最新选修1-2第二章推理与证明讲义

第二章推理与证明讲义

1

2

2.1合情推理与演绎推理

3

学习目标：

1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理；

4

5

2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的基本模式，能利用“三段论”进6

行简单的推理.

7

重点：用归纳和类比进行推理，做出猜想；用“三段论”证明问题.

8

难点：用归纳和类比进行合情推理，做出猜想。

9

学习策略：

10

①合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题

11

的发展趋势

12

②合情推理中的归纳、类比都是具有创造性的或然推理.不论是由大量的实

13

例，经过分析、概括、发现规律的归纳，还是由两系统的已知属性，通过比较、14

联想而发现未知属性的类比，它们的共同点是，结论往往超出前提所控制的范15

围，所以它们是“开拓型”或“发散型”的思维方法.也正因为结论超出了前提16

的管辖范围，前提也就无力保证结论必真，所以归纳类比都是或然性推理.

17

③演绎推理所得的结论完全蕴含于前提之中，所以它是“封闭型”或“收

18

敛型”的思维方法.只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然是真实的.

知识要点梳理

19

20

知识点一：推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这

种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的

21

22

事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．

23

知识点二：合情推理根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理24

等）、实验和实践的结果、个人的经验和直觉等，经过观察、分析、比较、联想、25

归纳、类比等推测出某些结果的推理过程。其中归纳推理和类比推理是最常见26

的合情推理。

1.归纳推理

27

28

（1）定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对29

象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。

30

31

（2）一般模式：部分整体，个体一般

32

（3）一般步骤：

33

①通过观察个别情况发现某些相同性质；

34

②从已知的相同的性质中猜想出一个明确表述的一般性命题；

35

③检验猜想.

36

（4）归纳推理的结论可真可假

37

归纳推理一般都是从观察、实验、分析特殊情况开始，提出有规律性的猜38

想；一般地，归纳的个别情况越多，就越具有代表性，推广的一般性命题就越39

可靠.由于归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以

40

41

归纳推理所得的结论不一定是正确的.

2.类比推理

42

43

（1）定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，44

推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）.

（2）一般模式：特殊特殊

45

46

（3）类比的原则：可以从不同的角度选择类比对象，但类比的原则是根据47

当前问题的需要，选择恰当的类比对象.

48

（4）一般步骤：

49

①找出两类对象之间的相似性或一致性；

50

②用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，得出一个明确的命

51

题（猜想）；

52

③检验猜想.

53

（5）类比推理的结论可真可假

54

类比推理中的两类对象是具有某些相似性的对象，同时又应是两类不同的55

对象；一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，56

那么类比得出的命题就越可靠.类比结论具有或然性，所以类比推理所得的结论57

不一定是正确的。

58

知识点三：演绎推理

59

（1）定义：从一般性的原理出发，按照严格的逻辑法则，推出某个特殊情况下的结论的推理，叫做演绎推理. 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．60

61

（2）一般模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，常用的一种格式

①大前提——已知的一般原理；

62

63

②小前提——所研究的特殊情况；

64

③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的结论.

65

（3）用集合的观点理解“三段论”

66

若集合的所有元素都具有性质，是的子集，那么中所有元素都67

具有性质

68

（4）演绎推理的结论一定正确

69

演绎推理是一个必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正确，70

那么结论一定是正确的，它是完全可靠的推理。

71

规律方法指导

72

合情推理与演绎推理的区别与联系

73

（1）从推理模式看：

74

①归纳推理是由特殊到一般的推理．

75

②类比推理是由特殊到特殊的推理．

76

③演绎推理是由一般到特殊的推理．

77

（2）从推理的结论看：

78

①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。

79

②演绎推理所得的结论一定正确。

（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者

80

81

在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成82

的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情83

推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理84

提供方向和思路.

85

经典例题透析

类型一：归纳推理

86

87

1．用推理的形式表示数列的前项和的归纳过程.

88

举一反三：【变式1】用推理的形式表示等差数列1，3，5，…，（2－1），…

的前项和的归纳过程.

89

90

【变式2】设，计算的91

值，同时归纳结果所具有的性质，并用验证猜想的结论是否正确.

92

2．平面内的1条直线把平面分成2部分，2条相交直线把平面分成4 93

部分，3条相交但不共点的直线把平面分成7部分，n条彼此相交而无三条共点94

的直线，把平面分成多少部分？

95

举一反三：【变式1】图（a）、（b）、（c）、（d）为四个平面图形

96

97

（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成98

了多少个区域？（2）推断一个平面图形的顶点数，边数，区域数之间的关系.

