三角形的初步认识
知识重点透视一
在三角形中,任意两边之和大于第三边,
任意两边之差小于第三边。
1.在三角形ABC中,AB=8,AC=7,则BC边长的取值范围为______________.
2.在一个三角形中,在边长分别为:5,2m-1, 7则m的取值范围为_____________.
3.在三角形ABC中,AB=6,AC=12,AD是BC边上的中线,则AD的长的取范围是_______________.
4.以下列各组线段为边,能组成三角形的是()
A.2cm、2cm、4cm B.2cm、6cm、3cm
C.8cm、6cm、3cm D.11cm、4cm、6cm
5.用12根火柴棒(等长)拼成一个三角形,火柴棒不允许剩余、重叠和折断,则能摆出不同的三角形的个数是( )
A、1
B、2
C、3
D、4
知识重点透视二
角平分线的性质
.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是()
A、SSS
B、ASA
C、AAS
D、角平分线上的点到角两边距离相等
2.如图所示,D是⊿ABC的角平分线BD和CD的交点,若∠A=50°,则∠D=()
A.120°
B.130°
C.115°D110°
3.如图,在Rt⊿ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,CD=4,则点D到AB
的距离是_____
4.如图,已知⊿ABC中,∠A=90°,AB=AC,CD平∠ACB,DE⊥BC于E,若BC=15,则⊿DEB 的周长为_______
5.如图,点P是∠BAC的平分线上一点,PB⊥AB于B,且PB=5cm,则P到AC边的距离是______cm。
知识重点透视三
线段垂直平分线的性质
1. .如图,已知DE⊥BC于E,BE=CE,
AB+AC=15,则⊿ABD的周长()
A.15
B.20
C.25
D.30
2.如图,△ABC中,∠C=90°,AB的
中垂线DE 交AB 于E ,交BC 于D ,
若AB=10,AC=6,
则△ACD 的周长为( )
A 、16
B 、14
C 、20
D 、18
知识重点透视四
全等三角形的性质和判定
全等三角形的判定
1.如图,已知D 是AC 上一点,
AB =DA ,DE ∥AB ,∠B =∠DAE. 求证:BC =AE.
2.已知:如图在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.求证:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;
分析:①由AB=AC,AD=AE,利用等式的性质得到夹角相等,利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等,由全等三角形的对应边相等得到BD=CE,
②由三角形ABD与三角形AEC全等,得到一对角相等,再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE,
③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°,等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°,
证明:①∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,即∠BAD=∠CAE,
∵在△BAD和△CAE中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),∴BD=CE,
②∵△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE,
∵∠ABD+∠DBC=45°,∴∠ACE+∠DBC=45°,
∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°,
则BD⊥CE,
③∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠ABD+∠DBC=45°,
∵∠ABD=∠ACE
∴∠ACE+∠DBC=45°,
3.附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形.根据图中标示的各点位置,判断△ACD 与下列哪一个三角形全等?
分析:根据全等三角形的判定定理(SAS ,ASA ,AAS ,SSS )结合图形进行判断即可. 解:根据图象可知△ACD 和△ADE 全等,
理由是:∵根据图形可知AD=AD ,AE=AC ,DE=DC ,
∴△ACD ≌△AED ,
即△ACD 和△ADE 全等,
4.如图正方形ABCD 的边长为4,E 、F 分别为DC 、BC 中点.
(1)求证:△ADE ≌△ABF .
(2)求△AEF 的面积.
分析:(1)由四边形ABCD 为正方形,得到AB=AD ,∠B=∠D=90°,DC=CB ,由E 、F 分别为DC 、BC 中点,得出DE=BF ,进而证明出两三角形全等
(2)首先求出DE 和CE 的长度,再根据S △AEF=S 正方形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △ABF ﹣S △CEF 得出结果.
证明:(1)∵四边形ABCD 为正方形,
∴AB=AD ,∠B=∠D=90°,DC=CB ,
∵E 、F 为DC 、BC 中点,
∴DE=BF ,
∵在△ADE 和△ABF 中
∴△ADE ≌△ABF (SAS )
(2)解:由题知△ABF 、△ADE 、△CEF 均为直角三角形,
且AB=AD=4,DE=BF=0.5×4=2,CE=CF=0.5×4=2,
∴S △AEF=S 正方形ABCD ﹣S △ADE ﹣S △ABF ﹣S △CEF
=4×4﹣0.5×4×2﹣0.5×4×2﹣0.5×2×2=6.
