概率统计习题与答案 (1)
习题一
1.1 写出下列随机试验的样本空间，并把指定的事件表示为样本点的集合：
（1）随机试验：考察某个班级的某次数学考试的平均成绩（以百分制记分，只取整数）；
设事件A 表示：平均得分在80分以上。
（2）随机试验：同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；
设事件A 表示：第一颗掷得5点；
设事件B 表示：三颗骰子点数之和不超过8点。
（3）随机试验：一个口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中取三个球； 设事件A 表示：取出的三个球中最小的号码为1。
（4）随机试验：某篮球运动员投篮练习，直至投中十次，考虑累计投篮的次数；
设事件A 表示：至多只要投50次。
（5）随机试验：将长度为1的线段任意分为三段，依次观察各段的长度。
1.2 在分别标有号码1~8的八张卡片中任抽一张。
（1）写出该随机试验的样本点和样本空间；
（2）设事件A 为“抽得一张标号不大于4的卡片”，事件B 为“抽得一张标号为偶数的 卡片”，事件C 为“抽得一张标号能被3整除的卡片”。
试将下列事件表示为样本点的集合，并说明分别表示什么事件？
（a ）AB ； (b) B A +； (c) B ； (d) B A -； (e) BC ； (f) C B + 。
1.3 设A 、B 、C 是样本空间的事件，把下列事件用A 、B 、C 表示出来：
（1）A 发生； （2）A 不发生，但B 、C 至少有一个发生；
（3）三个事件恰有一个发生； （4）三个事件中至少有两个发生；
（5）三个事件都不发生； （6）三个事件最多有一个发生；
（7）三个事件不都发生。
1.4 设}10,,3,2,1{ =Ω，}5,3,2{=A ，}7,5,3{=B ，}7,4,3,1{=C ，求下列事件：
（1）B A ； （2）)(BC A 。
1.5 设A 、B 是随机事件，试证：B A AB A B B A +=-+-)()(。
1.6 在11张卡片上分别写上Probability 这11个字母，从中任意抽取7张，求其排列结果为ability 的概率。
1.7 电话号码由6位数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数字（但第一位不能为0），求电话号码是由完全不相同的数字组成的概率。
1.8 把10本不同的书任意在书架上放成一排，求其中指定的3本书恰好放在一起的概率。
1.9 为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组（每组10队）进行比赛。求最强的两个队被分在不同组内的概率。
1.10 在桥牌比赛中，把52张牌任意分给东、南、西、北四家（每家13张），求北家的13张牌中：
（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花的概率。
（2）恰有大牌A 、K 、Q 、J 各一张，其余为小牌的概率。
1.11 从0，1，2，…，9十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：
（1）=1A {三个数字中既不含0，也不含5}；
（2）=2A {三个数字中不同时含有0和5}；
（3）=3A {三个数字中含有0，但不含5}。
1.12 一学生宿舍有6名学生，求：
（1）6个人的生日都在星期天的概率；
（2）6个人的生日都不在星期天的概率；
（3）6个人的生日不都在星期天的概率。
1.13 将长为a 的细棒折成三段，求这三段能构成三角形的概率。
1.14 A 、B 是随机事件，已知a A P =)(，b B P =)(，c AB P =)(，求：
（1）)(B A P +； （2）)(B A P ； （3）)(B A P ； （4）)(B A P + 。
1.15 设A 、B 、C 是事件，已知4/1)()()(===C P B P A P ，8/1)()(==AC P BC P ，0)(=AB P ，求A 、B 、C 都不发生的概率。
1.16 设A 、B 是随机事件，且满足)()(B A P AB P =和p A P =)(，求)(B P 。
1.17 设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中至少有一件是不合格品，问：两件都是不合格品的概率是多少？
1.18 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。
（1）求任意取出的零件是合格品的概率。
（2）如果已知任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率。
1.19 已知5%的男性和0.25%的女性患有色盲，随机选取一人，经查确定为色盲。求此人是男性的概率（假定男性和女性各占总人数的一半）。
1.20 设A 、B 是随机事件，且满足)()(A B P A B P =，证明事件A 、B 是相互独立的。
1.21 设A 、B 是随机事件，且0)(>A P ，0)(>B P 。证明事件A 、B 相互独立与互不相容不能同时成立。
1.22 三人独立地破译一个密码，他们各自能译出的概率分别为a ，b ，c ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
1.23 设A 、B 是随机事件，假定4.0)(=A P ，而7.0)(=+B A P ，令p B P =)(。
