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二次函数基础测试题附答案

一、选择题

1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( )

A ．a +c ＝0

B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2

C ．当函数在x ＜110

时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜

2a 【答案】C

【解析】

【分析】

根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可．

【详解】

解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，

∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2，

∴a +c ＝0，b ＝﹣2，

∴A 正确；

∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2，

∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ，

∴△＝4+4a 2＞0，

∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点，

∵x 1+x 2＝2a

，x 1x 2＝﹣1，

∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；

二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣

2b a ＝1a ，当a ＞0时，不能判定x ＜

110时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；

∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0，

∴m +n ＜0，

2a ＞0， ∴m +n ＜2a

；

∴D 正确，

故选：C ．

【点睛】

本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

2．如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，DC BC ⊥，4cm DC =，6cm BC =，3cm AD = ，动点P ，Q 同时从点B 出发，点P 以2cm /s 的速度沿折线BA AD DC --运动到点C ，点Q 以1cm/s 的速度沿BC 运动到点C ，设P ，Q 同时出发s t 时，BPQ ?的面积为2

cm y ，则y 与t 的函数图象大致是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

分三种情况求出y 与t 的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ；当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时；当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时.即可得出正确选项．

【详解】

解：作AE ⊥BC 于E ，根据已知可得，

AB 2=42+（6-3）2，

解得，AB=5cm ．

下面分三种情况讨论:

当0≤t≤2.5时：P 点由B 到A ，21442255y t t t ==g

g g ,y 是t 的二次函数.最大面积= 5 cm 2; 当2.5≤t≤4时，即P 点在AD 上时，1422y t t =

?=, y 是t 的一次函数且最大值=21448cm 2

??=; 当4≤t≤6时，即P 点从D 到C 时，()21

1226,2y t t t t =?-=-+y 是t 的二次函数故符合y 与t 的函数图象是B ．

故选：B ．

【点睛】

此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.

3．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：

下列结论错误的是( )

A ．0ac <

B ．3是关于x 的方程()2

10ax b x c +-+=的一个根；

C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小；

D ．当13x -<<时，()210.ax b x c +-+>

【答案】C

【解析】

【分析】

根据函数中的x 与y 的部分对应值表，可以求得a 、b 、c 的值然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断．

【详解】

解：根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知：

当1x =-时，1y =-，即1a b c -+=-，

当0x =时，3y =，即3c =，

当1x =时，5y =，即5a b c ++=，

联立以上方程：135a b c c a b c -+=-??=??++=?

，

解得：133a b c =-??=??=?

，

∴2

33y x x =-++；

A 、1330=-?=-

B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=，将3x =代入得：232339630-+?+=-++=，

∴3是关于x 的方程()2

10ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确； C 、233y x x =-++化为顶点式得：2321

()24

=--+

y x ， ∵10a =-<，则抛物线的开口向下， ∴当32x >

时，y 的值随x 值的增大而减小；当32

x <时，y 的值随x 值的增大而增大；故本选项错误； D 、不等式()2

10ax b x c +-+>可化为2230x x -++>，令2y x 2x 3=-++，由二次函数的图象可得：当0y >时，13x -<<，故本选项正确；

故选：C ．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

4．如图，正方形ABCD 中，AB ＝4cm ，点E 、F 同时从C 点出发，以1cm /s 的速度分别沿CB ﹣BA 、CD ﹣DA 运动，到点A 时停止运动．设运动时间为t （s ），△AEF 的面积为S （cm 2），则S （cm 2）与t （s ）的函数关系可用图象表示为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【解析】

试题分析：分类讨论：当0≤t≤4时，利用S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF可得S=﹣

t2+4t，配成顶点式得S=﹣（t﹣4）2+8，此时抛物线的开口向下，顶点坐标为（4，8）；当4＜t≤8时，直接根据三角形面积公式得到S=（8﹣t）2=（t﹣8）2，此时抛物线

开口向上，顶点坐标为（8，0），于是根据这些特征可对四个选项进行判断．

解：当0≤t≤4时，S=S正方形ABCD﹣S△ADF﹣S△ABE﹣S△CEF

=4?4﹣?4?（4﹣t）﹣?4?（4﹣t）﹣?t?t

=﹣t2+4t

=﹣（t﹣4）2+8；

当4＜t≤8时，S=?（8﹣t）2=（t﹣8）2．

故选D．

考点：动点问题的函数图象．

5．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：

①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④9a﹣3b+c＜0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是()