11,22
DE DC BF BC ∴==
相似三角形经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,B C 边的长为8,B C 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为A B 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作M N B C ∥,交A C 于点N ,在A M N △中,设M N 的长为x ,M N 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿M N 折叠,使A M N △落在四边形B C N M 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)M N B C ∥ A M N A B C ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AM N A M N △≌△ 1A M N ∴△的边M N 上的高为h , ①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时, 1A M N y S =△= 2 11332 2 4 8 M N h x x x = = ·· (04x <≤) ②当1A 落在四边形B C N M 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边E F 上的高为1h , 则132662h h x =-= - 11EF M N A EF A M N ∴ ∥△∽△ 11A M N ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 168242 A B C S = ??= △ 2 2 3632241224 62EF x S x x ?? - ?∴==?=-+ ? ??? 1△A 112 223 3912241224828A M N A EF y S S x x x x x ??=-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224 (48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取163 x = ,8y =最大 86> ∴当163 x = 时,y 最大,8y =最大 M N C B E F A A 1
鲁教版五四制七年级上册认识三角形知识点梳理 一、学习目标 1. 掌握三角形的三边关系与三角形内角和性质; 2. 理解三角形、三角形的中线、三角形的高、三角形的角平分线的概念; 3. 了解图形的全等,能利用全等图形进行简单的图形设计; 4. 掌握全等三角形的性质,能进行简单的推理和计算,解决一些实际问题. 二、知识归纳 1.三角形的三边关系 (1)三角形的任意两边之和大于第三边; (2)三角形的任意两边之差小于第三边. 二、 2. 三角形的内角和等于180°. 3. 三角形的中线、角平分线、高 连结三角形的顶点和它所对的边的中点所得到的线段叫做三角形的中线;三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线;从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高. 4. 形状、大小相同的图形放在一起完全重合,像这样能够完全重合的两个图形叫做全等形. 5. 全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 把两个全等的三角形重合到一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角. 6. 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 一、全等图形、全等三角形: 1.全等图形:能够完全重合的两个图形就是全等图形。2.全等图形的性质:全等多边形的对应边、对应角分别相等。3.全等三角形:三角形是特殊的多边形,因此,全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样,如果两个三角形的边、角分别对应相等,那么这两个三角形全等。
说明:全等三角形对应边上的高,中线相等,对应角的平分线相等;全等三角形的周长,面积也都相等。注意:(1)周长相等的两个三角形,不一定全等;(2)面积相等的两个三角形,也不一定全等。 二、全等三角形的判定: 1.一般三角形全等的判定(1)边边边公理:三边对应相等的两个三角形全等(“边边边”或“SSS”)。(2)边角边公理:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”)。(3)角边角公理:两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”)。(4)角角边定理:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“AAS”)。 2.直角三角形全等的判定斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“HL”).注意:两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。 三、角平分线的性质及判定: 性质定理:角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理:到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤: 1.确定已知条件(包括隐含条件,如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系); 2.回顾三角形判定公理,搞清还需要什么; 3.正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题)。 1.1轴对称现象 1.轴对称图形:(1)如果一个图形沿一条直线折叠后,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫轴对称图形。这条直线叫对称轴。(注意:对称轴是一条直线,不是线段,也不是射线)。 (2)轴对称图形至少有一条对称轴,最多可达无数条。 例:①圆的对称轴是它的直径( ×) 直径是线段,而对称轴是直线(应说圆的对称轴是过圆心的直线或直径所在的直线); ②角的对称轴是它的角平分线( ×) 角平分线是射线而不是直线(应说角的对称轴是角平分线所在的直线);
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法:最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ,则第三边的取值范围是 两边之差<第三边<两边之和 例:下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例:已知三角形的两边分别是7和12,则第三边长得取值范围为( ) 考点二:5、三角形具有 性,四边形具有 性 例:下列图形具有稳定性的是( ) A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三: 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线,垂足为D , 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注:三角形面积=底×底边上的高 例:AD 是△ABC 的高,∠ADB=∠ADC= 例:AD 是△ABC 的高,AD=3,BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D , 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言: AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注:三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例:AD 是△ABC 的中线 ,BD=3,则CD= ,BC= , 若△ABC 的面积是18,则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ,那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言: AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例:AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=70度,则∠BAD= ,∠CAD= 考点四:三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言:∠A+∠B+∠C= 例:在△ABC 中,∠B=45度,∠C=55度,则∠A= 考点五:三角形的外角 1、定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言: ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例:如图,已知∠ACD=120度,∠B=50度,则∠A= 考点六:n 边形的内角和公式等于 例:计算五边形的内角和是 例:一个多边形的内角和是720度,则这个多边形的边数是 考点七:多边形的外角和等于 例:十二边形的外角和等于 例:正多边形的每个外角的度数都是40度,则这个正多边形的边数是
初三数学相似三角形 (一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是: 1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。 2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。 3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。 4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题 本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。 本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。 相似三角形是平面几何的主要内容之一,在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。 (二)重要知识点介绍: 1. 比例线段的有关概念: 在比例式 ::中,、叫外项,、叫内项,、叫前项,a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ,使AC 2 =AB ·BC ,叫做把线段AB 黄金分割,C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质: ①基本性质: a b c d ad bc =?= ②合比性质: ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质: ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理: ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥l 2∥l 3。 则 ,,,…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF ===
相似三角形压轴经典大题解析 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A , 1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) MN BC ∥ AMN ABC ∴△∽△ 68 h x ∴= 34 x h ∴= (2)1AMN A MN △≌△ 1A MN ∴△的边MN 上的高为h , ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时, 1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴△∽△△∽△
12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 68242 ABC S =??=△ 2 2 363224122 462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? △△ 所以 2 91224(48)8 y x x x =- +-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2 912248 y x x =-+-, 取16 3x = ,8y =最大 86> ∴当16 3 x =时,y 最大,8y =最大 2.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由; M N C B E F A A 1
第二单元:认识三角形和四边形知识点及测试题 1.图形分为:立体图形和平面图形。 2.平面图形:a、圆(由曲线围成的图形)b、三角形、四边形、多边形(由线段围成的图形) 3.三角形内角和是180°。锐角:小于90°的角是锐角。钝角:大于90°的角是钝角。直角: 等于90°的角是直角。平角=180°;周角=360° 4.等腰三角形相等的两条边叫做腰。等腰三角形两腰间的夹角叫顶角。腰与底边的夹角叫底角。 5.等腰三角形包含:等腰三角形、等边三角形(又叫正三角形)、等腰直角三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形,它的每个内角都是60°。 6.三角形不易变形具有稳定性。四边形易变形具有不稳定性. 直角三角形(有一个直角两个锐角) 按角分锐角三角形(三个角都是锐角) 钝角三角形(有一个钝角两个锐角) 7 .三角形 (有三条边)等边三角形(三条边都相等)是对称图形,有三条对称轴 按边分等腰三角形(有两条边相等)是对称图形,有一条对称轴 不等边三角形(三条边都不相等) 8.三角形任意两边之和大于第三边。 9.由四条线段围成的封闭图形叫四边形四边形内角和是360°。 10.正方形是特殊的长方形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。 11.平行四边形:两组对边分别平行且相等的四边形。 12.梯形:只有一组对边平行的四边形。 13.平行的两条边叫做梯形的底边,上面的一条叫上底,下面一条叫下底。 14.梯形的周长:上底+下底+腰+腰梯形的面积:(上底+下底)×高÷2 15..根据三角形的边长判定三角形的类型:
较小两边的平方和小于最长边的平方 钝角三角形 较小两边的平方和等于最长边的平方 直角三角形 较小两边的平方和大于最长边的平方 钝角三角形 16.. 等腰三角形的两个底角相等。等边三角形是特殊的等腰三角形。 一般平行四边形 平行四边形: 长方形 (两组对边分别平行且相等的四边形) 正方形 17. 四边形 一般四边形: (有四条边) (两组对边都不平行的四边形) 一般梯形 梯形: 等腰梯形:两条腰相等,同一底上的两个底角相等。 (只有一组对边平行的四边形) 直角梯形:一条腰垂直于的的梯形。 第二单元认识三角形和四边形测试题 一、 填空: 1.有一个角是直角的三角形是( )有一个角是钝角的三角形是( ),三个角是锐角的三角形是( )。任何三角形都有( )个角,( )条边,( )顶角。 2.等腰三角形相等的两条边叫( ),另一条边叫( );两腰的夹角叫( ),底边上的两个角叫( )。 3.三角形中三个角都相等的是( )三角形,又叫( )三角形。它的三天边都( ),每个角都是( )度。 4.三角形按角分可以分为( )( )( );按边分可以分为( )( )( )。三角形是( )图形,圆球是( )图形。 5.三角形最多有( )直角,最多有( )钝角,最多有( )锐角,至少有( )个锐角。 6.( )条边相等的三角形是等腰三角形,( )条边都相等的三角形是等边三角形。 7.三角形具有( )性,而( )易变形。