初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一
一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,,
,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数
Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数
３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解
()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )
Ａ．00,,0,1,2,;a
b
x x t y y t t d d =-
=+
=±± Ｂ．00,,0,1,2,
;a
b
x x t y y t t d d =+=
-=±± Ｃ．00,,0,1,2,
;b
a
x x t y y t t d d =+=
-=±± Ｄ．00,,0,1,2,
;b
a
x x t y y t t d
d =-=
-=±±
４．下列各组数中不构成勾股数的是( )
Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( )
Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112
2
11mod mod .a b m a b m ≡?≡
６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,
,9; Ｂ．1,2,3,,10;
Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +
８．设()4
3
289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( )
Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，
则:( )
A ．()()
mod ()0mod ,1p f x p χχ?
≡≡?>一定为的一个解 B ．()()
0mod ,1,()0mod p f x p χχ??
≡?>≡一定为的一个解
C ．()()
()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p αα
α≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()
()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p αα
α≡≡≡若为的一个解则有
10．()10(),,0mod ,,n
n i n f x a x a x a a a p n p =+
++≡>/设其中为奇数则同余式
()()0mod f x p ≡的解数：
（ ） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过p
C ．等于p
D ．等于n
11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )
A ．3
B ．11
C ．13
D ．23 12．若雅可比符号1a m ??
=
???
，则 ( ) A ．()2
mod ,x a m ≡同余式一定有解
B ．()()2
,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;
C ．()2
(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;
D ．()2
(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．
13．()
()2mod 2,3,2,1,x a a α
α≡≥=若同余式有解则解数等于( )
A ． 4
B ． 3
C ． 2
D ． 1 14． 模12的所有可能的指数为;( )
A ．1，2，4
B ．1，2，4，6，12
C ．1，2，3，4，6，12
D ．无法确定 15． 若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )
A ．322ind =
B ． 323ind =
C ． 350ind =
D ． 3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ． 欧拉函数()a φ；
C ．不超过x 的质数的个数()x π；
D ．除数函数()a τ；
18． 若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α
对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．
()
()
f a
g a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立
A ．()11μ=
B ．()11μ-=
C ．()21μ=-
D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）
21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22． 多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N ++
+=，
其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；
23．有理数
a
b
，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________； 24． 设()0
mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解
为_________________________；
25． 威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26． 勒让德符号5031013??
???
=________________________________________； 27． 若)(
,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28． 在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29． 设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．
()48?=_________________________________。
三．简答题：（5分／题×4题＝20分）
31．命题“任意奇数的平方减1是8的倍数”对吗？说明理由。
32．“若)(
,1a m =，x 通过模m 的简化剩余系，则ax 也通过模m 的简化剩余系”这命题是否正确？正确请证明，不正确请举反例。
33．求模17的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余。
34．设12
12
k
k
a p p p ααα=为a 的标准分解式，记()S a 为a 的正因数的和，()a τ为a 的正因数的个数，则()S a ＝？ ()a τ＝？ 为什么？ 四．计算题。（7分／题×4题＝28分）
35． 求不定方程6x+93y=75的一切整数解。
36． 解同余方程组()()()1mod 53mod 62mod 7x y z ≡??
≡??≡?
37．解同余式2
x ≡11(mod125) 38．求模13的所有原根。 五、证明题：（7分/题×2题=14分）
39、试证： 2
2
2
2x y z +=，（x ，y ）=1 y 是偶数的整数解可写成：
22(2)x a b =±- 2y ab = 222z a b =+
这里0a b >>，(),1a b =，并且一为奇数，一为偶数。
40、设a 为正整数，试证：
||()()d a
d a
a d a d
φφ==∑∑
其中
|d a
∑
表示展布在a 的一切正因数上的和式。
六、应用题：（8分）
41、求30！中末尾0的个数。
参考答案：一．单项选择：ABCDD ；DACCB ；DCAAD ；BCBAB 。 二．填空题：21．21；22．()12,,
,|n a a a N ；23．(),101b =；24．()
0,0,1,2,,m
x t
t a m +=±±；
25．()1p -！+1()0mod ,p p ≡为素数；26．1； 27．()1
2
1mod p a
p -≡；28．()()m φφ；29．g 与g p α+中的单数；30．16
三．简答题：31．答：命题正确。
()()2
211211m m +-=++????()211m +-????
