 事件发生， ()100,,2,1 =i ，且 ()8.0=A P ，10021,,,X X X 相互独立.令∑==100 1 i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函 数()y F 近似于（B ）. （A ）()y Φ； （B ）?? ? ??-Φ480y ； （C ）()8016+Φy ； （D ）()804+Φy . 3.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立，且i X () ,,,2,1n i =都服从参数为 2 1

的指数分布，则当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Z 1 1的概率分布近似服从（B ）. （A ）()4,2N ； （B ）??? ??n N 4,2； （C ）?? ? ??n N 41,21； （D ）()n n N 4,2. 二、填空题 1.设随机变量 ,,,,21n X X X 相互独立且同分布，它们的期望为μ，方差为2 σ， 令∑==n i i n X n Z 1 1，则对任意正数ε，有{}=≤-∞→εμn n Z P lim 1 . 2.设 ,,,,21n X X X 是独立同分布的随机变量序列，且具有相同数学期望和方差 ()μ=i X E ，()02>=σi X D ，() ,2,1=i ， 则对任意实数x ， =??? ? ??? ???????≤-∑=∞ →x n n X P n i i n σμ1lim ()x Φ. 3.设()1-=X E ，()4=X D ，则由切比雪夫不等式估计概率{}42P X -<<≥ 9 5 . 4.设随机变量[]1,0~U X ，由切比雪夫不等式可得≤??????≥- 3121X P 4 1. 5.设随机变量() 2.0,100~B X ，应用中心极限定理可得{}≈≥30X P 0062.0.（其中 ()()9938.05.2=Φ） 三、应用题 1. 100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%， 求任一时刻有70至86台车床在工作的概率. 解：设?? ?=台车床没有工作 第台车床正在工作 第i i X i .0.1（100,,2,1 =i ），且()8.0,1~B X i ， 则100台车床中在任一时刻正在工作的机床台数为10021X X X X +++= ，且()80=X E ，()16=X D ，（其中10021,,,X X X 独立同分布），于是由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理近似可得 ()???? ??-≤-≤-=≤≤168086168016 80708670X P X P

概率论与数理统计概率历史介绍

概率论与数理统计概率历史介绍

一、概率定义的发展与分析 1.古典定义的历史脉络 古典定义中的“古典”表明了这种定义起源的古老，它源于赌博．博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能．16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（1501—1576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点．在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作．直到1812年，法国数学家拉普拉斯（1749—1827）在《概率的分析理论》中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比． 2.古典定义的简单分析 古典定义通过简单明了的方式定义了事件的概率，并给出了简单可行的算法．它适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能．其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提． 如何在更多和更复杂的情况下，体现出“同等可能”？伯努利家族成员做了这项工作，他们将排列组合的理论运用到了古典概率中．用排列（组合）体现同等可能的要求，就是将总数为P(n,r)的各种排列（或总数为C(n,r)的各种组合）看成是等可能的，通常用“随意取”来表达这个意思．即使如此，古典定义的方法能应用的范围仍然很窄，而且还有数学上的问题． “应用性的狭窄性”促使雅各布?伯努利（1654—1705）“寻找另一条途径找到所期待的结果”，这就是他在研究古典概率时的另一重要成果：伯努利大数定律．这条定律告诉我们“频率具有稳定性”，所以可以“用频率估计概率”，而这也为以后概率的统计定义奠定了思想基础．“古典定义数学上的问题”在贝特朗（1822—1900）悖论中表现得淋漓尽致，它揭示出定义存在的矛盾与含糊之处，这导致了拉普拉斯的古典定义受到猛烈批评． 3.统计定义的历史脉络 概率的古典定义虽然简单直观，但是适用范围有限．正如雅各布?伯努利所说：“……这种方法仅适用于极罕见的现象．”因此，他通过观察来确定结果数目的比例，并且认为“即使是没受过教育和训练的人，凭天生的直觉，也会清楚地知道，可利用的有关观测的次数越多，发生错误的风险就越小”．虽然原理简单，但是其科学证明并不简单，在古典概型下，伯努利证实了这一点，即“当试验次数愈来愈大时，频率接近概率”． 事实上，这不仅对于古典概型适用，人们确信“从现实中观察的频率稳定性”的事实是一个普遍规律．1919年，德国数学家冯?米塞斯（1883—1953）在《概率论基础研究》一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，某个事件出现的频率总是在一个固定数值的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值定义为这一事件的概率．

