概率统计习题
第一章 随机事件与概率
例题精选
1．已知Ｕ为必然事件，Ｖ为不可能事件，则Ｐ（Ｕ）＝1，Ｐ（Ｖ）＝0 2．已知事件Ａ的概率Ｐ（Ａ）＝0.6，Ｕ为必然事件，则 Ｐ（Ａ＋Ｕ）＝1，Ｐ（ＡＵ）＝0.6
3.设Ａ、Ｂ、Ｃ是三个事件，试将下列事件用Ａ、Ｂ、Ｃ表示出来. （1）{Ａ发生而Ｂ、Ｃ都不发生}＝C B A （2）{Ａ、Ｂ都发生，而Ｃ不发生}＝C AB （3）{Ａ、Ｂ、Ｃ都发生}＝ABC
（4）{Ａ、Ｂ，Ｃ中至少有一个发生}＝A+B+C
（5）{Ａ、Ｂ、Ｃ中恰好一个发生}＝C B A C B A C B A ++ （6）{Ａ、Ｂ，Ｃ中至少有一个不发生}＝C B A ++
4.一个口袋内装有大小相等、质量相同的球（2个红球，3个白球，4个黑球），每次摸取1个，有放回地取两次，求取得的球中无红或无黑球的概率.
解： 设A={无红}，B={无黑}，C={全白}，则 C=AB 故P(无红或无黑球)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=2297+2295-22
9
3
=81
65
5 某药检所以送检的10件药品中先后抽检了两件，如果10件中有3件次品，求
（1）第一次检得次品的概率
（2）第一次检得次品后，第二次检得次品的概率 （3）两次都检得次品的概率
解：设A={第一次检得次品}，B={第二次检得次品}，得
(1)P(A)=3/10 (2)P(B|A)=2/9 (3)P(AB)=P(A) P(B|A)=
15
1
92103=
? 或按古典概型计算，P(AB)=
15
1
91023=??
6.甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率
解：设A={甲击中敌机}，B={乙击中敌机 }，C={敌机被击中}，则 C=A+B ，且A 与B 独立。故
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.6＋0.5-0.6?0.5 =0.8
练习选解
练习1-2
1.在1、2、3、4、5这五个数字中任取两个，取得的两数之和为偶数的概率是多
少？
解：设A={取得的两数之和为偶数}，则
P(A)=2
5
2
2
23C C C =4/10=0.4
2.将一均匀硬币抛投两次，求下列事件的概率 （1）出现两次正面 （2）恰好出现一次正面
（3）至少出现一次正面
解：设A={出现两次正面}，B={恰好出现一次正面}，C={至少出现一次正面}，则
P(A)＝
221
＝1/4 P(B)＝22
2
＝1/2
P(C)=P(A)+P(B)=3/4
3.袋中有大小相等、质量相同的球（3个蓝色球和5个红色球），从中任取2个球，问取出的2个球都是红色的概率是多少？
解：设A={取出的2个球都是红色}，则
P(A)=282
5C C =5/14≈0.357
4.65件产品，有正品60件，次品5件。求
（1）从中任取一件而取得正品的概率？
（2）任取二件都取到正品的概率？
（3）任取两件取到一件正品、一件次品的概率？
解：设A={任取一件而取得正品}，B={任取二件都取到正品 }，C={取到一件正品、一件次品}，则
P(A)＝165
160
C C ＝12/13≈0.9231
P(B)＝265260
C C ＝177/208≈0.8510
P(C)=2
65
15
160C C C ＝15/104≈0.1442
练习1-3
2.若某地区人群中患结核病的概率为0.006，患沙眼病的概率为0.04，兼患此两种病的概率为0.001，问该地区人群中至少患有一种病的概率。
解：设A={患结核病}，B={患沙眼病}，则A 与B 独立。 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.006＋0.04-0.001 =0.045
3.某机械零件的加工由两道工序组成。第一道工序的废品率为0.015,第二道工序的废品率为0.02,假定两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率。
解：设A={第一道工序生产的废品}，B={第二道工序生产的废品}，C={合格的产品}，则
解法1： P(C)=P(B
A+)=1-P(A+B)
A)=P(B
=1-[P(A)+P(B)-P(AB)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=1-0.015-0.02+0.015?0.02
=0.9653
=96.53%
解法2： P(C)=P(B
A)=P(A)P(B)
=[1-P(A)][1-P(B)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
=1-0.015-0.02+0.015?0.02
=0.9653
=96.53%
4.某医疗器械厂的全部产品中有废品3%，在合格品中有80%是一级品。求从产品中任取出一产品恰是一级品的概率。
解：设A={合格品}，B={一级品}，显然，A包含B，得P(A)=1-3%=97%,
P(B|A)=80%
∴P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=97%?80%=0.776
5.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，从中每次任取一个，连取二次（无放回的抽取），求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。
解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球}
∴P(AB)=P(A)P(B|A)=10
3
4352=?