()()22241m m m m =?+=+ 而()1m m +必为2的倍数。
86页
32．正确．证明见教材47P 。
33．在摸p 的简化剩余系中与2
2211,2,
,2p -??
???
同余的数是数p 的平方剩余，()1
17,
182
p p =-=，222211,24,39,416≡≡≡≡，222258,62,715,813≡≡≡≡ 故1，2，4，8，9，13，15，16为摸17的平方剩余，而3，5，6，7，10，11，12，14为摸17的平方非剩余。 34．()()
121
1
1
11i i
k
k
i
i
i
i i i p s a p p
p p αα+==-=+++
+=-∏∏
()()()()12111k a τααα=+++
证明：若()f a 为可乘函数，则
()()()()|11i
k
i
i a
i f f p f p αα
α==++∑∏．
分别令()().1f a a f a ==，它们为可乘函数，即得出。
四．计算题
35．解：因为()6,933|75=，故原不定方程有解。
又原方程即 23125x y +=，而易见方程2311x y +=有解
''
0016,1x y ==-。所以原方程的一个解是00400,25x y ==-
所以，原方程的一切整数解是：（ ）
40031252x t
r t
=+=-- t 是整数
36．解：因为模5，6，7两两互质，由孙子定理得所给同余方程组关于模
5×6×7＝210有唯一解，分别解同余方程：
()421mod5x ≡，()351mod6x ≡，()301mod7x ≡，得
()3mod5x ≡， ()1m o d 6x ≡-，()4mod7x ≡ 因此所给同余方程组的解是：
()()423135133042mod210x ≡??+?-?+??
即：()26151mod210x ≡≡
37．解：从同余方程()()2
11mod51mod5x x ≡≡得，
()()(
)2
2
2
111511mod5,1010mod5
t t +≡≡再从得，
()()
2
111mod 5,16mod 5t t ≡+≡因此于是，
是(
)(
)
()2
2
2
2
32
11mod5,6511mod5t χ≡+≡的解又从
得()
()3
2230025mod 5,121mod 5t t ≡-≡-因此
即()2
22mod5,65256t x ≡=+?=所以 是所给方程的一个解，于是所解为：
()56m o d 125x ≡± 解毕。
38．解：()2
131223,φ==? 122,3g g == 为其质因数
()
()
13136,
42
3
φφ==，故g 为模13的原根的主要条件是：
()6
1mod13g ≡/，()4
1mod13g ≡/
用 g=1，2，……12逐一验证，得：2，6，7，11为模13的原根， 因为()124φ=，故模13原根只有4个，即为所求。
五、证明题：
39．证明：易验证所给的解为原方程的解，因y 为偶数，原方程可化为：
2
222z x z x r +-??
?= ???
但 ,|,2
222z x z x z
x z x z +-+-????=
? ?????
,|,2
222z x z x z x z x x +-+-????=
? ????? 而
，所以（
2z x +，2
z x
-）=1 由书中引理，我们可假设
2z x +=2
a ， 2
z x -=b 2 显然a >b ， (a ，b)=1， 于是
X=2a －b 2
， z=2a +2b ，y=2ab
因子为奇数，所以a ，b 一定是一为奇，一为偶，证毕 40．证明：假定1d ，---， k d 为a 的所有正约数，那末
1a d ，---，k
a d 也是a 的所有正约数，于是
()d a
d φ∑=()d a
a
d
φ∑
再因为在a 的完全剩余系中任一数a 的最大公约数
必定是1d ，---， k d 中某一个数，而完全剩余系中与a 的最 大公约数为i d 的数有(
)i
m
d φ ，所以：
()d a
m d
φ∑= m 证毕
六．应用题：
41．解：5在30！中的最高次幂=305???
