概率统计习题
第一章 随机事件与概率
例题精选
1．已知Ｕ为必然事件，Ｖ为不可能事件，则Ｐ（Ｕ）＝1，Ｐ（Ｖ）＝0
2．已知事件Ａ的概率Ｐ（Ａ）＝，Ｕ为必然事件，则 Ｐ（Ａ＋Ｕ）＝1，Ｐ（ＡＵ）＝
3.设Ａ、Ｂ、Ｃ是三个事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ表示出来.
（1）{Ａ发生而Ｂ、Ｃ都不发生}＝C B A
（2）{Ａ、Ｂ都发生，而Ｃ不发生}＝C AB
（3）{Ａ、Ｂ、Ｃ都发生}＝ABC
（4）{Ａ、Ｂ，Ｃ中至少有一个发生}＝A+B+C
（5）{Ａ、Ｂ、Ｃ中恰好一个发生}＝C B A C B A C B A ++
（6）{Ａ、Ｂ，Ｃ中至少有一个不发生}＝C B A ++
4.一个口袋内装有大小相等、质量相同的球（2个红球，3个白球，4个黑球），每次摸取1个，有放回地取两次，求取得的球中无红或无黑球的概率.
解： 设A={无红}，B={无黑}，C={全白}，则 C=AB
故P(无红或无黑球)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =2297+2295-22
9
3 =81
65 5 某药检所以送检的10件药品中先后抽检了两件，如果10件中有3件次品，求
（1）第一次检得次品的概率
（2）第一次检得次品后，第二次检得次品的概率
（3）两次都检得次品的概率
解：设A={第一次检得次品}，B={第二次检得次品}，得
(1)P(A)=3/10
(2)P(B|A)=2/9 (3)P(AB)=P(A) P(B|A)=15
192103=? 或按古典概型计算，P(AB)=15
191023=?? 6.甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为，求敌机被击中的概率
解：设A={甲击中敌机}，B={乙击中敌机 }，C={敌机被击中}，则 C=A+B ，且A 与B 独立。故
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
= P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=＋? =
练习选解
练习1-2
1.在1、2、3、4、5这五个数字中任取两个，取得的两数之和为偶数的概率是多少？
解：设A={取得的两数之和为偶数}，则 P(A)=25
2223C C C +=4/10= 2.将一均匀硬币抛投两次，求下列事件的概率
（1）出现两次正面
（2）恰好出现一次正面
（3）至少出现一次正面
解：设A={出现两次正面}，B={恰好出现一次正面}，C={至少出现一次正面}，则
P(A)＝
22
1＝1/4 P(B)＝222＝1/2 P(C)=P(A)+P(B)=3/4
3.袋中有大小相等、质量相同的球（3个蓝色球和5个红色球），从中任取2个球，问取出的2个球都是红色的概率是多少？
解：设A={取出的2个球都是红色}，则 P(A)=28
25C C =5/14≈ 件产品，有正品60件，次品5件。求
（1）从中任取一件而取得正品的概率？
（2）任取二件都取到正品的概率？
（3）任取两件取到一件正品、一件次品的概率？
解：设A={任取一件而取得正品}，B={任取二件都取到正品 }，C={取到一件正品、一件次品}，则
P(A)＝165
160C C ＝12/13≈ P(B)＝265
260C C ＝177/208≈ P(C)=265
15160C C C ＝15/104≈ 练习1-3
2.若某地区人群中患结核病的概率为，患沙眼病的概率为，兼患此两种病的概率
为，问该地区人群中至少患有一种病的概率。
解：设A={患结核病}，B={患沙眼病}，则A与B独立。
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=＋ =
3.某机械零件的加工由两道工序组成。第一道工序的废品率为,第二道工序的废品率为,假定两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率。
解：设A={第一道工序生产的废品}，B={第二道工序生产的废品}，C={合格的产品}，则
解法1： P(C)=P(B
A)=P(B
A+)=1-P(A+B)
=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=? =
=%
解法2： P(C)=P(B
A)=P(A)P(B)
=[1-P(A)][1-P(B)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=? =
=%
4.某医疗器械厂的全部产品中有废品3%，在合格品中有80%是一级品。求从产品中任取出一产品恰是一级品的概率。
