证明全概率公式

证明全概率公式

全概率公式是概率论中非常重要的一个定理，它可以用于求解多重样本空间中事件发生的概率。本文将从定义、证明及实例分析三个方面，来深入探讨全概率公式。

定义

在讲解全概率公式之前，我们需要先了解什么是样本空间。样本空间指的是所有可能的情况，例如投硬币的样本空间为 {正面，反面}。在统计学中，我们研究的是与这个样本空间相关的事件，例如投一次硬币，出现正面的事件。

全概率公式假设有一个样本空间Ω 和一组互不相交的事件{B1,B2,…,Bn}，则对于任意事件 A，它的概率可以表示为每个子事件与事件 A 的交集的概率之和，如下所示：

P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)

其中∩ 表示交集。

证明

接下来我们将证明全概率公式，证明过程分为两步：

- 首先证明P(A|B1), P(A|B2), … , P(A|Bn) 都存在

- 接着根据条件概率公式来推导全概率公式

证明第一步：

因为我们假设有一组互不相交的事件，所以B1,B2,…,Bn 两两互斥。可以将事件 A 分解为下列互不相交的两个部分：

A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)

下面证明P(A∩Bi) 存在（1≤i≤n）。因为A∩Bi 是一个 Bi 的子集，所以

P(A∩Bi) ≤ P(Bi)。而 P(Bi) 存在，所以P(A∩Bi) 存在。

根据条件概率公式，我们可以得到：

P(A|Bi) = P(A∩Bi) / P(Bi)

P(Bi) ≠ 0，所以 P(A|Bi) 存在。

证明第二步：

因为样本空间可以分解为互不相交的子集，所以可以利用加法公式来求解 A 的概率：

P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn)

接下来，将P(A∩Bi) 分子和分母同时除以 P(Bi)，得到：

P(A) =

P(A∩B1) / P(B1) * P(B1) +

P(A∩B2) / P(B2) * P(B2) +

… +

P(A∩Bn) / P(Bn) * P(Bn)

根据条件概率公式，P(A∩Bi) / P(Bi) 等于 P(A|Bi)，所以可以将公式转化为：P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn)

这就是全概率公式。

实例分析

为了更好理解全概率公式，我们举一个实例来说明。假设某商店运营着两个分支机构， A 和 B，每个分支机构的收益情况都有可能对总收益产生影响。目前总收益是多少是未知的，但已知如下信息：

- 分支机构 A 发生意外和不发生意外的概率分别为 0.3 和 0.7

- 分支机构 B 发生意外和不发生意外的概率分别为 0.4 和 0.6

- 如果不发生意外， A 和 B 产生 2000 元的收益；如果发生意外， A 产生 500 元的收益，B 产生 2500 元的收益

如果我们要计算整个商店发生意外的总概率以及收益的期望值，我们可以利用全概率公式。

对于事件 A 的收益情况可以用 {A1,A2} 来表示，其中 A1 为发生意外，A2 为未发生意外。

那么，全概率公式中的两个事件是：

B1：B 分支机构发生意外

B2：B 分支机构未发生意外

我们先计算 A 分支机构产生的期望收益：

P(A1) = 0.3，P(A2) = 0.7

E(A1) = 500，E(A2) = 2000

E(A) = P(A1)E(A1) + P(A2)E(A2) = 0.3*500 + 0.7*2000 = 1550

同样，B 分支机构不论发不发生意外，E(B) 都是 2000 元。

使用全概率公式求解商店发生意外的概率：

P(B1) = 0.3*0.4 = 0.12，P(B2) = 1 - P(B1) = 0.88

根据事件的概率和收益情况，可以计算投资商店期望得到的收益：

E = P(B1)*[0.3*500+0.7*2500] + P(B2)*1550 = 712

通过这个实例我们可以看到，全概率公式非常有用。无论是理论计算还是实际应用，全概率公式都会是一个非常实用的工具。

概率统计常见题型及方法总结

常见大题： 1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件 i A ”可以导致 B 这 个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因 i A 的概率问题 全概率公式：()()() 1 B |n i i i P B P A P A ==∑ 贝叶斯公式： 1(|)()() ()()n i i i j j j P A B P A P B A P A P B A ==∑｜｜ 一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分 则 b a a B P += )(1，2分 111++++ ++++=b a a b a b b a a b a a b a a +=2分 依次类推2分 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？ 、解记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n = = ++，()1P A B =，()1 2r P A B =―—５分 三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品 进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。 解设A 表示“任取一件产品被检验为正品”，B 表示“任取一件产品是正品”，则 ()96100P B = ，()4100 P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B =