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。

概率论中几种收敛及其联系1

概率论中几种收敛及其联系 西北师范大学数学与应用数学专业 甘肃兰州 730070 摘要：概率极限理论是概率论的重要组成部分,内容十分丰富,本文仅介绍依概率收敛,平均收敛,依分布收敛,a.s.收敛，完全性收敛以及事件序列的无穷次发生之间的联系. 关键词：示性函数 概率 随机变量 收敛 分布函数 Abstract : The probability limit theory is an important part of the probability theory, is rich in content, this article describes only the convergence in probability, the average convergence, converge in distribution, as convergence, complete convergence, as well as the infinite sequence of events occurred between Key words : indicator function probability random variable convergence distribution function 首先，为了研究这几种收敛性，我们需要估计概率。所以首先需要建立必要的概率不等式。我们以I(A)表示事件A 的示性函数，即有 ?? ??∈=. ,0; ,1)(A A A I ωω 那么，显然当B A ?时，有).()(B I A I ≤，并且有).()(A EI A P = 定理 1 （Chebyshev 不等式）设)(x g 是定义在 [)∞,0 上的非降的非负值函数，如果对随机变量η，有∞<)(ηEg ，那么对任何使得0)(>a g 的0>a ，我们都有 .) ()()(a g Eg a P ηη≤≥ 证明：首先，由)(x g 的非降性知 ()()()().a g g a ≥?≥ηη 因此 ()()()()() () ()()().a g g I a g g a g g I a I ≥≤ ≥≤≥ηηηη 其中)(A I 是事件A 的示性函数;其中的第二个不等号是由于在事件()()() a g g ≥η

概率论中的大数定律及中心极限定理

概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n

依概率收敛

吕泽锋 理学院 随即变量序列两种收敛方式 两种收敛： i) 依概率收敛：用于大数定律（大数定律讨论的就是依概率收敛） ii) 按分布收敛：用于中心极限定理. 一：背景与定义 1、背景 2、依概率收敛定义，随机变量序列ΛΛ,,,1n X X ，如果对于任何0>ε， ()0||??→?≥-∞ →n n X X P ε，记X X n ?→? Pr ，等价于：对于任何0>ε，()0||??→?>-∞ →n n X X P ε，称随机变量序列ΛΛ,,,1n X X 依概率收敛于X 。 即： ()1lim =<-∞ →εX X P n n ⑴依概率收敛的意义： 或者说：Xn 对X 的绝对偏差不小于一个任意小的给定量ε的可能性将随着n 增大而越来越小，或者说绝对偏差X X n -小于一个任意给定量ε的可能性将随n 增大而越来越接近于1，上述定义也等价于 ()()1n p X X n ε-<→→∞ 特别的当X 为退化分布时，即()1==c X P ，则称序列{}n X 依概率收敛于c 即：c X n → ⑵依概率收敛与微积分中的收敛的不同在于：微积分中的收敛是确定的，即对于任给的成立。时，必有当εε<->>a x N n n ,0而依概率收敛是，对任给的{}，发生的概率为很大时，事件当1.0εε<->a x n n 但不排除偶然事件{}ε≥a x n 的发生。 3、性质 （1）b a Y X b Y a X P n n P n P n +?→?+??→??→? ,：证明 一种说法。确定现象中关于收敛的所以说依概率收敛是不”发生不排除小概率事件“但正因为是概率，所以，”的概率接近于很大时，事件“，当，说明对于任给的 收敛于依概率收敛。随机变量序列依概率收敛即依概率."1"0}{"1"εεε≥-<->x x x x n x X n n n

