初等数论期末考试试卷张

初等数论试卷(B)

一，选择题（满分15分，每题3分）

1，下列不正确的是（ ）

A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡

，则)(mod m a b ≡。

B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡.

C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(mod 11m b a ≡，)(mod 22m b a ≡，则

)(m o d 2121m b b a a ≡。

D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ） A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A

203，B 607，C 51，D 100

19。 4，同余方程)5(mod 022≡+x 的解为（ ）

A )5(mod 0≡x ，

B )5(mod 4≡x ，

C )5(mod 2≡x ，

D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ）

A ?????≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ，

B ?????≡≡)6(mod 1)9(mod 4x x

C ?????≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ，

D ??

???≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。

二，填空题（满分10分，每题2分）

1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。 2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。 3，=)16(? 。

4，写出模8的一个简化剩余系： 。 5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。 三，判断题（满分10分，每题2分 ）

1，)(m ?为欧拉函数，则1)(1-≤≤m m ?。 （ ） 2， 设m ∈+N ，a ∈Z ，（a,m ）=1，若整数集合{})(21,......,,m a a a ?为模m 的一个简化

剩余系，则{})

(21,......,,m aa aa aa ?也为模m 的一个简化剩余系。 （ ）

3，模m 的完全剩余系只有有限个。 （ ）

4，循环小数5544

301.0 的循环节长度为4。 （ ） 5，两整数相等，则必同余。 （ ） 四，求解题（满分30分 ）

1，用“弃九法”验算下面式子是否正确：

10018656763457828947=?。（'

7）

2，求

11

7所化成的循环小数的循环节的长度。（'

7） 3，求同余方程)15(mod 69≡x 的所有解。（'

8）

4，求同余方程组??

???≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)

3(mod 2x x x 的解。（'

8）

五，证明题（满分25分 ）

1，证明：

对

一

切

正

整

数

x

，都有

)8(mod 3371331632241552345++≡-+-++x x x x x x x 。（'

7） 2，设q p ,是两个大于3的质数，证明：).24(mod 2

2q p ≡（'8） 3，求证：当n 为奇数时，)()(n n b a b a ++。（'

10）

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ).

A b a =

B b a -=

C b a ≤

D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .

A 整除

B 不整除

C 等于

D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个

B 有限多

C 无限多

D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则

A )(mod m bc ac ≡

B b a =

C ac T )(m od m bc

D b a ≠

5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.

A c b a ),(

B ),(b a c

C c a

D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除.

A 3

B 3与9

C 9

D 3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.

2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).

3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).

4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).

5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程144219=+y x .

3、解同余式)45(mod 01512≡+x .

4、求

??? ??563429,其中563是素数. （8分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数n ,数

62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.

试卷1答案

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、D.

2、A

3、C

4、A

5、A

6、B 二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().

3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ]

[b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).

5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分）

解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221

136?]=[1768,391] = 17391

1768?=104?391=40664.

2、求解不定方程144219=+y x .（8分）

解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，

所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）

解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为 3. 又同余式等价于

)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+.

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的

100=x .

因此同余式的3个解为

)

45(mod 10≡x ,

)45(mod 25)45(mod 34510≡+

≡x ,)45(mod 40)45(mod 345

210≡?+≡x .

4、求??? ?

?563429,其中563是素数. （8分） 解 把

??? ??563429看成Jacobi 符号,我们有

?

??

??-=??

? ????? ??=??? ??=??? ??=??

?

??-=???

??---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298

1

4292

1

563.214292---------------（3

分）

??

?

??=??? ??--=??

?

??-=??

? ??-=??? ??--=??? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672

1

67.21272

1

429.2167----------------------（2分）

11311327)1(27132

1

13.2127=???

??=??? ??-=??

?

??=--,-----------------（2分）

即429是563的平方剩余. ---------------（1分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数n ,数

62332n n n ++是整数. (10分) 证明 因为62332n n n +

+=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）

并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从

)

2)(1(2++n n n 和

)

2)(1(3++n n n 有

)

2)(1(6++n n n ,-----（3分）

即

62332n n n ++是整数. -----（1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）

证明 因为

133)1(2

33++=-+n n n n , -------------（3分） 所以只需证明1332

++n n T )5(mod .

