指数函数和对数函数练习题
第三章指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
1．正整数指数函数
函数 y＝ a x(a>0，a≠ 1，x∈N ＋ )叫作 ________指数函数；形如 y＝ ka x(k∈ R，a>0 ，且a≠1)
的函数称为 ________函数．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实
数a，对于任意给定的整数m， n(m， n 互素 )，存在唯
m
一的正实数 b，使得 b n＝ a m，我们把 b 叫作 a 的m次幂，记作 b＝
a n；
n
m
(2)正分数指数幂写成根式形式： a n＝n a m(a>0) ；
m
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：a n＝ __________________(a>0， m、 n∈N ＋，
且 n>1)；
(4)0 的正分数指数幂等于____， 0 的负分数指数幂__________．3．有理数指数幂的运算性质
(1)a m a n＝ ________(a>0)； (2)(a m)n＝ ________(a>0)； (3)(ab) n＝ ________(a>0，b>0)．
一、选择题
1．下列说法中：① 16 的 4 次方根是2；②4 16的运算结果是±2；③当 n 为大于 1 的奇
数时，n a对任意 a∈ R 都有意义；④当 n 为大于 1 的偶数时，n a只有当 a≥ 0 时才有意义．其中正确的是
( )
A ．①③④
B ．②③
④C．②③D．③④
2．若 2 ( ) A ． 5－ 2a B． 2a－ 5 C． 1 D ．－ 1 1 3．在 (－1)－1、 2 2、1 2 21 2 －1中，最大的是 () 、2 1 － 1 1 1 B． 2 2 C． A ． (－2) 2 4．化简3 a的结果是 () a 1 1 2 － 1 D ． 2 1 A ． a B． a 2C． a2 D ． a 3 5．下列各式成立的是 () 1 1 3 2 b B ． ( )2＝ a 2 b 2 A. m 2＋ n 2 ＝ m n 3 a 6 1 1 2 ＝3 3 D. 3 4＝ 23 C. － 3 6．下列结论中，正确的个数是 ( ) 3 ①当 a<0 时， a 2 2 ＝ a 3； ② n a n ＝ |a|(n>0)； 1 ③函数 y ＝ x 2 2 － (3x － 7)0 的定义域是 (2，＋∞ )； ④若 100a ＝ 5,10b ＝ 2，则 2a ＋ b ＝ 1. A ． 0 B ． 1 C ．2 D ． 3 二、填空题 3 3＋ 3 7. 61 － 3 0.125的值为 ________． 4 8 8．若 a>0 ，且 a x ＝ 3， a y ＝ 5，则 a 2x y 2 ＝ ________. 1 3 1 3 1 1 9．若 x>0，则 (2 x 4 ＋ 32 )(2 x 4 － 32 )－4 x 2 ·(x － x 2 )＝________. 三、解答题 10． (1)化 简： 3 (xy ≠0)； xy 2· xy －1 · xy ·(xy)－1 1 0 2 (2)计算： 2 2 ＋ － 4 ＋ 1 － 1－ 5 0·83 . 2 2－1 11．设－ 3 ＋ 6x ＋9的值． 4 1 a 3 8a 3 b 3 b 3 a. 12．化简：2 2 3 ab 2 ÷(1－ 2 a )× 4b 3 a 3 2x － xy 13．若 x>0， y>0，且 x － xy － 2y ＝ 0，求 的值． §3 指数函数 (一 ) 1．指数函数的概念 一般地， ________________ 叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是____． 2．指数函数 y＝a x(a>0，且 a≠ 1)的图像和性 质 a>1 0 图像 定义域R 值域(0，＋∞ ) 过定点过点 ______，即 x＝ ____时， y＝____ 性函数值当 x>0 时， ______；当 x>0 时， ________； 质的变化当 x<0 时， ________ 当 x<0 时， ________ 单调性是 R 上的 ________ 是 R 上的 ________ 一、选择 题 1．下列以 x 为自变量的函数中，是指数函数的 是() A ． y＝ (－4)x x B ．y＝π C．y＝－4 x D． y＝ a x＋ 2 ( a>0 且 a≠ 1) 2．函数 f(x)＝ (a2－ 3a＋3)a x是指数函数， 则有 ( ) A ． a＝ 1 或 a＝ 2 B ． a＝ 1 C．a＝ 2 D． a>0 且 a≠ 1 3．函数 y＝ a|x|(a>1)的图像是 () 4．已知 f(x)为 R 上的奇函数，当x<0 时， f(x)＝ 3x，那么 f(2) 的值为() 1 A ．－ 9 B. 9 1 C．－9D． 9 5．如图是指数函数① x x x x a、 b、 c、d 与 1 y＝ a ；② y＝ b ；③ y＝ c ；④ y＝ d 的图像， 则 的大小关系是 ( ) A ． a B．b C．1< a D． a 6．函数 y＝ (1)x－ 2的图像必过 ( ) 2 A ．第一、二、三象 限B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限 二、填空题 7．函数 f(x)＝ a x的图像经过点(2,4)，则 f(－3) 的值为 ________． 8．若函数 y＝ a x－(b－ 1)( a>0，a≠ 1)的图像不经过第二象限，则 a，b 必满足条件________． 9．函数 y＝ 8－ 23－x(x≥ 0)的值域是 ________． 三、解答题 10．比较下列各组数中两个值的大小： (1)0.2－ 1.5和 0.2－ 1.7； 1 2 1 3 1 3 (2)和 4 ； 4 (3)2－ 1.5和 30.2. 11． 2000 年 10 月 18 日，美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息：“市政委员会今天宣布：本市垃圾的体积达到50 000 m 3”，副标题是：“垃圾的体积每三年增加一倍”．