概率论与数理统计 习题(5)答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少

概率论大数定律及其应用

概率论大数定律及其应 用 Revised as of 23 November 2020

概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者 摘要：历史上第一个定理属于，后人称之为“”。概率论中讨论的向的定律。概率论与数理的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么在什么条件下具有稳定性这就是我们大数要研究的问题。

概率论(复旦三版)习题五答案

概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ

概率论与数理统计重点总结及例题解析

概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1）【0.4 】

练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一 等品} （1）P(1 B )=P(1 A )P(1 B |1 A )+P(2 A )P(1 B |2 A )=5 230 182150 10 21= + （2）P(1 B 2 B )= 194 .02121230 2 182 50 2 10=+ C C C C ,则P(2 B |1 B )= ) ()(121B P B B P = 0.485 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ?<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1

概率论典型例题第4章

第四章 大数定律与中心极限定理 例1．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有≤≥+}6{Y X P 。 分析：切比雪夫不等式：2{}DX P X EX εε?≥≤或2{}1DX P X EX εε?<≥?， 显然需用到前一不等式，则只需算出()E X Y +与()D X Y +即可。 解：由于 0)(=+Y X E ， ()2(,)2XY D X Y DX DY Cov X Y DX DY ρ+=++=++14212(0.5)3=++×××?=， 故由切比雪夫不等式 1216 )(}6{2=+≤≥+Y X D Y X P 。 注：还是用到第三章数字特征的一些性质。 除了切比雪夫不等式本身，这也是另外的知识点。 例2．设()0(0)g x x ><<+∞，且为非降函数。 设X 为连续型随机变量且[()]E g X EX ?存在。 试证对任意0ε>，有 [()] {}()E g X EX P X EX g εε??≥≤。 分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的证明思想试试看。 证明：设随机变量X 的概率密度为()f x ，则有 {}()x EX P X EX f x dx εε?≥?≥= ∫ 由于()0g x >，且非降，故当X EX ε?≥时，有 ()()g X EX g ε?≥，() 1()g X EX g ε?≥， 所以

(){}()()()x EX x EX g X EX P X EX f x dx f x dx g εεεε?≥?≥??≥= ≤∫∫ 1()()()g X EX f x dx g ε+∞?∞ ≤?∫ [()] ()E g X EX g ε?=。 注：这是切比雪夫不等式的推广。 当2()g x x =时，即为切比雪夫不等式。 例3．设随机变量序列12,,,n X X X L 相互独立，且都服从参数为2的指数分 布，则当n →∞时，21 1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于 。 (A ) 0 (B ) 12 (C ) 14 (D ) 1 分析：出现依概率收敛就要考虑应用大数定律，题设给出的是一列独立同分布的随机变量序列，自然会想到辛钦大数定律。 解：由题设12,,,n X X X L 独立同分布于参数为2的指数分布，因此22212,,,n X X X L 也都独立同分布，且它们共同的期望值为 2 22111()422i i i EX DX EX ??=+=+=????。 根据辛钦大数定律，当n →∞时，21 1n n i i Y X n ==∑依概率收敛于其期望值12，故应选择选项B 。 注：几个大数定律条件、结论都非常相似，下面对其条件进行一下比较： 伯努利大数定律和辛钦大数定律都要求随机变量序列有独立性、同分布和有限数学期望。 切比雪夫大数定律对条件有所放宽，不要求同分布，但要求有某种独立性。 但是只有辛钦大数定律不要求方差存在。 同时要注意大数定律中所给的假设条件都是大数定律成立的充分条件，切不