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

所以这只需将n=0,±1,±2代入1332

++n n 分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 1332

++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

所以1332

++n n T )5(mod ---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）

3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）

证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分）

如果

22y x n +=, ---------（1分）

则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余, 所以2

2

,y x 只能与0,1同余, 所以

)4(mod 2,1,022≡+y x , ---------（4分）

而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分） 一、单项选择题

1、

=),0(b （C ）.A b B b - D 0

2、如果a b ，b a ，则(D ).A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±=

3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）.A a B b C 1 D b a +

4、小于30的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 7

5、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个

6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定

7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 二、计算题

1、 求24871与3468的最大公因数?

解： 24871=3468?7+595 3468=595?5+493 595=493?1+102 493=102?4+85

102=85?1+17 85=17?5,所以,(24871,3468)=17. 2、 求[24871,3468]=?

解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]= 17

3468

24871?=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是

5073684。

3、求[136,221,391]=?

解： [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17

221

136?]=[1768,391] =

17

391

1768?=104?391=40664.

三、证明题

1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即

r q b a '+'=,b r '≤0.

所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '

-=-',r r q q b '

-=-'.又由于

b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立.

因此q q '=,r r '=.

其次证明存在性.我们考虑整数的有序列

……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……

则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使

()b q a qb 1+≤ .

我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.

2、证明对于任意整数n ,数6

233

2n n n ++是整数. 证明： 因为62332n n n ++=)32(6

2

n n n ++=)2)(1(61++n n n ,

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,

并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,

即6

233

2n n n ++是整数.

3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.

证明： 因为

=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +?++?+?--- , n n a a a a 121- =n n n n a a a a +?++?+?---10101012211 ,

所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =

).

101()10

1(10)110(10)110(1

13

2311------+-?++-?+-?n n n n n n a a a a

而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立.

4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.

一、单项选择题

1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),(

2、不定方程210231525=+y x （A ）.

A 有解

B 无解

C 有正数解

D 有负数解 二、求解不定方程 1、144219=+y x .

解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；

化简得4873=+y x ；

考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， 所以原方程的特解为48,96=-=y x ， 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

2、18176=-y x .

解：因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ; 所以18,54==y x 是特解, 即原方程的解是

t y t x 618,1754-=-=

3、2537107=+y x .

解：因为（107，37）=125，所以有解；

考虑137107=+y x ，

有26,9-==y x ，

所以，原方程特解为259?=x =225，2526?-=y =-650， 所以通解为t y t x 107650,37225--=+=

4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

25x+13y=t, t+7z=4.

利用求二元一次不定方程的方法,因为

25(-t)+13(2t)= t, 32+7?(-4)=4,

所以,上面两个方程的解分别为

?

?

?-=+-=11

25213k t y k t x , ???--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解

??

?

??--=+-=-+-=2212

1414256471332k

z k k y k k x , 这里21,k k 是任意整数.

5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

4x-9y=t, t+5z=8.

利用求二元一次不定方程的方法,因为

4(-2t)-9(-t)= t, 48+5?(-8)=8,

所以,上面两个方程的解分别为

??

?--=--=1

1

492k t y k t x , ???--=+=228548k z k t . 消去t 就得到所求的解

??

?

??--=---=---=2212

185********k

z k k y k k x , 这里21,k k 是任意整数.

一、选择题

1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9

3、模5的最小非负完全剩余系是( D ).

A -2,-1,0,1,2

B -5,-4,-3,-2,-1

C 1,2,3,4,5

D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）

A )(mod m bc ac ≡

B b a =

C ac T )(m od m bc

D b a ≠

二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x .