解：设A={合格品}，B={一级品}，显然，A包含B，得P(A)=1-3%=97%,
P(B|A)=80%
∴P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=97%?80%=
5.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，从中每次任取一个，连取二次（无放回的抽取），求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。
解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球}
∴P(AB)=P(A)P(B|A)=10
34352=? 6.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，第一次取出一球，取后放回，第二次再取一球，求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。
解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球}
∴P(AB)=P(A)P(B)=25
65352=? 练习1-3
1. 假定患有肺结核的人，通过胸部透视被诊断为肺结核的概率为95%。而未患肺结核的人，通过透视被误诊为肺结核的概率为%。设某地居民患肺结核的概率为%，若从中随机抽出1人，通过透视被诊断为肺结核，问此人确实患有肺结核的概率是多少？
解：设A={诊断为肺结核}，B={患有肺结核}，由题意得：P(A|B)=95%,P(A|B )=%,P(B)=%,P(B )=%
由逆概公式可知
P(B|A)＝
)B |()B P(B)|P(B)P(A B)|()(A P A P B P + ＝%
20.0%9.9995%0.1%%95%1.0?+?? ＝%
2. 10人抓阄，其中有两个是“有”，其余是无，试判定第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解：设A={第一个抓阄者抓到“有”}，B={第二个抓阄者抓到“有”}， 依题意得：P(A)=2/10=1/5=,根据全概率公式有 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P((B|A ) =9
2549151?+? =
由于P(A)=P(B),故先抓阄者与后抓阄者获得“有”的机会是相等的。 练习1-5
1. 用某药物治疗某种疾病，治愈的概率为P ＝,不愈的概率为q=1-P=(这里我们观察的指标只定为治愈和不愈这两种)，而每次治疗的结果互不影响（即相互独立），现在用这种药物治疗4人，问下述事件的概率是多少？
（1）4人治愈 （2）4人都不愈
（3）4人中恰有1人治愈 （4）4人中至少有1人治愈
解：根据贝努里概型计算公式得：
444
46.0)4(C P == 40044)4.0()6.0()0(C P ==
31144)4.0()6.0()1(C P ==
P(4人中至少有1人治愈)=)0(14P -=
2. 对某种新药进行研究，预计它对某种疾病的有效率为,试问10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效的概率是多少？
解：P{10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效}
=)7()6()5(101010P P P +++)10()9()8(101010P P P +
=28810377104661055510
)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C C +++
=
3. 在一定的条件下，某种微生物菌落在培养基中出现的概率为.现在保留相同条件下，分别在5个培养基中接种，求至少有4个培养基中出现菌落的概率？ 解：P{至少有4个培养基中出现菌落}=)5()4(55P P +
=05551445)2.0()8.0()2.0()8.0(C C +
=
习题一
1．10件产品中有3件次品，任取4件产品，求：（1）事件A=“恰有两件次品”
（2）事件B ＝“没有次品”；（3）事件C=“至少有一件次品”的概率
解： P(A)＝410
2723C C C ＝3/10 P(B)＝410
47C C ＝1/6 P(C)=1-P(B)=5/6
2 有20瓶“冬含补膏”，所装补膏的瓶中，有5只瓶口高低不平（属次品）。现从中任取三瓶，求最多取到一瓶是次品的概率。
解：设i A ={取到i 瓶是次品},i=0,1;A={最多取到一瓶是次品}，显然，
A=0A +1A ,且P(0A )=320
315C C ,P(1A )=32021515C C C . ∴P(A)=P(0A )+P(1A )=49/57
