高考物理计算题复习《天体密度和质量的计算》(解析版)

《天体密度和质量的计算》

一、计算题

1.如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速

度抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求：

该星球表面的重力加速度；

该星球的密度；

人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期T

2.如图所示，火箭栽着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器火箭

从地面起飞时，以加速度竖直向上做匀加速直线运动为地面附近的重力加速度，已知地球半径为R．

到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的，求此时火箭离地

面的高度h．

探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和

测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为，试问：该行星的平均密度为多少？

假定行星为球体，且已知万有引力恒量为

3.飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道

上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为，万有引力常量G已知，

求地球的密度飞船由A点到B点所需的时间。

4.我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，“嫦娥1号”探月卫星也已发射。设想嫦娥

1号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，飞船发射的月球车在月球软着陆后，自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t 落回抛出点，已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求：

月球表面的重力加速度；

月球的密度；

月球的第一宇宙速度。

5.宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m

的小球可视为质点，如图所示当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动。已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为求：

若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？

月球的平均密度为多大？

轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？

6.已知某星球半径为R，若宇航员随登陆舱登陆该星球后，在此星球表面某处以速度

竖直向上抛出一个小球，小球能上升的最大高度为，不考虑星球自转的影响，引力常量为。

求星球表面的自由落体加速度和该星球的质量；

在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，求卫星的运行周期T．

7.宇航员站在一星球表面上高h处，以初速度沿水平方向抛出一个小球，小球落地

时的水平位移为已知该星球的半径为R，不计星球自转，万有引力常量为G，求：该星球表面的重力加速度；

该星球的质量；

该星球的第一宇宙速度。

8.如图所示，“嫦娥三号”探测器在月球上着陆的最后阶段为：当探测器下降到距离

月球表面高度为h时，探测器速度竖直向下，大小为v，此时关闭发动机，探测器仅在重力月球对探测器的重力作用下落到月面已知从关闭发动机到探测器着地时间为t，月球半径为R且，引力常量为G，忽略月球自转影响，则：

月球表面附近重力加速度g的大小；

月球的质量M．

9.一航天仪器在地面上重为，被宇航员带到月球表面上时重为已知月球半径为R，

引力常量为G，地球表面的重力加速度大小为，求：

月球的密度；

月球的第一宇宙速度和近月卫星贴近月球表面的周期．

10.宇航员站在星球表面，从高h处以初速度水平抛出一个小球，小球落到星球表面

时，与抛出点的水平距离是x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量M．

11.2016年8月16日，我国科学家自主研制的世界首颗量子科学实验卫星“墨子号”

成功发射，并进入预定圆轨道．已知“墨子号”卫星的质量为m，轨道离地面的高度为h，绕地球运行的周期为T，地球半径为R，引力常量为求：

“墨子号”卫星的向心力大小；

地球的质量；

第一宇宙速度．

12.物体在地球上不同纬度处随地球自转所需向心力的大小不同，故同一个物体在地球

上不同纬度处重力大小不同，在地球赤道上的物体受到的重力与其在地球两极点受到的重力大小之比约为299：300，因此我们通常忽略两者的差异，可认为两者相等．而有些星球，却不能忽略．假如某星球因为自转原因，一物体在赤道上的重力与其在该星球两极点受到的重力大小之比为5：6，已知该星球的半径为R，求绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r；

若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，求该星球的密度．

13.某行星的自转周期为T，用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物

体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小引力常量为G，行星视为球体．

求行星的平均密度；

设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，求此时的自转周期．

14.中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球

上着陆后，将一个小球从距月球表面高度h处自由释放，测得小球从静止落到月球上的时间为t，不计阻力．已知月球半径为R，万有引力常量为求：月球的质量月；

如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度；

当着陆器绕距月球表面高H的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期．

15.“嫦娥一号”卫星在距月球表面高度为h处做匀速圆周运动的周期为T，已知月球

半径为R，引力常量为球的体积公式，其中R为球的半径求：

月球的质量M；

月球的密度；

月球表面的重力加速度g．

16.科学家观测到某一卫星环绕月球做匀速圆周运动，卫星距月球表面的高度为己知

月球半径为R，月球质量为M，引力常量为G，忽略月球自转影响．求：月球表面的重力加速度g；

该卫星绕月球运行时速度v；

该卫星环绕月球运行的周期T．

17.宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若它

在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间小球落回原处．取地球表面重力加速度，空气阻力不计，忽略星体和地球的自转求该星球表面附近的重力加速；

已知该星球的半径与地球半径之比为星：地：2，求该星球的质量与地球质量之比星：地．

18.一颗“北斗”导航卫星在距地球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，已知地球

半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为求：

地球的质量M；

地球的第一宇宙速度；

该“北斗”导航卫星做匀速圆周运动的周期T．

19.“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一部，

假设“嫦娥一号”在月球的近地轨道上做匀速圆周运动，绕行周期为T，月球的半径为R，万有引力常量为G。

求月球的质量M；

求月球表面的重力加速度g。

20.我国已经进入全面的天空活动中，2016年10月19日，神

舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交

会对接，再次引起人们对月球的关注．我国发射的“嫦娥

三号”探月卫星在环月圆轨道绕行n圈所用时间为t，如图

所示．已知月球半径为R，月球表面处重力加速度为月，

引力常量为试求：

月球的质量M；

月球的第一宇宙速度；

“嫦娥三号”卫星离月球表面高度h．

21.已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，

求地球的平均密度；

假设“神舟七号”飞船进入预定轨道后绕地球做匀速圆周运动，运行的周期是T，求飞船绕地球飞行时离地面的高度h．

22.10年10月1日，我国“嫦娥二号”探月卫星成功发射。“嫦娥二号”卫星开始绕

地球做椭圆轨道运动，经过若干次变轨、制动后，最终使它绕月球在一个圆轨道上

运行。设“嫦娥二号”距月球表面的高度为h，绕月圆周运动的周期为T。已知月球半径为R，引力常量为G。求：

月球的质量M；

月球表面的重力加速度g；

若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大。

23.宇航员到达某行星上，一小球从高为h处自由下落，落到星球表面时速度为，设

行星的半径为R、引力常量为G，求：

该行星表面的重力加速度大小；

该行星的质量。

24.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统

在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可以推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r

试推算这个双星系统的总质量引力常量为

研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星经过一段时间的演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星间距变为原来的n倍，则此时双星做圆周运动的周期变为原来的多少倍？