???+2305??????+3305??
????
=6+1+0=7 2在30！的最高次幂=302???
???+2302??????+3302??????+4302??????+5302??
????
=15+7+3+1+0=26
10=2×5，故 30！的末尾有7个零。
初等数论模拟试题二
一、单项选择题 1、=),0(b （C ）.
A b
B b -
C
D 0 2、如果a b ，b a ，则(D ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±= 3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（C ）. A a B b C 1 D b a + 4、小于30的素数的个数（A ）. A 10 B 9 C 8 D 7
5、大于10且小于30的素数有（ C ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个
6、如果n 3，n 5，则15（A ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定 7、在整数中正素数的个数（C ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定 二、计算题
1、 求24871与3468的最大公因数? 解： 24871=3468?7+595
3468=595?5+493 595=493?1+102 493=102?4+85 102=85?1+17 85=17?5,
所以,(24871,3468)=17. 2、 求[24871,3468]=? 解：因为
（24871,3468）=17 所以
[24871,3468]=
17
3468
24871?
=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。 3、求[136,221,391]=?
解： [136,221,391]=[[136,221],391]
=[
391,17
221
136?]=[1768,391] = 17
391
1768?=104?391=40664.
三、证明题
1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 证明 ：首先证明唯一性.设q ',r '是满足条件的另外整数对,即
r q b a '+'=,b r '≤0.
所以r bq r q b +='+',即()r r q q b '-=-',r r q q b '-=-'.又由于b r ≤0,b r '≤0,所以b r r '-.如果q q '≠,则等式r r q q b '-=-'不可能成立. 因此q q '=,r r '=.
其次证明存在性.我们考虑整数的有序列
……,,3,2,,0,,2,3b b b b b b ---……
则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使
()b q a qb 1+≤ .
我们设qb a r -=,则有r bq a +=,b r ≤0.
2、证明对于任意整数n ,数6
233
2n n n ++是整数. 证明： 因为62332n n n ++=)32(6
2
n n n ++=)2)(1(61++n n n ,
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,
并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2++n n n 和)2)(1(3++n n n 有)2)(1(6++n n n ,
即6
233
2n n n ++是整数.
3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数 证明： 因为
=-121a a a a n n 12211101010a a a a n n n n +?++?+?--- , n n a a a a 121- =n n n n a a a a +?++?+?---10101012211 ,
所以,121a a a a n n --n n a a a a 121- =
).
101()10
1(10)110(10)110(1
13
2311------+-?++-?+-?n n n n n n a a a a
而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.
证明: 设相邻两个偶数分别为)22(,2+n n 所以)22(2+n n =)1(4+n n 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即)1(4+n n 是8的倍数.
初等数论模拟试题三
一、单项选择题
1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),( 2、不定方程210231525=+y x （A ）.
A 有解
B 无解
C 有正数解
D 有负数解 二、求解不定方程 1、144219=+y x .
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；
化简得4873=+y x ；
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， 所以原方程的特解为48,96=-=y x ， 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 2、18176=-y x .
解：因为 18)17,6(,所以有解; 考虑1176=-y x ,1,3==y x ; 所以18,54==y x 是特解,
即原方程的解是
t y t x 618,1754-=-= 3、2537107=+y x .
解：因为（107，37）=125，所以有解；
考虑137107=+y x ，
有26,9-==y x ，
所以，原方程特解为259?=x =225，2526?-=y =-650， 所以通解为t y t x 107650,37225--=+= 4.求不定方程471325=++z y x 的整数解.
解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
25x+13y=t, t+7z=4.
利用求二元一次不定方程的方法,因为
25(-t)+13(2t)= t, 32+7?(-4)=4,
所以,上面两个方程的解分别为
?