4 某个人群中患沙眼病的概率为，现抽查20人，求其中有二人患沙眼的概率。 解：已知P=,n=20,k=2,根据贝努里概型计算公式得：
18222020)96.0()04.0()2(C P ==
6 今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只是
新的，现从甲乙两盒中各任取一只。试求：（1）取到2只都是新球的概率；
（2）取到2只都是旧球的概率（3）取到2球是一新一旧的概率。
解：设A={从甲盒中取得一新球}，B={从乙盒中取得一新球}，则
P(A)=7/10,P(B)=6/10,且A 与B 独立。
(1){取到2只都是新球}=AB,
∴P(AB)=42.010
6107=? (2){取到2只都是旧球}=B A
∴P(B A )=12.0)10
61()1071(=-?- (3){取到2球是一新一旧}=B A +B A
∴P(B A +B A )=104107?+46.010
6103=? 7 甲乙两生产队分别有小麦种子250kg 和750kg,假如甲队小麦的发芽率为88%,乙队小麦的发芽率为92%。现两队将所有小麦种子混合播种。求种子发芽的概率。
解：设A={甲队小麦种子}，A ={乙队小麦种子},B={种子发芽}，
则P(A)=250/(250+750)=25%,P(A )=750/(250+750)=75%, P(B|A)=88%，P((B|A )=92%。
根据全概率公式有 P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P((B|A )
=25%?88%+75%?92%
=91%
8 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，这里以事件A 表示“被检查者患有肝癌”，以事件B 表示“判断被检查者患有肝癌”即试验反应为阳性。已知真阳性率
为P(B|A)=95%,真阴性率为P(B |A )=92%,若某地区的人群中患肝癌的比率为%，现有一人被此检验法诊断为患肝癌，求此人真的患肝癌的概率P(A|B) 解：由题意得：P(A)=%, P(B|A)=95%, P(B |A )=92%,则P(A )=%=%,P(B|A )=1-P(B |A )=1-92%=8%
由逆概公式可知
P(A|B)＝
)A |()A P(A)|P(A)P(B A)|()(B P B P A P + ＝%
8%95.9995%0.05%%95%05.0?+?? ＝
9 某药对某病治愈率为,无效率为.如用该药治某病5例，问：预期治愈几例的可能性最大？
解：根据贝努里概型计算公式得：
50055)4.0()6.0()0(C P ==
41155)4.0()6.0()1(C P ==
32255)4.0()6.0()2(C P ==
23355)4.0()6.0()3(C P ==
14455)4.0()6.0()4(C P ==
05555)4.0()6.0()5(C P ==
故预期治愈3例的可能性最大.
第二章 随机变量的概率分布和数字特征
例题精选
1 随机变量X 服从参数μ，б 的正态分布，则随机变量X 的概率密度函数为：
)(21
)(22
2)(+∞<<-∞=--x e x f x σμσπ，E （X ）＝μ，D （X ）＝2σ
2 设x 服从二项分布B （n ，p ），则E （X ）＝n ，D （X ）＝np(1-p)
练习选解
练习2-1
3. 设某运动员投篮命中的概率为，独立投三次，求命中次数的概率函数。 解：已知P=，q==，n=3
∴P （X ＝k ）=k k k C -33)2.0()8.0( （k=0,1,2,3）
分布律如下：
4～7（略）
8．设X~N(2,σμ)，求P(21x X x <<);P(σμ96.1<-X )
解：P(21x X x <<)＝)(2σμ-Φx —)(1σ
μ-Φx P(σμ96.1<-X )＝P （μσ+-96.1 μμσ-+-Φ =)96.1()96.1(-Φ-Φ =从学校乘车去火车站，有两条路可走。一条穿过闹市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间X （单位为分）服从正态分布：N(50,100),第二条路沿环城路，路程较远，但意外阻塞较少，也服从正态分布：N(60,16)。假若有70分钟可用，应走哪条路？60分钟又应走哪条路？ 解：（1）假若有70分钟可用时， 第一条路 1P (0 500(-Φ=)2(Φ-)5(-Φ= 第二条路 2P (0 600(-Φ=)5.2(Φ-)15(-Φ= ∵1P (0 ∴假若有70分钟可用时，应走第二条路线。 （2）假若有60分钟可用时， 第一条路 1P (0 -Φ—)10 500(-Φ=)1(Φ-)5(-Φ= 第二条路 2P (0 ∴假若有60分钟可用时，应走第一条路线。 