25.一颗卫星以轨道半径r绕地球做匀速圆周运动，已知引力常量为G，地球半径R，

地球表面的重力加速度g，求：

地球的质量M；

该卫星绕地球运动的线速度大小v。

26.火星探测飞行器发送回的信息表明，探测器关闭发动机后，在离火星表面为h的高

度沿圆轨道运行过程中，测得周期为T，已知火星半径为R，引力常量为G．求火星的密度．

求火星表面的重力加速度．

27.卡文迪许利用微小量放大法由实验测出了万有引力常量G的数值，因为由G的数

值及其它已知量，就可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被誉为第一个“称量”

地球的人．

若在某次实验中，卡文迪许测出质量分别为、相距为r的两个小球之间引力的大小为F，求万有引力常量G；

若已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，忽略地球自转的影响，请推导出地球质量M．

28.在月球表面上沿竖直方向以初速度抛出一个小球，测得小球经时间t落回抛出点，

已知该月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求：

月球的密度；

月球的第一宇宙速度。

答案和解析

1.【答案】解：设该星球表现的重力加速度为g，根据平抛运动规律：

水平方向：

竖直方向：

平抛位移与水平方向的夹角的正切值

得；

在星球表面有：，

该星球的密度：

解得；

由，可得，

又，所以；

绕星球表面运行的卫星具有最小的周期，即：

该星球表面的重力加速度为；

该星球的密度为；

人造卫星绕该星球表面做匀速圆周运动的周期T为。

【解析】根据平抛运动规律列出水平方向和竖直方向的位移等式，结合几何关系求出重力加速度。

忽略地球自转的影响，根据万有引力等于重力列出等式。根据密度公式求解。

该星球的近地卫星的向心力由万有引力提供，该星球表面物体所受重力等于万有引力，联立方程即可求出该星球的第一宇宙速度v。

处理平抛运动的思路就是分解。重力加速度g是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量。

2.【答案】解：火箭刚起飞时，以测试仪为研究对象，受地球引力、平台的支持力，有：

根据牛顿第三定律，起飞时测试仪器对平台的压力大小为．

设火箭离地高为h时，平台对测试仪器的支持力为，则有：，其中G为万有引力恒量，M为地球质量．

在地面附近，有：

则：

于是得到：

设行星质量为M，行星平均密度为，

又有：

得：．

答到某一高度时，测试仪器对平台的压力是刚起飞时压力的，此时火箭离地面的高度h为．

探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为，则该行星的平均密度为．

【解析】以测试仪器为研究对象，根据牛顿第二定律求出某一高度处的重力加速度，再由重力等于万有引力，代入数据求解火箭离地面的高度．

现根据万有引力提供向心力，求出行星的质量，再根据密度的定义式，计算密度．本题中称为黄金代换式，反映了重力加速度与高度的关系，可根据重力

与万有引力推导出来的．

3.【答案】解：设地球质量为M，飞船质量为m，飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，由牛顿第二定律得：，地球质量：，解得地球的密度为：；

根据题意得椭圆轨道的半长轴

根据开普勒第三定律得：，因为，

解得：

则飞船由A点到B点的运动时间为：。

答：地球的密度为；

飞船由A点到B点所需要的时间是。

【解析】飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，根据圆周运动的公式及球体体积公式即可求出地球的密度；根据开普勒第三定律，结合椭圆轨道半长轴的大小，求出飞船在椭圆轨道上的周期，从而求出飞船由A点到B点所需的时间。

由万有引力提供向心力将描述圆周运动的参量联系起来是求解的关键，使用开普勒第三定律求解是难点。

4.【答案】解：根据竖直上抛运动的特点可知：

所以：；

设月球的半径为R，月球的质量为M，则：

体积与质量的关系：

联立得：；

由万有引力提供向心力得：

联立得：；

答：月球表面的重力加速度是；

月球的密度是；

月球的第一宇宙速度是。

【解析】根据竖直上抛运动的特点，求出月球表面的重力加速度；

根据万有引力等于重力，结合体积、密度与质量的关系即可求出；

根据万有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度。

该题考查人造卫星的应用，解决本题的关键要建立模型，掌握万有引力等于重力和万有引力提供向心力。

5.【答案】解：小球在最高点重力充当向心力：

月球近地卫星最小发射速度：

又：

解得：

由：

得：

又：

解得：

对该卫星有：

解得：

答：

若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为

月球的平均密度为

轨道半径为2R的环月卫星周期为

【解析】由最小发射速度应是万有引力等于重力，而重力又充当向心力时的圆周运动速度，由此可以解得最小发射速度；

由万有引力等于重力解出质量，然后又密度等于质量除以体积可以得到密度；

由万有引力充当向心力的周期表达式，可以得到周期。

6.【答案】解：、在星球表面，抛出小球后做竖直上抛运动，

由

可得表面的重力加速度

星球表面的物体受到的重力等于万有引力

可得星球的质量

根据万有引力提供飞船圆周运动的向心力

有飞船的周期为

答：求星球表面的自由落体加速度为，该星球的质量为；

在登陆前，宇宙飞船绕该星球做匀速圆周运动，运行轨道距离星球表面高度为h，卫星的运行周期T为．

【解析】以初速度竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减为0时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出该星球表面的重力加速度g，卫星绕星球表面做匀速圆周运动，重力提供万有引力，据此列式可得卫星运行的周期．