?
?-=+-=11
25213k t y k t x , ???--=+=224732k z k t . 消去t 就得到所求的解
??
?
??--=+-=-+-=2212
1414256471332k
z k k y k k x , 这里21,k k 是任意整数.
5.求不定方程8594=+-z y x 的整数解.
解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解
4x-9y=t, t+5z=8.
利用求二元一次不定方程的方法,因为
4(-2t)-9(-t)= t, 48+5?(-8)=8,
所以,上面两个方程的解分别为
??
?--=--=1
1
492k t y k t x , ???--=+=228548k z k t . 消去t 就得到所求的解
??
?
??--=---=---=2212
185********k
z k k y k k x ,
这里21,k k 是任意整数.
初等数论模拟试题四
一、选择题
1、整数5874192能被( B )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9
3、模5的最小非负完全剩余系是( D ).
A -2,-1,0,1,2
B -5,-4,-3,-2,-1
C 1,2,3,4,5
D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ）
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x .
解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程
74415=-y x ,
得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为
)132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3132
21≡+
≡x , )132(mod 109)132(mod 3132
221≡?+≡x .
（2）)45(mod 01512≡+x
解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x , )45(mod 25)45(mod 345
10≡+
≡x , )45(mod 40)45(mod 3
45
210≡?+≡x .
（3）)321
(m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.
将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程
2510737=+y x ,
得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为
)321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3321
8≡+
-≡x , )321(mod 206)321(mod 3
321
28≡?+-≡x .
（4）??
?
??≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x .
解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式
)7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x ,
得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为
).
494(mod 478)494(mod 510 )
494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x
（5）???????≡≡≡≡)
9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x .
(参考上题)
三、证明题
1、 如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.
证明 设a 是一正整数,并将a 写成10进位数的形式:
a =1101010n n n n a a a --+++,010i
a ≤.
因为10≡0(mod5), 所以我们得到
)5(mod 0a a ≡ 所以整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数. 2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n . 证明 因为)3(mod 12-≡,所以
)3(mod 1)1(12+-≡+n n .
于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n .
从而有)3(mod 01)1(1212≡+-≡++k n , 即)12(3+n
. 初等数论模拟试题四 一、计算：
1、 判断同余式)593(m od 4382≡x 是否有解？
(答：无解。方法参照题2)
2、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？
解 我们容易知道1847是素数,所以只需求??
?
??1847365的值. 如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解. 因为735365?=,所以 ??
?
????? ??=???
??184773184751847365.
再
)
4(mod 173),4(mod 15≡≡,
所
以
1525184718475-=??
? ??=??? ??=??? ??,
.
17471111711731 73117327322731847184773-=??
?
??-=??? ??-=??? ??=??? ???=??
?
????? ??=??? ??=??? ??=??? ??
所以, ??
?
??1847365=1. 于是所给的同余式有解. 3、 11的平方剩余与平方非剩余. 解 因为
52
1
11=-,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 又因为 112
≡,422
≡,932≡,542
≡,
3
52≡,
所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余. 4、 计算??
?
??563429,其中563是素数. ??
?
??-=??
? ????? ??=??? ??=??? ??=??
?
??-=???
??---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298
1
4292
1
563.214292??
?
??=??? ??--=??
?
??-=??
? ??-=??? ??--=??? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672
1
67.21272
1
429.2167
11311327)1(27132
1
13.2127=??
?
??=??? ??-=??
?
??=--, 即429是563的平方剩余. 5、计算??
?
??443383（计算方法参照题4） 二、证明题：
1、 证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
证明 因为133)1(2
33++=-+n n n n , 所以只需证明1332
++n n T )5(mod .
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入1332
++n n 分别得值1，7，1，19，7. 对于模5, 1332
++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以1332
++n n T )5(mod
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 2、 证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.