10. 设随机变量X 服从正态分布N(70,100),试求：（1）随机事件（X<62）的概率;（2）随机事件（X>72）的概率;（3）X 落在68～74之间的概率 解：(1) P(X<62)=)10 7062( -Φ=)8.0(-Φ= (2) P(X>72)=1- P(X ≤72)=1-)10 7072(-Φ=1-)2.0(Φ== (3) P(68 1. 已知随机变量X 的概率分布为 P{X=k}=1/10, k ＝2,4,…,18,20。求E(X).。 解：E(X)=10 120...101610141012?++?+?+? =(2+4+6+…+20)10 1? =11010 1? =11 2甲、乙两位外科医生，各自对20名心脏病人进行手术治疗，设这两组病人年 龄、病情等基本相同，用1X 、2X 分别表示甲乙两位医生手术成功人数。1X 、2X 的概率分布如表所示。问甲乙两位医生的技术水平如何？ 表1 甲医生 1X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 表1 乙医生 2X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 解：000.010...121.01028.00)(1?++?+?==∑i i p x X E ＝ 000.010...010.01001.00)(2?++?+?==∑i i p x X E ＝ ∵ )()(21X E X E < ∴ 乙医生的技术水平高于甲医生的技术水平。 3将一硬币连掷10次，以X 表示出现正面的次数，试写出X 的概率分布。 解：已知P=，q==，n=10 ∴ P(X ＝k) =k k k C -1010 )5.0()5.0( =1010 )5.0(k C (k=0,1,2,…,10) （概率分布表从略） 4从四名男学员和两名女学员中，选两人当组长，求男学员被选为组长人数X 的 概率分布表和分布函数。 解： 分布表如下： 于是，=)(X F 22 11 00 15/315/10≥<≤<≤ 5. 随机变量1X ，2X …，n X 相互独立，并且服从同一分布，即E(i X )=μ， D(i X )=2 σ，i=1，2,…，求这些随机变量的算术平均值∑==n i i X n X 11的数学期望与方差。 解：E(X )=E(∑=n i i X n 11)=n 1E(∑=n i i X 1)＝n 1∑=n i i X E 1 )(=μn n ?1＝μ D(X )=D(∑=n i i X n 11)=21n D(∑=n i i X 1 )＝21n ∑=n i i X D 1)(=n n n 2 221σσ=? 6．随机变量X 的分布率为 试求E(X)，D(X) 解法一：3.023.004.02)(?+?+?-==∑i i p x X E ＝ D(X)=3.0)]2.0(0[4.0)]2.0(2[)]([222 ?--+?---=-∑i i p X E x ＋3.0)]2.0(2[2?-- ＝＋＋ ＝ 解法二：∵3.023.004.02)(?+?+?-==∑i i p x X E ＝ 3.023.00 4.0)2()()(22222?+?+?-==∑i i p x X E ＝ ∴D(X)=22)]([)(X E X E - = = 7．设X~N(3,4)，试求P(52≤ 解：(1) P(52≤ 32(-Φ=)1(Φ-)5.0(-Φ = (2) P(104≤≤-X )=)2310( -Φ—)2 34(--Φ=)5.3(Φ-)5.3(-Φ =)5.3(Φ-[1-)5.3(Φ]=2)5.3(Φ-1 =?= (4)P(X>3)=1- P(X ≤3)=1-)2 33(-Φ=1-)0(Φ== 8设随机变量X~N(2,σa )，求X 落在区间[]σσk a k a +-,的概率。其中：k=1,2,3。 解： P(σσk a X k a +≤≤-)=)(σσa k a -+Φ—)(σσa k a --Φ=)(k Φ-)(k -Φ =2)(k Φ-1 当k=1时，P(σσk a X k a +≤≤-)=2)1(Φ-1＝?—1= 当k=2时，P(σσk a X k a +≤≤-)=2)2(Φ-1＝?—1= 当k=3时，P(σσk a X k a +≤≤-)=2)3(Φ-1＝?—1= 可见，随机变量X 之值几乎全部落入区间[]σσ3,3+-a a 内。 9.测量到某一目标的距离时发生的随机误差X （米）具有分布密度 3200)20(2 2401 )(--=x e x f π —∞ 求在一次测量中随机误差不超过30米的概率。 解：由题意可知：μ＝20，σ＝40 ∴P(3030≤≤-X )=)402030( -Φ—)402030(--Φ=)25.0(Φ-)25.1(-Φ ＝