认清竖直上抛运动的本质，根据匀减速直线运动规律求出物体的重力加速度，注意负号含义的交代，卫星运行的最小周期根据重力提供圆周运动的向心力列式求解即可．

7.【答案】解：近似认为小球受到万有引力恒定，由星球表面物体受到的重力等于万有引力可知小球只受重力作用，故小球做平抛运动，那么由平抛运动位移规律可得：

所以，该星球表面的重力加速度为：

；

由星球表面物体受到的重力等于万有引力可得：

所以，该星球的质量为：

；

近地卫星绕星球运动的速度为第一宇宙速度，故由万有引力做向心力可得：

所以有：；

答：该星球表面的重力加速度为；

该星球的质量为；

该星球的第一宇宙速度为。

【解析】根据小球做平抛运动，由位移规律求解；

根据星球表面物体受到的重力等于万有引力求解；

根据近地卫星绕星球运动的速度为第一宇宙速度，由万有引力做向心力求解。

万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解，若是变轨问题则由能量守恒来求解。

8.【答案】解：探测器关闭发动机后做竖直下抛运动，有

解得：

根据重力等于万有引力，有

得

答：月球表面附近重力加速度g的大小；

月球的质量M为．

【解析】根据匀变速直线运动的规律求月球表面的重力加速度

根据重力等于万有引力求月球质量

解决本题的关键是明确探测器的受力情况和运动情况，然后根据运动学公式和万有引力定律列方程求解，难度不大．

9.【答案】解：在地面上有：，

在月球表面上有：，

月球的质量为：，

联立解得月球的密度为：．

设月球的第一宇宙速度为v，近月卫星的周期为T，则

，

，

，

解得，．

答：月球的密度为；

月球的第一宇宙速度为，近月卫星贴近月球表面的周期为．

【解析】根据物体在月球上的重力等于月球对物体的万有引力求出月球的质量，结合月球的体积求出月球的密度．

根据重力提供向心力求出月球的第一宇宙速度以及近月卫星的周期．

解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．

10.【答案】解：设星球表面的重力加速度为g，

则根据小球的平抛运动规律得：

在星球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：，

联立以上等式得：

答：该星球的质量是．

【解析】要求星球的质量，根据重力等于万有引力，但必须先由平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度g，再联立求解；

平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度运用重力等于万有引力，得到，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量地球质量的原理．

11.【答案】解：“墨子号”卫星的角速度，

“墨子号”卫星的向心力

万有引力提供“墨子号”卫星向心力

解得地球的质量

万有引力提供物体绕地球表面做匀速圆周运动向心力

解得第一宇宙速度

【解析】解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，知道第一宇宙速度是贴近星球表面做匀速圆周运动的线速度。

根据“墨子号”卫星的周期求出角速度，结合向心力公式求出“墨子号”卫星的向心力大小；

根据万有引力提供向心力，结合“墨子号”卫星的轨道半径和周期，求出地球的质量；

根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的大小；

12.【答案】解：设物体质量为m，星球质量为M，星球的自转周期为T，物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：

万极

物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力赤，有：万赤

，

因为

赤极

得：

该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：

联立解得：

在星球赤道上，有：

可得：

又因星球的体积：

所以该星球的密度：

答：绕该星球运动的同步卫星的轨道半径为36 R；

若已知该星球赤道上的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，则该星球的密度为．

，物体在星【解析】物体在星球两极时，万有引力等于重力，即：

万极

球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力赤，有：万赤，该星球的同步卫星的周期等于自转周期T，则有：，结合题目中的条件，计算绕该星球运动的同步卫星的轨道半径r．

在星球赤道上，有，解出该星球的质量，再根据密度的定义式计算星球的密度．

本题要知道物体在星球两极时，万有引力等于重力，物体在星球赤道上随星球自转时，向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力赤，有关系：万赤，这两个关系是解题的关键．

13.【答案】解：

放在行星两极处的物体，其万有引力等于重力，即，赤道上的物体有万有引力提供其向心力及重力，即在赤道上，把物体所受到的万有引力分解为自转所需的向心力和重力。

则

所以该行星的质量为

行星的平均密度为

对物体原来有

当物体飘起时，万有引力提供向心力，

有

由得：

【解析】解决此类问题的关键是找到物体和卫星做圆周运动所需要的向心力的来源，并结合万有引力定律解决问题。

在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力。

物体飘起相当于行星的表面发射一颗环绕表面的卫星，其轨道半径近似等于星体半径R，由万有引力充当向心力可解的卫星的周期。

14.【答案】解：设月球表面的重力加速度为g，由自由落体运动可得：

得：

着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，有：月

得：

月

卫星绕月球表面运行，有：月

联立得：

由牛顿第二定律有：月

联立得：

答：月球的质量

；

月

如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为；

当着陆器绕距月球表面高H的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期为

．

【解析】根据自由落体运动的知识求出月球表面的重力加速度．根据万有引力等于重力求出月球的质量．

以最小速度发射的卫星将贴着月球的表面运行，轨道半径等于月球的半径．根据万有引力提供向心力求出最小的发射速度．

根据万有引力提供向心力求着陆器环绕月球运动的周期．

解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及万有引力提供卫星做圆周运动的向心力．15.【答案】解：根据万有引力提供向心力得，，

解得月球的质量．

月球的密度．

月球表面万有引力等于重力，根据，

又．

解得．

答：月球的质量M为；

月球的密度为；

月球表面的重力加速度g为．

【解析】根据万有引力提供向心力，结合嫦娥一号卫星的周期和轨道半径求出月球的质量．

根据月球的质量以及月球的体积求出月球的密度．

根据万有引力等于重力求出月球表面的重力加速度．

解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．

16.【答案】解：设月球表面有一质量为的物体，忽略月球自转影响

则月球表面的物体所受万有引力等于重力，有：

解得：

设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，则有：

2020年高考物理专题复习：天体质量和密度的估算精讲

考点精讲 一、万有引力定律及其应用 1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。 2. 表达式：F ＝2 21r m Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 3. 适用条件： （1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点； （2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。 二、天体质量和密度的计算 1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G 2r Mm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2 r ＝m 2 24T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2R Mm ＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。 2. 天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 由于G 2R Mm ＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2， 天体密度ρ＝33 4R M V M π= ＝GR g π43。 （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。 ①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm ＝m 224T πr ，得出中心天体质量M ＝2 324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝3 3 4R M V M π=＝323 R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝2 3GT π 。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

2019年高考物理二轮专题复习：专题9 天体的质量与密度、卫星参数的计算讲学稿

第9讲：天体的质量与密度、卫星参数的计算 一.考向认知 ㈠命题特点与趋势 近几年有关万有引力定律及其应用的题目在高考中通常以选择题的形式出现，极个别情况下会出现在计算题中，难度一般中等；在考查内容上一般考查天体运动参量间的关系、天体质量(密度)的估算、万有引力定律等基本概念和基本规律的理解与应用，有时还会涉及能量知识，同时还会考查运用控制变量法进行定性判断或定量计算的能力． ㈡要点熟记 万有引力定律 1.内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比. 2.表达式 F ＝ G m 1m 2 r 2，G 为引力常量，G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2. 3.适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点. (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离. 4.天体运动问题分析 (1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供. (2)基本公式： G Mm r 2 ＝ma ＝????? m v 2 r →v ＝GM r mr ω2 →ω＝GM r 3 mr ? ????2πT 2 →T ＝2πr 3GM mv ω 二.典例精析 考向1： 天体质量和密度的计算 1．自力更生法：利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2 G 。