（1）p 取何值时才能使A 、B 互不相容？
（2）p 取何值时才能使A 、B 相互独立？
1.24 一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7。求：在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的 概率。
1.25 已知某篮球运动员每次投篮的命中率为0.7，求该运动员五次投篮，至少投中两次的概率（假设各次投篮都是独立的随机事件）。
1.26 某工厂生产过程中出现次品的概率为0.05，对某批产品检验时，用如下方法：随机取50个，如果发现其中的次品不多于一个，则认为该批产品是合格的。问：用这种方法认为该批产品合格的概率是多少？
1.27 已知每支枪射击飞机时，击中飞机的概率为004.0=p ，各支枪能否击中飞机是相互独立的。求：
（1）250支枪同时进行射击，飞机至少被击中一次的概率；
（2）需要多少支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机？
1.28 甲、乙、丙三人相互独立地向同一飞机射击，设每个人击中飞机的概率都是0.4。如果只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；如果有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；如果三人都击中，则飞机一定被击落。求飞机被击落的概率。
习题解答
习题一
1.1（1）样本空间可以表示为}100,,3,2,10{ ，=Ω；事件}100,,82,81{ =A 。
（2）样本空间可以表示为}18,,5,4,3{ =Ω；事件}17,,8,7{ =A ，}8,,4,3{ =B 。
（3）样本空间可以表示为),4,3,2(),5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(,),4,2,1(),3,2,1{(=Ω )}5,4,3(),5,4,2(),5,3,2(；事件)}5,4,1(),5,3,1(),4,3,1(),5,2,1(),4,2,1(),3.2,1{(=A 。
（4）样本空间可以表示为},12,11
,10{ =Ω；事件}50,,12,11,10{ =A 。 （5）样本空间可以表示为}0,0,0,1),,{(>>>=++=Ωz y x z y x z y x 。
1.2 （1）设样本点i ω表示“抽到i 号卡片”(8,,2,1 =i )，样本空间可以表示为
},,,{821ωωω =Ω；
（2）},{42ωω=AB 表示“抽到标号不大于4且是偶数的卡片”；
},,,,,{864321ωωωωωω=+B A 表示“抽到标号不大于4或者是偶数的卡片”； },,,{7531ωωωω=B 表示“抽到标号是奇数的卡片”；
},{31ωω==-B A B A 表示“抽到标号不大于4而且是奇数的卡片”；
},,,,,,{8754321ωωωωωωω=BC 表示“抽到标号不能同时既是偶数又能被3整除（即标号不是6的倍数）的卡片”；
},,{751ωωω==+C B C B 表示“抽到标号是奇数而且不能能被3整除的卡片”。
1.3（1）A ；
（2）)(C B C B BC A ++ 或)(C B A +；
（3）C B A C B A C B A ++；
（4）BC A C B A C AB ABC +++ 或BC AC AB ++；
（5）C B A 或C B A ++；
（6）C B A C B A C B A C B A +++ 或B A C A C B ++；
（7）ABC 或C B A ++。
1.4（1）}7,5,3,2{=+=B A B A ；
（2）}10,9,8,7,6,4,3,1{)(=+=BC A BC A 。
1.5 由事件差的定义、德摩根定律及分配律可知：
))(()()(A B B A A B B A A B B A ++=+=-+-
B A AB BA B B A A B A +=+++=。
1.6 在11张卡片中任意抽7张，依次排成一列，有 711P 种不同的方法。
要得到ability ，每次取一张卡片，如果取卡时，这种字母的卡片只有1张，则只有1种取法，如果取卡时，这种字母的卡片有2张，则有2种取法。所以，
P {连抽7张，排列结果为ability}=
41580011111221711
=??????P 。 1.7 由6位数字组成的首位不能为0的有重复的排列（作为电话号码）共有5
109?种，其中满足条件的（电话号码是由完全不相同的数字组成）的有567899?????种。
所以，所求概率为： P {满足条件的电话号码}1512.010567891095678995
5=????=??????=
。 1.8 10本不同的书任意在书架上放成一排，排法的总数为 !101010=P 。
为了使指定的3本书放在一起，我们可以想象把这三本书“捆绑”在一起作为一个整体
看待，于是10本书就变成了8个物体，8个物体的排法总数有!888=P 种；
但这3本书还可以有!333=P 种排法，所以，满足条件的排法共有!3!8?种。
因此，所求概率
P {其中指定的3本书恰好放在一起}=0667.015
1!10!3!8≈=?。
1.9 解法一 我们先来求把20个球队任意分成两组的方法数。注意到每种这样的分法可以
这样得到：从20个球队中任意取出其中的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有1020