99

100

类型二：类比推理

101

3．在三角形中有下面的性质：

102

(1)三角形的两边之和大于第三边；

103

(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；

104

(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；

(4)三角形的面积，（为三角形的三边长，为三角105

106

形的内切圆半径)．

107

请类比写出四面体的有关性质．

108

类型三：演绎推理

109

4．已知：在空间四边形中，、分别为、的中点，110

用三段论证明：∥平面

111

例4 变112

式2

113

举一反三：【变式1】有一位同学利用三段论证明了这样一个问题：

114

证明：因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形，…………大前提

115

而菱形是所有边长都相等的凸多边形，…………………………小前提

116

所以菱形是正多边形.………………………………………………结论

（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？为什么？

117

118

【变式2】如图2-1-8所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD= 119

∠A，DE∥BA，求证：ED=AF.

120

2.2直接证明与间接证明

121

目标认知

122

学习目标：

1．结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分123

124

析法，了解间接证明的一种基本方法：反证法；

125

2．了解综合法、分析法和反证法的思考过程、特点.

重点：

126

127

根据问题的特点，结合综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择128

适当的证明方法或把不同的证明方法结合使用.

129

难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法或把不同的证明方法结合使130

用.

131

学习策略分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题132

的重要思想方法。当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析133

法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合134

法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。反证法解题的实135

质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。在否定结论时，其反面要找对、找全.它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多136

137

有一个”等字样的数学问题.

推理与证明(教案)

富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程

推理与证明

推理与证明 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为 （） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行

4、（2007广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a* （b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在 年初分配给A，B，C，D四个维修点某种配件各50件．在使用前发 现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件分别调整为40，45， 54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调 整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3， 4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0， 1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18 8、（2006辽宁）设⊕是R上的一个运算，A是V的非空子集，若对任意a，b∈A，有a⊕b ∈A，则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（）

高考数学：专题三 第三讲 推理与证明配套限时规范训练

第三讲 推理与证明 （推荐时间：50分钟） 一、选择题 1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项 公式为 ( ) A ．a n ＝3 n －1 B ．a n ＝3n C ．a n ＝3n －2n D ．a n ＝3n －1＋2n －3 2．已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2 －2－4 ＝2，依照以上各 式的规律，得到一般性的等式为 ( ) A.n n －4＋8－n 8－n －4 ＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2 C.n n －4＋n ＋4n ＋1－4 ＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4 ＝2 3． “因为指数函数y ＝a x 是增函数(大前提)，而y ＝ ??? ?13x 是指数函数(小前提)，所以函数y ＝ ??? ?13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( ) A ．大前提错误导致结论错 B ．小前提错误导致结论错 C ．推理形式错误导致结论错 D ．大前提和小前提错误导致结论错 4．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”； ②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”； ④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a b ”． 以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f x g x ＝a x ，且f ′(x )g (x )

选修2-2 第二章 推理与证明(B)

实用文档 选修2-2 第二章 推理与证明(B) 一、选择题 1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1) 种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( ) A ．f (n －1)＋1 B ．f (n －2)＋2 C ．f (n －2)＋1 D ．f (n －1)＋f (n －2) 2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2 ，可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr 2 D ．不可类比 3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．n π B．(n －2)π

C．π D．2π 4、“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是 ( ) A．正方形都是对角线相等的四边形 B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D．矩形都是对边平行且相等的四边形 5、设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出 f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)

实用文档 6、已知p ＝a ＋1 a －2 (a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p 0，则1a ＋1b ＋1c 的值( ) A ．一定是正数 B ．一定是负数 C ．可能是零 D ．正、负不能确定 8、如果x >0，y >0，x ＋y ＋xy ＝2，则x ＋y 的最小值是( ) A.32 B ．23－2 C ．1＋ 3 D ．2－3 9、设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 2n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) A.12n ＋1 B.1 2n ＋2