天体密度：ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3g 4πGR 。 2．借助外援法：通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。 (1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量为M ＝4π2r 3 GT 2 。 (2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3GT 2R 3 。 (3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π GT 2 ， 可见，只要测出卫星环绕天体表面运行的周期T ，就可估算出中心天体的密度。 例1．(2018湖南长沙市高三统考)2016年11月17日12时41分，我国航天员景海鹏、陈冬踏上返回之旅．他们在“天宫二号”空间实验室已工作生活了30天，创造了中国航天员太空驻留时间的新纪录．假设未来的某一天我国宇航员登上某一星球，测得该星球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的2倍，而该星球的平均密度与地球的差不多，则该星球质量大约是地球质量的( ) A ．2倍 B.4倍 C ．8倍 D ．16倍 例2.(2018全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19ms.假设星体为质量均匀分布的球体，万有引力常量为6.67×10 －11 N·m 2/kg 2 .以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( ) A ．5×109 kg/m 3 B ．5×1012 kg/m 3 C ．5×1015 kg/m 3 D ．5×1018 kg/m 3 考向2： 卫星运行参数的分析 1．熟记一个模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。 2．天体运动中常用的公式 (1)运行天体的线速度：v ＝s t ＝ GM r ＝gR 2r ∝1 r (当r ≈R 时，v ＝gR )； (2)运行天体的角速度：ω＝ θ t ＝ GM r 3 ＝gR 2r 3∝1 r 3(当r ≈R 时，ω＝g R )； (3)运行天体的周期：T ＝2π ω ＝2π r 3 GM ＝2πr 3gR 2∝r 3 (当r ≈R 时，T ＝2πR g )；

2020高考备考物理重难点《天体运动与人造航天器》(附答案解析版)

重难点05 天体运动与人造航天器 【知识梳理】 考点一 天体质量和密度的计算 1．解决天体（卫星）运动问题的基本思路 （1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 ma r mv r T m r m r Mm G ====222 2)2(πω （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即2 R Mm G mg =（g 表示天体表面的重力加速度）． （2）利用此关系可求行星表面重力加速度、轨道处重力加速度： 在行星表面重力加速度：2 R Mm G mg =，所以 2R M G g = 在离地面高为h 的轨道处重力加速度：2)(h R Mm G g m +='，得 2 )(h R M G g +=' 2．天体质量和密度的计算 （1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于2R Mm G mg =，故天体质量G gR M 2 = 天体密度：GR g V M πρ43= = （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r . ①由万有引力等于向心力，即r T m r Mm G 22)2(π=，得出中心天体质量23 24GT r M π=； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 3 23 3R GT r V M πρ== ③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度 23GT V M πρ== .可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度． 【重点归纳】 1.黄金代换公式 （1）在研究卫星的问题中，若已知中心天体表面的重力加速度g 时，常运用GM ＝gR 2作为桥梁，

高考物理考题一 天体质量(密度)的估算

考题一 天体质量(密度)的估算 求解中心天体质量、密度的方法 1.利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 求解 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2 G . 2.利用卫星绕天体做匀速圆周运动求解 (1)已知卫星的轨道半径r 和该轨道上的重力加速度g ，根据GMm r 2＝mg ，得M ＝gr 2 G ； (2)已知卫星线速度v 和轨道半径r ，根据GMm r 2＝m v 2 r 得M ＝r v 2G ； (3)已知卫星运转周期T 和轨道半径r ，由GMm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3 GT 2； (4)已知卫星线速度v 和运转周期T ，根据GMm r 2＝m v 2π T 和r ＝v T 2π得M ＝v 3T 2πG .

3.天体密度的估算一般在质量估算的基础上，利用M ＝ρ·4 3 πR 3进行. 例1 宇宙中有两颗相距无限远的恒星S 1、S 2，半径均为R 0.图1分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与半径r 3的图象，则( ) 图1 A.恒星S 1的质量大于恒星S 2的质量 B.恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度 C.恒星S 1的第一宇宙速度大于恒星S 2的第一宇宙速度 D.距两恒星表面高度相同的行星，S 1的行星向心加速度较大 解析 两颗恒星周围的行星绕恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2 T 2r ， 变形得T 2r 3＝4π2 GM .故图象的斜率越大，质量越小.故恒星S 1的质量小于恒星S 2的质量.故A 错. 因为两颗恒星的半径相等，所以体积相等，故恒星S 1的密度小于恒星S 2的密度，故B 对.由G Mm R 2＝m v 2R 变形后得第一宇宙速度v ＝ GM R ，即质量越大，第一宇宙速度越大.故恒星S 1的第一宇宙速度小于恒星S 2的第一宇宙速度，故C 错.行星向心加速度a ＝GM r 2，行星距两恒 星表面高度相同，故质量越大，加速度越大，故D 错. 答案 B 变式训练 1.地质勘探发现某地区表面的重力加速度发生了较大的变化，怀疑地下有空腔区域.进一步探测发现在地面P 点的正下方有一球形空腔区域储藏有天然气，如图2所示.假设该地区岩石均匀分布且密度为ρ，天然气的密度远小于ρ，可忽略不计.如果没有该空腔，地球表面正常的重力加速度大小为g ；由于空腔的存在，现测得P 点处的重力加速度大小为kg (k ＜1).已知引力常量为G ，球形空腔的球心深度为d ，则此球形空腔的体积是( )

(全国通用)高考物理一轮复习 第5章 万有引力定律 微专题22 天体质量、密度和重力加速度-人教版高

天体质量、密度和重力加速度 [方法点拨] (1)考虑星球自转时星球外表上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．(2)一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在地面上随地球一块自转的物体．环绕天体受到的万有引力全部提供向心力，地面上的物体受到的万有引力只有很少一局部用来提供向心力． 1．(天体密度的计算)嫦娥五号探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg 月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为( ) 月球半径 R 0 月球外表处的重力加速度 g 0 地球和月球的半径之比 R R 0＝4 地球外表和月球外表的重力加速度之比 g g 0 ＝6 A.3∶2 B．2∶3 C．4∶1 D．6∶1 2．(天体质量的计算)地球质量为M ，半径为R ，地球外表重力加速度为g ，一类地行星的质量为地球的p 倍、半径为地球的q 倍，该行星绕中心恒星做匀速圆周运动的周期为T ，线速度为v ，如此类地行星外表的重力加速度和中心恒星的质量分别为( ) A.q 2p g MTv 32πgR 2 B.p q 2g MTv 32πgR 2 C.q 2p g MTv 22πgR D.p q 2g MTv 22πgR 3．(重力加速度的计算)科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，参加人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机准确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．假设某黑洞的 半径R 约45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 22G (其中c ＝3×108 m/s ，G 为引力常量)， 如此该黑洞外表的重力加速度的数量级大约为( ) A ．108 m/s 2 B ．1010 m/s 2 C ．1012 m/s 2 D ．1014 m/s 2