A．①②B．①③④C．①②③④D．①②③④⑤【答案】D

【分析】

根据抛物线的开口方向可得出a 的符号，再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值，然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可．

【详解】

由图象可知，a ＜0，c=1，

对称轴：x=b

12a

-=-， ∴b=2a ， ①由图可知：当x=1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，正确；

②由图可知：当x=?1时，y ＞1，∴a ?b+c ＞1，正确；

③abc=2a 2＞0，正确；

④由图可知：当x=?3时，y ＜0，∴9a ?3b+c ＜0，正确；

⑤c?a=1?a ＞1，正确；

∴①②③④⑤正确．

故选：D ．

【点睛】

本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．

6．小明从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①c ＞0，②abc ＜0，③a -b +c ＞0，④2b ＞4a c ，⑤2a =－2b ，其中正确结论是（）．

A ．①②④

B ．②③④

C ．③④⑤

D ．①③⑤

【答案】C

【解析】

【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

①由抛物线交y 轴于负半轴，则c<0，故①错误；

②由抛物线的开口方向向上可推出a>0；

∵对称轴在y 轴右侧，对称轴为x=2b a

->0，

∴b<0；

由抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，

∴c<0，

故abc>0，故②错误；

③结合图象得出x=?1时，对应y 的值在x 轴上方，故y>0，即a?b+c>0，故③正确； ④由抛物线与x 轴有两个交点可以推出b 2?4ac>0，故④正确；

⑤由图象可知：对称轴为x=2b a -

=12

则2a=?2b ，故⑤正确；

故正确的有：③④⑤．

故选：C

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数关系，观察图象判断图象开口方向、对称轴所在位置、与x 轴交点个数即可得出二次函数系数满足条件．

7．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；

0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )

A ．①②

B ．①②③

C ． ①③④

D ． ①②④

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a

=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123

b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b

c ++>，将23a b =-代入可得40c b ->.

【详解】

①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a

=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.

②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.

③由对称轴123

b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a b

c ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.

故答案选D.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。

8．如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，E 为边AD 上一个动点，连接BE ，取BE 的中点G ，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ，连接CF ，则△CEF 面积的最小值是（）

A ．16

B ．15

C ．12

D ．11

【答案】B

【解析】

【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，则△FEH ∽△EBA ，设AE=x ，可得出△CEF 面积与x 的函数关系式，再根据二次函数图象的性质求得最小值．

【详解】

解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ，

∵∠A=∠H=90°，∠FEB=90°，

∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA ，

∴△FEH ∽△EBA ，

∴ ,HF HE EF AE AB BE

== G Q 为BE 的中点，

1,2

FE GE BE ∴== ∴ 1,2

HF HE EF AE AB BE === 设AE=x ， ∵AB 8,4,AD ==

∴HF 1,4,2

x EH ==

,DH AE x ∴==

CEF DHFC CED EHF S S S S ???∴=+- 11111(8)8(4)4

22222x x x x =

++?--?? 2141644x x x x =

+--- 2116,4

x x =-+ ∴当12124

x -=-

=? 时，△CEF 面积的最小值1421615.4=?-+= 故选：B ．

【点睛】

本题通过构造K 形图，考查了相似三角形的判定与性质．建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键．

9．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（）

A ．-12＜t ≤3

B ．-12＜t ＜4

C ．-12＜t ≤4

D ．-12＜t ＜3

【答案】C

【解析】

【分析】

根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.

【详解】

解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，

∴b ＝?2，

∴y ＝－x 2?2x ＋3，

∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，

∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，

∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，

∴－12＜t≤4，

故选：C ．

【点睛】

本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．

10．某二次函数图象的顶点为()2,1-，与x 轴交于P 、Q 两点，且6PQ =．若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点，则a 、b 、c 、d 之值何者为正？（） A ．a

B ．b

C ．c

D ．d

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意可以得到该函数的对称轴，开口方向和与x 轴的交点坐标，从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负，本题得以解决．

【详解】

∵二次函数图象的顶点坐标为（2，-1），此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ=6， ∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x=2，