6.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，第一次取出一球，取后放回，第二次再取一球，求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。
解：设A={第一次取得红球}，B={第二次取得白球}
∴P(AB)=P(A)P(B)=25
6
5352=?
练习1-3
1. 假定患有肺结核的人，通过胸部透视被诊断为肺结核的概率为95%。而未患肺结核的人，通过透视被误诊为肺结核的概率为0.20%。设某地居民患肺结核的概率为0.1%，若从中随机抽出1人，通过透视被诊断为肺结核，问此人确实患有肺结核的概率是多少？
解：设A={诊断为肺结核}，B={患有肺结核}，由题意得：P(A|B)=95%,P(A|B )=0.20%,P(B)=0.1%,P(B )=99.9% 由逆概公式可知
P(B|A)＝
)B |()B P(B)|P(B)P(A B)
|()(A P A P B P +
＝
%
20.0%9.9995%0.1%%
95%1.0?+??
＝32.225%
2. 10人抓阄，其中有两个是“有”，其余是无，试判定第一个抓阄者是否比第二个更合算。
解：设A={第一个抓阄者抓到“有”}，B={第二个抓阄者抓到“有”}， 依题意得：P(A)=2/10=1/5=0.2,根据全概率公式有
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P((B|A )
=9
2
549151?+?
=0.2
由于P(A)=P(B),故先抓阄者与后抓阄者获得“有”的机会是相等的。
练习1-5
1. 用某药物治疗某种疾病，治愈的概率为P ＝0.6,不愈的概率为q=1-P=0.4(这里我们观察的指标只定为治愈和不愈这两种)，而每次治疗的结果互不影响（即相互独立），现在用这种药物治疗4人，问下述事件的概率是多少？ （1）4人治愈 （2）4人都不愈
（3）4人中恰有1人治愈 （4）4人中至少有1人治愈 解：根据贝努里概型计算公式得：
44446.0)4(C P ==0.1296
400
44)4.0()6.0()0(C P ==0.0256 31144)4.0()6.0()1(C P ==0.1536
P(4人中至少有1人治愈)=)0(14P -=0.9744
2. 对某种新药进行研究，预计它对某种疾病的有效率为0.7,试问10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效的概率是多少？
解：P{10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效}
=)7()6()5(101010P P P +++)10()9()8(101010P P P +
=28810377104661055510)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C C +++ 010*********)3.0()7.0()3.0()7.0(C C ++
=0.9527
3. 在一定的条件下，某种微生物菌落在培养基中出现的概率为0.8.现在保留相同条件下，分别在5个培养基中接种，求至少有4个培养基中出现菌落的概率？
解：P{至少有4个培养基中出现菌落}=)5()4(55P P +
=055
51445)2.0()8.0()2.0()8.0(C C +
=0.7373
习题一
1．10件产品中有3件次品，任取4件产品，求：（1）事件A=“恰有两件次品”（2）事件B ＝“没有次品”；（3）事件C=“至少有一件次品”的概率
解： P(A)＝4102
723C C C ＝3/10
P(B)＝410
4
7C C ＝1/6
P(C)=1-P(B)=5/6
2 有20瓶“冬含补膏”，所装补膏的瓶中，有5只瓶口高低不平（属次品）。现
从中任取三瓶，求最多取到一瓶是次品的概率。
解：设i A ={取到i 瓶是次品},i=0,1;A={最多取到一瓶是次品}，显然，
A=0A +1A ,且P(0A )=320315C C ,P(1A )=320
21515C C
C .
∴P(A)=P(0A )+P(1A )=49/57
4 某个人群中患沙眼病的概率为0.04，现抽查20人，求其中有二人患沙眼的概率。
解：已知P=0.04,n=20,k=2,根据贝努里概型计算公式得：
1822
2020)96.0()04.0()2(C P ==0.1462
6 今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只是新的，现从甲乙两盒中各任取一只。试求：（1）取到2只都是新球的概率；（2）取到2只都是旧球的概率（3）取到2球是一新一旧的概率。 解：设A={从甲盒中取得一新球}，B={从乙盒中取得一新球}，则
P(A)=7/10,P(B)=6/10,且A 与B 独立。 (1){取到2只都是新球}=AB,
∴P(AB)=
42.010
6
107=? (2){取到2只都是旧球}=B A
∴P(B A )=12.0)10
6
1()1071(=-?-
(3){取到2球是一新一旧}=B A +B A ∴P(B A +B A )=104107?+46.010
6
103=?