概率论大数定律及其应用

概率论基础结课论文 题目：独立随机序列的大数事件的定理与应用 作者：信计1301班王彩云130350119 摘要：概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，是随机现象统计规律性的具体表现，应用很广泛。本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。 关键词：弱大数定理伯努利大数定理随机变量数学期望概率 引言：“大数定律”本来是一个数学概念，又叫做“平均法则”。在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律，通俗的说，这个定律就是在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率以概率为稳定值。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下时哪一面朝上本身是偶然的，但当我们向上抛的硬币的次数足够多时，达到上万次甚至几十万几百万时之后，我们就会发现，硬币朝上的次数大约占总数的二分之一。偶然之中包含着必然。 从概率的统计定义中可以看出：一个事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增多，事件的频率逐渐稳定在某个常数附近，人们在实践中观察其他的一些随机现象时，也常常会发现大量随机个体的平均效果的稳定性。这就是说，无论个别随机个体以及它们在试验进行过程中的个别特征如何，大量随机个体的平均效果与每一个体的个别特征无关，而且结果也不再是随机的。深入考虑后，人们会提出这样的问题：稳定性的确切含义是什么？在什么条件下具有稳定性？这就是我们大数要研究的问题。 概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

《实变函数》中依测度收敛的定义(精)

复习 (1) 教材14P 频率与概率的关系：只要n 相当大，频率)(1ωn f 与概率 )(1ωP 是会非常靠近的，频率是概率的一个近似； (2) 教材68P 普哇松定理：当np 很大时怎么办呢？； (3) 教材115P ：一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响，那么这个变量一般是一个正态变量，在下一章中我们将讨论这个问题； (4) 契贝晓夫不等式：2 )|(|ε ξ εξξD E P ≤ ≥-； (5) 《实变函数》中依测度收敛的定义：对0>?σ，有 0]|[|lim =≥-σf f mE n n ，则称函数列)}({x f n 依测度收敛于)(x f ，记 作)()(x f x f n ?。

第四章大数定律与中心极限定理 极限定理是概率论与数理统计学中最重要的理论结果。本章简单地介绍两类极限定理---“大数定律”和“中心极限定理”。 通常，把叙述在什么条件下一随机变量序列的算术平均值（按某种意义）收敛于某数的定理称为“大数定律”；把叙述在什么条件下大量的随机变量之和近似服从正态分布的定理称为“中心极限定理”。本教材只介绍极限定理的经典结果。分布函数、矩和特征函数是解决经典极限定理的主要工具。 一、教学目的与要求 1．掌握四个大数定律的条件、结论及数学意义； 2．理解随机变量序列的两种收敛性的定义及其关系，了解特征函数的连续性定理； 3．掌握独立同分布中心极限定理的条件、结论，并会用来解决一些实际问题。 二、教学重点和难点 教学重点是讲清大数定律的条件、结论和中心极限定理的条件、结论。 教学难点是随机变量序列的两种收敛性及大数定律和中心极限定理的应用。

概率论与数理统计试题及答案

考试科目： 概率论与数理统计考试时间：120分钟 试卷总分100分 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小 题，每小题3分，总计15分） 1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现1点的概率为（ A ）。 (A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6 2．设随机变量的概率密度? ??≤>=-101)(2x x Kx x f ，则K=（ B ）。 (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量ηξ,，若)()()(ηξξηE E E =，则（ B ）。 (A) )()()(ηξξηD D D = （B ）)()()(ηξηξD D D +=+ (C) ηξ,一定独立 （D ）ηξ,不独立 5．设)4,5.1(~N ξ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2<ξ<4}=（ A ）。 (A)0.8543 (B)0.1457 (C)0.3541 (D)0.2543 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分， 总计15分） 1．设A 、B 为互不相容的随机事件,6.0)(,3.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ 0.9 ）。 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ 1/10 ）。 3．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ 8/10 ）。 4．设D(ξ)=9, D(η)=16, 5.0=ξηρ，则D(ηξ+)=（ 13 ）。 *5．设),(~y 2σμN ，则 ~y n σμ -（ N(0,1) ）。 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的25％，35％， 40％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取