证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , 如果22y x n +=,
则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余, 所以22,y x 只能与0,1同余, 所以)4(mod 2,1,022≡+y x , 而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, 即定理的结论成立.
3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）
证明 （1）设2
2
b a m +=,则显然222)()(rb ra m r +=. （2）如果22
d c n +=,那么
2
22222222222))((d b c b d a c a d c b a mn +++=++=
=)2()2(2
22
2
2
2
2
2abcd c b d a abcd d b c a -++++ =2
2
)()(bc ad bd ac -++. 3、 素数写成两个平方数和的方法是唯一的.
证明 设2
2
2
2
d c b a p +=+=,则 ))((2
2
2
2
2
d c b a p ++= =2
2
)()(bc ad bd ac -++
=2
2
)()(bc ad bd ac ++-.
),
()()( )
)(( 2
2
2
2
cd ab p ab d c cd b a bc ad bd ac +=+++=++又
所以 bc)d (p )(++a bd ac p 或. 如果)(bd ac p +,那么kp bd ac =+,将其代入前面2
p 的表达
式,则有 2
222)(bc ad p k p -+=.
所以0)(=-bc ad ,即rd b rc a ==,.于是)(2
2
2
2
2
d c r b a p +=+=,即必有c a =,d b =. 如果)(bc ad p +,那么kp bc ad =+,我们将其代入前面2
p 的表达式后与上面的方法一致,可以得
到rc d rb a ==,.于是2
222)1()1(c r b r +=+,即必有c b =,所以d a =
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ).
A b a =
B b a -=
C b a ≤
D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n .
A 整除
B 不整除
C 等于
D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个
B 有限多
C 无限多
D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则
A )(mod m bc ac ≡
B b a =
C ac T )(m od m bc
D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.
A c b a ),(
B ),(b a c
C c a
D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除.
A 3
B 3与9
C 9
D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.
2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ).
4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?
2、求解不定方程144219=+y x .
3、解同余式)45(mod 01512≡+x .
4、求??? ?
?563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数
62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.
3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分)
1、D.
2、A
3、C
4、A
5、A
6、B 二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.
2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().
3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ]
[b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).
5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
=[391,17221
136?]
=[1768,391] ------------(4分)
= 173911768?
=104?391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程144219=+y x .（8分）
解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； ----------------------------（2分） 化简得4873=+y x ； -------------------（1分）
考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ， -------------------（2分）
所以原方程的特解为48,96=-=y x ， -------------------（1分） 因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。 -------------------（2分） 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . （8分）
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分） 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. ------------（1分） 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分） 即定理4.1中的
100=x . ------（1分）
因此同余式的3个解为
)45(mod 10≡x , ---------（1分）
)45(mod 25)45(mod 345
10≡+
≡x , -----------------（1分）
)45(mod 40)45(mod 345
210≡?
+≡x .---------（1分）
4、求??? ?
?563429,其中563是素数. （8分） 解 把?
?? ??563429看成Jacobi 符号,我们有
??
?
??-=??
? ????? ??=??? ??=??? ??=??
?
??-=??
? ??---42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298
1
4292
1
563.214292---------------（3分）
??
?
??=??? ??--=??
?
??-=??
? ??-=??? ??--=??? ??-=----27672767)1(67276742967429)1(429672
1
67.21272
1
429.2167----------------------（2分）
11311327)1(27132
1
13.2127=???
??=??? ??-=??
?
??=--,-----------------（2分）
即429是563的平方剩余. ---------------（1分）
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
1、证明对于任意整数n ,数
62332n n n ++是整数. (10分) 证明 因为62332n n n +
+=)32(62n n n ++=)2)(1(61++n n n , ------（3分）
而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）
并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从
)
2)(1(2++n n n 和
)
2)(1(3++n n n 有
)
2)(1(6++n n n ,-----（3分）
即
62332n n n ++是整数. -----（1分） 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）
证明 因为
133)1(2
33++=-+n n n n , -------------（3分） 所以只需证明1332
++n n T )5(mod .