如果把 3 年作为垃圾体积加倍的周期，请你根据下面关于垃圾的体 积V(m 3)与 垃圾体积的加倍的周期(3 年 )数 n 的关系的表格，回答下列问 题．周期数 n 体积 V(m3 ) 50 000× 2 150 000× 2 2 2 50 000× 2 , , n50 000× 2n (1)设想城市垃圾的体积 每 3 年继续加倍，问24 年后该市垃圾的体积是多 少？ (2)根据报纸所述的信息，你估 计 3 年前垃圾的体积是多少？ (3)如果 n＝－ 2，这时的 n， V 表示什么 信息？ (4)写出 n 与 V 的函数关系式，并画出函数图像(横轴取 n 轴 )． (5)曲线可能与横轴相交吗？为什么？ 能力提升 12．定义运算 a⊕ b ＝a a≤ b ，则函数 f(x) ＝ 1⊕ 2x的图像是 () b a>b 13．定义在区间 (0，＋∞ )上的函数 f(x)满足对任意的实数x， y 都有 f(x y)＝yf(x)． (1 )求 f(1)的值； 1 (2 )若 f(2)>0，解不等式 f(ax)>0.( 其中字母 a 为常 数 ) ． §3 指数函数 (二 ) 1．下列一定是指数函数的是 ( ) A ． y ＝－ 3x B ． y ＝ x x ( x>0，且 x ≠ 1) C ．y ＝ (a － 2)x (a>3) D ．y ＝ (1－ 2)x 2．指数函数 y ＝a x 与 y ＝ b x 的图像如图， 则 ( ) A ． a<0， b<0 B ． a<0， b>0 C ．0< a<1 ， b>1 D ． 0< a<1,0 x ) 3．函数 y ＝ π的值域是 ( A ． (0，＋ ∞ ) B ． [0，＋∞ ) C ．R D ． (－∞， 0) 1 2a ＋ 1 1 3－ 2a ，则实数 a 的取值范围是 ( ) 4．若 (2) <(2) B ． (1 ，＋∞ ) A ． (1，＋∞ ) 2 1 C ．( －∞， 1) D ． (－∞， 2) 1 1 b 1 a 5．设 3<(3) <( 3) <1，则 ( ) a b a a a b A ． a B ． a C ．a b D ． a b 6．若指数函数 f(x)＝ (a ＋ 1)x 是 R 上的减函数，那么 a 的取值范围为 ( ) A ． a< 2 B ． a>2 C ．－ 1 D ． 0< a<1 一、选择题 1．设 P ＝ { y|y ＝ x 2， x ∈ R} ， Q ＝ { y|y ＝ 2x ， x ∈ R } ，则 ( ) A ． Q P B ． Q P C ．P ∩ Q ＝ {2,4} x D ． P ∩ Q ＝{(2,4)} 2．函数 y ＝ ) 16－ 4 的值域是 ( A ． [0，＋ ∞ ) B ．[0,4] C ． [0,4) D ． (0,4) 3．函数 y ＝a x 在[0,1] 上的最大值与最小值的和为 3，则函数 y ＝ 2ax － 1 在 [0,1] 上的最大 值是 ( ) 3 A ． 6 B ． 1 C ． 3 D. 2 4．若函数 f( x)＝ 3x ＋ 3－ x 与 A ． f(x)与 g(x) 均为偶函数C ．f(x)与 g(x) 均为奇函数 5．函数 y ＝ f(x)的图像与 函数 A ． f(x)＝－ e x － 2 － x C ．f(x)＝－ e －2 g(x)＝ 3x －3－ x 的定义域均为 R ，则 ( ) B ． f(x) 为偶函数， g(x)为奇函数 D ． f(x) 为奇函数， g(x)为偶函数 g(x)＝ e x ＋ 2 的图像关于原点对称， 则 f(x)的 表达式为 ( ) B ． f( x)＝－ e － x ＋ 2 D ． f(x)＝ e － x ＋ 2 1 1 3 3 ，b ＝ 3 2 4 6．已知 a ＝ ， c ＝ 5 5 3 1 2 ，则 a ， b ， c 三个数的大小关系是 ( ) A ． c B ． c C ．a D ． b 二、填空题 7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是 前一天的 2 倍，若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积 一半时，荷叶已生长了 ________天． 8．已知函数f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝1－ 2－x，则不等式f(x)< －1的 2 解集是 ________________ ． 1 9．函数 y＝ 2 x22x 的单调递增区间是 ________． 三、解答题 10． (1)设 f(x)＝ 2u， u＝ g(x)， g(x)是 R 上的单调增函数，试判断f(x)的单调性； (2)求函数 y＝ 2x2 2 x 1的单调区间． x x＋ 111 11．函数 f(x)＝ 4 － 2 ＋ 3 的定义域为 [－， ]． (1)设 t ＝2x，求 t 的取值范围； (2)求函数 f(x)的值域． 能力提升 12．函数 y＝ 2x－ x2的图像大致是( ) 2x－ 1 13．已知函数 f(x)＝2x＋1. (1)求 f[f(0) ＋ 4]的值； (2)求证： f(x)在 R 上是增函数； 15 (3)解不等式： 0 习题课1．下列函数中，指数函数的个数是( ) ① y ＝ x x＋ 1 x 3 2·3 ；② y＝ 3 ；③ y＝ 3 ；④ y＝ x . A ． 0B． 1 C． 2D． 3 2．设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时， f(x)＝ 2x＋ 2x＋ b(b 为常数 )，则f(－ 1)等 于 ( ) A ．－ 3 B．－ 1 C． 1D． 3 3．对于每一个实数 x，f(x)是 y＝ 2x与 y＝ － x＋ 1 这两个函数中的较小者，则f(x)的最大 值是 ( ) A ． 1B． 0 C．－ 1 D．无最大值 4．将2 2化成指数式为 ________． . 2， b＝ 8 . 1， c ＝ 1 － 0.5 ，则 a， b，c 的大小顺序为 ________． 5．