集合知识点及经典例题

集合知识点及经典例题

一、知识点整理 ㈠集合有关概念

1、集合与元素的关系

元素与集合的关系：属于“∈”；不属于? 2、集合中元素的三个特性： ⑴元素的确定性如：世界上最高的山

⑵元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y}

例题：①设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，

}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）

非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有__个（答：7） ⑶元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3、集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} ⑴用英文字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} ⑵集合的表示方法：列举法与描述法。 1）列举法：{a,b,c ……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

例题：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，

例题：设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N = ___（答：[4,)+∞）； ⑶语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ⑷Venn 图:

⑸常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数 C 4、集合的分类：

⑴有限集 含有有限个元素的集合 ⑵无限集 含有无限个元素的集合

⑶空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝

5、集合间的基本关系

⑴“包含”关系—子集：数学表达式：若对任意B x A x ∈?∈，则B A ? 注意：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。

反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?/B 或B ?/A

“真包含”关系—真子集：B A ?且A B ≠A ?B

⑵“相等”关系：如果集合A 与B 的元素都相等，则称A=B

证明方法：若B A ?且A B ?，则A=B

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 性质：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A

②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A

B(或B

A)

6、空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

性质: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

例题：集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B = ，

则实数a

＝__.（答：1

0,1,2

a =） 重要结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，2n -1个非空子集，2n

-2个非空真子集 7

⑴A B A B A =?? ； ⑵A B B B A =?? ； ⑶A B ??u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =??? 痧； ⑸u A B U A B =?? e； ⑹()U C A B U U C A C B = ；

⑺()U U U C A B C A C B = .

例题：已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使

0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3

(3,)2

-）

解：∵至少存在一点C 使f(c) 〉0, 也就是说 最大值 >0 二次函数看f （x ）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1开口向上 所以最大值在端点 取到 f(-1)=-2p2 +p+1 f(1)=-2p2 -3p+9 函数的对称轴为 （p-2）/4

当 （p-2）/4 ≥0 的时候 ， 即p≥2 函数的最大值为 f(-1) -2p2 +p+1>0 在p≥2 无解 当 （p-2）/4 <0 的时候 ， 即p<2 函数的最大值为 f(1) -2p2 -3p+9>0 在p<2 的情况下 解为 -3 < p<3/2 例题：已知集合A={x| x 2

+2x-8=0}, B={x| x 2

-5x+6=0}, C={x| x 2

-mx+m 2

-19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

解：由题意可得：A={-4,2} B={2,3}

若B∩C≠Φ，A∩C=Φ 则3∈C 且2不属于C 且-4不属于C 则9-3m+m2-19=0 解得 m=5或-2

若m=5则 C={x|x2-5x+6=0}={2,3} 所以m=5不成立舍去 若m=-2则 C={x|x2+2x -15=0}={-5，3} 所以m=-2也成立 综上所述m=-2

例题：设A ＝{x|x2＋4x ＝0}，B ＝{x|x2＋2(a ＋1)x ＋a2－1＝0}，B ?A ，求实数a 的取值范围． 解 ：A ＝{x|x2＋4x ＝0}＝{0，－4}，因此A 的子集分别为?，{0}，{－4}，{0，－4}． 又B ?A ，若B ＝?， Δ＝4(a ＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1； 若B ＝{0}， －2a ＋1＝0，a2－1＝0，解得a ＝－1； 若B ＝{－4}， －2a ＋1＝－8，a2－1＝16，无解； 若B ＝{0，－4}， －2a ＋1＝－4，a2－1＝0，解得a ＝1；

综上所述，实数a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1.