∴图形与x 轴的交点为（2-3，0）=（-1，0），和（2+3，0）=（5，0），

∵此函数图象通过（1，a ）、（3，b ）、（-1，c ）、（-3，d ）四点，

∴a ＜0，b ＜0，c=0，d ＞0，

故选：D ．

【点睛】

此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

11．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动时间为()t s ，APQ V 的面积为()2cm S ，则()2

cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论．

【详解】

解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+，

可解得8AB =，6BC =，即6AD =，

①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，

S △APQ =211222

AP AQ t t t ==g g ，图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确；

②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，

S △APQ =118422

AP AB t t =?=g ，图像是一条线段，故选项D 不正确；

故选：A ．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．

12．已知抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，则函数y＝的大致图象是（）A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意可求m＜﹣2，即可求解．

【详解】

∵抛物线y＝x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点，

∴△＝4﹣4（﹣m﹣1）＜0

∴m＜﹣2

∴函数y＝的图象在第二、第四象限，

故选B．

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．

13．在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线

y x

=+上，

若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）

A ．a ≤﹣2

B ．a ＜98

C ．1≤a ＜98或a ≤﹣2

D ．﹣2≤a ＜98

【答案】C

【解析】

【分析】分a ＞0，a ＜0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a 的取值范围．

【详解】

∵抛物线y ＝ax 2﹣x +1（a ≠0）与线段AB 有两个不同的交点，

∴令

1122

x +＝ax 2﹣x +1，则2ax 2﹣3x +1＝0 ∴△＝9﹣8a ＞0 ∴a ＜98

①当a ＜0时，110111a a ++≤??-+≤?

解得：a ≤﹣2

∴a ≤﹣2

②当a ＞0时，110111a a ++≥??

-+≥? 解得：a ≥1

∴1≤a ＜98

综上所述：1≤a ＜

98或a ≤﹣2 故选：C ．

【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

14．如图，已知()4,1A --，线段AB 与x 轴平行，且2AB =，抛物线2y x mx n =-++经过点()0,3C 和()3,0D ，若线段AB 以每秒2个单位长度的速度向下平移，设平移的时间为t （秒）.若抛物线与线段AB 有公共点，则t 的取值范围是（）

A ．010t ≤≤

B ．210t ≤≤

C ．28t ≤≤

D ．210t <<

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用待定系数法求出二次函数，得出B 点坐标，分别得出当抛物线l 经过点B 时，当抛物线l 经过点A 时，求出y 的值，进而得出t 的取值范围；

【详解】

解：（1）把点C （0，3）和D （3，0）的坐标代入y=-x 2+mx+n 中，

得，23330n m n =??-++=?

解得32n m =??=?

∴抛物线l 解析式为y=-x 2+2x+3，

设点B 的坐标为（-2，-1-2t ），点A 的坐标为（-4，-1-2t ），

当抛物线l 经过点B 时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，

当抛物线l 经过点A 时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，

当抛物线l 与线段AB 总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，

解得：2≤t≤10．

故应选B

【点睛】

此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t 的不等式是解题关键．

15．一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x

在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax 2+bx+c 的图象可能是()

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题中给出的函数图像结合一次函数性质得出a ＜0，b ＞0，再由反比例函数图像性质得出c ＜0，从而可判断二次函数图像开口向下，对称轴：2b x a =-

＞0，即在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，从而可得答案.

【详解】

解：∵一次函数y=ax+b 图像过一、二、四，

∴a ＜0，b ＞0，

又∵反比例函数y=

c x 图像经过二、四象限， ∴c ＜0，

∴二次函数对称轴：2b x a

=-＞0， ∴二次函数y=ax 2+bx+c 图像开口向下，对称轴在y 轴的右边，与y 轴负半轴相交，故答案为B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y 轴的交点坐标等确定出a 、b 、c 的情况是解题的关键．

16．已知抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a ，则抛物线的顶点不可能在（）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限【答案】D

【解析】

【分析】

求得顶点坐标，得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式，即可求得．

【详解】

抛物线y ＝x 2+（2a +1）x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为：x ＝﹣

212a +＝﹣a ﹣12，纵坐标为：y ＝()()

224214a a a --+＝﹣2a ﹣14

， ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为：y ＝2x +34

，

∴抛物线的顶点经过一二三象限，不经过第四象限，

故选：D ．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键．

17．如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc ＜0；②a -b +c =0；③2a +b =0；④2a +c ＞0；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，其中正确的结论是（）