2019高考物理一轮复习 微专题系列之热点专题突破 专题18 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速

突破18天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算 一、天体表面上的重力加速度问题 重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg ＝R2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(GMm,R2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(GMm ，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。 计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg ＝G R2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(mM,R2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(mM ，得g ＝R2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(GM,R2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(GM (2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′， mg ′＝(R ＋h2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(GmM,(R ＋h2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(GmM ，得，g ′＝(R ＋h2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(GM,(R ＋h2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(GM 所以g′,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(g ,g′EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(g ＝ R2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11((R ＋h2,R2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11((R ＋h 2 (3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析．

天体运动中天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(解析版)

天体表面重力加速度问题与天体质量和密度的估算 一、天体表面上的重力加速度问题 重力是由于物体受到地球的万有引力而产生的，严格说重力只是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转做圆周运动的向心力，但由于向心力很小，一般情况下认为重力约等于万有引力，即mg ＝GMm R2，这样重力加速度就与行星质量、半径联系在一起，高考也多次在此命题。 计算重力加速度的方法 (1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg＝G mM R2，得g＝ GM R2 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′， mg′＝ GmM R＋h2 ，得，g′＝ GM R＋h2 所以 g g′＝ R＋h2 R2 (3)其他星球上的物体，可参考地球上的情况做相应分析． 【典例1】宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的 物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为() A．0 B. GM R＋h2 C.GMm R＋h2 D. GM h2 【解析】飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G Mm R＋h2 ＝mg，得g＝ GM R＋h2 ，选项B 正确。 【答案】 B 【典例2】假设有一火星探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行。若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7。设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g。下列结论正确的是() A．g′∶g＝1∶4 B．g′∶g＝7∶10 C．v′∶v＝5 28D．v′∶v＝ 5 14

专题26 中心天体质量密度的计算问题(解析版)

高考物理备考微专题精准突破 专题2.6 中心天体质量密度的计算问题 【专题诠释】 中心天体质量和密度常用的估算方法 【高考领航】 【2019·新课标全国Ⅰ卷】在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧的压缩量x间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a–x关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体。已知星球M的半径是星球N的3倍，则（） 1

= A ．M 与N 的密度相等 B ．Q 的质量是P 的3倍 C ．Q 下落过程中的最大动能是P 的4倍 D ．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是P 的4倍 【答案】AC 【解析】A 、由 a –x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有： mg - kx = ma ， 变形式为： a = g - k m x ，该图象的斜率为 - k m ，纵轴截距为重力加速度 g 。根据图象的纵轴截距可知，两 g M 3a 0 3 星球表面的重力加速度之比为： = = ；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等， g N a 0 1 即： G Mm ' = m 'g ，即该星球的质量 M = gR 2 。又因为： M = ρ 4πR 3 ，联立得ρ= 3g 。故两星球的 R 2 G 3 4πRG ρM 密度之比为： = g M ⋅ R N = 1:1，故 A 正确；B 、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为 0 的一瞬间， ρN g N R M 其所受弹力和重力二力平衡， mg = kx ，即： m = kx ；结合 a –x 图象可知，当物体 P 和物体 Q 分别处于平 g x P x 0 衡位置时，弹簧的压缩量之比为： = 1 ，故物体 P 和物体 Q 的质量之比为： m P = x p ⋅ g N = 1 ， x Q 2x 0 2 m Q x Q g M 6 故 B 错误；C 、物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置（a =0）时，它们的动能最大；根据v 2 = 2ax ，结 合 a –x 图象面积的物理意义可知：物体 P 的最大速度满足v 2 = 2 ⋅ 1 ⋅3a ⋅ x = 3a x ，物体 Q 的最大速度满 P 2 0 0 0 0 1 2 E m Q v Q m v 2 足： v 2 = 2a x ，则两物体的最大动能之比： kQ = 2 = Q ⋅ Q = 4 ，C 正确；D 、物体 P 和物体 Q Q 0 0 E 1 2 m v 2 kP 2 m P v P P P 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（a =0）可知，物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别为 x 0 和2x 0 ，即物体 P 所在弹簧最大压缩量为 2 x 0 ，物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 x 0 ，则 Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍，D 错误；故本题选 AC 。 【2019·浙江选考】20 世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直 2

2018届高考物理二轮复习计算天体质量的两条思路学案(全国通用)

第14点 计算天体质量的两条思路 1.“自力更生”法——根据天体表面的重力加速度求解 忽略天体自转的影响，物体的重力近似等于物体所受的万有引力，即mg ＝G Mm R 2，得M ＝R 2g G .(式中M 、g 、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加速度和天体的半径). 2.“借助外援”法——根据环绕运转的圆周运动求中心天体的质量 选绕天体运动的另一星体(或人造星体)为研究对象，将星体的运动视为匀速圆周运动，星体绕天体做匀速圆周运动所需的向心力由天体对星体的万有引力提供，利用牛顿第二定律得 G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T 2 若已知星体的轨道半径r 和星体的运行线速度v 、角速度ω或周期T ，可求得中心天体的质 量为M ＝r v 2G ＝ω2r 3G ＝4π2r 3 GT 2. 3.星球密度的计算 根据求得的星球质量，由ρ＝M V ＝M 43 πR 3可以求得星球的密度.其中R 为该星球的半径. 对点例题1 土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm 到10 m 的岩石、尘埃，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km 延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h ，引力常量为6.67×10 －11 N·m 2/kg 2，则 土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( ) A.9.0×1016 kg B.6.4×1017 kg C.9.0×1025 kg D.6.4×1026 kg 解题指导 环的外缘颗粒绕土星做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式： G mM R 2＝mR (2πT )2 M ＝4π2R 3GT 2，其中R 为轨道半径，大小为1.4×105 km ，T 为周期，约为14 h. 代入数据得：M ≈6.4×1026 kg. 答案 D

