选修1-2推理与证明导学案

2．1.1合情推理(一)

【学习要求】

1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．

2．了解归纳推理在数学发展中的作用．

【学法指导】

归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.

【知识要点】

1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和________．

2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．

3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点：

（1）归纳推理是从到的推理；

（2）由归纳推理得到的结论正确；

（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.

【问题探究】

探究点一归纳推理的定义

问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？

问题2在等差数列{a n}中：

a1＝a1＋0d，

a2＝a1＋d＝a1＋1d，

a3＝a2＋d＝a1＋2d，

a4＝a3＋d＝a1＋3d，

……

观察可得什么结论？

问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．

探究点二归纳推理的应用

例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n

1＋a n

(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．跟踪训练1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．

（1）求a2，a3，a4，a5；

（2）归纳猜想通项公式a n.

例2在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．

跟踪训练2在平面内观察：

凸四边形有2条对角线，

凸五边形有5条对角线，

凸六边形有9条对角线，

…

由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？

例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则．

（1）1＝12，

1＋3＝22，

1＋3＋5＝32，

1＋3＋5＋7＝42，

1＋3＋5＋7＋9＝52，

……

（2）1＝12，

2＋3＋4＝32，

3＋4＋5＋6＋7＝52

4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，

5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，

……

跟踪训练3在△ABC中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C

≥

9

成立；在四边形ABCD中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D

≥

16

成立；在五边形ABCDE中，不等式

1

A＋

1

B＋

1

C＋

1

D＋

1

E

≥

25

3π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立_______．【当堂检测】

1．已知2＋

2

3＝2

2

3，3＋

3

8＝3

3

8，4＋

4

15＝4

4

15，…，若6＋

a

b＝6

a

b(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.

2．将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

45 6

78910

1112131415

……………………

按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1

a n )，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .

【课堂小结】

归纳推理的一般步骤

（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；

（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.

【拓展提高】

2.1.1 合情推理(二)

【学习要求】

1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出判断．

【学法指导】

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．归纳和类比是合情推理常用的思维方法，其结论不一定正确

【知识要点】

1．类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有___________________________的推理，叫做类比推理(简称类比)． 2．类比推理的一般步骤：

（1）找出两类事物之间的 ；

（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 .

【问题探究】

探究点一 平面图形与立体图形间的类比

阅读下面的推理，回答后面提出的问题：

1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： （1）火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； （2）有大气层，在一年中也有季节变更；

（3）火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．

2．根据等式的性质猜想不等式的性质．

等式的性质： 猜想不等式的性质： （1）a ＝b ?a ＋c ＝b ＋c; （1）a >b ?a ＋c >b ＋c ； （2）a ＝b ?ac ＝bc; （2）a >b ?ac >bc ； （3）a ＝b ?a 2＝b 2等等. （3）a >b ?a 2>b 2等等．

问题1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？

问题2 猜想正确吗？

问题3

例1 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11

＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S

k

，

类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点

Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 4

4

＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？

跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________________________．

探究点二 定义、定理或性质中的类比

例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，并类

比上述性质相应在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．

跟踪训练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16

T 12

成等比数列．

【当堂检测】

1．下列说法正确的是 ( ) A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提、有结论 C ．合情推理不能猜想

D ．合情推理得出的结论不能判断正误

2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c n

n 时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }

是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝_________时，数列{b n }也是等比数列． 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．

【课堂小结】

1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为：

从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想

【拓展提高】

2.1.2 演绎推理

【学习要求】

1．理解演绎推理的意义．

2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．

【学法指导】

演绎推理是数学证明的主要工具，其一般模式是三段论．学习中要挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程.

【知识要点】

1．演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照_____________得到 的过程，通常叫做演绎推理． 2．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论 ． 3．演绎推理经常使用三段论推理，三段论一般可表示：

________________；所以，S 是P .

【问题探究】

探究点一 演绎推理与三段论

问题1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．

（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；

（2）一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，正切函数是三角函数，因此正切函数是周期函数；

（4）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°. 问题2 演绎推理有什么特点？

问题3 演绎推理的结论一定正确吗？ 问题4 演绎推理一般是怎样的模式？ 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．

（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； （2）等腰三角形的两底角相等，∠A ，∠B 是等腰三角形的底角，则∠A ＝∠B ； （3）通项公式为a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列． 跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：

（1）因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形； （2）函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线； （3）y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 探究点二 三段论的错误探究

例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数． 结论 （2）常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0， 小前提 f (x )为常函数． 结论 （3）无限不循环小数是无理数， 大前提 1

3

(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 1

3

是无理数．

结论

跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）因为中国的大学分布在中国各地， 大前提 北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布在中国各地． 结论 （2）因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提 所以菱形是正多边形． 结论 探究点三 三段论的应用

例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．

跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示， 求证：EF ∥平面BCD .

【当堂检测】

1．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )

A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠

B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人

C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质

D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1

2???

?a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式

2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又x y 3

1log =是对数函数(小前提)，所以y ＝x y 3

1log =是增

函数(结论)．”下列说法正确的是 ( ) A ．大前提错误导致结论错误 B ．小前提错误导致结论错误 C ．推理形式错误导致结论错误

D ．大前提和小前提都错误导致结论错误

3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中 的小前提是 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①②

4．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.

【课堂小结】

1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．

2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的

大前提.

【拓展提高】

2.2.1 综合法与分析法(一)

【学习要求】

1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.

2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．

【学法指导】

综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.

【知识要点】

1． 和 是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从 出发，经过 ，最后达到待证结论．

3．分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的______，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.

【问题探究】

探究点一 综合法

问题1 证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .

问题2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？

例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B

cos C

，证明：B ＝C . 探究点二 分析法

问题1 回顾一下：均值不等式a ＋b

2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？

问题2 证明过程有何特点？

问题3 综合法和分析法的区别是什么？ 例2 求证：3＋7<2 5.

跟踪训练2 求证：a －a －1

问题 在实际证题中，怎样选用综合法和分析法？

例3 已知α，β≠k π＋π

2(k ∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ①

sin θ·cos θ＝sin 2β.

②

求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β

.

跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．

【当堂检测】