A ．①⑤

B ．②④

C ．②③④

D ．②③⑤

【答案】D

【解析】

【分析】

①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a

=1，故正确；④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确．

【详解】

解：①abc ＜0，由图象知c ＜0，a 、b 异号，所以，①错误；

②a -b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；

③2a+b=0，函数对称轴x=-2b a

=1，故正确； ④2a+c ＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a ＜0，∴2a+c ＜0，故错误；

⑤若A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上三点，且-1＜x 1＜x 2＜1，x 3＞3，则y 2＜y 1＜y 3，把A 、B 、C 坐标大致在图上标出，可知正确；

故选D ．

【点睛】

考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y的值．

18．如图抛物线交轴于和点，交轴负半轴于点，且.有下列结论：①；②；③.其中，正确结论的个数是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抛物线的开口方向，对称轴公式以及二次函数图象上点的坐标特征来判断a、b、c的符号以及它们之间的数量关系，即可得出结论．

【详解】

解：根据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，

∴, 故③错误；

∵.

∴B（-c，0）

∴抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（-2，0）和B（-c，0）两点，

∴， ac2-bc+c=0

∴，ac-b+1=0，

∴，故②正确；

∴，b=ac+1

∴,

∴2b-c=2，故①正确；

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a

决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

19．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结i 论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a+b ＝0；④a ﹣b+c ＜0．其中正确的结论有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C

【解析】

【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围，根据对称轴的位置确定b 的取值范围，根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围，根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围，根据x ＝﹣1函数值可以判断．

【详解】

解：Q 抛物线开口向下，

0a ∴<，

Q 对称轴12b x a

=-=， 0b ∴>，

Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，

0c ∴>，

0abc ∴<，故①错误；

Q 抛物线与x 轴有两个交点，

240b ac ∴->，故②正确；

Q 对称轴12b x a

=， 2a b ∴=-， 20a b ∴+=，故③正确；

根据图象可知，当1x =-时，0y a b c =-+<，故④正确；

故选：C ．

【点睛】

此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用是解题关键．

20．平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）

A．向左平移1个单位B．向上平移3个单位

C．向右平移3个单位D．向下平移3个单位

【答案】B

【解析】

【分析】

先将抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.

【详解】

解：y＝﹣（x﹣1）（x+3）=-（x+1）2+4

A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝-（x+2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意；

B、向上平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+7，当x=0时，y=3，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意；

C、向右平移3个单位后的解析式为：y=-（x-2）2+4，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.；

D、向下平移3个单位后的解析式为：y=-（x+1）2+1，当x=0时，y=0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意.

【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，函数图像平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减.

二次函数基础训练题

二次函数基础训练题一、仔细填一填：（每小题2分，共40分） 1、在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”). (l ）y=-2x 2 ( ) (2）y=2(x-1)2+3 ( ) (3）y=-3x 2-3 ( ) (4) s=a(8-a) ( ) 2、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ; 3、已知函数y=(m-1)x 2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点． 4、函数212y x =-的对称轴是，顶点坐标是，对称轴的右侧y 随x 的增大而，当x= 时，函数y 有最值，是 . 5、函数y=3(x-2)2的对称轴是，顶点坐标是，图像开口向，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最值，是 . 6、.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是，顶点坐标是，图象开口向，当x 时， y 随x 的增大而减小，当时，函数y 有最值，是 . 7、函数y=x 2-3x-4的图象开口，对称轴是，顶点坐标是，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而，当x 时，函数y 有最值，是 . 8、.函数y=-3(x-1)2+1是由y=3x 2向平移单位，再向平移单位得到的. 9、已知抛物线y=x 2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 . 10、已知二次函数y=ax 2-4x-13a 有最小值-17，则a= . 11、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是，b 的符号是，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0, 当x 时，y < 0 . 12. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ). 13. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的对称轴为直线X= 94，则m= ． 14、已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= . 15、抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象经过第象限. 16、把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 . 17、已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 18、若一抛物线y=ax 2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a 的取值范围是 ( ) 19、写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 . 20、抛物线y=(1-k)x 2-2x-1与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 . 二、认真选一选：（每题2分，共26分） 1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（） A.(-1,-2) B.(-1,2) C.(1,-2) D.(1,2) 2. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=- 12 D.x=12 3. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（）

九年级数学二次函数测试题含答案精选5套

九年级数学二次函数单元试卷（一）时间90分钟满分：100分一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为（） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10题) 3.05m x y