7 甲乙两生产队分别有小麦种子250kg 和750kg,假如甲队小麦的发芽率为88%,乙队小麦的发芽率为92%。现两队将所有小麦种子混合播种。求种子发芽的概率。
解：设A={甲队小麦种子}，A ={乙队小麦种子},B={种子发芽}，
则P(A)=250/(250+750)=25%,P(A )=750/(250+750)=75%, P(B|A)=88%，P((B|A )=92%。 根据全概率公式有
P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P((B|A ) =25%?88%+75%?92%
=91%
8 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，这里以事件A 表示“被检查者患有肝癌”，以事件B 表示“判断被检查者患有肝癌”即试验反应为阳性。已知真阳性率为P(B|A)=95%,真阴性率为P(B |A )=92%,若某地区的人群中患肝癌的比率为0.05%，现有一人被此检验法诊断为患肝癌，求此人真的患肝癌的概率P(A|B)
解：由题意得：P(A)=0.05%, P(B|A)=95%, P(B |A )=92%,则P(A )=1-0.05%=99.95%,P(B|A )=1-P(B |A )=1-92%=8% 由逆概公式可知
P(A|B)＝
)A |()A P(A)|P(A)P(B A)
|()(B P B P A P +
＝
%
8%95.9995%0.05%%
95%05.0?+??
＝0.0059
9 某药对某病治愈率为0.6,无效率为0.4.如用该药治某病5例，问：预期治愈几例的可能性最大？
解：根据贝努里概型计算公式得：
500
55)4.0()6.0()0(C P ==0.01024
411
55)4.0()6.0()1(C P ==0.0768 32255)4.0()6.0()2(C P ==0.2304 23355)4.0()6.0()3(C P ==0.3456 14455)4.0()6.0()4(C P ==0.2592 05555)4.0()6.0()5(C P ==0.07776
故预期治愈3例的可能性最大.
第二章 随机变量的概率分布和数字特征
例题精选
1 随机变量X 服从参数μ，б 的正态分布，则随机变量X 的概率密度函数为：
)(21)(2
22)(+∞<<-∞=
--
x e
x f x σμσ
π，E （X ）＝μ，D （X ）＝2σ
2 设x 服从二项分布B （n ，p ），则E （X ）＝n ，D （X ）＝np(1-p)
练习选解 练习2-1
3. 设某运动员投篮命中的概率为0.8，独立投三次，求命中次数的概率函数。 解：已知P=0.8，q=1-0.8=0.2，n=3
∴P （X ＝k ）=k k k
C -33)2.0()8.0( （k=0,1,2,3）
分布律如下：
4～7（略）
8．设X~N(2,σμ)，求P(21x X x <<);P(σμ96.1<-X ) 解：P(21x X x <<)＝)(
2σ
μ
-Φx —)(
1σ
μ
-Φx
P(σμ96.1<-X )＝P （μσ+-96.1 =)96.1( σμμσ-+Φ—)96.1(σ μ μσ-+-Φ =)96.1()96.1(-Φ-Φ =0.97500-0.02500 =95% 9.从学校乘车去火车站，有两条路可走。一条穿过闹市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间X （单位为分）服从正态分布：N(50,100),第二条路沿环城路，路程较远，但意外阻塞较少，也服从正态分布：N(60,16)。假若有70分钟可用，应走哪条路？60分钟又应走哪条路？ 解：（1）假若有70分钟可用时， 第一条路 1P (0 -Φ—)1050 0(-Φ=)2(Φ-)5(-Φ=0.97725 第二条路 2P (0 60 0(-Φ=)5.2(Φ-)15(-Φ=0.993790 ∵1P (0 ∴假若有70分钟可用时，应走第二条路线。 （2）假若有60分钟可用时， 第一条路 1P (0 -Φ—)1050 0(-Φ=)1(Φ-)5(-Φ=0.8413 第二条路 2P (0 60 0(-Φ=)0(Φ-)15(-Φ=0.5 ∵1P (0 ∴假若有60分钟可用时，应走第一条路线。 10. 设随机变量X 服从正态分布N(70,100),试求：（1）随机事件（X<62）的概率;（2）随机事件（X>72）的概率;（3）X 落在68～74之间的概率 解：(1) P(X<62)=)10 70 62( -Φ=)8.0(-Φ=0.2119 (2) P(X>72)=1- P(X ≤72)=1-)10 70 72( -Φ=1-)2.0(Φ=1-0.5793=0.4207 (3) P(68 -Φ—)10 70 68(-Φ=)4.0(Φ-)2.0(-Φ =0.6554-0.4207=0.2347 练习2-2 1. 已知随机变量X 的概率分布为 P{X=k}=1/10, k ＝2,4,…,18,20。求E(X).。 解：E(X)=10 1 20...101610141012?++?+?+? =(2+4+6+…+20)10 1 ? =11010 1 ? =11 2甲、乙两位外科医生，各自对20名心脏病人进行手术治疗，设这两组病人年龄、病情等基本相同，用1X 、2X 分别表示甲乙两位医生手术成功人数。1X 、2X 的概率分布如表所示。问甲乙两位医生的技术水平如何？ 表1 甲医生 1X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.121 0.267 0.103 0.009 0.000 P 0.028 0.234 0.200 0.037 0.001 0.000 表1 乙医生 2X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.010 0.117 0.247 0.117 0.010 P 0.001 0.044 0.205 0.205 0.044 0.000 解：000.010...121.01028.00)(1?