高考物理3年高考2年模拟1年原创专题5.2天体质量和密度的估算含解析

专题5.2 天体质量和密度的估算 【考纲解读与考频分析】 利用万有引力等于重力可以估算地球质量，若测量出绕天体运行卫星的周期和轨道半径可以估算天体的质量，若知道天体的半径，可以估算出天体的密度。高考有关天体质量和密度的估算考查频率较高。 【高频考点定位】：天体质量和密度的估算 考点一：天体质量和密度的估算 【3年真题链接】 1.（2018高考理综II·16）2018年2月，我国500 m口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T=5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（） A． B． C． D． 【参考答案】C 【命题意图】本题考查万有引力定律、牛顿运动定律、密度及其相关的知识点。 【解题思路】设脉冲星质量为M，半径为R。选取脉冲星赤道上一质元，设质量为m，由万有引力定律和牛顿第二定律可得G=mR（）2，星体最小密度ρ=M/V，星球体积V=πR3，联立解得：ρ=，代入数据得ρ=5×1015kg/m，选项C正确。 2.（2018高考全国理综I）．2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈，将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（） A．质量之积 B．质量之和 C．速率之和 D．各自的自转角速度 【参考答案】BC

【命题意图】本题考查天体运动、万有引力定律、牛顿运动定律及其相关的知识点。 【解题思路】双中子星做匀速圆周运动的频率f=12Hz（周期T=1/12s），由万有引力等于向心力，可得，G=m1r1（2πf）2，G=m2r2（2πf）2，r1+ r2=r=40km，联立解得：（m1+m2）=（2πf）2Gr3，选项B正确A错误；由v1=ωr1=2πf r1，v2=ωr2=2πf r2，联立解得：v1+ v2=2πf r，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误。 3. （2018年11月浙江选考物理） 20世纪人类最伟大的创举之一是开拓了太空的全新领域。现有一艘远离星球在太空中直线飞行的宇宙飞船，为了测量自身质量，启动推进器，测出飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F（其它星球对它的引力可忽略）。飞船在某次航行中，当它飞近一个孤立的星球时，飞船能以速度v，在离星球的较高轨道上绕星球做周期为T的匀速圆周运动。已知星球的半径为R，引力常量用G表示。则宇宙飞船和星球的质量分别是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 【参考答案】D 【名师解析】根据题述，飞船在短时间Δt内速度的改变为Δv，和飞船受到的推力F，由牛顿第二定律，F=ma=m，解得飞船质量m=。飞船绕星球做圆周运动，由G=m，G=mr，联立解得：M=，选项D正确。 4.（2018年4月浙江选考）土星最大的卫星叫“泰坦”（如图，每16天绕土星一周，其公转轨道半径为已知引力常量，则土星的质量约为（） A. B. C. D. 【参考答案】B 【名师解析】：卫星受到的万有引力提供向心力，得： 其中：；T=16天，引力常量， 代入数据可得：，故B正确，A、C、D错误。 【2年模拟再现】 1．（2019广东惠州调研）科学家发现了一颗距离地球14光年的“另一个地球”沃尔夫，它是迄今为止在太阳系外发现的距离最近的宜居星球。沃尔夫的质量为地球的4倍，它围绕红矮星运行的周期为18天。设想从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫表面运行。已知万有引力常量为G，天体的环绕运动可看作匀速圆周运动。则下列说法正确的是（） A．从地球发射该探测卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B．根据沃尔夫围绕红矮星运行的运动周期可求出红矮星的密度 C．若已知围绕沃尔夫表面运行的探测卫星的周期和地球的质量，可近似求沃尔夫半径

高考物理(热点+题型全突破)专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题(含解析)

专题5.2 天体质量和密度的估算与天体表面重力加速度问题 一、天体的质量和密度 1．万有引力定律 (1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比。 (2)表达式：F ＝ Gm 1m 2 r 2 ，G 为引力常量， G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2。 2．中心天体质量和密度的估算 (1)“g 、R 法”：已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。 ①由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝g R 2 G 。 ②天体密度ρ＝M V ＝ M 43 πR 3＝3g 4πGR 。 (2)“T 、r 法”：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T 。 ①由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3 GT 2 。 ②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43 πR 3＝3πr 3 GT 2R 3 。 ③若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π GT 2可见，只要测出 卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。 【示例1】(2015江苏单科3)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 20，该中心恒星与太阳的质量比约为( ) A. 1 10 B ．1 C ．5 D ．10 【答案】： B 【解析】： 根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3 GT 2， 所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒 M 太＝r 3行T 2 地 r 3地T 2行＝8180 ≈1，故选项B 正确。 注意事项：

专题 天体质量和密度的估算 高一物理 (人教版2019)(解析版)

专题09 天体质量和密度的估算 一、利用黄金代换估算天体质量和密度 1．地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，引力常量为G ，下式关于地球密度的估算式正确的是（ ） A ．34g RG ρπ= B ．234g R G ρπ= C ．g RG ρ= D ．2 g GR ρ= 【答案】A 【解析】地球表面，忽略地球自转，重力等于万有引力有2Mm G mg R =得G gR M 2 =地球的密 度M V ρ= 又3 43 V R π=联立可得34g RG ρπ=故A 正确，BCD 错误。故选A 。 2．卡文迪许用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G = 6.67×10-11N·m 2/kg 2，地面上的重力加速度g =9.8m/s 2，地球半径R =6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg C ．6×1022 kg D ．6×1024 kg 【答案】D 【解析】根据公式2 GMm mg R =可得224610kg gR M G =≈⨯故ABC 错误D 正确。故选D 。 3．“科学真是迷人”，天文学家已经测出月球表面的加速度g 、月球的半径R 和月球绕地球运转的周期T 等数据，根据万有引力定律就可以“称量”月球的质量了。已知引力常数G ，用M 表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是（ ） A ．G gR M 2 = B ．2 GR M g = C ．23 24R M GT π= D ．23 24T R M G π= 【答案】A