而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,
所以这只需将n=0,±1,±2代入1332
++n n 分别得值1，7，1，19，7.
对于模5, 1332
++n n 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,
所以1332
++n n T )5(mod ---------（7分）
所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分） 3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和. （11分）
证明 设n 是正数,并且)4(mod 1-≡n , ----------（3分） 如果
22y x n +=, ---------（1分）
则因为对于模4,y x ,只与0,1,2,-1等同余, 所以2
2
,y x 只能与0,1同余, 所以
)4(mod 2,1,022≡+y x , ---------（4分）
而这与)4(mod 1-≡n 的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分）
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
4月浙江自考初等数论试题及答案解析试卷及答案解析真题
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
初等数论试卷模拟试题和答案
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
2013年春_西南大学《初等数论》作业及答案(共4次_已整理)
2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a
正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2
初等数论 1 习题参考答案
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
(完整word版)初等数论练习题一(含答案)
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
0初等数论试卷及答案
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
初等数论习题集
《初等数论》习题集 第1章 第 1 节 1. 证明定理1。 2. 证明：若m - p ∣mn + pq ，则m - p ∣mq + np 。 3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 4. 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 5. 证明：存在无穷多个自然数n ，使得n 不能表示为 a 2 + p （a > 0是整数，p 为素数） 的形式。 第 2 节 1. 证明：12∣n 4 + 2n 3 + 11n 2 + 10n ，n ∈Z 。 2. 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 3. 设n ，k 是正整数，证明：n k 与n k + 4的个位数字相同。 4. 证明：对于任何整数n ，m ，等式n 2 + (n + 1)2 = m 2 + 2不可能成立。 5. 设a 是自然数，问a 4 - 3a 2 + 9是素数还是合数？ 6. 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 第 3 节 1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。 4. 设x ，y ∈Z ，17∣2x + 3y ，证明：17∣9x + 5y 。 5. 设a ，b ，c ∈N ，c 无平方因子，a 2∣b 2c ，证明：a ∣b 。 6. 设n 是正整数，求1223212C ,,C ,C -n n n n 的最大公约数。 第 4 节 1. 证明定理1。 2. 证明定理3的推论。 3. 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 4. 求正整数a ，b ，使得a + b = 120，(a , b ) = 24，[a , b ] = 144。 5. 设a ，b ，c 是正整数，证明： ) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a =。 6. 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + + 9∣1k + 2k + + 9k 。 第 5 节 1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。 2. 用辗转相除法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。
初等数论作业(3)答案
第三次作业答案： 一、选择题 1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9 3、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则（A ） A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 二、解同余式（组） （1）)132(mod 2145≡x . 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的210=x . 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3 13221≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3132221≡?+≡x . （2）)45(mod 01512≡+x 解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于)15(mod 054≡+x ,即y x 1554=+. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的100=x . 因此同余式的3个解为 )45(mod 10≡x ,
)45(mod 25)45(mod 3 4510≡+≡x , )45(mod 40)45(mod 3 45210≡?+≡x . （3）)321 (m od 75111≡x . 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )107(mod 2537≡x . 我们再解不定方程 2510737=+y x , 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的80-=x . 因此同余式的3个解为 )321(mod 8-≡x , )321(mod 99)321(mod 3 3218≡+-≡x , )321(mod 206)321(mod 3 32128≡?+-≡x . （4）?? ???≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x . 解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式 )7(mod 172≡x ,)8(mod 163≡x ,)9(mod 156≡x , 得到)9(mod 4),8(mod 1),7(mod 4321-=-==x x x .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 )494(mod 3)4(562)1(631472=-=?-?+?-?+??≡x （5）???????≡≡≡≡) 9(mod 5)7(mod 3)5(mod 2)2(mod 1x x x x . (参考上题)
初等数论第2版习题答案
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
初等数论试卷和答案
初等数论试卷和答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).