解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程)44(mod 715≡x .我们再解不定方程74415=-y x ,

得到一解(21,7).于是定理4.1中的210=x .因此同余式的3个解为

)132(mod 21≡x ,

)132(mod 65)132(mod 3

132

21≡+

≡x , )132(mod 109)132(mod 3

132

221≡?+≡x .

（2）)45(mod 01512≡+x

解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为

)45(mod 10≡x , )45(mod 25)45(mod 345

10≡+

≡x , )45(mod 40)45(mod 3

45

210≡?+≡x .

（3）)321

(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程)107(mod 2537≡x .

我们再解不定方程2510737=+y x ,得到一解(-8,3).

于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为)321

(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3321

8≡+

-≡x , )321(mod 206)321(mod 3

321

28≡?+-≡x .

（4）??

?

??≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .

解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式

)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,

得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为

).

494(mod 478)494(mod 510 )

494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x

（5）???????≡≡≡≡)

9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x .

(参考上题)

三、证明题

1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数. 证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:

a =1101010n n n n a a a --++

+,010i

a ≤.

因为10≡0(mod5), 所以我们得到

)5(mod 0a a ≡ 所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.

2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n . 证明 因为)3(mod 12-≡,所以

)3(mod 1)1(12+-≡+n n .

于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n . 从而有)3(mod 01)

1(121

2≡+-≡++k n ,

即)12(3+n

.

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、如果a b ，b a ，则( ).

A b a =

B b a -=

C b a ≤

D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .

A 整除

B 不整除

C 等于

D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个

B 有限多

C 无限多

D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则

A )(mod m bc ac ≡

B b a =

C ac T )(m od m bc

D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.

A c b a ),(

B ),(b a c

C c a

D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除.

A 3

B 3与9

C 9

D 3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.

2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).

3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).

4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).

5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程144219=+y x .

3、解同余式)45(mod 01512≡+x .

4、求??? ?

?563429,其中563是素数. （8分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数n ,数

62332n n n ++是整数.

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、D.

2、A

3、C

4、A

5、A

6、B 二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().

3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ]

[b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).

5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).

6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 2、 求[136,221,391]=?（8分）

解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136?]=[1768,391] = 17391

1768?

=104?391=40664.

2、求解不定方程144219=+y x .（8分）

解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，

所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 3、解同余式)45(mod 01512≡+x .

解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为 3. 又同余式等价于

)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是

(10,3)即定理4.1中的

100=x . 因此同余式的3个解为

)45(mod 10≡x ,

)45(mod 25)45(mod 345

10≡+

≡x ,

)45(mod 40)45(mod 345

210≡?

+≡x .

4、求??? ?

?563429,其中563是素数. （8分）

解 把?

?? ??563429看成Jacobi 符号,我们有

???

??-=??

? ????? ??=??? ??=??? ??=??

?

??-=??

? ??---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298

14292

1

563.214292---------------（3

分）

??

?

??=??? ??--=??

?

??-=??

?

??-=??? ??--=??? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672

1

67.21272

1

429.2167----------------------（2分）

11311327)1(27132

1

13.2127=???

??=??? ??-=??

?

??=--,-----------------（2分）

即429是563的平方剩余. ---------------（1分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

1、证明对于任意整数n ,数

62332n n n ++是整数. (10分) 证明 因为62332n n n +

+=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）

并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从

)

2)(1(2++n n n 和

)

2)(1(3++n n n 有

)

2)(1(6++n n n ,-----（3分）

即623

32n n n ++是整数. -----（1分）

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）

证明 因为

133)1(2

33++=-+n n n n , -------------（3分） 所以只需证明1332

++n n T )5(mod .

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

所以这只需将n=0,±1,±2代入1332

++n n 分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 1332

++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

所以1332

++n n T )5(mod ---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）

3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）

证明 设n 是正数,并且)4(m o d 1-≡n , 如果2

2y x n +=,则因为对于模

4,y x ,只与0,1,2,-1等同余,所以22,y x 只能与0,1同余,所以

)4(mod 2,1,02

2≡+y x , 而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, 即定理的结论成立.