(新高考)2021届高考物理二轮复习 计算中心天体质量密度问题 作业

2021届高考物理二轮复习力与曲线运动专项练习（4） 计算中心天体质量密度问题 1.由于行星自转的影响,行星表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同.航天员在某行星的“北极”处从高h 处自由释放一重物,测得经过时间1t 重物下落到行星的表面,而在该行星“赤道”处从高h 处自由释放一重物,测得经过时间2t 重物下落到行星的表面,已知该行星的半径为R ,引力常量为G ,则该行星的平均密度为( ) A.2 132πh GRt B. 2 134πh GRt C. 2 232πh GRt D. 2 234πh GRt 2.如图所示，两颗人造卫星绕地球运动，其中一颗卫星绕地球做圆周运动，轨道半径为r ，另一颗卫星绕地球做椭圆形轨道运动，半长轴为a 。已知在椭圆形轨道上运动的卫星绕地球n 圈所用时间为t ，地球的半径为R ，引力常量为G 。则地球的密度为（ ） A.23 233πn r Gt R B.23234π3n r Gt R C.23233πn a Gt R D.2323 4π3n a Gt R 3.我国航空航天技术已居于世界前列.如图所示,飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动,星球相对飞行器的张角为θ.已知万有引力常量G ,下列说法正确的是( ) A.轨道半径越大,周期越短 B.若测得周期和张角,可得到星球的平均密度 C.若测得周期和张角,可得到星球的质量 D.若测得周期和轨道半径,可得到星球的平均 密度

4.假如宇航员乘坐宇宙飞船到达某一行星,在该行星“北极”距“地面”高h 处无初速度释放一个小球,经时间t 落至“地面”.已知该行星的半径为R 、自转周期为T ,引力常量为G ,不计一切阻力.则下列说法正确的是( ) A.该行星的第一宇宙速度为2πR T B.该行星的平均密度为 2 32πh Gt C.如果该行星存在一颗同步卫星, D.宇宙飞船绕该行星做圆周运动的周期不小于π 5.科学家发现了一颗距离地球14光年的“另一个地球”沃尔夫，它是迄今为止在太阳系外发现的距离地球最近的宜居星球.沃尔夫的质量为地球的4倍，它围绕红矮星运行的周期为18天.设想从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫表面运行.已知引力常量为G ，天体的环绕运动可看作匀速圆周运动.则下列说法正确的是( ) A.从地球发射该探测卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B.根据沃尔夫围绕红矮星运行的周期可求出红矮星的密度 C.若已知围绕沃尔夫表面运行的探测卫星的周期和地球的质量，可近似求出沃尔夫的半径 D.沃尔夫绕红矮星公转和地球绕太阳公转的轨道半径的三次方的比值等于2 18( )365 6.习近平主席在2018年新年贺词中提到，科技创新、重大工程建设捷报频传，“慧眼”卫星遨游太空。“慧眼”于2017年6月15日在酒泉卫星发射中心成功发射，在10月16日的观测中，确定了γ射线的流量上限。已知“慧眼”卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r ，运动周期为T ，地球半径为R ，引力常量为G ，地球表面处的重力加速度为g ，则下列说法正确的是（ ） A.地球的平均密度为2 3π GT B.地球的质量为2 gr G C.地球表面的重力加速度大小为224πR T D.“慧眼”卫星的向心加速度大小为224πr T 7.2018年3月17日15时10分,我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭,成功将“陆地勘查卫星四号”发射升空,卫星进入预定轨道绕地球做匀速圆周运动.已知引力常量为G ,地球的半径为R ,为了测量地球的平均密度,还需测量的物理量有( ) A.“陆地勘查卫星四号”的轨道半径r 和周期T

高考物理一轮复习专题：第29讲+万有引力定律的应用-求天体的密度

万有引力定律的应用-求天体密度 ①地上跑的： ②天上飞的： 总结：已知 注意：R 指中心天体的球体半径，r 指行星或卫星的轨道半径。若行星或卫星绕近中心天体表面运行，则有R=r 。 注意：只能求中心天体的质量 求天体密度的方法（两种） 若为近地卫星公转周期已知，则r ≈R ，则 推导过程： 结论：若要测某星球密度，最简单方式。测其近地卫星的公转周期 注意：只能求中心天体的密度 练习: mg R Mm G =2G gR M 2 = =2r Mm G r v m 2r m 2ωr T m 22 4πG r v M 2= G r M 3 2ω= 2 3 24GT r M π= gR 中任两个、、r T v )(ωr r v v r T T ，求出，可以根据：、不可缺，，二者不独立，相当于给了，故给了补充：ωωωπω==2V M = ρM gR 中任两个、、r T v )(ω33 4R V π=23GT πρ= 3 22 2344R V r T m r Mm G ππ==2324GT r M π=3233R GT r πρ=

g-R 型 1．2020年7月23日12时41分，长征五号遥四火箭在海南文昌发射场点火起飞，将我国首次火星探测任务“天问一号”探测器送入地火转移轨道，迈出了我国行星探测的第一步。其携带的“祝融号”火星探测车安全到达预定位置，对火星进行科学探测。假想祝融号在火星表面做平抛运动科学试验，将质量为m 的小球距离地面高度h 位置以速度v 水平抛出，落地后水平方向分位移为x 。已知火星半径为R ，万有引力常量为G 。则下列说法正确的是（ ） A ．天问一号与火箭分离时的速度至少为16.7 km/s B ．火星表面的重力加速度 2hv x C ．火星的质量为22 2 2hv R M Gx = D ．根据题目条件无法求得火星的密度 2．科幻电影中提到的“洛希极限”是指当一个天体自身的引力与第二个天体造成的潮汐力相 等时的距离，已知行星与卫星的洛希极限计算式为1 132 ()d kR ρρ=，其中k 为常数，R 为行星半 径，ρ1、ρ2分别为行星和卫星的密度，若行星半径R ，卫星半径为27 R ，且表面重力加速度之比为8:1，则其“洛希极限”为（ ） A ．23 kR B ．32 kR C ．6kR D ．16 kR 3．由于地球自转的影响，地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同。已知地球表面两极处的重力加速度大小为0g ，在赤道处的重力加速度大小为g ，地球自转的周期为T ，引力常量为G 。假设地球可视为质量均匀分布的球体。下列说法不正确的是（ ） A ．质量为m 的物体在地球北极受到的重力大小为0mg B ．质量为m 的物体在地球赤道上受到的万有引力大小为mg C ．地球的半径为()202 4g g T π- D ．地球的密度为 () 0203g GT g g π -