已知 a＝ 4 ( ) 2 1 1 6．已知 x2＋ x 2＝ 3，求 x＋1的值． x 一、选择题 1 2 2 1． 2 A. 2 3 2．化简a－ b A ． 3b－ 2a C．b 或 2a－3b 的值为 ( ) B．－ 2 C. 2 D．－ 2 2 2 3＋ a－ 2b 2的结果是 ( ) B． 2a－ 3b D． b 3．若 0 x ，x 之间的大小关系是) 则 2 ， ( ) (0.2)( 2 x x 1 x x 1 x x A ． 2 <(0.2)<(2)B． 2 <(2) <(0.2) 1 x xx x 1 x x C．( 2) <(0.2) <2 D． (0. 2)<(2)<2 4．若函数则 f(－ 3)的值为 ( ) 1 1 A. 8 B.2 C ．2 D ． 8 5．函数 f(x)＝ a x － b 的图像如图所示，其中 a ， b 均为常数，则下列结论正确的是() A ． a>1， b>0 B ．a>1， b<0 C ．0< a<1 ， b>0 D ． 0 4x ＋ 1 6．函数 f(x)＝ 2 x 的图像 () A ．关于原点对称 B ．关于直线 y ＝ x 对称 C ．关于 x 轴对称 D ．关于 y 轴对称 二、填空题 1 1 0 0.75 1 ＋16 ＋ 0.01 2 ＝ ________________. 7．计算： 0.064 3 － ( － ) 4 8．已知 10m ＝ 4,10n ＝ 9，则 10 3m n 2 ＝ ________. 9．函数 y ＝ 1－ 3x (x ∈ [ － 1,2]) 的值域是 ________． 三、解答题 10．比较下列各组中两个数的大 小： (1)0.63.5 和 0.63.7 ； (2)( 2)－ 1.2 和 ( 2)－ 1.4； 1 2 3 3 3 3 － 2 1 － 1.3 (3) 和 ； (4) π 和 ( ) 2 2 3 11．函数 f(x)＝ a x (a>0，且 a ≠ 1)在区间 [1,2] 上的最大值比最小值大 a ，求 a 的值． 2 能力提升 a x － x )(a>0 且 a ≠1)，讨论 f(x)的单调性． 12．已知 f(x)＝ 2 (a － a a － 1 13．根据函数 y＝|2x－ 1|的图像，判断当 实数m 为何值时，方程|2x－ 1|＝ m 无解？有一 解？有两解？ §4 对数 (一 ) 1．对数的概念 如果 a b ＝ N(a>0，且 a ≠ 1)，那么数 b 叫做 ______________，记作 __________ ，其中 a 叫做 __________， N 叫做 ________． 2．常用对数与自然对数 通常将以 10 为底的对数叫做 __________，以 e 为底的对数叫做 __________， log 10N 可 简记为 ________， logeN 简记为 ________． 3．对数与指数的关系 若 a>0，且 a ≠ 1，则 a x ＝ N? log a N ＝ ____. 对数恒等式： a log a N x ＝____(a>0 ，且 a ≠ 1)． ＝____； log aa 4．对数的性质 (1)1 的对数为 ____ ； (2)底的对数为 ____； (3)零和负数 ________． 一、选择 题 1．有下列说 法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数 式； ③以 10 为底的对数叫做常用对数； ④以 e 为底的对数叫做自然对 数． 其中正确命题的个数为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ．3 D ． 4 2．有以下四个结论：① lg(lg10) ＝ 0；② ln(ln e)＝ 0；③若 10＝ lg x ，则 x ＝ 100；④ 若 e ＝ ln x ，则 x ＝e 2 .其中正确的 是 ( ) A ．①③ B ．② ④ C ．①② D ．③ ④ 3．在 b ＝ log (a －2) (5－ a)中，实数 a 的取值范围是 ( ) A ． a>5 或 a<2 B ． 2 ＝ 1 的解是 ( ) 4 1 3 A ． x ＝ 9 B ． x ＝ 3 C．x＝ 3 D． x＝ 9 5．若 loga 5b＝ c，则下列关系式中正确的是 ( ) 5 c 5 c A ． b＝ a B ． b ＝ a C．b＝ 5a c D． b＝ c5a 1 6． 2 1 log0.5 4 的值为 ( ) 7 A ． 6 B. 2 3 C．8 D. 7 二、填空题 1 7．已知 log7 [log 3(log 2x)]＝ 0，那么 x 2 ＝________. 8．若 log2(logx9)＝ 1，则 x ＝ ________. b 9．已知 lg a ＝ 2.431 0， lg b ＝ 1.431 0，则 a ＝ ________. 三、解答题 10． (1)将下列指数式写成对数式： －3 1 3 －1 ① 10 ＝ ；② 0.5 ＝ 0.125；③ ( 2－ 1) ＝ 2＋ 1. (2)将下列对数式写成指数式： ① l og26＝ 2.585 0；② log 30.8＝－ 0.203 1；③ lg 3 ＝ 0.477 1. 1 1 2 11．已知 log ax ＝ 4， loga y ＝5，求 A ＝ x 3 x 2 的值． y 2 能力提升 12．若 log a 3＝m ， log a 5＝n ，则 a 2m ＋ n 的值是 ( ) A ． 15 B ． 75 C ．45 D ． 225 13． (1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中 x 的值： ① log 2x ＝－ 2 1 5 ；② log x 3＝ － . 3 (2)已知 6a ＝ 8，试用 a 表示下列各式： ① l og68；② log 62；③ log 26. §4 对数 (二) 1．对数的运算性质 如果 a>0，且 a≠1， M>0， N>0，则： (1)log a(MN )＝ ________________ ； M (2)log a N＝ ________； (3)log a M n＝ __________(n∈ R)． 