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[初二数学]勾股定理小结与复习教案

勾股定理小结与复习 2012-2-28 教师: 吴夏梦吕艳杰

教学任务分析

一、引入新课

勾股定理，我们把它称为世界第一定理．它的重要性，通过这一章的学习已深有体验．首先，勾股定理是数形结合的最典型的代表；其次，了解勾股定理历史的同学知道，正是由于勾股定理的发现，导致无理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一点，我们已在《实数》一章里讲到．第三，勾股定理中的公式是第一个不定方程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引导出各式各样的不定方程，最为著名的就是费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将它证明．

勾股定理是我们数学史的奇迹，我们已经比较完整地研究了这个先人给我们留下来的宝贵的财富，这节课，我们将通过回顾与思考中的几个问题更进一步了解勾股定理的应用．

1、直角三角形的性质

已知如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．问题1：直角三角形的周长问题2：直角三角形的面积问题3：直角三角形的角的关系问题4：直角三角形的边与角的关系问题5：直角三角形的边的关系 2、直角三角形的判定

已知如图，在△ABC 中， a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．问题1：从角来判断：问题2：从边去判断：

1、利用勾股定理已知两边求第三边

(1)在△ABC 中，∠C=90°若7 a ，c=4，则b= ； (2)在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

(3) 在Rt △ABC ，∠C=90°，c=25，a ：b=3：4，则a= ，b= 。

(4) 在△ABC 中，若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。

（5）直角三角形直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________ 2、利用勾股逆定理判断一个三角形是否为直角三角形

（1）下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )

A ．1.5，2，3 B. 8，15，17 C ．6，8，10 D. 3，4，5 （2）.若△ABC 的三边满足2()()0b c b c a +--=则下列结论正确的是( )

A.△ABC 是直角三角形,且∠C 为直角

B. △ABC 是直角三角形,且∠A 为直角

C. △ABC 是直角三角形,且∠B 为直角

D. △ABC 不是直角三角形. （3）如图，AD ⊥BC ，垂足为D ，如果CD=1，AD=2，BD=4，试判断ΔABC

的形状，并说明理由。

3、利用勾股定理列方程求线段长

（1）已知，如图、∠ACB=90°，AD=BD,AB=5cm,AC=3cm

求BD 的长

（2）如下图，折叠长方形(四个角都是直角，对边相等)的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB ＝8cm ，AD ＝10cm ，求EC 的长．

过程：“折叠”问题是数学中常见问题之一．由折叠的过程可知．△AFE ≌△ADE 、AD ＝AF ，DC ＝EF ，在Rt △ABF 中，AB ＝8cm ，AF ＝10cm ，BF 2＝AF 2－AB 2＝102－82＝62，BF ＝6，FC ＝BC －BF ＝10－6＝4cm ，如果设CE ＝xcm ，DE ＝(8－x)cm ，所以EF ＝(8－x)cm ．

在Rt △CEF 中，EF 2＝CF 2＋CE 2，用这个关系就可建立关于x 的方程．解出x 便求得CE ．结果：解：根据题意，得

(8－x)2

＝42

＋x 2

所以x ＝3，即CE 的长为3cm ．

4、构造直角三角形利用勾股定理解决问题

（1）在△ABC 中，∠B ＝450，AB ＝2，∠BAC ＝1050，求△ABC 的面积。

（2）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD 的面积。

1、在Rt △ABC 中， a ，b ，c 分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则边长c=

2、下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．

A ．6，7，8

B ．5，6，7

C ．4，5，6

D ．2，3，5

3、已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是．

4、直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（）

A ．6cm

B ．8．5cm

C ．13

30 cm D ．1360

5、已知：如图，△ABC 中，AC=2，∠B=45°，∠A=60°，求AB 的长和△ABC 的面积.

课后作业 A 层

1、在△ABC 中，∠C=90°

(1)若a=5，b=12，则c= ；(2)若7=a ，c=4，则b= ； (3)若a ∶b=3∶4，c=15，则a= ，b= ，S Rt △ABC =________； (4)若∠A=30°，BC=2，则AB= ，AC= 。

2、一个三角形的三个内角之比为1:2:3，则此三角形是____三角形；若此三角形的三边为a 、b 、c ，则此三角形的三边的关系是__________

3、 △ABC 中，若C B A ∠=∠=∠3

21，AC=33，则∠A= °，AB= ，S △ABC =

4、如图，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为 cm 2．

B 层

5、直角三角形周长为12cm ，斜边长为5cm ，求直角三角形的面积。

6、如图，，AB=20，BC=15，CD=7，DA=24，∠B=90°，求证：∠DAB+∠DCB=180°

C 层

7、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm ，BC=24cm ，现

将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出BD 的长吗？

8、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A 的正南方向260千米B 处有一台风中心，沿BC 的方向以15千米／时的速度向D 移动，已知AD 是城市A 距台风中心的距离最短，且AD ＝100千米，求台风中心经过多长时间从B 点移到D 点?

D 层

9、已知：如图△ABC 中，AB=AC=10，BC=16，点D 在BC 上，DA ⊥CA

于

A ．

求：BD 的长．

新人教版八年级下册数学勾股定理教案

第十七章勾股定理勾股定理（一）教学内容：新课标对本节课的要求：教学目标知识与技能：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。过程与方法：培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。情感态度价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。教学重点、难点重点：勾股定理的内容及证明。难点：勾股定理的证明。教学过程 1.引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？命题1：如果直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。 2、合作探究：方法1：已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、 ∠C 的对边为a 、b 、c 。 A B

勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ，221 4()2 ab b a c ?+-=，化简可证． c b a H G F E D C B A 方法二： b a c b a c c a b c a b 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 方法三：1()()2S a b a b =+?+梯形，211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形，化简得证

a b c c b a E D C B A ３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ?中，90C ∠=? ，则c ，b = ，a ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5 、利用勾股定理作长为的线段作长为、、的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；（2）以AB 为一条直角边，作另一直角边为1的直角。斜边为；（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是、、、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边，，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。

勾股定理全章复习与小结

第17章勾股定理小结与复习一、课件说明本课是对全章知识的回顾和复习，通过知识整理，进一步理解勾股定理及其逆定理，体会勾股定理在距离（线段长度）计算中的作用，理解勾股定理与它的逆定理之间的关系，并尝试综合运用这两个定理解决简单的实际问题．二、学习目标：知识与技能： 1、进一步理解勾股定理入其逆定理，弄清两定理之间的关系。 2、回顾本章知识，在回顾过程中主动构建起本章知识结构；过程与方法： 1、} 2、复习直角三角形的有关知识，形成知识体系。 2、思考勾股定理及其逆定理的发现证明和应用过程，体会出入相补思想、数形结合思想、转化思想在解决数学问题中的作用. 情感态度恶劣与价值观：通过运用勾股定理及其逆定理解决问题，体会到数学来源于生活，应用于生活。三、学习重点：勾股定理及其逆定理的应用．四、教学过程：（一）创设情境引出课题 ;

问题1 如图，这是矗立在萨摩斯岛上的雕像，这个雕像给你怎样的数学联想（出示图形）（背景介绍：我们知道，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了勾股定理．在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．人们为了纪念这位伟大的科学家，在他的家乡建了这个雕像．）（二）层层提问，讲练相融追问1 在本章我们学习了直角三角形一个重要的定理，你能叙述这个定理吗如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2 知识点一：勾股定理的运用: 1.已知直角三角形两边,直接利用勾股定理求出第三边. 基础练习1 在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，∠B=90°，则第三边c 的长为． ' 变式在Rt△ABC中，已知a=1，b=3，则第三边c的长为．温馨提示:求第三边时应看清题目中所说的边是直角边还是斜边,如果题中没有说明,则应分两种情况求. 2.未已知直角三角形的两边,则一般通过设未知数列方程解决。基础练习2 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆的绳子垂到地面还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）． A．8 m B．10 m C．12 m D．14 m

初二数学勾股定理教案(模板)

初二数学上册教案模板勾股定理（2课时）一、教学目标及重点 1、教学目标（1）经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，通过自主学习体验获取数学知识的感受，培养学生的思维能力和语言表达能力。（2）运用勾股定理解决实际问题。（3）了解有关勾股定理的历史，通过有关勾股定理的历史讲解，对学生进行德育教育。 2、教学重点：勾股定理及其应用。 3、教学难点：通过有关勾股定理的历史讲解，了解数学发展史，激发学习兴趣，对学生进行德育教育。二、探索发现：（在教师的引领下，小组合作，探索学习）通过此案例引出：勾股定理（商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理）的渊源。三、知识透析： 1.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为ａ、ｂ，斜边为ｃ，

那么：即：直角三角形两直角边的等于斜边的平方。 2.注意：（1）勾股定理的条件是：只有在直角三角形中才使用；（2）勾股定理的变形：222a =-b c ；222b =-a c 3.勾股定理验证方法：（教师引导学生通过面积计算，实现勾股定理证明）（1）赵爽证明：（2）伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析：题型1：勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中，，、、所对的边分别是a 、b 、c 。（1）当a=3，b=4,则c= （2）若a=5，b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则底边上的高为？（）

（随堂练习：教材3页1、2）题型2：勾股定理验证例3.请您用下图验证勾股定理例4.教材5页第三问（随堂练习：教材6页中间）题型3：勾股定理应用例5.有两棵树，一棵高10米，另一棵高4m，两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）（2013安顺中考） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米注：将应用题转化构造为直角三角形例6.教材5页例题

勾股定理全章知识点归纳总结

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/c814846855.html, 勾股定理全章知识点归纳总结一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在A B C ?中，90C ∠=? ，则22 c a b = +， 2 2 b c a = -，22 a c b = -）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2

全国中考信息资源门户网站 https://www.sodocs.net/doc/c814846855.html, 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。 4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导 1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a ，b ，c 有下列关系：a 2+b 2＝c 2，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ? +=正方形正方形ABCD ，22 14()2 ab b a c ? +-=，化简可证． c b a H G F E D C B A