++?+?==∑i i p x X E ＝2.998 000.010...010.01001.00)(2?++?+?==∑i i p x X E ＝4.995 ∵ )()(21X E X E < ∴ 乙医生的技术水平高于甲医生的技术水平。 3将一硬币连掷10次，以X 表示出现正面的次数，试写出X 的概率分布。 解：已知P=0.5，q=1-0.5=0.5，n=10 ∴ P(X ＝k) =k k k C -1010)5.0()5.0( =1010)5.0(k C (k=0,1,2, (10) （概率分布表从略） 4从四名男学员和两名女学员中，选两人当组长，求男学员被选为组长人数X 的概率分布表和分布函数。 解： 分布表如下： 于是，=)(X F 2 211001 5/315/10 ≥<≤<≤ 5. 随机变量1X ，2X …，n X 相互独立，并且服从同一分布，即E(i X )=μ， D(i X )=2 σ，i=1，2,…，求这些随机变量的算术平均值∑==n i i X n X 1 1的数学期望 与方差。 解：E(X )=E(∑=n i i X n 11)=n 1E(∑=n i i X 1 )＝ n 1∑=n i i X E 1 )(=μn n ?1 ＝μ D(X )=D(∑=n i i X n 11)=21n D(∑=n i i X 1 )＝2 1n ∑=n i i X D 1 )(=n n n 22 21σσ=? 6．随机变量X 的分布率为 试求E(X)，D(X) 解法一：3.023.004.02)(?+?+?-==∑i i p x X E ＝-0.2 D(X)=3.0)]2.0(0[4.0)]2.0(2[)]([222 ?--+?---=-∑i i p X E x ＋3.0)]2.0(2[2?-- ＝1.296＋0.012＋1.452 ＝2.76 解法二：∵3.023.004.02)(?+?+?-==∑i i p x X E ＝-0.2 3.023.004.0)2()()(22222?+?+?-==∑i i p x X E ＝2.8 ∴D(X)=22)]([)(X E X E - =2.8-(-0.2)(-0.2) =2.76 7．设X~N(3,4)，试求P(52≤ 解：(1) P(52≤ -Φ—)2 3 2(-Φ=)1(Φ-)5.0(-Φ =0.8413-0.3085=0.5328 (2) P(104≤≤-X )=)2310( -Φ—)2 3 4(--Φ=)5.3(Φ-)5.3(-Φ =)5.3(Φ-[1-)5.3(Φ]=2)5.3(Φ-1 =2?0.9997674-1=0.9995 (4) P(X>3)=1- P(X ≤3)=1-)2 3 3(-Φ=1-)0(Φ=1-0.5=0.5 8设随机变量X~N(2,σa )，求X 落在区间[]σσk a k a +-,的概率。其中：k=1,2,3。 解： P(σσk a X k a +≤≤-)=)( σ σa k a -+Φ—)( σ σa k a --Φ=)(k Φ-)(k -Φ =2)(k Φ-1 当k=1时，P(σσk a X k a +≤≤-)=2)1(Φ-1＝2?0.8413—1=0.6826 当k=2时，P(σσk a X k a +≤≤-)=2)2(Φ-1＝2?0.97725—1=0.9545 当k=3时，P(σσk a X k a +≤≤-)=2)3(Φ-1＝2?0.998650—1=0.9973 可见，随机变量X 之值几乎全部落入区间[]σσ3,3+-a a 内。 9.测量到某一目标的距离时发生的随机误差X （米）具有分布密度 3200 )20(22401)(-- = x e x f π —∞ 求在一次测量中随机误差不超过30米的概率。 解：由题意可知：μ＝20，σ＝40 ∴P(3030≤≤-X )=)402030( -Φ—)40 20 30(--Φ=)25.0(Φ-)25.1(-Φ ＝0.5987-0.1056 ＝0.4931 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()( 一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 《概率论与数理统计》同步练习册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 2. 161,169,166. 3. 2113. 4. 43,407. 5. 4 3 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,6 24612 11?C ,6246121112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21=-=b a ，（2）161 . 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 649,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 34. 6. 3 1. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p . 1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 一、概率公式的题目 1、已知() ()()0.3,0.4, 0.5,P A P B P AB === 求 () .P B A B ? 解：() () () ()()()() () 0.70.51 0.70.60.54 P A P AB P AB P B A B P A B P A P B P AB --?== = =+-?+- 2、已知()()()0.7,0.4,0.2,P A P B P AB === 求() .P A A B ? 