2．对数换底公式 log aN logbN＝log ab (a，b>0， a， b≠ 1， N>0) ； 特别地： log ab·logba＝ ____(a>0，且 a≠ 1， b>0，且 b≠1) ．一、选择题 1．下列式子中成立的是 (假定各式均有意 义 )( ) A ． log ax·log ay＝ loga(x＋y) B ． (log a x)n＝ nlog a x C.log ax＝ log a n x D. log ax＝ log a x－ log a y n log ay 2．计算： log9 16·log 881 的值为 () 18 3 A ． 18 B. 18 C.3 D. 8 1 3．若 log53·log36·log 6x＝ 2，则 x 等 于 ( ) 1 1 A ． 9 B. 9C． 25 D.25 4．已知 3a＝ 5b＝ A，若1＋1＝ 2，则 A 等于 ( ) a b A ． 15 B. 15 C．± 15 D． 225 5．已知 log8 9＝ a， log 25＝ b，则 lg 3 等于 ( ) a 3 3a 3 a－1 A. b－ 1 B.2 b－ 1 C.2 b＋ 1 D. 2b 6．若 lg a，lg b 是方程2x2－4x＋ 1＝ 0 的两个根，则 (lg a)2的值等于() b 1 1 A ． 2 B. 2C． 4 D.4 二、填空题 7． 2log 510＋ log 50.25＋(3 4 25－125) ÷ 25＝ ______________. 8． (lg 5) 2＋lg 2 ·lg 50＝________. 9．2008 年 5 月 12 日，四川汶川发生里氏8.0 级特大地震，给人民的生命财产造成了巨 大的损失．里氏地震的等级最早是在1935 年由美国加州理工学院的地震学家里特判定 的．它与震源中心释放的能量(热能和动能 )大小有关．震级 M＝2lg E－3.2，其中E(焦 3 耳 )为以地震波的形式释放出的能量．如果 里氏 6.0 级地震释放的能量相当于 1 颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 三、解答题 1 5 10． (1)计算： lg 2－ lg8＋ lg 12.5 － log 89·log3 4； a b21 (2)已知 3 ＝ 4 ＝ 36，求＋的值． 11．若 a、b 是方程 2(lg x)2－ lg x4＋ 1＝ 0 的两个实根，求 lg( ab) ·(log a b＋ log b a)的值． 能力提升 12．下列给出了 x 与 10x的七组近似对应值： 组号一二三四五六七 x 0.301 03 0.477 11 0.698 97 0.778 15 0.903 09 1.000 00 1.079 18 10x2 3 5 6 8 10 12 假设在上表的各组对应值中，有且仅有一组是错误的，它是第________组． ( ) A ．二 B ．四 C．五 D ．七 13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原 来的75% ， 估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的1？ (结果保 留 1 位有效数 字 )(lg 2≈ 0.301 3 0， lg 3 ≈0.477 1) 第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数． 【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】 （一）选择题（共15题） 1.（安徽卷文7）设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾，选D 。 3.（辽宁卷文10）设525b m ==，且112a b +=，则m = （A （B ）10 （C ）20 （D ）100 【答案】 D 解析：选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 东山中学指数与对数函数同步练习 一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ B ） A ．3 x y -= B ．3-=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 2、下列命题中正确的是 （ D ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、已知32a =，那么33log 82log 6-用a 表示是 （ ） A 、2a - B 、52a - C 、2 3(1)a a -+ D 、 2 3a a - 4、2log (2)log log a a a M N M N -=+，则 N M 的值为 （ ） A 、 4 1 B 、4 C 、1 D 、4或1 5、下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．3124 3)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 6、化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 7、已知732log [log (log )]0x =，那么12 x -等于 （ ） A 、 1 3 B C D 8、函数2lg 11y x ?? =- ?+?? 的图像关于 （ ） 2020-2021学年高一数学单元知识梳理：指数函数与对数函数 1．指数式、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数式、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化． 2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时， 函数的单调性及图象特点． 3．