概率论第十四章概率论初步重要知识点

第十四章 概率论初步 第一节 事件与概率 一、随机事件和样本空间 在研究自然界和人类社会时，人们可观察到各种现象，按它是否带有随机性将它们划分为两类。一类是在一定条件下必然会发生的现象，称这类现象为确定性现象。例如苹果从树上掉下来总会落到地上，三角形的内角和一定为180o。另一类现象是在一定条件可能出现也可能不出现的现象，称这类现象为随机现象。例如掷一枚质地均匀的硬币时，它可能出现正面向上，也可能出现反面向上等。 对于随机现象的一次观察，可以看作是一次试验，如果某种试验满足以下条件：（1）试验可在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的结果可能不止一个，并且能事先确定试验的所有可能的结果; （3）每次试验的结果事先不可预测，称这种试验为随机试验。 随机试验的每一个可能的结果，称为基本事件，它们的全体，称作样本空间，通 常用字母Ω表示。样本空间的元素即基本事件，有时也称作样本点，常用ω表示。 例1、一次掷两颗骰子,观察每颗的点数 解： Ω=}654321,|),{(、、、、、j i j i = 其中()j i ,表示第一颗掷出i 点,第二颗掷出j 点,显然, Ω共有36个样本点。 例2、 一个盒子中有十个完全相同的球,分别标以号码1021、、、Λ从中任取一球, 解：令 {} i i 取出球的号码为= 则}1021{、、、Λ=Ω 称样本空间Ω的某一子集为一个随机事件，简称事件，通常用大写英文字母A 、B 、C ……表示。 如在例2中， A={} 取出球的标号为奇数 因为Ω是所有基本事件所组成，因而在任一次试验中，必然要出现Ω中的某一些基本事件ω，即Ω∈ω，也即在试验中，Ω必然会发生，又用Ω来代表一个必然事件。相应地，空集φ可以看作是Ω的子集，在任意一次试验中，不可能有φω∈，即 φ永远不可能发生，所以φ是不可能事件。 我们可用集合论的观点研究事件，事件之间的关系与运算如下： （1）包含 如果在一次试验中，事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件B 包

全概率公式及应用

【标题】全概率公式及应用 【作者】刘媛 【关键词】全概率公式随机事件条件概率 【指导老师】林昌盛 【专业】数学与应用数学 【正文】 一、引言 在研究实际问题的过程中,除了要考虑事件A的概率P(A)之外,还须考虑在“已知事件B已发生”条件事件A发生的概率.一般地说,后者的概率与前者的概率未必相同.为了清晰起见,第二类情况下的概率称为条件概率,记为P(A|B)或PB(A).条件概率是概率论中一个重要的基础概念,与之有关的三个重要公式是：乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式,其中以乘法公式为基础的全概率公式在实际中有着广泛的应用.全概率公式就是把一个复杂的事件分解成若干个互不相容的简单事件,再由简单事件的概率求得最后的结果.本文在具体分析全概率公式的同时还发展出几个由全概率公式导出的推论,在分析其中定理的同时还运用其公式解决实际生活中比较典型的例 子. 二、全概率公式的基本理论 定义设A1,A2,…,An为n个事件,若满足： （1）完全性：A1∪A2∪…∪An＝Ω； （2）互不相容性：AiAj＝,i≠j,I,j＝1,2,…,n； （3）P(Ai)＞0,i＝1,2,…,n, 则称A1,A2,…,An为Ω的一个完备事件组. 定理1 设A1,A2,…,An为一完备事件组,则对任一事件B,成 立：＝ 分析：从形式上看,公式的右边比左边复杂.实质上,定理中给出的条件“B是任一事件”往往很复杂,要直接求出B的概率很难入手,若能把事件B分解为许多简单的、互不相容的事件之和,且这些事件的概率可求,则求出就迎刃而解了.从下面的证明,也可以看出这个思路. 证明：∵＝Ω＝( )＝ 由条件（2）AiAj＝,i≠j ∴(BAi)(BAj)＝B(AiAj)＝＝(i≠j) ∴＝( )＝ 由于＞0,应用乘法公式得：＝.这个公式称为全概率公式. 全概率公式中的条件（1）可推广为,得如下定理： 定理2 设（1）A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件；（2）.则对事件有＝. 分析：从形式上看, 是的一个子集,并且A1,A2,…,An,…是两两互不相容的事件,那么我

证明全概率公式

证明全概率公式 全概率公式是概率论中非常重要的一个定理，它可以用于求解多重样本空间中事件发生的概率。本文将从定义、证明及实例分析三个方面，来深入探讨全概率公式。 定义 在讲解全概率公式之前，我们需要先了解什么是样本空间。样本空间指的是所有可能的情况，例如投硬币的样本空间为 {正面，反面}。在统计学中，我们研究的是与这个样本空间相关的事件，例如投一次硬币，出现正面的事件。 全概率公式假设有一个样本空间Ω 和一组互不相交的事件{B1,B2,…,Bn}，则对于任意事件 A，它的概率可以表示为每个子事件与事件 A 的交集的概率之和，如下所示： P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn) 其中∩ 表示交集。 证明 接下来我们将证明全概率公式，证明过程分为两步： - 首先证明P(A|B1), P(A|B2), … , P(A|Bn) 都存在 - 接着根据条件概率公式来推导全概率公式 证明第一步： 因为我们假设有一组互不相交的事件，所以B1,B2,…,Bn 两两互斥。可以将事件 A 分解为下列互不相交的两个部分： A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn)

下面证明P(A∩Bi) 存在（1≤i≤n）。因为A∩Bi 是一个 Bi 的子集，所以 P(A∩Bi) ≤ P(Bi)。而 P(Bi) 存在，所以P(A∩Bi) 存在。 根据条件概率公式，我们可以得到： P(A|Bi) = P(A∩Bi) / P(Bi) P(Bi) ≠ 0，所以 P(A|Bi) 存在。 证明第二步： 因为样本空间可以分解为互不相交的子集，所以可以利用加法公式来求解 A 的概率： P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn) 接下来，将P(A∩Bi) 分子和分母同时除以 P(Bi)，得到： P(A) = P(A∩B1) / P(B1) * P(B1) + P(A∩B2) / P(B2) * P(B2) + … + P(A∩Bn) / P(Bn) * P(Bn) 根据条件概率公式，P(A∩Bi) / P(Bi) 等于 P(A|Bi)，所以可以将公式转化为：P(A) = P(A|B1) * P(B1) + P(A|B2) * P(B2) + … + P(A|Bn) * P(Bn) 这就是全概率公式。 实例分析

概率论基础知识

概率论基础知识 第一章 随机事件及其概率 一 随机事件 §1几个概念 :（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E 。 例如：E 1：掷一骰子，观察出现的总数；E 2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； 2、在试验中可能出现也可能不出现的 A ，B ，C …… 例如，在E 1中，A 表示“掷出2点”，B 表示 “掷出偶数点”均为随机事件。 3、每次试验必发生的事Φ。 例如，在E 1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可 能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件 4、试验中直接观察到的最简单的结果 例如，在E 1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。 在E 1中“掷出偶数点”便是复合事件。 5、从集合观点看，称构成基本事件的e. 例．随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。此试验的样本空间所有样本点的个数为 第一种方法用组合+乘法原理；第二种方法用 排列 §2事件间的关系与运算 1、包含:“若事件A 的发生必导致事件B 发生， 则称事件B 包含事件A ，记为 A B 或B A 。 例如，在E 1中，令A 表示“掷出2点”的 事件，即A={2} B 表示“掷出偶数”的事件，即B={2，4， 6}则 2、相等：若A B 且B A ，则称事件A 等 于事件B ，记为A=B 4、积：称事件A 与事件B 同时发生的事件为A 与B 的积事件，简称为积，记为A B 或AB 。 5、差：称事件A 发生但事件B 不发生的事件为 A 减 B 的差事件简称为差，记为A-B 。 6 、互不相容：若事件A 与事件B 不能同时发生，即AB=φ，则称A 与B 是互不相容的。 7、对立：称事件A 不发生的事件为A 的对立事件， 记为 显然 ，A ∩ = φ 3事件的运算规律 1、交换律 A ∪B=B ∪A ； A ∩B=B ∩A 2、结合律 （A ∪B ）∪C=A ∪（B ∪C ） ；（A ∩B ）∩C=A ∩（B ∩C ） 3、分配律 A ∩（B ∪ C ）= （A ∩B ）∪（A ∩C ）， A ∪（B ∩C ）=（A ∪B ）∩（A ∪C ） 4、对偶律

概率论基本公式

概率论与数理统计基本公式 第一部分 概率论基本公式 1、)(;A B A B A AB A B A B A -?=?-==-- 例：证明： 成立。得证。成立，也即成立，也即（不发生，从而发生，则不发生，，知由（证明：（B A B A AB A B B A AB A B B B A B A B A AB A B B A --=-?-?-==-=-?- - )). ) 2、对偶率：.- - - - ?=??=?B A B A B A B A ； 3、概率性率： (1))()()(212121A P A P A A P A A +=?为不相容事件，则、有限可加： (2) ) ()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-?-=-时有：特别， （3）)()()()(AB P B P A P B A P -+=?对任意两个事件有： ) ();();();()1(.4.0)(2.0)(5.0)(AB P B A P B A P AB P B P B A P A P ?-===- -求：，，例：已知：. 3.0)(1)(,7.0)()()()(3 .0)()()(,5.0)(.,2.0)()()()(,=?-=?==-+=?=-=-∴===+∴=+- --B A P B A P AB P AB P B P A P B A P AB P A P B A P A P AB P B P B A P AB P B A B B B A AB 又即是不相容事件，、且解： 4、古典概型 2 22 n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22n C n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率 只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率 称为无条件概率。的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,) () ()|(B P B A A P AB P A B P = B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式： )|()()(i i A B P A P B P i ∑=全概率公式： ) |()() |()() () ()|(j j j i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑== 贝叶斯公式： 例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2

全概率公式应用技巧探讨

全概率公式应用技巧探讨 摘要: 本文用实例讨论全概率公式如何应用于数学归纳法与递推关系式，来 解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论全概率公式如何应用于复杂数学期望的 计算。 关键词: 全概率公式；数学归纳法；递推关系式；数学期望。 中图分类号: O172 文献标识码Ａ 全概率公式是概率论中一个非常重要的公式，蕴含了化整为零, 化复杂为简 单的数学思想，在概率的计算中发挥着非常重要的作用，应用非常广泛，但是在 一些复杂概率计算中用好全概率公式可不是一件简单的事情。本文用实例讨论全 概率公式如何与数学归纳法与递推关系式结合，来解决复杂概率问题的计算问题，最后讨论用全概率公式解决复杂数学期望的计算问题。 1.全概率公式 定理1[1]：设是一个概率空间, 为的一个划分, 且 ，对任何事件，有 上式称为全概率公式. 2.全概率公式用于归纳法 例1盒中放有球，其中个是红球，其余个是白球，从中不放回抽球． 证明 (1) 第次取出红球的概率为；

(2) 第次取出红球第次取出白球的概率（）。 证明 (1) 对用数学归纳法，记为“第次取出红球” 时， 假设，则由全概率公式 其中等于新盒中放有个是红球，个白球，第次取出红球的无条件概率，由归纳假设同理， 故 所以，对任意，有。 注意这里全概率公式使用技巧，为计算，我们将第一次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式，并且对和使用归纳假设。如果将第次取球的两种情况作为一个划分使用全概率公式的话，和是没法计算的。对本题的第二问以及下一题，我们使用同样的技巧。 (2) 对用数学归纳法，当时， 假设，则当时，由全概率公式 实际上是在第一次取出取出红球时第次取出红球第次取出白球的条件概率，相当于新盒中放有个红球，个白球，第次取出红球

全概率公式证明过程

全概率公式证明过程 全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。在本文中，我们将详细介绍全概率公式的证明过程。 我们需要明确全概率公式的表达式： P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn) 其中，A表示事件，B1、B2、…、Bn表示一组互不相交的事件，且它们的并集等于样本空间。P(Bi)表示事件Bi发生的概率，P(A|Bi)表示在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率。 接下来，我们来证明全概率公式。 假设事件A和B1、B2、…、Bn满足上述条件，我们需要证明： P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn) 我们可以将事件A表示为： A = (A∩B1) ∪ (A∩B2) ∪ … ∪ (A∩Bn) 这是因为事件A可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况。 接下来，我们可以利用加法公式将上式展开：

P(A) = P(A∩B1) + P(A∩B2) + … + P(A∩Bn) 然后，我们可以将每个交集表示为条件概率的形式： P(A∩Bi) = P(Bi)P(A|Bi) 这是因为在事件Bi发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|Bi)。 将上式代入前面的公式中，我们得到： P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + … + P(Bn)P(A|Bn) 这就是全概率公式的证明过程。 总结一下，全概率公式是概率论中的一个重要公式，它可以用来计算一个事件在不同条件下的概率。证明过程中，我们利用了事件A 可以被分解为在B1、B2、…、Bn中的任意一个事件发生时，A发生的情况这一性质，然后利用加法公式和条件概率的定义，推导出了全概率公式的表达式。

证明全概率公式

证明全概率公式 全概率公式（法）是概率论中的一个重要定理，它提供了计算条件概率的方法。全概率公式的基本思想是将条件概率转化为对事件的分解，通过求解相关事件的概率从而得到条件概率。 在概率论中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，而有时候这个事件的发生是由于多种不同的情况导致的。全概率公式就是用来描述这种事件发生的总概率的。 下面我将详细介绍全概率公式及其推导过程。 设有一组完备事件{A1,A2,...,An}，它们是两两互斥且构成了 一个完备事件空间（也就是说它们的和是整个样本空间），事件B是在这个样本空间上的一个事件，那么对于事件B，全 概率公式可以表示为： P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An) 其中，P(B)表示事件B的概率，P(Ai)表示事件Ai的概率， P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B发生的概率。 全概率公式的推导过程如下： 首先，根据概率的加法定理可知，事件B的概率可以表示为： P(B) = P(A1B) + P(A2B) + ... + P(AnB) 这里，P(AiB)表示事件Ai和B同时发生的概率。

将P(AiB)用条件概率表示，可以得到： P(AiB) = P(Ai)P(B|Ai) 将上式代入P(B)的表达式中，可得到全概率公式： P(B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An) 根据全概率公式，我们可以根据事件Ai的概率和条件概率求 解事件B的概率。这在实际问题中非常有用，尤其是在需要 对复杂事件的概率进行计算时。 全概率公式的应用可以举一个常见的例子，就是用来计算二分类问题中样本的错误率。设样本空间中有两个事件A1和A2，分别表示样本属于正类和负类的情况。事件B表示通过模型 判断样本的结果与实际结果一致的情况，那么就可以使用全概率公式来计算模型的错误率。 假设模型给出样本为正类的概率为P(B|A1)，给出样本为负类 的概率为P(B|A2)，则模型的错误率可以表示为： 错误率 = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) 通过全概率公式，我们可以利用训练数据计算A1和A2的概率，以及给定A1和A2条件下B的概率，从而得到模型的错 误率，进而评估模型的性能。

