最新椭圆综合测试题(含答案)(2)
高二数学椭圆测试
一、选择题： 1．离心率为
32
，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y +=（B ）22195x y +=或22159x y +=（C ）2213620x y +=（D ）2213620x y +
=或22
12036
x y += 2.动点P 到两个定点1F （- 4，0）.2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ）
A.椭圆
B.线段12F F
C.直线12F F D .不能确定
3.已知椭圆的标准方程2
2
110
y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A.(
B.(0,
C.(0,3)±
D.(3,0)±
4.已知椭圆22
159
x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ）
A.3
B.2
C.3
D.6
5.如果22
212
x y a a +
=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R
6.方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶 7.“m>n>0”是“方程2
2
1mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆的”（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
8.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 （ ）
C.2
D.9.椭圆焦点为1F ，2F ，过1F 的最短弦PQ 长为10，2PF Q ?的周长为36，则此椭圆的离心率为（ ）
B.13
C.2
3
10.椭圆
22
1123
x y +=的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上且线段1PF 的中点M 在y 轴上，则点M 的纵坐标为 （ ）
A .4±
B.2±
C.2±
D.34
± 二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）
13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14 椭圆
22
14924
x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 .
15.中心在原点，焦点在x 轴上且过两点(3,P ，(Q -的椭圆方程为 ____________ .
16、在椭圆4
1622y x +＝1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。 三、解答题：
17、（12分）当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆2
2
916144x y +=相切，相交，相离？
18.（12分）已知点M 在椭圆
22
1259
x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程
19（12分）设1F ，2F 分别为椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭
圆C 相交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60o
，1F 到直线l 的距离为
（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；
（Ⅱ）如果222AF F B =u u u u r u u u u r
,求椭圆C 的方程.
20（12分）设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，
B 两点，直线l 的倾斜角为
60o ,
2AF FB =u u u r u u u r
.
(I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|=
15
4
，求椭圆C 的方程.
21（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13
-
. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
22 （14分）已知椭圆22
221x y a b
+=（a>b>0）的离心率的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.
（i ）若42
AB
5
||=，求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且4=?QB QA .求y 0的值.
椭圆（二）参考答案
1.选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
B
C
C
B
C
A
B
B
C
D
D
8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.
【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为
垂足，过B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，
得，∴
即k=，故选B.
9
10【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22
003(1)4
x y =-， 因为00(1,)FP x y =+u u u r ，00(,)OP x y =u u u r ，所以2000(1)OP FP x x y ?=++u u u r u u u r
=00(1)OP FP x x ?=++u u u r u u u r 203(1)4x -=2
0034
x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ?u u u r u u u r 取得最大值2
22364
++=，选C 。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。
11 解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，
即F 点到P 点与A 点的距离相等
而|F A |＝22
a b c c c
-= |PF |∈[a －c ,a ＋c ]
于是2
b c
∈[a －c ,a ＋c ]
即ac －c 2≤b 2≤ac ＋c 2
∴222
222
ac c a c a c ac c
?-≤-??-≤+?? ?1112c a c c a
a ?≤????≤-≥??或 又e ∈(0,1) 故e ∈1,12??
????
答案：D
12（2010湖北文数）9.若直线y x b =+与曲线234y x x =-有公共点，则b 的取值范围是
A.[122-
,122+] B.[12-,3] C.[-1,122+]
D.[122-,3]
二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）
13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
14 椭圆
22
14924
x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 .
15 （2010全国卷1文数）(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的
延长线交C 于点D ， 且BF 2FD =uu r uu r
，则C 的离心率为 . 3
【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【解析1】如图，22||BF b c a =+=,
作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =uu r uu r
，得 1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133
||||22
DD OF c ==,
即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a =-=-
又由||2||BF FD =,得2
32,c a a a
=-3e ?=【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22
221x y a b
+=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，
x
O y
B
F
1D
D
222230223330;122212222
c c c c y b x b y b b
x x x c y y -++?-=
?===?===-++，代入 22
22
91144c b a b +=
，e ?=16（2010湖北文数）15.已知椭圆2
2:12
x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012
x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______。
【答案】
[,0
【解析】依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时12max (||||) 2 PF PF +=，当P 在椭圆顶点处时，取到12max (||||)PF PF +为
1)+，故范围为
[.因为00(,)x y 在椭圆2
212x y +=的内部，则直线
012x x y y ?+?=上的点（x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.
二.填空题： 13
35
[,0
三.解答题：
17.解：设p 点的坐标为(,)p x y ，m 点的坐标为00(,)x y ，由题意可知
00
002
2y
y x x x x y y ====??
????
? ① 因为点m 在椭圆
22
1259
x y +=上，所以有 22001259x y += ② ， 把①代入②得22
12536
x y +=，所以P 点的轨迹是焦点在y 轴上，标准方程为
22
12536
x y +=的椭圆. 18.解：（1
）由已知3
c e a =
=
，a ==5c =， 所以2
2
2
452520m b a c ==-=-=
（2）根据题意21220ABF F F B S S ==V V ，设(,)B x y ，则12
12
12
F F B S F F y =V g ，12210F F c ==，
所以4y =±，把4y =±代入椭圆的方程22
14520
x y +=，得3x =±，所以B 点的坐标为34±±（，），所以直线AB 的方程为4433
y x y x =
=-或 19（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分）
设1F ，2F 分别为椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相
交于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60o
，1F 到直线l
的距离为（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；
（Ⅱ）如果222AF F B =u u u u r u u u u r
,求椭圆C 的方程.