比较几个数的大小是指数函数、对数函数性质的应用，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比较，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较． 4．求含有指数函数和对数函数的复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间． 5．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图选式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质．在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，画出图象，利用数形结合能快速解决问题． 6．方程的解与函数的零点：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 7．零点判断法：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 注意：由f(a)f(b)<0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点或不变号零点．若f(a)f(b)>0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点． 8．二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择． 9．用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下： 一、指数、对数函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数的性质主要是指函数的定义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以已学函数的单 第七讲: 指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a ＞0, f (x)＝ x x e a a e - 是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f －1 (x)的奇偶性与单调性. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y ＝)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[- , 求a 的值. (二) 专题测试与练习: 一. 选择题 1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<< 2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( ) A. 21 31 )a 1()a 1(->- B. )a 1(log ) a 1(+- C. 2 3)a 1()a 1(+>- D. 1)a 1()a 1(>-+ 3. 已知x 1是方程3x lg x =+的一个根, 2x 是方程310x x =+的一个根, 那么21x x +的值 是 ( ) A. 6 B. 3 C. 2 D. 1 4. ,0z log log log y log log log x log log log 324243432===则z y x ++的值为 ( ) A. 50 B. 58 C. 89 D. 111 5. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( ) 6. 若函数)x (f 与=)x (g x ) 2 1 (的图象关于直线x y =对称, 则)x 4(f 2 -的单调递增区间是( ) A. ]2 ,2(- B. ) ,0[∞+ C. )2 ,0[ D. ]0 ,(-∞ 二. 填空题 7. 已知522x x =+-, 则=+-x x 88 . 8. 若函数=y 2x log 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 . 9. 已知=y )ax 3(log a -在]2 ,0[上是x 的减函数, 则a 的取值范围是 . 10.函数=)x (f )1a ,0a (a x ≠>在]2 ,1[上的最大值比最小值大2 a , 则a 的值为 . 三. 解答题 11. 设 1x 0 <<, 试比较|)x 1(log a -|与|)x 1(log a +|的大小. 高一指数函数对数函数 测试题及答案精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】 指数函数和对数函数测试题 一、选择题。 1、已知集合A={y|x y 2log =，x ＞1},B={y|y=( 21)x ,x ＞1},则A ∩B=（） A.{y|0＜y ＜21}B.{y|0＜y ＜1}C.{y|2 1＜y ＜1}D.φ 2、已知集合M=｛x|x ＜3｝N=｛x|1log 2＞x ｝则M ∩N 为（） φ.｛x|0＜x ＜3｝C.｛x|1＜x ＜3｝D.｛x|2＜x ＜3｝ 3、若函数f(x)=a (x-2)+3（a ＞0且a ≠1），则f(x)一定过点（） A.无法确定 B.(0，3) C.(1，3) D.