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

7-1-2全概率公式 (教学设计)——高中数学人教A版(2019)选择性必修第三册

（1）设Ω 为该试验的样本空间，记1A = “第一 次摸出红球第二次摸出蓝球”，2A = “第一次摸出红球第二次摸出红球”，它们能组成该试验的样本空间吗？如果不能，请说明理由？ （2）B = “第二次摸出红球”，求事件 B 的概率； 设计意图:通过回顾样本空间的概念，为求受多因素影响的复杂事件概率转化为简单的基本事情做铺垫；通过分析复杂事件B 的特征，把受两个因素影响的复杂事件表示为各因素下对应的简单互斥事件之和. 变式1：袋子中有5 个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2 个蓝球，1个黄球，显然，第1次摸到红球的概率为 2 5 . 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 变式2：一个箱子中装有a 个红球、b 个绿球、c 个黄球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为 a a b c ++. 那么第2次摸到红球的概率是多大？ 分析：用i R 表示事件“第i 次摸到红球”，i B 表示事件“第i 次摸到蓝球”，i Y 表示事件“第i 次摸到黄球”，1,2i =。事件2R 可按第1次可能的摸球结果（红球、蓝球或黄球）表示为三个个互斥事件的并，即2121212R R R B R Y R =⋃⋃ 2121212()()()()P R P R R P B R P Y R =++ 121121121()(|)()(|)()(|)P R P R R P B P R B P Y P R Y =++ 1111a a b a c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c -=⨯+⨯+⨯++++-++++-++++- a a b c = ++ 所以，第2次摸到红球的概率是a a b c ++. 以上证明蕴含着怎样的思想？ 上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为三个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. 12 3A A A =Ω 123123()()()()()P B P A B A B A B P A B P A B P A B ==++ 设计意图： 采取层进式问题链的方式，由简单到复杂的方法，让学

从蒙提霍尔问题到全概率公式

从蒙提霍尔问题到全概率公式 全概率公式是概率论中的一个重要的公式，也是教学中的一个重点内容.在许多的概率统计的教材中，通常都是直接给出样本空间的划分（分割）的定义，然后以定理的形式给出全概率公式[1，2].但是笔者在给工科学生讲授这部分内容时发现，如果按照教材上的方式来讲解，学生会感到非常的枯燥，而且接受起来也存在一定的困难.尤其是面对一些贴近生活的实际问题，学生不能很好地应用该公式.从而使得部分学生逐渐丧失信心，产生畏难情绪，失去学习的兴趣.因此有必要对全概率公式的教学进行比较深入细致的设计. 在教学中，对于一个新知识的讲解，“引入”是十分关键的.著名的数学家拉普拉斯说过：“生活中最主要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题.”由此可见，在现实生活中随处可见概率问题.因此，在概率统计课程的教学中，可以通过分析现实生活中的一些有趣的案例导入新课.一方面，可以激发学生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于学生理解抽象复杂的公式.鉴于此，本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例——蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进地设问，从而归纳出全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的.整个教学设计体现“以教师为主导、以学生为主体”的教学理念，引导学生主动学习、思考，并教会学生怎样应用所学知识来解决实际问题，体现“授人以渔”.

一、回顾前面学习的知识 教师在讲授新内容之前可以花几分钟的时间复习与新内容密切相关的一个或者几个知识点，自然地过渡到新课.这是一种“以旧入境，推旧引新”的“复习式”切入法.这样便于将新旧知识逻辑性地联系起来，利于教师循序渐进地引导学生学习新知识.同时有利于巩固已有知识，并引发学生积极思考，利用所学新知识解决问题. 教师首先和学生一起回顾在前一节中学习的知识：条件概率公式和乘法公式. 条件概率：设A，B为随机试验E的两个事件，且P（A）0，则称P （B|A）=P（AB）P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.而在实际应用中，我们很少直接利用这个公式来计算条件概率，而是事先根据实际情况算出条件概率，再利用它来计算积事件的概率，也就是乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）（或P（AB）=P（B）P（A|B））.这两个公式在概率统计中非常有用，而关于这两个公式的应用有很多.先来看一个例子. 二、由有趣的生活实例引入全概率公式 引例（蒙提霍尔问题）在一个综艺节目中，有编号为1、2、3的三扇门，门后分别藏有两只山羊和一辆宝马汽车作为奖品，门后的奖品的种类主持人是知道的，当然参赛选手不知道.参赛选手答对题目后，可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品.现在假设该参赛选手选中了1号门，主持人将未选的两扇门中打开一扇（例如3号门），后面是一只山羊.如果你是参赛选手，现在主持人再给你一次改变选择的机会，你是否改变

全概率公式的应用与推广

全概率公式的应用与推广 摘要;全概率公式是概率论的一个重要公式，也是概率论中的一个难点，它包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛。本文列举了几个例子并给出了三种推广形式，拓展了它在我们日常生活中的使用范围，进而成为我们解决类似的更加复杂问题的行之有效的工具，帮助我们更好地解决实际问题. 关键词;全概率公式 样本空间 事件 概率论是统计学在现实生活中应用的理论基础，它的特点是推理严谨和逻辑性较强，是学生学习中属于学习比较困难的学科，尤其是正确的应用全概率公式.在概率论中全概率公式是一个重要公式，它不仅含盖了事件的并和互不相容的概念，而且包括着概率的加法公式、概率的乘法公式以及概率的条件概率公式等，它提供了一条有效的途径来计算复杂事件的概率，通常能够使比较复杂事件的概率计算问题得到简化，在实际中应用的较为广泛. 1.全概率公式 性质（全概率公式）：假设对一个样本空间Ω，有12,,,n A A A 一列事件，若12,,,n A A A 为其的一个分割，即12,,,n A A A 互不相容，且Ω== n i i A 1，如果 ()()0,1,2,,,i P A i n >= ,则对任一事件B 有()()()i i 1P B P A P B|A n i ==∑)1(. 证明 如下图所示: 事件12,,,n A A A 中有且只有一个与事件B 同时发生，其中12,,,n A A A 互不相容，即∑==n i i BA B 1，显然12,,n BA BA BA 也互不相容. ∴由概率的加法公式和概率的乘法公式得：

全概率公式例子

全概率公式例子 一、全概率公式 例1.19 盒中5个球，其中3个白球2个黑球,每次取一个,无放回的依次取两次。求第二次取到白球的概率。 解令“第一次取到白球”，=“第一次取到黑球”，=“第二次取到白球”，显然，，则 从而 一般地有，如下全概率公式： 定理1.2 设是两两互不相容的事件，并且，，。则对任一事件Ｂ，都有 ＝ （1.9） 证明 由定理条件知： 再由可加性知： 由条件概率得：。 □

注：（1）满足定理条件的事件组通常称为完备事件组，也称为基本事件空间的一个分割。 （2）全概率公式中的条件改为也成立。 例1.20某商店从甲、乙工厂分别购进30箱、20箱同一种产品，甲厂的每箱装100个零件，乙厂的每箱装120个零件，又知甲厂产品废品率是0.06，乙厂产品废品率是0.05，求： （1）任取一箱，再从中任取一件为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混放，从中任取一件为废品的概率。 解 （1）令=“任取一箱是甲厂的” =“任取一箱是乙厂的” “再从中任取一件为废品” 显然，， 由全概率公式得 （2）令=“任取一件是甲厂的” =“任取一件是乙厂的” “任取一件为废品” 显然，， 由全概率公式得 二、贝叶斯公式

例1.21 在例1.19中，如果发现第二次取到白球，问第一次取到白球的概率是多大？这时，就是要求条件概率： 一般的，有如下贝叶斯公式（也称逆概率公式）： 定理1.3 设是两两互不相容的事件，并且，，，则对任一事件Ｂ且，都有 （1.10） 例1.22某厂甲、乙、丙三车间生产同一产品，其产量依次占全厂的45%、35%、20%，各车间的次品率依次为0.02、0.04、0.05。（1）求该厂产品的次品率；（2）现从该厂产品中任取一件发现它是次品，问它最可能是哪个车间生产的。 解 令分别表示任取一件是甲、乙、丙车间生产的；表示“任取一件发现它是次品”。显然为完备事件组。已知，，，，，。 （1）由全概率公式得 ＝ （2）由逆概率公式得 同理可求 因此，它最可能是乙车间生产的。

全概率公式微课教学设计

《全概率公式》（微课）教学设计学校江苏理工学院学院数理学院所属学科数学专业数学课程名称概率论与数理统计适用对象理工科 本次授课内容第一章随机事件及其概率 1.5.1 全概率公式 任课教师张芸芝 授课进度第五次课授课课时 13分28秒 教学背景1.教学内容分析 《概率论与数理统计》是一门研究和探索客观世界随机现象规律的数学学科，在金融、保险、医学和地质学等方面都得到广泛的应用。全概率公式是概率论中很重要的公式，在概率论的计算中起着重要的作用，也是教学中的难点之一。在学习了古典概型、随机事件的运算规律、概率的加法公式和乘法公式等相关知识的基础上，全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的综合。主要讲述了，当一个复杂事件的发生受到诸多因素的影响，我们如何通过这些因素的影响研究一个复杂事件的概率。本质在于将一个复杂事件转化为多个简单事件来求解。为本课程后续的学习提供了理论基础。 2. 学情分析 《概率论与数理统计》是理工科学生学习的一门公共基础课，它的任务是使学生了解概率统计课程的基本理论和基本知识，培养学生分析问题和解决问题的能力，为相关各门课程的学习打好坚实的基础。对学生而言，这门课需要结合《高等数学》的导数、积分等相关知识，学习起来有一定的难度。而第一章随机事件的各种概率问题的求解又较为抽象，学习起来存在很大的困难。所以，需要设计适合学生理解，易于学生接受的方式将全概率公式呈现出来。从而可以激发学生的学习兴趣和热情，使学生乐意全身心地参与到课堂教学中来。本课程应用启发式与总结式相结合的教学方法，由特殊到一般，逐步推导出全概率公式。再进一步分析出全概率公式蕴含的数学思想，从而，深入理解和掌握全概率公式。

全概率公式及其应用

1绪论 1.1问题的提出 概率论是统计学在实际生活中应用的理论基础，在实际生活、生产、工作中经常会遇到各种各样有关于概率计算问题的模型或者事件，而往往有些实际事件的解决是十分复杂的，如果只是使用一般的概率计算方法是无法快捷甚至根本无法解决这些问题，而全概率公式是概率论中的一个重要公式，它提供了计算复杂事件概率的一条有效途径，使一个复杂事件的概率计算问题化繁为简，使用全概率公式解决问题可以借助引入各种小前提，将事件分解为两个或是若干个互不相容的简单事件的并集并且在每个小部分中可以比较容易的求得所需要的概率，从而进一步应用加法公式求出复杂事件的概率，所以针对某些复杂事件的处理一般可以使用全概率公式进行简化计算。 大家不禁思量，在解决概率问题时，使用全概率公式与使用一般方法相比有何不同？其优势体现在哪？全概率公式主要应用于哪些领域？本文主要探究的即是全概率公式在解决一些实际生活中遇到的问题中的应用以及其优势。 1.2使用全概率公式解决问题的意义 通过调查和统计我发现全概率公式的应用范畴十分广泛，同时其涉及领域也非常宽广。 我们可以看到，在现实的各种领域，比如生活、生产、经济、保险、投资、医疗等领域中，常常会涉及各种类型的概率计算，但是由于这些实际事件都会有着各种各样的限制条件或者其样本空间极为

复杂，因此在计算中也会遇到各种复杂问题。全概率公式的存在即有效地解决了一些复杂繁琐类的问题。在遇到使用一般方法进行处理分析十分麻烦乃至容易出错的复杂事件时，如果可以把这个事件分割成为互不相容的两个或者若干个简单事件，那么就可以运用全概率公式将样本空间按照某种方式进行分割，使原本复杂的事件转变为两个或者若干个简单事件，再使用条件概率对每个简单是件进行运算，最后运用加法公式将所有结果进行相加即可以准确便捷的得出结果，这也就是全概率公式的意义所在。灵活使用全概率公式有助于把握随机事件间的相互影响关系，为生产实践提供更有价值的决策信息。1.3研究背景及预期结果 目前很多文献与论文都提及到了全概率公式的应用，但是一般都是对全概率公式进行证明、解释或者深度推广，其中很多文章都对全概率公式在某一部分领域的应用做出了阐释，并未能总结出全概率公式在各种领域中的实际问题上的应用。本文就是为了探求全概率公式在各种实际问题上的应用，归纳总结全概率公式的理解方法、求解问题时的分析方法、解决实际应用时的具体步骤以及应用此公式时应该注意的事项等几点研究体会，旨在更加完备的总结出全概率公式在解决各种复杂问题时的作用。 2全概率公式的概述 2.1全概率公式

《全概率公式》示范课教案【高中数学苏教版】

环节二全概率公式 （一）教学内容 全概率公式 （二）教学目标 1.结合实例，经历全概率公式的探究过程. 2.理解全概率公式的结构和含义，初步运用全概率公式解决实际问题. 3.在推导、运用公式的过程中体会随机的思想，体会部分与整体的关系. （三）教学重点与难点 重点：全概率公式的构建和应用 难点：对全概率公式的理解 （四）教学过程设计 1.引入新课 问题1：在一个装有2个红球、3个蓝球的箱子里摸球，这些球除颜色外完全相同，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：设事件B表示“取得红球”，用古典概型的概率公式直接计算, 从5个球中任取1个球的种类数为：A 5 1=5（种） 从2个红球中任取1个球的种类数为：A 2 1=2（种） 所以，取得红球的概率为 P(B)=A 2 1 A 5 1 =2 5 问题2：将一个箱子增加到两个箱子，标号分别为1，2. 1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，这些球除颜色外完全相同. （1）某人直接从1号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率； （2）某人直接从2号箱中任意摸出一球，求取得红球的概率； （3）某人先从两箱中任取一箱，再从该箱子中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解（1）设事件B表示“取得红球”则P(B)=1 5 （2）设事件B表示“取得红球”则P(B)=2 5 （3）摸球需要分两步走，先取一个箱子，再在箱子中摸球. 设事件A i表示“球取自i号箱”（i=1，2），事件B表示“取得红球”，其中A1，A2互斥，B发

生总是伴随着A 1，A 2之一同时发生，即B =BA 1+BA 2，且BA 1，BA 2互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(B)=P(BA 1+BA 2)=P (BA 1)+P(BA 2) ，再对求和中的每一项运用乘法公式，得 P(B)=P(A 1)P (B|A 1)+P(A 2)P (B|A 2)=12 ×15+12 ×25=310 追问：问题2（3）中的概率与（1）（2）中的概率有何联系？ 答：（3）中的概率与（1）（2）中的概率不同，（1）（2）中的摸球都指定了箱子，而（3） 中的摸球需分两步走，先选箱子，再从选中的箱子中摸球，摸中的红球可能来自1号箱，也可能来自2号箱，所得的概率310比直接从1号箱摸出红球的概率15要大，比直接从2号箱中摸出红球的概率25要小，介于二者之间，正好是两者的平均. 设计意图：从最简单的古典概型问题逐步引导思考，为以下从特殊到一般的推广研究全概率公式做好铺垫. 2.课堂探究 问题3：将箱子再增加到三个，分别编号为1，2，3.1号箱装有1个红球和4个蓝球，2号箱装有2个红球和3个蓝球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同，某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 答：与两个箱子的情形类似，设事件A i 表示“球取自i 号箱”（i =1，2，3），事件B 表示“取得红球”，其中A 1，A 2，A 3互斥，B 发生总是伴随着A 1，A 2，A 3之一同时发生，即B =BA 1+BA 2+BA 3，且BA 1，BA 2，BA 3互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(B)=P(BA 1+BA 2+BA 3)=P (BA 1)+P(BA 2) +P(BA 3)，再对求和中的每一项运用乘法公式，得 P(B)=P(A 1)P (B|A 1)+P(A 2)P (B|A 2)+P(A 3)P (B|A 3)=13 ×15+13 ×25+13×1=815 所得的概率815比直接从1号箱摸出红球的概率15要大，比直接从2号箱中摸出红球的概率25要小，，比直接从3号箱中摸出红球的概率1要小，介于三者之间，正好是三者的平均. 问题4：某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志，在仓库中随机地取

全概率公式与贝叶斯公式的应用

分类号: 单位代码:10452 毕业论文（设计） 全概率公式与贝叶斯公式的应用 2013 年04 月20 R

在古典概率中，全概率公式及贝叶斯公式占有重要的地位，这是山于它们能将比较复杂事件的概率通过简单事件的概率计算出来.这两个公式看起来简单，但在自然领域中的应用极其广泛.本文首先介绍了全概率公式和贝叶斯公式的定义，然后乂通过具体的例子阐述了全概率公式和贝叶斯公式在医学、经济、概率推理、侦破案件等方面的应用.并在文献［2］的基础上将这两个公式推广到原因事件用〃维随机变量取值表示的情形，通过特例说明了该公式在概率论中的具体应用.最后说明了全概率公式和贝叶斯公式的联系及其综合运用，应用了一个简单的例子说明了这两个公式的综合运用在解决复杂事件概率的重要作用. 关键词：全概率公式；贝叶斯公式；随机变量

ABSTRACT In classical probability, the total probability formula and Bayes formula occupy an important position, this is because they can reduce probability of complex events and we can calculate the complex events by simple event probability・ These two formulas seem simple, but they are widely applied in the filed of natural. At first, this paper introduces the definition of the total probability formula and Bayes formula. This paper analysis the application of the total probability formula and Bayes formula by the concrete example, such as niedicaL economic, probability reasoning and solve cases・ And on the basis of the literature [2], we extends them with the help of the cause event expressed by an n-dimension random variable ・ The explicit applications of the formula in the theory of probability and stochastic process are given by some special examples・ Finally it account the connection and integrated use of them. This thesis applicates a simple example to illustrate the combination of the two formulas in solving complex event probability. Key words: Total probability formula; Bayes formula; Random variable

生活中的概率统计

生活中的概率统计 古典概型的定义 如果随机试验满足两个条件：（1）有限性：样本空间所包含的基本事件仅有n 个；（2）等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.称这样的数学模型称为古典概型. 在古典概型中，设随机事件A 含有m 个样本点，那么事件A 发生的概率定义为 n m A P =)(. 古典概型的基本模型——摸球模型 一．无放回地摸球模型 设袋中有4只白球和2只黑球，现从中无放回地依次摸出2只球，求这2只球都是白球的概率。 解：设}2{只都是白球摸得=A 解法一：分析：把球看成是彼此可以分辨的。则5 25634)(2624=⨯⨯==A A A P 。 解法二：分析：若把球看成是不可分辨的。则5 2)(2624==C C A P 。 解法三：分析：用事件的“分解”及概率的运算法。 设)2,1}({==i i B i 次摸到白球第，则 5 25364)()()()(12121=⨯===B B P B P B B P A P 。(乘法公式) 二．有放回地摸球模型 袋中有4个红球，6个黑球。从中有放回地摸球3次，求前两次摸到黑球、第三次摸到红球的概率。 解法一：用古典概率方法求解。 144.010 466)(3=⨯⨯=A P 。 解法二：令i A ={第i 次摸到黑球}（3,2,1=i ）。 144.010 4106106)()()()()(321321=⨯⨯===A P A P A P A A A P A P 独立性。 摸球模型的应用： 抽奖问题1 某班级只有一张晚会入场券，而有10位同学都要参加，教师采用抽签的方式来确定这张入场券给谁。这跟抽签的顺序有关吗？ 分析：设给10个同样大小的球编号，抽到1号球得晚会入场券。 设i A ：第i 个人抽到1号球（i =1，2，…，10）。 则10 1)(1=A P ，