C 种不同的分法。
再求满足要求“最强的两个队被分在不同组内”的分法数。每种这样的分法可以这样求
得：先从2个强队中任意取出1个队，有12C 种取法，再从18个不是强队的球队中任意取出
9个队，有918C 种取法，这样取出的10个队作为一组（剩下的为另一组）。所以共有91812C C 种
不同分法。
因此，所求概率为
P {最强的两个队被分在不同组内}=5263.019101020
91812≈=C C C 。 解法二 将20个球队任意分成两组（每组10队），可以看作是有两个组，每个组有10个空位子，共有20个空位子，从这20个空位子中任意选2个位子放强队（其余位子自然是
放其他的队），共有220C 种不同做法。
最强的两个队被分在不同组内，相当先于从第一个组的10 个空位子中任意选1个位子放1个强队，再从第二个组的10 个空位子中任意选1个位子放1个强队（其余位子自然是
放其他的队），有110
110C C 种不同做法。 因此，所求概率为
P {最强的两个队被分在不同组内}=5263.01910220
110110≈=C C C 。
1.10 北家的13张牌是52张牌中取出13张的组合，共有1352C 种可能。
（1）恰有5张黑桃、4张红心、3张方块、1张草花，相当于从13张黑桃、13张红心、
13张方块、13张草花中分别取5、4、3、1张，组合数是：113
313413513C C C C 。所以， P {恰有5黑桃4红心3方块1草花}=0054.01352
113313413513≈C C C C C 。 （2）北家的13张牌中恰有大牌A 、K 、Q 、J 各一张，相当于先要从4张A 、4张K 、4
张Q 、4张J 中各取1张，有14141414C C C C =4
44444=???种不同取法，再从36张小牌中取9张，有936C 种不同取法，这种情况的组合数是：93644C ?。所以，
P {恰有大牌A 、K 、Q 、J 各一张}=0380.041352
9364≈?C C 。
1.11 从10个数字中任意选出3个不同数字，有310C 种不同的选法。
（1）选出三个数字中既不含0，也不含5，相当于从除了0和5以外的其余8个数字中任意选3个，有3
8C 种选法，所以，15
7)(310381==C C A P ； （2）选出三个数字中不同时含有0和5，相当于全部310C 种选法中扣除同时含有0和5
的情形。同时含有0和5的情形，相当于先取1个0，再取1个5，再从其余8个数字中任
意选1个，有11C 11
C 18C 18C =种选法，所以，1514)(31018310
2=-=C C C A P ； （3）选出三个数字中含有0，但不含5，相当于先取一个0，再从除了0和5以外的8个数字中任意选2个，有1
1C 2828C C =种选法，所以，307)(310
283==C C A P 。
1.12 6个学生，每个人的生日可以是星期天、星期一、……、星期六中的任何一天，都有7种不同的选择，所以，共有6
7种不同的情形。
（1）6人生日都在星期天，每人只有一种选择，所以： P {6人生日都在星期天}=6
71； （2）6个人的生日都不在星期天，每人有除星期天外的6种选择，总共有66种情形。P {6
人生日都不在星期天}=66
7
6； （3）6个人的生日不都在星期天，只要从全部6
7种情形中除去“6人生日都在星期天”这一种情形就可以了。所以： P {6人生日不都在星期天}=6667
11717-=-。
1.13 设三段长为x ，y ，z ，它们满足a z y x =++，0>x ，0>y ，0>z 。上述条件可简写为0>x ，0>y ，a y x <+（由于0>--=y x a z ）。所以，样本空间为
},0,0),{(a y x y x y x <+>>=Ω，
Ω对应的区域是一个直角边长为a 的等腰直角三角形，面积为2/2a S =Ω。
三段长要构成一个三角形，必须满足z y x >+，x z y >+，y z x >+，由于
y x a z --=，上述条件等价于2/a y x >+，2/a x <，2/a y <。
所以，所求事件
A ={三段长能构成三角形}=}2/,2/,2/),{(a y a x a y x y x <<>+，
A 对应的区域即图中的阴影部分，它的面积为8/2a S A =。 因此，所求的概率为4
12/8/)(22===Ωa a S S A P A 。
1.14 （1）c AB P AB P B A P -=-==+1)(1)()( ；
（2）)]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=+-=+=
c b a +--=1 ；
（3）c b AB P B P A B P B A P -=-=-=)()()()( ；
（4）)(B A P +)()()(B A P B P A P -+=c a c b b a +-=--+-=1)(1 。
1.15 因为AB ABC ?，所以0)()(0=≤≤AB P ABC P ，可见必有0)(=ABC P ；
因此，事件A 、B 、C 都不发生的概率为
)(1)()(C B A P C B A P C B A P ++-=++=??
=)]()()()()()()([1ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++-
=2
1)0818********(1=+---++
- 。
1.16 由 )()()(1)(1)()()(AB P B P A P B A P B A P B A P AB P +--=+-=+==
得
p A P B P -=-=1)(1)(。
1.17 记=i A {取出的两件中有i 件不合格品}，则210
264)(C C C A P i i i -=（2,1,0=i ）。 在已知取出的两件中至少有一件是不合格品的前提下，两件都是不合格品的概率是：
5
1///)()()()()()(21024210161421024212212212=+=+=+=+C C C C C C C A P A P A P A A P A P A A A P 。
1.18 记=i A {取自第i 台车床}（2,1=i ） ，=B {任意取出的零件是合格品} 。
（1）已知 3/2)(1=A P ，3/1)(2=A P ，97.0)(1=A B P ，98.0)(2=A B P ，
由全概率公式得
)(B P =973.098.03
197.032)()()()(2211=?+?=+A B P A P A B P A P 。 （2）在已知取出零件是废品的条件下，它是第二台车床加工的概率，也就是)(2B A P 。 由贝叶斯公式可知
)
()()()()()(2222B P A B P A P B P B A P B A P == 。 其中，3/1)(2=A P ，02.0)(2=A B P ，上面（1）中已求出973.0)(=B P ，所以，027.0973.01)(1)(=-=-=B P B P ，代入上式，得
247.08120027.031
02.0)()()()()()(2222≈=?
===P A B P A P B P B A P B A P 。
1.19 设=A {确定为色盲}，=B {此人为男性}，=B {此人为女性}。
由题意可知=)(B P =)(B P 2
1，=)(B A P 05.0，=)(B A P 0025.0。
由贝叶斯公式，得
=)(A B P )()()()()()(B A P B P B A P B P B A P B P +21200025.02
105.02105.021=?+??=≈9524.0 。
1.20 由全概率公式和已知条件)()(A B P A B P =，得
)()()()()()()()()(A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P +=+=
)()()]()([A B P A B P A P A P =+=，
所以，事件A 、B 是相互独立的。
1.21 因为0)(>A P ，0)(>B P ，所以若A 、B 相互独立，则有0)()()(>=B P A P AB P ；若A 、B 互不相容，则有?=AB ，于是0)()(=?=P AB P ，与上面0)(>AB P 矛盾，可见A 、B 相互独立与A 、B 互不相容不能同时成立。
1.22 记=i A {第i 人译出密码}（3,2,1=i ）。已知a A P =)(1，b A P =)(2，c A P =)(3。 显然，1A 、2A 、3A 相互独立，所以，三人中至少有一人能将此密码译出的概率是
)()()(1)()(321321321A P A P A P A A A P A A A P -==++
)1)(1)(1(1)](1)][(1)][(1[1321c b a A P A P A P ----=----= 。
1.23 （1）要使A 、B 互不相容，必须有
p B P A P B A P +=+=+=4.0)()()(7.0，
所以，3.04.07.0=-=p 。
（2）要使A 、B 相互独立，必须有)()()(B P A P AB P =，从而
p p B P A P B P A P AB P B P A P B A P 4.04.0)()()()()()()()(7.0-+=-+=-+=+=， 所以，5.0=p 。
1.24 记=i A {一小时内第i 台车床需要工人照管}（3,2,1=i ），这些事件显然是相互独立的。
根据题意，
9.0)(1=A P ，8.0)(2=A P ，7.0)(3=A P ，
1.09.01)(1=-=A P ，
2.08.01)(2=-=A P ，
3.07.01)(3=-=A P 。
在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率为：
)()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P +++
)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=
902.03.08.09.07.02.09.07.08.01.07.08.09.0=??+??+??+??= 。
1.25 这是一个7.0=p 的独立试验序列。5次投篮恰投中k 次的概率为
P {5次投篮恰投中k 次}=k k k C -??553.07.0，
（k =0，1，2，…，5）。 所以，五次投篮至少投中两次的概率为
P {至少投中两次}={1P -最多投中一次}={1P -投中0次}{P -投中1次}
96922.002835.000243.013.07.03.07.0141155005=--=??-??-=C C 。
1.26 这是一个05.0=p 的独立试验序列。检验50=n 个产品，恰发现k 个次品的概率为
P {50次检验恰发现k 个次品}=k k k C -??505095.005.0，
（k =0，1，2，…，50）。 所求的认为该批产品合格的概率等于
P {发现次品不多于一个}={P 发现0个次品}{P +发现1个次品}
49115050005095.005.095.005.0??+??=C C 2794.02025.00769.0=+≈。
1.27 这是一个004.0=p 的独立试验序列。n 支枪同时射击，没有一支击中飞机的概率为
{P n 支枪击中飞机0次=}n n n n p p p C )004.01()1()1(00-=-=-n 996.0=，
至少击中飞机一次的概率为
{P n 支枪至少击中一次=}{1P -n 支枪击中飞机0次=}n 996.01- 。
（1）P {250支枪至少击中一次} 63286.0996.01250≈-=；
（2）设需要n 支枪同时进行射击。要求至少击中一次飞机的概率大于99%，即
P {n 支枪至少击中一次}=99.0996.01≥-n ，
即要有01.0996.0≤n
，由此可得到114901.0log 996.0≈≥n 。所以，至少需要1149支枪同时进行射击，才能以99%以上的概率保证至少击中一次飞机。
1.28 记=i A {恰有i 人同时击中飞机}（3,2,1,0=i ），各人击中飞机的事件是相互独立的，这可以看作是一个4.0=p 的独立试验序列。
{)(P A P i =3人中恰有i 人击中飞机i i i C -??=336.04.0}，（3,2,1,0=i ）。 即有
216.06.04.0)(30030=??=C A P ，
432.06.04.0)(21131=??=C A P ，
288.06.04.0)(12232=??=C A P ，
064.06.04.0)(03333=??=C A P 。
又记=B {飞机被击落}。根据题意，0)(0=A B P ，2.0)(1=A B P ，6.0)(2=A B P ，1)(3=A B P 。
由全概率公式，可得到所求飞机被击落的概率为：
)(B P )()()()()()()()(33221100A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P +++=
3232.01064.06.0288.02.0432.00216.0=?+?+?+?=。
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）；
9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题
概率统计习题及答案
1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8
《概率统计》试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
概率统计试题和答案
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率统计习题含答案
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计考试试卷及答案
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ
A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -
概率统计期末考试试题附答案
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.
概率统计习题及答案
1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D.
9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0
概率论与数理统计试卷A答案
概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ） 365 （B ）364 （C ）363 （D ）36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ，则=EX （ ） （A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 （B ）?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F （C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ） +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度 )(y f Y 为（ ） （A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2 (21y f X -- （D ）)2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81 （B ）8 3 （C ）4 1 （D ）3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若 EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-
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