2019高考数学一轮复习第11章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理分层演练文

第3讲 合情推理与演绎推理 一、选择题 1．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，a 3 ＋b 3 ＝4，a 4 ＋b 4 ＝7，a 5 ＋b 5 ＝11，…，则a 10 ＋b 10 ＝( ) A ．121 B ．123 C ．231 D ．211 解析：选B ．法一：令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋ a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123． 法二：由a ＋b ＝1，a 2 ＋b 2 ＝3，得ab ＝－1，代入后三个等式中符合，则a 10 ＋b 10 ＝(a 5 ＋b 5)2 －2a 5b 5 ＝123． 2．某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为( ) A ．21 B ．34 C ．52 D ．55 解析：选D ．因为2＝1＋1，3＝2＋1，5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个“整数对”是( ) A ．(7，5) B ．(5，7) C ．(2，10) D ．(10，2) 解析：选B ．依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有 n （n ＋1） 2 个“整 数对”，注意到10×（10＋1）2<60<11×（11＋1）2，因此第60个“整数对”处于第11组(每 个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1，11)，(2，10)，(3，9)，(4，8)，(5，7)，…，因此第60个“整数对”是(5，7)． 4．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝a ，CD ＝b (a >b )．若EF ∥AB ，EF 到CD 与AB

高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、 下列表述正确的是（ ）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是 （ ）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的， 这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是 （ ） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时

专题十二 推理与证明第三十二讲 推理与证明答案

专题十二 推理与证明 第三十二讲 推理与证明 答案部分 2019年 1.解析：由题意，可把三人的预测简写如下： 甲：甲乙． 乙：丙乙且丙甲． 丙：丙乙． 因为只有一个人预测正确， 如果乙预测正确，则丙预测正确，不符合题意． 如果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲， 因为乙预测不正确，而丙乙正确，所以只有丙甲不正确， 所以甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾．不符合题意． 所以只有甲预测正确，乙、丙预测不正确， 甲乙，乙丙． 故选A ． 2010-2018年 1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++ 1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，

所以1234 12312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤， 又11a >，所以等比数列的公比0q <． 若1q -≤，则2 12341(1)(10a a a a a q q +++=++） ≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾， 所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2 241(1)0a a a q q -=-<， 所以13a a >，24a a <，故选B ． 2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a -的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)， 斜率为1 a 的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为3 2 - ，当32a -<-，即3 2 a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的 区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即3 2 a =时， 4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ． 解法二 若(2,1)A ∈，则21422 a a +>?? -?≤，解得32a >，所以当且仅当3 2a ≤时， (2,1)A ?．故选D ． 3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙 看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ． 4．A 【解析】n S 表示点n A 到对面直线的距离（设为n h ）乘以1n n B B +长度一半，即 11 2 n n n n S h B B += ，由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，那么我们需要知道n h 的关系式，过1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了等腰梯形，那么

第二章 推理与证明(A)

实用文档 第二章 推理与证明(A) 一、选择题 1、已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( ) A ．0

实用文档 4、观察下列数表规律 则从数2 010到2 011的箭头方向是( ) A ．2 010↑→ B ．→ C ．→ D ．→2 010↓ 5、对于定义在数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，则x 0叫函数f (x )的一个不动点．已知f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( ) A ．? ?? ??－12，32 B ．? ????－32，－12 C ．? ?? ??12，32 D ．? ????－32，12 6、已知p ＝a ＋1 a －2 (a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p

实用文档 7、有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组： 第1组含有一个数{1}；第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n 的关系为( ) A ．等于n 2 B ．等于n 3 C ．等于n 4 D ．等于n (n ＋1) 8、已知c >1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a >b B ．a

人教A版高中选修2-2数学浙江专版第二章 习题课二 推理与证明

习题课二 推理与证明 1．用反证法证明命题：“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设( ) A ．三个内角都不大于60° B ．三个内角都大于60° C ．三个内角至多有一个大于60° D ．三个内角至多有两个大于60° 解析：选B 假设结论不成立，即“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故选B. 2．若三角形能分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 解析：选C 直角三角形斜边上的高将直角三角形剖分为两个直角三角形，这两个直角三角形与原三角形都相似，故选C. 3．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42 ≤0 C.(a ＋b )22 －1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0 解析：选D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0?(a 2－1)(b 2－1)≥0.故选D. 4．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 解析：选A 至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”． 5．来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起．他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言中的一种．有一种语言是三个人会说的，但没有一种语言四人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③乙、丙、丁交谈时，不能只用一种语言；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他能做翻译．针对他们懂的语言，正确的推理是( ) A ．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德

第53讲 推理与证明(解析版)