试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
(全新整理)4月浙江自考初等数论试题及答案解析
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 内。错选、多选或未选均无分。 1. 30被-7除的带余除法表达式是( ) A.30=（－7）×（－5）－5 B.30=（－7）×（－4）+2 C.30=（－7）×（－3）+9 D.30=（－7）×（－6）－12 2．100至500的正整数中，能被17整除的个数是( ) A. 23 B. 24 C. 25 D. 26 3．设 α3|500!，但13+α 500！，则α=( ) A. 245 B.246 C.247 D. 248 4．以下数组中，成为模7的完全剩余系的是( ) A. －14，－4，0，5，15，18，19 B. 7，10，14，19，25，32，40 C. －4，－2，8，13，32，35，135 D. －3，3，－4，4，－5，5，0 5.设n 是正整数，则以下各式中一定成立的是( ) A.(n +1，3n ＋1)=1 B.（2n －1，2n ＋1）=1 C.（2n ，n ＋1）=1 D.（2n ＋1，n －1）=1 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.?(120)=________________。 2.25736被50除的余数是________________。 3. 反转定律是________________。 4. 同余方程3x ≡5(mod16) 的解是________________。 5. 不定方程9x －12y =15的通解是________________。 6.?? ? ??41323 =________________。 7. 实数的小数部分记为{x } ，则 {－4 5}＝________________。
自考初等数论试题及答案
初等数论考试试卷 1 一、单项选择题（每题3分，共18分） 1、 如果 ba , ab ，则（）. A a b Bab C a b Dab 2、 如果 3n , 5n ，则 15 （ ） n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、 在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、 如果 a b （modm ） , c 是任意整数贝V 5、 如果(),则不定方程ax by c 有解. A (a, b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、 整数5874192能被()整除. A 3 B 3 与 9 C 9 D 3 或 9 二、填空题（每题3分，共18分） 1、 素数写成两个平方数和的方法是（ ）? 2、 同余式ax b 0（modm ） 有解的充分必要条件是（）. 3、 如果 a,b 是两个正整数，则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为（）. 4、 如果p 是素数,a 是任意一个整数，则a 被P 整除或者（）. 5、 a,b 的公倍数是它们最小公倍数的 （）. 6、如果a ,b 是两个正整数，则存在（）整数q ,r ,使a bq r ,0 r b . 三、计算题（每题8分，共32分） 1、 求[136,221,391]=? 2、 求解不定方程9x 21y 144 . 3、 解同余式 12x 15 0（mod45） . 429 4、 求563 ,其中563是素数.（8 分） 四、证明题（第 1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分） 2 3 n n n 1证明对于任意整数n ,数3 2 6是整数. 2、 证明相邻两个整数的立方之差不能被 5整除. A ac bc(modm) B a b C ac bc(mod m) D ab
初等数论习题与答案、及测试卷
1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n 1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r ax by ax + +∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 0/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
02013自学考试初等数论模拟试题(含答案)
02013自学考试初等数论模拟试题（含答案） 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9.