初等数论考试试卷二

一、单项选择题

1、=),0(b （ ）.A b B b - C b D 0

2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）.A a B b C 1 D b a +

3、小于30的素数的个数（ ）.A 10 B 9 C 8 D 7

4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠

5、不定方程210231525=+y x （ ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解

6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

7、如果a b ，b a ，则( ).A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±=

8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个

10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6

11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7

C 7不整除（12，15）

D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题

1、有理数

b

a

，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).

3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).

4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数.

5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab .

6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除.

7、+=][x x （ ）.

8、同余式)321

(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.

10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）

3、求??

?

??563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321

(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?

6、求解不定方程18116=-y x .

7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）

2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）

4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.

初等数论练习题及答案

初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。

初等数论试卷

初等数论试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( D ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;

4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题

1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。

2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]= 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共 32分) 1、证明对于任意整数n ,数6233 2n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.

初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;

初等数论试题

2 010年7月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.-30被-9除的余数是() A.-3 C.3 2.下列给出的数中是合数的是() A.1063 C.1093 1000 3.400 xx5的幂指数是() B.-6 D.6 B.1073 D.1103

A.1 C.3B.2 D.4 4.不能表示为5x+7y（x,y是非负整数）的最大整数是() A.23 C.25B.24 D.26 5.下列给出的素数模数中，3是平方非剩余的是() A.37 C.53 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.60480的标准分解式为___. 2.μ (50400)=___. 3.π( 55.5)＝___. 4.对任意的正整数n，最大公因数(12n+1,30n+3)=___. 5.若(n)=4，则n=___. 6.同余方程6x≡7(mod 23)的解是___. 7.不定方程6x+9y=30的通解是___.

8.写出模10的一个最小的非负简化剩余系，并要求每项都是7的倍数，则此简化剩余系为 B.47 D.59 ___. 9.326 被50除的余数是___. 10.xxM 23是___（填素数或合数）. 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1.已知两正整数中，每一个除以它们的最大公约数所得的商之和等于18，它们的最小公倍数等于975，求这两个数。 2.有一队士兵，若三人一组，则余1人；若五人一组，则缺2人；若十一人一组，则余3人。 已知这队士兵不超过170人，问这队士兵有几人？ 3.求正整数x，使x2-1216是完全平方数。 4.已知563是素数，判断不定方程x2+563y=429是否有整数解。 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1.证明当n为整数时，504|n9-n3。 2.设(a,m)=1，若x通过模m的完全剩余系，则ax+b也通过模m的完全剩余系.

最新初等数论试卷,最全面的答案,包括截图

初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗？】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2,;b a x x t y y t t d d =-= -=±± 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ 6．模10的一个简化剩余系是( D )

初等数论试卷

一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。

(完整word版)初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.

初等数论试卷

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? ? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?? ???≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a

初等数论作业(3)答案

第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,

)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)

初等数论第2版习题答案

第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间

初等数论试卷和答案

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).

试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?

自考初等数论试题及答案

初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

自考初等数论试题及答案

初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab

02013初等数论两套试卷及答案

初等数论考试试卷（一） 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡，c 是任意整数，则 A ) (mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( )，则不定方程c by ax =+有解. B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136，221，391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429，其中563是素数. （8分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1、证明对于任意整数n ，数62 332n n n + +是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 初等数论考试试卷（一）答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ] [b a ). 4、如果p 是素数，a 是任意一个整数，则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数，则存在( 唯一 )整数r q ,，使r bq a +=，b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136，221，391]=?（8分） 解 [136，221，391] =[[136，221]，391] =[391,17221 136?] =[1768，391] ------------(4分) = 173911768? =104?391 =40664. ------------（4分） 2、求解不定方程144219=+y x .（8分）

初等数论试卷

2010年4月高等教育自学考试 一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足?(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.??? ??17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ?????≡≡≡9).5(mod x 20), 7(mod x 15), 2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2+y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a

02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)

02013自学考试初等数论模拟试题（含答案） 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.

初等数论1习题参考答案

附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2

不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。