简单已测：1994次正确率：87.2 % 1.下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推 理；②归纳推理是由?般到?般的推理；③演绎推理是由?般到特殊的推理；④类?推理是由特殊到?般的推理；⑤类?推理是由特殊到特殊的推理．A.①②③ B.②③④C.①③⑤ D.②④⑤ 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：C 解析：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出?般性结论的推理． 故①对②错； ?所谓演绎推理是由?般到特殊的推理．故③对； 类?推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从?推出它们的其他属性也相同的推理．故④错⑤对．故选：． ?般已测：2488次正确率：82.5 % 2.图是“推理与证明”的知识结构图,如果要加?“归纳”,则应该放在（ ） A.“合情推理”的下位 B.“演绎推理”的下位 C.“直接证明”的下位 D.“间接证明”的下位 考点：归纳推理的常??法、类?推理的常??法知识点：归纳推理、类?推理答案：A 解析：合情推理包括归纳推理与类?推理，因此答案为. C A

简单已测：1990次正确率：95.2 % 3.给出下列表述:①综合法是由因导果法；②综合法是顺推证法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推证法.其中正确的表述有( )A.个B.个C.个D. 个 考点：分析法的思考过程、特点及应?、综合法的思考过程、特点及应?知识点：综合法、分析法答案：C 解析：结合综合法和分析法的定义可知①②③⑤均正确,分析法和综合法均为直接证明法,故④不正确． ?般 已测：3748次 正确率：87.4 % 4.观察下列各式：，则的末四位数字为（ ） A.B.C.D. 考点：有理数指数幂的运算性质、归纳推理的常??法知识点：有理数指数幂的运算法则、归纳推理答案：D 解析：， 可以看出这些幂的最后位是以为周期变化的， ， 的末四位数字与的后四位数相同，是， 故选D ?般已测：1886次正确率：81.9 % 5.观察下列各式：，， ，，， ，则=（ ） A.B.C. 23455=3125,5=15625,5=78125,?5 6 7520113125562506258125 ∵5=3125,5=15625,5=781255 675=390625,5=1953125,5=9765625,5=48828125? 89101144∵2011÷4=502?3∴52011578125a +b =1a +b =322a +b =433a +b =744a +b =1155…a +b 10102876123

推理与证明

第3讲推理与证明 【知识要点】 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理 2．类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 3．类比推理的一般步骤： ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 【典型例题】 1、（2011?江西）观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72011的末两位数字为（） A、01 B、43 C、07 D、49 2、（2011?江西）观察下列各式：55=3125，56=15625，57=78125，…，则52011的末四位数字为（） A、3125 B、5625 C、0625 D、8125 3、（2010?临颍县）平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到（） A、空间中平行于同一平面的两个平面平行 B、空间中平行于同一条直线的两条直线平行 C、空间中平行于同一条平面的两条直线平行 D、空间中平行于同一条直线的两个平面平行 4、（2007?广东）设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a，b∈S，对于有序元素对（a，b），在S中有唯一确定的元素与之对应）有a*（b*a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（） A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b 5、（2007?广东）如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A，B，C，D四个维修 点某种配件各50件．在使用前发现需将A，B，C，D四个维修点的这批配件 分别调整为40，45，54，61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要 完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的 调动件次为n）为（） A、15 B、16 C、17 D、18 6、（2006?陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16．当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（） A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7 7、（2006?山东）定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则 集合A⊙B的所有元素之和为（） A、0 B、6 C、12 D、18

第二章 推理与证明(B)

第二章推理与证明(B) 一、选择题 1、下列有关三段论推理“自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数”的说法正确的是( ) A．推理正确B．推理形式不正确 C．大前提错误D．小前提错误 2、下列推理过程是类比推理的是( ) A．人们通过大量试验得出掷硬币出现正面的概率为1 2 B．科学家通过研究老鹰的眼睛发明了电子鹰眼 C．通过检测溶液的pH值得出溶液的酸碱性 D．由周期函数的定义判断某函数是否为周期函数 3、已知f(x)＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b>0，a＋c>0，b＋c>0，则f(a)＋f(b)＋f(c)的值( ) A．一定大于零B．一定等于零 C．一定小于零D．正负都有可能 实用文档

4、勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有( ) A．p＋q＋r＝d B．p2＋q2＋r2＝d2 C．p3＋q3＋r3＝d3 D．p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d2 5、观察式子：1＋1 22 < 3 2 ，1＋ 1 22 ＋ 1 32 < 5 3 ，1＋ 1 22 ＋ 1 32 ＋ 1 42 < 7 4 ，…，则可归纳出一般式子为( ) A．1＋1 22＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 1 2n－1 (n≥2) B．1＋1 22＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 2n＋1 n( n≥2) C．1＋1 22 ＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 2n－1 n( n≥2) D．1＋1 22＋ 1 32 ＋…＋ 1 n2< 2n 2n＋1 (n≥2) 6、若a，b，c均为实数，则下面四个结论均是正确的： 实用文档

推理与证明经典练习题讲解学习

推理与证明经典练习 题

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 高二数学《推理与证明》练习题 一、选择题 1．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ） A ．4857b b b b +=+ B ．4857b b b b ?=? C ．4578b b b b ?=? D ．4758b b b b ?=? 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== *N n ∈，试归纳猜想出n S 的表达式为（ ） A 、12+n n B 、112+-n n C 、112++n n D 、2 2+n n 3．设)()(,sin )(' 010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =???'1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2015()f x =（ ） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 4．平面内有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ） A.()112n n + B.()1 12 n n - C.()1n n + D.()1n n - 5．已知2() (1),(1)1()2 f x f x f f x +==+，*x N ∈（） ，猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x f x =+ B.2 ()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2()21 f x x =+ 6．观察数列的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点中, 其中第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ?/平面α，直线a ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 8. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要条件或充分条件 9. 2+7与3+6的大小关系是( ) A.2+7≥3+6 B.2+7≤3+6 C.2+7>3+6 D.2+7<3+ 6 10．[2014·山东卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明

5 - 1 专题十三推理与证明 2019 年第三十八讲推理与证明 2019 年 8.（2019 全国I 理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是（ 2 ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如2 此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 -1 ．若某人满2 足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-1 ≈ 0.618 ，2 26 可得咽喉至肚脐的长度小于 0.618 ≈ 42 ， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1 ，可得肚脐至足底的长度小2 42+26 =110 ， 0.618 即有该人的身高小于110 + 68 = 178cm ， 又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm 之间．故选B． 9. （2019 全国II 理4）2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面 5 -1

3 M 2 = 3α + 3α + α ≈ α 3 1 软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 L 2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球 质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ， L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程： M 1 + M 2 = (R + r ) M 1 . (R + r )2 r 2 R 3 α = r α 3α 3 + 3α 4 + α 5 ≈ α 3 设 ，由于 R 的值很小，因此在近似计算中 (1+ α )2 B ，则 r 的近似值为 9 解析 解 法 一 （ 直 接 代 换 运 算 ） ： 由 M 1 + M 2 = (R + r ) M 1 及 α = r 可得 M 1 + M 2 = (1+ α ) M 1 ， (R + r ) 2 r 2 R 3 R (1+ α )2 R 2 r 2 R 2 M M M [(1+ α )3 -1]M (3α + 3α 2 + α 3 )M 2 = (1+ α ) 1 - ?1 = ?1 = ?1 . r 2 R 2 (1+ α )2 R 2 (1+ α )2 R 2 (1+ α )2 R 2 3α 3 + 3α 4 + α 5 M M 3r 3M r 3 M R 3 因为 ≈ 3α 3 ，所以 2 ≈ 1 ? = ?1 ，则r ≈ ?2 ， r ≈ . (1+ α )2 r 2 R 2 R R 3 3M 1 故选 D. 解法二（由选项结构特征入手）：因为α = r R ，所以r = R α ， M 1 r 满足方程： + M 2 = (R + r ) M 1 ． (R + r )2 r 2 R 3 3 4 5 3 所以 M (1+ α )2 ， D C A

选修2-2 第二章 推理与证明(B)

选修2-2 第二章 推理与证明(B) 一、选择题 1、某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1) 种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法，……则他从平地上到第n (n ≥3)级台阶 时的走法f (n )等于( ) A ．f (n －1)＋1 B ．f (n －2)＋2 C ．f (n －2)＋1 D ．f (n －1)＋f (n －2) 2、已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝ 底×高 2 ，可推知扇形面 积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr 2 D ．不可类比 3、设凸n 边形的内角和为f (n )，则f (n ＋1)－f (n )等于( ) A ．n π B ．(n －2)π C ．π D ．2π 4、“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是 ( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5、设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出 f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”，那么，下列命题总成立的是( ) A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立 B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立 C ．若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )2)，q ＝2－a 2＋4a －2 (a >2)，则( ) A ．p >q B ．p 0，则1a ＋1b ＋1 c 的值( )

典型例题：推理与证明

第二章《推理与证明》章末复习习题 考试要求 1．了解合情推理的思维过程； 2．掌握演绎推理的一般模式； 3．会灵活运用直接证明和间接证明的方法，证明问题； 4．掌握数学归纳法的整体思想. 典例精析精讲 例1 、如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点. （1）求证：直线AE ∥平面BDF ； （2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ． 证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG . 由四边形ABCD 为平行四边形，得G 是AC 的中点. 又∵F 是EC 中点，∴在△ACE 中，FG ∥AE . ∵AE ?/平面BFD ，FG ?平面BFD ，∴AE ∥平面BFD ； （2）∵π2AEB ∠=，∴AE BE ⊥. 又∵直线BC ⊥平面ABE ，∴AE BC ⊥. 又BC BE B =，∴直线AE ⊥平面BCE . 由（1）知，FG ∥AE ，∴直线FG ⊥平面BCE . 例2 已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）. （Ⅰ）令2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1n n n c a n += ，12........n n T c c c =+++试比较n T 与521 n n +的大小，并予以证明. 解：（I ）在11()22n n n S a -=--+中，令n =1，可得1112n S a a =--+=，即112a =. 例1图

当2n ≥时，21111111()2()22 n n n n n n n n n S a a S S a a ------=--+∴=-=-++，， 11n 1112a (),212 n n n n n a a a ----∴=+=+n 即2. 112,1,n 21n n n n n n b a b b b --=∴=+≥-=n 即当时，b . 又1121,b a ==∴数列}{n b 是首项和公差均为1的等差数列. 于是1(1)12,2n n n n n n b n n a a =+-?==∴= . (II)由（I ）得11(1)()2 n n n n c a n n +==+，所以 23111123()4()(1)()2222n n T n =?+?+?+++， 2341111112()3()4()(1)()2222 2n n T n +=?+?+?+++. 由①-②得231111111()()()(1)()22222 n n n T n +=++++-+ 11111[1()]133421(1)()122212332 n n n n n n n n T -++-+=+-+=--+∴=- 535(3)(221)3212212(21)n n n n n n n n n T n n n ++---=--=+++. 于是确定521 n n T n +与的大小关系等价于比较221n n +与的大小. 由23 452211;2221;2231;2241;225; +时， 证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立. （2）假设1n k =+时， 12222(21)422(1)1(21)2(1)1k k k k k k k +=>+=+=+++->++. 所以当1n k =+时猜想也成立. 综合（1）（2）可知 ，对一切3n ≥的正整数，都有22 1.n n >+

推理与证明经典练习题

高二数学《推理与证明》练习题 一、选择题 1．在等差数列{}n a 中，有4857a a a a +=+，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，有（ ） A ．4857b b b b +=+ B ．4857b b b b ?=? C ．4578b b b b ?=? D ．4758b b b b ?=? 2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n a n S a 21,1== * N n ∈，试归纳猜想出n S 的 表达式为（ ） A 、 12+n n B 、112+-n n C 、112++n n D 、2 2+n n 3．设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =???' 1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则2015()f x = （ ） A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x 4．平面有n 个点（没有任何三点共线），连接两点所成的线段的条数为 （ ） A. ()112n n + B.()1 12 n n - C.()1n n + D.()1n n - 5．已知2() (1),(1)1()2 f x f x f f x +==+，*x N ∈（） ，猜想(f x ）的表达式为 （ ） A ．4()22x f x =+ B.2()1f x x =+ C.1()1f x x =+ D.2 ()21 f x x =+ 6．观察数列的特点1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点中, 其中第100项是( ) A ．10 B ．13 C ．14 D ．100 7．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面所有直线；已知直线b ?/平面α，直线a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 8. 分析法证明不等式的推理过程是寻求使不等式成立的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要条件或充分条件 9. 2+7与3+6的大小关系是( ) A.2+7≥3+6 B.2+7≤3+6 C.2+7>3+6 D.2+7<3+ 6 10．[2014·卷] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根 B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 11．若f （n ）=1+1 21 3121++ ???++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为 （A ）1 （B ）31 （C ）1+3 121+ （D ）非以上答案