(0346)《初等数论》网上作业题及答案
（0346）《初等数论》网上作业题及答案1：第一次作业 2：第二次作业 3：第三次作业 4：第四次作业 5：第五次作业 1：[论述题]数论第一次作业 参考答案：数论第一次作业答案 2：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a 参考答案：C 马克思主义哲学是我们时代的思想智慧。作为时代的思想智慧，马克思主义哲学主要具有反思功能、概括功能、批判功能和预测功能。 （1）“反思”是哲学思维的基本特征，是以思想的本身为内容，力求思想自觉其为思想。通过不断的反思，揭示自己时代的本质和规律，达到对事物本质和规律性的认识。 （2）概括是马克思主义哲学的重要功能，是马克思主义哲学把握人与世界总体性关系的基本思维方式。 （3）马克思主义哲学的批判功能主要是指对现存世界的积极否定。 （4）马克思主义哲学的预测功能在于预见现存世界的发展趋势。 3：[单选题]360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 参考答案：D数论第一次作业答案 4：[单选题]如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b
C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 参考答案：C数论第一次作业答案 5：[单选题]-4除-39的余数是（）。 A：3 B：2 C：1 D：0 参考答案：C数论第一次作业答案 6：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 参考答案：A数论第一次作业答案 7：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 参考答案：D数论第一次作业答案 8：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除
初等数论练习题及答案
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_(m )_。 7、18100被172除的余数是_256。 8、?? ? ??10365 =-1。 · 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为p-1。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 200 (mod 105)。 解：因105 = 357， 同余方程3x 211x 200 (mod 3)的解为x 1 (mod 3)， 同余方程3x 211x 38 0 (mod 5)的解为x 0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2 11x 200 (mod 7)的解为x 2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x b 1 (mod 3)，x b 2 (mod 5)，x b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， ( 由孙子定理得原同余方程的解为x 13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 1 107421 7271071107713231071107311072107 7107310721077 32107422 1 10721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（） ）（）（（ ）（解：
初等数论复习题题库及答案
《初等数论》本科 一 填空题（每空2分） 1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 . 2.,( ,)(,)(,) a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by += 4.写出180的标准分解式是 22235?? ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个. 5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a b 个. 6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c 7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数. 8.?(3)= 2 ;?(4)= 2 . 9.当p 素数时,(1)()p ?= 1p - ;(2)()k p ?= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ?=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12 1(mod ).p n p ≡- . 17.3()=5 -1 ; 4 ()=5 1 . 18.,p 设是奇素数则2 ()p = 218(1).p -- . 19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1 ()p = -1 2(-1).p . 20. 5()=9 1 ; 2 ()=45 -1 . 二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ?∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立
大庆师范学院数学与应用数学初等数论试题1答案
大庆师范学院2010级数学与应用数学专业 《初等数论》期末试卷参考答案及评分细则 ----------------------------------------- 一、填空题（每小题2分，共20分） 1． 已知正整数a 和b ，满足40=ab ，且[]20,=b a ，则()b a ,＝__2_____． 2．同余式()5m od 12≡x 的解是__ ()5m od 3≡x ___________． 3．使270×m 为立方数的最小的正整数m 的值是__100_____． 4．360的正约数有_24___个． 5．设()1,,0=<a ）的约数个数为∏=+k i i 1 )1(α． 10．如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者与p 互质． 二、判断题（每小题2分，共10分） 1． 当34+=m p 时， ??? ? ??-p 1=-1 ． （ √ ） 2． 集合{}32,27,22,17,12,7是模6的一个完全剩余系． （ √ ） 3．???872735975( )，要使这个乘积的最后四个数都是零，括号内最小应填 自然数10． （ √ ） 4．()3m od 01263152 3 4 5 ≡-+-++x x x x x 成立． （ × ） 5．分数 20 1 可以化成混循环小数． （ × ） 三、单项选择题: （每小题2分，共14分） 1．n m ,为整数，下列式子中一定不成立的是（ D ）． A ．2313+=-n m ； B ．1501=+n m ； C ．052=+n m ； D ．2717-=+n m ． 2． 下列命题不一定成立的是（ C ）． A ．若()()m d c m b a m od ,m od ≡≡， 则)(mod m d b c a -≡-； B ．若()2,m od ≥≡n m b a , 则()m b a n n m od ≡； C ．若()m bd ac m od ≡, 则有()m b a m od ≡； D ．若()mk bk ak m od ≡，则()m b a m od ≡． 3． 对于[]x 与{}x 的性质，以下正确的表述有（ C ）个． （1）[]x ≤x <[]x ＋1； （2）x －1<[]x ≤x ； 题号 一 二 三 四 五 总分 核分人 得分 得分 阅卷人 得分 阅卷人 得分 阅卷人