解：() ()() () ()()() 0.22 0.70.29 P A A B P AB P A A B P A B P A P B P AB ??????= = = =+?+-。 3、已知随机变量(1)X P ，即X 有概率分布律{}1 (0,1,2)! e P X k k k -== =， 并记事件{}{}2,1A X B X =≥=<。 求： （1）()P A B ?； （2） ()P A B -； （3） () P B A 。解：（1）()() {}{}1 11()12,1111P A B P A B P AB P X X P X e -?=-?=-=-<≥=-==-； （2）(){}{}{}{}1 ()2,1210112;P A B P AB P X X P X P X P X e --==≥≥=≥=-=-==- （3）() () () {}{}{}{}{}111,201 .20122P BA P X X P X e P B A P X P X P X e P A --<<== ====<=+= . 4、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，它是甲射中的概率是多少？ 解： 设A=“甲射击一次命中目标”，B=“乙射击一次命中目标”， (())() ()()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB 侨= =+-= 0.660.750.60.50.60.58 ==+- 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤ 概率统计练习题答案 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012. 《概率论与数理统计》练习题2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、 B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连续抽两次，则使P A ()=13 成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案：D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布，即则下列结论正确的是( )。 A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又12,,,,n c k k k ， 为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11 n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11 n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()11 1n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )262x x ?-= C 、()312x x e ?-= D 、()()4211x x ?π= + 答案：D 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 《概率论与数理统计》同步习题册参考答案 第一章 1.1节 1. (1) }1000|{≤≤x x ; (2) }10|),{(2 2 ≤+≤y x y x ; (3) ,....}3,2,1{. 2. (1) C B A ; (2) C AB ; (3) C B A C B A C B A ++; (4) C B A ??; (5) ABC BC A C B A C AB +++; (6) ABC -Ω. 3. (1) (3) (4) (5) 成立. 1.2节 1. 0.1. 2. 85. 3. 8 3 ,61,21. 4. 0.2. 5. 0.7. 1.3节 1. !13!2!2!2!3. 4. 161,169,166. 3. 2113. 2. 4 3,407. 5. 43 . 1.4节 1. 4/1,3/1. 2. 61. 3. 300209,20964. 4. 95 48 ,3019. 1.5节 1. 0.48. 2. 8.095.09.01??-. 3. 0.896. 4. 7 3 ,74. 第一章 自测题 一. 1. 52. 2. )(1,0q p +-. 3. 21,32. 4. 31; 5. 3 2 . 6. 4. 7. 2711. 8. 52. 9. 8.0. 10. 0.94. 11. 30 11 . 二. 1. A. 2. C. 3. B. 3. A. 4. A. 5. A. 三. 1. 6612111-,62461211?C ,6 24612 1112??C . 2. 53,43,103,2711,53. 3. 49 40. 4. 999.004.01>-n . 5. 0.253,47/253. 6. 1/4. 7. 0.24, 0.424. 第二章 2.1节 1. ) 12(21100-， 31. 2. 101)2(==X P ，10 9 )3(==X P . 3. 3,2,1,0,!85)(3===k A k X P k . 4. （1）1,21 =-=b a ，（2）161. 5. 2=a ，0,4922,41-. 6. 3 32?? ? ??. 2.2节 1. (1) 6 49,25, (2) 6133 . 2. 0.301, 0.322. 3. 44.64. 4. 256. 5. 3 4 . 6. 31. 2.3节 1. 2011919 2021818207.03.07.03.07.0++C C . 2. 20=n , 3.0=p .概率论与数理统计复习题带答案
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