(2，4) 4、若a=π2log ，b=67log ，c=8.02log ，则（） ＞b ＞＞a ＞＞a ＞＞c ＞a 5、若函数)(log b x a y +=(a ＞0且a ≠1)的图象过(-1，0)和(0，1)两点，则a ，b 分别为（） =2，b==2，b==2，b==2，b=2 6、函数y=f(x)的图象是函数f(x)=e x +2的图象关于原点对称，则f(x)的表达式为（） (x)=(x)=-e x +(x)=(x)=-e -x +2 7、设函数f(x)=x a log (a ＞0且a ≠1)且f(9)=2，则f -1(2 9log )等于（） 2422229log 、若函数f(x)=a 2log log 32++x x b （a ，b ∈R ）,f(2009 1)=4，则f(2009)=（） 、下列函数中，在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（） =-x 2log (x ＞0)=x 2+x(x ∈R)=3x (x ∈R)=x 3(x ∈R) 10、若f(x)=(2a-1)x 是增函数，则a 的取值范围为（） ＜21B.2 1＜a ＜＞≥1 11、若f(x)=|x|(x ∈R)，则下列函数说法正确的是（） (x)为奇函数(x)奇偶性无法确定 (x)为非奇非偶(x)是偶函数 12、f(x)定义域D=｛x ∈z|0≤x ≤3｝，且f(x)=-2x 2+6x 的值域为（）A.[0，29]B.[29,+∞]C.[-∞，+2 9]D.[0，4] 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。 ②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1 指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数 3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0 2015级建筑部3月份月考数学测试题 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，不选、多选、错选均不得分） 1、下列函数是幂函数的是（ ） A 3+=x y ； B 3 x y =； C x y 3=； D x y 2log = 2、数列-3,3,-3,3,…的一个通项公式是( ) A. n a =3(-1) n+1 B. n a =3(-1)n C. n a =3-(-1)n D. n a =3+(-1)n 3、对数1log 3的值正确的是( )． A. 0 B.1 C. 2 D. 以上都不对 4、将对数式24 1 log 2 -=化成指数式可表示为( ) A.224 1-= B.412 2 =- C.2412 =?? ? ??- D.2412 -=?? ? ?? 5、若指数函数的图像经过点?? ? ??21,1，则其解析式为（ ） A.x y 2= B.x y ??? ??=21 C. x y 4= D. x y ??? ??=41 6、下列运算中，正确的是（ ） A.5553443=? B.435÷5534= C.55 3 44 3=??? ? ? ? D.0554343=?- 7、已知3log 2log a a >，则a 的取值范围是（ ） A 1>a ； B 1a a 或 8、将对数式ln 2x =化为指数式为 ( ) A. 210x = B. x = 2 C. x = e D. x = e 2 9、4 32813?-的计算结果为（ ）。 A ．3 B.9 C.3 1 D.1 指数函数与对数函数知识点总结 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次 方根，其中n >1，且n ∈N * ． 当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>； （3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数， 记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○ 1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ； ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式 a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ； 0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论 （1）b m n b a n a m log log =； （2）a b b a log 1log =． （二）对数函数 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果，那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知，则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】 A B，且 C D，且 4 已知函数的反函数为，则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是，则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知，则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【】 A B C D 10有下列命题：（1）若，则函数的图象关于y轴对称；（2）若，则函数的图象关于原点对称；（3）函数与的图 象关于x轴对称；（4）函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A（1）（2） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D （1）（2）（3）（4） 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。 4 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 减区间，增区间减区间， 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。解（1），又，所以，所以定义域。 （2）在上单调增。 （3），，即 ，所以，所以解集 2 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 例1.设a ＞0, f (x)＝x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f － 1 (x)的奇偶性与单调性. 解：(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )＝)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解：设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.（安徽卷文7）设 232 555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数，所以a c >，2 ()5x y =在0x >时是减函数，所以c b >。 2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图，|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1 精品资料 欢迎下载 第四章《指数函数与对数函数》测试卷 一、填空题 1. （ ） A 、118 4 23? B 、314 4 23? C 、213 4 23? D 、8 4 23? 2. =??4 36482（ ） A 、4 B 、8152 C 、2 72 D 、8 3. 函数()f x = （ ） A.（1，3） B. [-∞，3] C. [3，+∞] D. R 4. 3log 81= （ ） A 、2 B 、4 C 、2- D 、-4 5. 指数函数的图象经过点)27,2 3(，则其解析式是 （ ） A 、x y 3= B 、x y )3 1(= C 、x y 9= D 、x y )9 1(= 6. 下列函数在区间（0，+∞）上是减函数的是 （ ） A 、12y x = B 、3 1x y = C 、2y x -= D 、2 y x = 7. 将25628 =写成对数式 （ ） A 、2256log 8= B 、28log 256= C 、8256log 2= D 、2562log 8= 8. 将ln a = b (a >0) 写成指数式 （ ） A 、10 b = a B 、e b = a C 、 a b = e D 、 e a = b 9. 求值2 2ln log 16lg 0.1e +-等于（ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 10. 如果32log (log )1x =，那么x =（ ） A 、8 B 、9 C 、2 D 、3 11. 函数x x f lg 21)(-= 的定义域为（ ） A 、(,10) -∞ -(10,)+∞ B 、（-10，10） C 、（0，100） D 、（-100,100） 12. 3 0.7、3log 0.7、0.7 3 的大小关系是（ ） A 、30.730.73log 0.7 << B 、30.730.7log 0.73<< C 、 30.7 3log 0.70.73<< D 、 0.73 3log 0.730.7<< 二、填空题： 1．用不等号连接： （1）5log 2 6l o g 2 ，（2）若n m 33>，则m n ；（3）35.0 36.0 2. 若43x =， 3 4 log 4=y ，则x y += ； 3. 方程x x 28 )3 1 (3 2--=的解集为______________； 4. 若x x f 2)2(=，则=)8(f ； 三、解答题 1.. 解下列不等式： （1）0)3(log 3<-x （2）14 3log 《指数函数与对数函数》测试题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若2 2 log log a a M N =则M N =； ④若M N =则2 2 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.48 12314,8 ,2y y y -??=== ? ?? ，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、2 3(1)a a -+ D 、2 31a a -- 9、若210 25x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 指数函数、对数函数知识点 知识点内容典型题 整数和有理指数幂的运算 a 0＝1(a≠0)；a－n＝ 1 a n (a≠0, n∈N*) a m n＝n a m(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞1) 当n∈N*时，(n a)n＝a 当为奇数时，n a n＝a 当为偶数时，n a n＝│a│＝ a (a≥0) －a (a＜0) 运算律:a m a n＝a m + n (a m)n＝a m n (ab)n＝a n b n 1.计算: 2－1×6423＝. 2. 224282＝； 333363＝ . 3343427＝； 393 36 ＝ . 3.? - - + +-45 sin 2 )1 2 ( )1 2 (0 1 4. 指数函数的概念、图象与性质1、解析式:y＝a x(a＞0，且a≠1) 2、图象: 3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质: ①定义域:R ，即(－∞，＋∞) 值域:R+ , 即(0，＋∞) ②图象与y轴相交于点(0,1). ③单调性:在定义域R上 当a＞1时，在R上是增函数 当0＜a＜1时,在R上是减函数 ④极值:在R上无极值(最大、最小值) 当a＞1时，图象向左与x轴无限接近； 当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接 近. ⑤奇偶性:非奇非偶函数. 5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过 点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的值. 6.求下列函数的定义域: ①2 2x y- =；② 2 4 1 5- = - x y. 7.比较下列各组数的大小: ①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.10.4－0.2 , ②0.30.40.40.3, 233322. ③(2 3 )－ 1 2,( 2 3 )－ 1 3,( 1 2 )－ 1 2 8.求函数 17 6 2 2 1+ - ? ? ? ? ? = x x y的最大值. 9.函数x a y)2 (- =在(-∞,+∞)上是减函数， 则a的取值范围( ) A.a＜3 B.c C.a＞3 D.2＜a＜3 10.函数x a y)1 (2- =在(-∞,+∞)上是减函 数，则a适合的条件是( ) A.|a|＞1 B.|a|＞2 C.a＞2 D.1＜|a|＜2 一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂： ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂： 01(0) a a =≠ 负整数指数幂： 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂：正分数指数幂的意义是： (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是： 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地，函数 a y x =叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)． 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图；当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图： 由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质： a y x =有下列性质： (1)0a >时： ①图象都通过点(0,0)，(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时： ①图象都通过点(1,1)； ②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点． 二、指数函数 ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a . 5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b = log b a a N N b =?=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+． log log log a a a M M N N =-． 指数函数与对数函数检测题 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、105 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =；④若M N =则22 log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是 （ ） A 、?B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ???，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值X 围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x =，则10x -等于（ ） 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ，y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数： y x 且a 叫指数函数。 定义：函数 aa 0 1 定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时， y 4 x ，当 x 1 时，函数值不存在。 4 a 0 ， y 0x ，当 x 0 ，函数值不存在。 a 时， y 1 x x 虽有意义，函数值恒为 1，但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在， 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x ， y 1 ，y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （ 1）图象都位于 x 轴上方； （ 1） x 取任何实数值时，都有 a x 0 ； 2 0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0 时， y 1 ； （ ）图象都经过点（ ， （ 3） y 2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐 （ 3）当 a x 0，则 a x 1 1 时， 0，则 a x 1 标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， x 1 y 2 x x 0，则 a x 1 当 0 的图象正好相反； a 1时， 0，则 a x 1 x （ 4） y 2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐 （ 4）当 a 1 时， y a x 是增函数，指数函数与对数函数高考题
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