高考物理一轮复习 专题5.2 中心天体质量和密度的测量千题精练

专题5.2 中心天体质量和密度的测量 一．选择题 1．（2019广东惠州调研）科学家发现了一颗距离地球14光年的“另一个地球”沃尔夫，它是迄今为止在太阳系外发现的距离最近的宜居星球。沃尔夫的质量为地球的4倍，它围绕红矮星运行的周期为18天。设想从地球发射一颗科学探测卫星围绕沃尔夫表面运行。已知万有引力常量为G，天体的环绕运动可看作匀速圆周运动。则下列说法正确的是 A．从地球发射该探测卫星的速度应该小于第三宇宙速度 B．根据沃尔夫围绕红矮星运行的运动周期可求出红矮星的密度 C．若已知围绕沃尔夫表面运行的探测卫星的周期和地球的质量，可近似求沃尔夫半径 D．沃尔夫绕红矮星公转和地球绕太阳公转的轨道半径的三次方之比等于 【参考答案】C 【命题意图】本题考查万有引力定律、宇宙速度及其相关知识点。 【知识辨析】第一宇宙速度7.9km/s，是从地面发射卫星所需要的最小速度，由于卫星围绕地球运动的线

速度与轨道半径有关，轨道半径越大，其线速度越小，所以7.9km/s 也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度；第二宇宙速度11.2km/s 是人造天体脱离地球引力束缚所需的最小速度；第三宇宙速度16.7km/s 是从地球起飞脱离太阳系的最低的飞行速度卫星。凡是在地面上发射围绕地球运动的航天器，其发射速度一定大于7.9km/s ，小于11.2km/s ；发射脱离地球引力范围，但是还在太阳系里运行的航天器其发射速度必须大于11.2km/s ，小于16.7km/s ；凡是发射脱离太阳引力范围的航天器，其发射速度一定大于16.7km/s 。 2.（2018高考全国II ）2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜（天眼）发现毫秒脉冲星“J0318+0253”，其自转周期T =5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为11 226.6710N m /kg -⨯⋅。 以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为 A ．9 3510 kg /m ⨯ B ．123510kg /m ⨯ C ．15 3 510kg /m ⨯ D ．183 510kg /m ⨯ 【参考答案】C 【名师解析】根据2224T R m R Mm G π=及334R M πρ⋅=得2 3GT πρ=，代入数据得=ρ153510kg /m ⨯ 3．(2018·邢台模拟)为研究太阳系内行星的运动，需要知道太阳的质量，已知地球半径为R ，地球质量为m ，太阳与地球中心间距为r ，地球表面的重力加速度为g ，地球绕太阳公转的周期为T 。则太阳的质量为( ) A. 4π2r 3 T 2R 2g B.T 2R 2g 4π2mr 3 C.4π2mgr 2r 3T 2 D.4π2mr 3T 2R 2g 【参考答案】D

2023届浙江高三物理高考复习专题模型精讲精练第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度(解析版)

第23讲 应用万有引力定律估算天体质量和密度 1．（2021·全国）卡文迪许用扭秤实验测定了引 力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪许也因此被称为“能称出地球质量的人”。已知引力常量G ＝6.67×10 ﹣11 N •m 2/kg 2，地面上的重 力加速度g ＝9.8m/s 2，地球半径R ＝6.4×106m ，则地球质量约为（ ） A ．6×1018kg B ．6×1020 kg C ．6×1022 kg D ．6×1024 kg 【解答】解：根据公式GMm R 2 =mg 可得M =gR 2G =9.8×(6.4×106)2 6.67×10 −11kg ＝6×1024 kg ，故ABC 错误，D 正确。 故选：D 。 2．（2021·乙卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU ）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M ，可以推测出该黑洞质量约为（ ） A ．4×104M B ．4×106M C ．4×108M D ．4×1010M 【解答】解：设地球的质量为m ，地球到太阳的距离为r ＝1AU ，地球的公转周期为T ＝1年； 由万有引力提供向心力可得：GMm r 2 =mr 4π2T 2 ， 解得：M = 4π2r 3 GT 2； 对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R ＝1000AU ，根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期 T′2 =（2002﹣1994）年＝8年，则周期为T ′＝16年， 根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M 黑=4π2R 3GT′ 2 ，其中R 为S 2的轨迹半长轴，

专题07 天体的质量和密度的估算-2019高考物理一轮复习专题详解(解析版)

知识回顾 1．牢记两个基本关系式 (1)利用F 万＝F 向，有GMm r 2＝m v 2r ＝mω2 r ＝m 4π2T 2r ＝ma . (2)在星球表面附近有GMm R 2＝mg 星． 2．明确三个常见误区 (1)天体质量和密度的估算是指中心天体而非环绕天体的质量和密度的估算． (2)注意区分轨道半径r 和中心天体的半径R . (3)在考虑自转问题时，只有两极才有GMm R 2＝mg . 规律方法 估算中心天体质量和密度的两条思路 (1)利用天体表面的重力加速度和天体半径估算 由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2G ，再由ρ＝M V ，V ＝43πR 3得ρ＝3g 4G πR . (2)已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得M ＝4π2r 3GT 2，再结合ρ＝M V ，V ＝43πR 3 得ρ＝3πr 3GT 2R 3――→天体表面ρ＝3π GT 2. 典例分析 【例1】 假设地球可视为重量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( ) A.3πg 0－g GT 2 g 0 B.3πg 0GT 2g 0－g C.3πGT 2 D.3πg 0GT 2g 【答案】 B 【例2】 宇宙中有两颗相距无限远的恒星s 1、s 2，半径均为R 0.图分别是两颗恒星周围行星的公转周期T 2与公转半径r 3的图象，则( )

A ．恒星s 1的质量大于恒星s 2的质量 B ．恒星s 1的密度小于恒星s 2的密度 C ．恒星s 1的第一宇宙速度大于恒星s 2的第一宇宙速度 D ．距两恒星表面高度相同的行星，s 1的行星向心加速度较大 【答案】 B 专题练习 1．(多选)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量．这两个物理量可以是( ) A ．卫星的速度和角速度 B ．卫星的质量和轨道半径 C ．卫星的质量和角速度 D ．卫星的运行周期和轨道半径 【答案】：AD 【解析】知道卫星的速度和角速度，由v ＝ωr 可求得卫星的轨道半径，根据G Mm r 2＝m v 2 r ，即可求得冥 王星的质量，选项A 正确；根据G Mm r 2＝m 2π T 2r ，知道卫星的运行周期和轨道半径，可求得冥王星的质量， 选项D 正确；求冥王星的质量，不需要知道卫星的质量，选项B 、C 错误． 2．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d .已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )