空间直角坐标系与空间向量
一、建立空间直角坐标系的几种方法
构建原则:
遵循对称性,尽可能多的让点落在坐标轴上。
作法:
充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系.
类型举例如下:
(一)用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠
A 为直角,A
B ∥CD ,AB =4,AD =2,D
C =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦
值.
解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建
立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0),
∴1(232)BC =--,,,(010)CD =-,,.
设1BC 与CD 所成的角为θ,
则11317cos 17
BC CD
BC CD θ==. (二)利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC
1上异于
C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知AB =
,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3
π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点
垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系.
由于BC =1,BB 1=2,
AB
BCC 1=3
π,
∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,
、B 1(0,2,0)
、102c ?-????
,、1302C ?????
,,
.设0E a ?????,且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =,
即32022a a ???---- ? ????,,
233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ????--= ? ??
???, 即12a =或32a =(舍去).故102E ?????
,,. 由已知有1EA EB ⊥,111B A EB
⊥,故二面角A -EB 1-A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与
EA 的夹角.
因11(00B A BA ==,122EA ?=-- ?
故11
112cos 3
EA B A EA B A θ==,即tan 2θ= (三)利用面面垂直关系构建直角坐标系
例3 如图3,在四棱锥V -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正
三角形,平面VAD ⊥底面ABCD .
(1)证明AB ⊥平面VAD ;
(2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值.
解析:(1)取AD 的中点O
为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系.
设AD =2,则A (1,0,0)、D (-1,0,0)、B
(1,2,0)、V ∴AB =(0,2,0),VA =(1
由(020)(103)0AB VA =-
=,
,,,,得 AB ⊥VA .
又AB ⊥AD ,从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直,
∴ AB ⊥平面VAD ;
(2)设E 为DV 的中点,则1022E ?- ??
,,
∴3
02EA ?=- ??,,,322
EB ?= ??,,,(10DV =. ∴332(103)022EB DV ??=-= ? ???
,,,,, ∴EB ⊥DV .
又EA ⊥DV ,因此∠AEB 是所求二面角的平面角.
∴21cos 7
EA EB EA EB EA EB ==,.
故所求二面角的余弦值为7
. (四)利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系
例4 已知正四棱锥V -ABCD 中,E 为VC 中点,正四棱锥底面边长为2a ,高为h .
(1)求∠DEB 的余弦值;
(2)若BE ⊥VC ,求∠DEB 的余弦值.
解析:(1)如图4,以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系,其
中O x ∥BC ,O y ∥AB ,则由AB =2a ,OV =h ,有B (a ,a ,0)、C (-a ,a ,0)、D (-a ,-a ,0)、V (0,0,h )、222a a h E ??- ??
?,, ∴3222a h BE a ??=-- ???,,,3222a h DE a ??= ???
,,. ∴22226cos 10BE DE
a h BE DE a h BE DE -+==+,, 即22
22
6cos 10a h DEB a h -+=+∠; (2)因为E 是VC 的中点,又BE ⊥VC ,
所以0BE VC =,即3()0222a h a a a h ??----= ???
,,,,, ∴22
230222
a h a --=
,∴h =. 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+,,即1cos 3
DEB =-∠. 引入空间向量坐标运算,使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析,只需建立空间直角坐标系进行向量运算,而如何建立恰当的坐标系,成为用向量解题的关键步骤之一.下面以高考考题为例,剖析建立空间直角坐标系的三条途径.
(五)利用图形中的对称关系建立坐标系
图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等),利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 例5已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都为2,AB =4.
(1)证明:PQ ⊥平面ABCD ;
(2)求异面直线AQ 与PB 所成的角;
(3)求点P 到面QAD 的距离.
简解:(1)略;
(2)由题设知,ABCD 是正方形,且AC ⊥BD .由(1),PQ ⊥平面ABCD ,
故可分别以直线CA DB QP ,,为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1),易得
(2202)(022)AQ PB =--=-,,,,,1cos 3
AQ PB
AQ PB AQ PB <>==,.
所求异面直线所成的角是1arccos 3. (3)由(2)知,点(0(22220)(004)D AD PQ -=--=-,,,,,,设n =(x ,y ,z )是平面QAD 的一个
法向量,则00AQ AD ?=
??=??,,n n 得00z x y +=
+=?
?,,取x =1,得(11-,n =.点P 到平面QAD
的距离
22PQ d ==n
n .
点评:利用图形所具备的对称性,建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易得出.第(3)问也可用“等体积法”求距离.
高中数学-空间直角坐标系与空间向量 一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原则: 遵循对称性,尽可能多的让点落在坐标轴上。 作法: 充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系. 类型举例如下: (一)用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠ A 为直角,A B ∥CD ,AB =4,AD =2,D C =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦 值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--u u u u r ,,,(010)CD =-u u u r ,,. 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ, 则11317 cos 17BC CD BC CD θ== u u u u r u u u r g u u u u r u u u r . (二)利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于 C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB = ,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1= 3 π .求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =1,BB 1=2,AB = 2,∠BCC 1= 3 π,
2.3.1 空间直角坐标系 一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义:从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ,点O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法: (1)定义:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方 向,若中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。 (2)画法: 将空间直角坐标系画在纸上时,x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°,而z 轴垂直于y 轴,y 轴和z 轴的长度单位相同,x 轴上的单位长度为y 轴(或z 轴)的长度的一半,这样,三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示:点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ,我们把有序实数组(x , y ,z )叫做点A 的坐标,记为A (x ,y ,z )。 二、题型解析: 题型1、在空间直角坐标系下作点。 例1、在空间直角坐标系中,作出M(4,2,5). 解:法一:依据平移的方法,为了作出M(4,2,5), 可以按如下步骤进行:(1)在x 轴上取横坐 标为4的点1M ;(2)将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位,得到 点2M ;(3)将2M 沿与z 轴平行的方向向上 移动5个单位,就可以得到点M (如图)。 法二:以O 为一个顶点,构造三条棱长分别为4,2,5的长方体,使此长方体在点O 处的三 条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上,则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。 法三:在x 轴上找到横坐标为4的点,过此点作与x 垂直的平面α;在y 轴上找到纵坐标为2 的点,过此点作与y 垂直的平面β;在z 轴上找到竖坐标为5的点,过此点作与z 垂直的平面γ;则平面αβγ,,交于一点,此交点即为所求的点M 的位置。 【技巧总结】:(1)若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0,则此点是坐标轴上的点,可 直接在坐标轴上作出此点; (2)若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐标轴上,但在某一坐 标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 (3)若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤作出该点,一般有三 种方法:①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ;再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左(00y <)或向右(00y >)平移0||y 个单位,得到点2M ;再将2M 沿与z 轴平
圆与方程及空间直角坐标系(习题) 1. 方程x2 +y2 + 2ax -by +c = 0 表示圆心为C(2,2),半径为2 的圆,则a,b,c 的值依次为() A.2,4,4 B.-2,4,4 C.2,-4,4 D.2,-4,-4 2. 若方程x2 +y2 - 4x + 2y + 5k = 0 表示圆,则k 的取值范围是 () A.k >1 B.k <1 C.k ≥1 D.k ≤1 3.已知圆C 的圆心在直线l:x-2y-1=0 上,并且经过原点和A(2, 1),则圆C 的标准方程是. 4. 已知点A(1,2)在圆x2 +y2 + 2x + 3y +m = 0 内,则m 的取值 范围是. 5. 直线3x -y +m = 0 与圆x2 +y2 - 2x - 2 = 0 相切,则实数m 等 于() A. 3 或- 3 3B.- 3 或3 3 C.-3 3 或D.-3 3 或3 3 6. 已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.若圆x2+y2=4 上恰有3 个点 到直线l 的距离都等于1,则b 的值为.
1
7. 过点M(3,0)作圆(x -1)2 + ( y -1)2 = 5 的切线,则切线的方程 为. 8. 已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0 与x 轴的交点,且圆C 与直 线x+y+3=0 相切.则圆C 的方程为. 9. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +y2 - 4y = 0 所截得的弦 长为() A. 3 B.2 C. 6 D.2 3 10. 若⊙O1:x2+y2=m(m > 0 )和⊙O2:x2 +y2 + 6x - 8y -11 = 0 有 公共点,则实数m 的取值范围是. 11. 已知点A(-1,0),点B(2,0),动点C 满足|AC|=|AB|,则点C 与点P(1,4)所连线段的中点M 的轨迹方程为. 12. 在空间直角坐标系中,点A(1,2,-3)关于x 轴的对称点为 () A.(1,-2,-3) B.(1,-2,3) C.(1,2,3) D.(-1,2,-3)
空间直角坐标系 【学习目标】 通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ,点O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ,y ,z)来表示,有序数组(x ,y ,z)叫做点A 的坐标,记作A(x ,y ,z),其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点,作两条轴所确定平面的平行平面,此平面交另一轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标:原点()0,0,0;,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ;坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .
2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中,点(),,P x y z ,则有 点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---; 点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --; 点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --; 点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --; 点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -; 点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -; 点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则此两点间的距离 ||d AB == 特别地,点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】 类型一:空间坐标系 例1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点,棱长为1,建立空间直角坐标系,求点E 、F 的坐标。 【答案】11,0,2E ? ? ???,11,,122F ?? ??? 【解析】 法一:如图,以A 为坐标原点,以AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空
空间直角坐标系(11月21日) 一、选择题 1、有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在yoz平面上的点的坐标一定是(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在oz轴上的点的坐标可记作(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xoz平面上的点的坐标是(a,0,c)。 其中正确的个数是(C ) A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A(-3,1,4),则点A关于原点的对称点的坐标为(C ) A、(1,-3,-4) B、(-4,1,-3) C、(3,-1,4) D、(4,-1,3) 3、已知点A(-3,1,-4),点A关于x轴的对称点的坐标为(A ) A、(-3,-1,4) B、(-3,-1,-4) C、(3,1,4) D、(3,-1,-4) 4、点(1,1,1)关于z轴的对称点为(A ) A、(-1,-1,1) B、(1,-1,-1) C、(-1,1,-1) D、(-1,-1,-1) 5、点(2,3,4)关于xoz平面的对称点为(C ) A、(2,3,-4) B、(-2,3,4) C、(2,-3,4) D、(-2,-3,4) 6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C) A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.x轴上 7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系,且正方体的棱长为一个单位长度,则棱CC1中点坐标为(C ) A、(1 2 ,1,1)B、(1, 1 2 ,1)C、(1,1, 1 2 )D、( 1 2 , 1 2 ,1) 8、点P( 2 2, 3 3,- 6 6)到原点的距离是(B) A.30 6B.1 C. 33 6 D. 35 6 9、点M(4,-3,5)到x轴的距离为(B) A.4 B.34 C.5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中,点P(1,2,3),过点P作平面xOy的垂线PQ,垂足为Q,则Q的坐标为(D) A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0) 11、点M(-2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B) A.(-2,0,2) B.(-2,0,0) C.(0,1,2) D.(-2,1,0) 12、在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若D(0,0,0),A(4,0,0),B(4,2,0),A1(4,0,3),则对角线AC1的长为(B) A.9 B.29 C.5 D.2 6 二、填空题 1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 3 2,),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________. 2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时x的值为_______________. 3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(p,3,q+2),若A、B、C三点共线,则p =_________,q=__________. 4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________.
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律:⑴加法交换律:a b b a +=+ ⑵加法结合律:)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律:b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ,那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量,a 平行于b ,记作b a //。 (2)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ, 使a = 。 4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是 的。 (2)共面向量定理:如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ,使 。 5. 空间向量基本定理:如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使 。 若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作
建立空间直角坐标系的几种常见思路 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法,运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系.依据空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系,是运用坐标法解题的关键.下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略. 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--,,,(010)CD =-, ,. 设1BC 与CD 所成的角为θ, 则11317cos BC CD BC CD θ==. 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB =,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3 π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =1,BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=3 π, ∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,0,2)、B 1(0,2,0)、3102c ??- ? ??? ,,、133022C ?? ? ?? ?,,. 设302E a ?? ? ??? ,,且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =, 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ,,,,
建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.