解：（Ⅰ）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l
2.c ==故 所以椭圆C 的焦距为4.
（Ⅱ）设112212(,),(,),0,0,A x y B x y y y <>由题意知直线l
的方程为2).y x =
-
联立2222422
222),
(3)30.1
y x a b y y b x y a b ?=-?
++-=?+=??得
解得22122222
(22)(22)
,.33a a y y a b a b
+-==++
因为22122,2.AF F B y y =-=u u u u r u u u u r
所以
即222222
(22)(22)
2.33a a a b a b
+-=?++
得22
3.4,a a b b =-==而所以
故椭圆C 的方程为22
1.95
x y += 20（2010辽宁理数）(20)（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，
直线l 的倾斜角为60o ,
2AF FB =u u u r u u u r
.
(III) 求椭圆C 的离心率； (IV) 如果|AB|=
15
4
，求椭圆C 的方程. 解：
设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知1y ＜0，2y ＞0. （Ⅰ）直线l 的方程为
)y x c =
-
，其中c =
联立2222),1
y x c x y a b ?=-??+=??
得22224
(3)30a b y cy b ++-=
解得12y y == 因为2AF FB =u u u r u u u r
，所以122y y -=.
即
2=得离心率 2
3
c e a =
=. ……6分
（Ⅱ）因为21AB y =-
15
4=.
由
23
c a =
得3b a =.所以515
44a =，得a=3
，b =椭圆C 的方程为22
195
x y +=. ……12分 21（2010北京理数）（19）（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13
-
. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B 得坐标为(1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y
由题意得
111
113
y y x x -+=-+-g 化简得 2
2
34(1)x y x +=≠±.
故动点P 的轨迹方程为2
2
34(1)x y x +=≠±
（II ）解法一：设点P 的坐标为00(,)x y ，点M ，N 得坐标分别为(3,)M y ,(3,)N y . 则直线AP 的方程为0011(1)1y y x x --=
++，直线BP 的方程为001
1(1)1
y y x x ++=-- 令3x =得000431M y x y x +-=
+，000231
N y x y x -+=-.
于是PMN V 得面积 200002
0||(3)1
||(3)2|1|
PMN
M N x y x S y y x x +-=--=-V 又直线AB 的方程为0x y +=
，||AB = 点P 到直线AB
的距离d =于是PAB V 的面积
001
||||2
PAB S AB d x y ==+V g 当PAB
PMN S S =V V 时，得2
000002
0||(3)|||1|
x y x x y x +-+=- 又00||0x y +≠，
所以20(3)x -=2
0|1|x -，解得05|3
x =
。
因为22
0034x y +=
，所以09
y =±
故存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，此时点P
的坐标为5
(,3.
解法二：若存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y
则
11||||sin ||||sin 22
PA PB APB PM PN MPN ∠=∠g g .
因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以
||||
||||PA PN PM PB =
所以000|1||3|
|3||1|
x x x x +-=--
即 22
00(3)|1|x x -=-，解得0x 53
=
因为22
0034x y +=
，所以09
y =±
故存在点P S 使得PAB V 与PMN V 的面积相等，此时点P
的坐标为5
(,3. 22（2010天津文数）（21）（本小题满分14分）
已知椭圆22
221x y a b
+=（a>b>0）的离心率
e=2，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.
（i
）若AB
5
||=，求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且QA QB=4u u u r u u u r
g
.求y 0的值. 【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直
线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由
e=
c a =2234a c =.再由222c a b =-，解得a=2b. 由题意可知
1
2242
a b ??=，即ab=2. 解方程组2,
2,
a b ab =??
=?得a=2，b=1.
所以椭圆的方程为2
214
x y +=. (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A 的坐标是（-2,0）.设点B 的坐标为11(,)x y ，直线l 的斜率为k.则直线l 的方程为y=k （x+2）.
于是A 、B 两点的坐标满足方程组22
(2),1.4
y k x x y =+??
?+=??消去y 并整理，得
2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.
由212164214k x k --=+，得2122814k x k -=+.从而12
414k
y k
=+.
所以||AB ==.
由||AB =
=整理得42
329230k k --=，即2
2
(1)(3223)0k k -+=，解得k=1±.
所以直线l 的倾斜角为
4
π或34π.
（ii ）解：设线段AB 的中点为M ，由（i ）得到M 的坐标为22282,1414k k k k ??
- ?++??
. 以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B 的坐标是（2,0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是
()()002,,2,.QA y QB y =--=-u u u r u u u r 由4QA QB ?=u u u r u u u r
，得y =±0
（2）当0k ≠时，线段AB 的垂直平分线方程为2222181414k k y x k k k ??
-=-+ ?++??。
令0x =，解得02
614k
y k =-
+。 由()02,QA y =--u u u r
，()110,QB x y y =-u u u r ，
()()210102222228646214141414k k k k QA QB x y y y k k k k --??
?=---=++ ?++++??
u u u r u u u r
()
()
422
2416151414k k k +-=
=+，
整理得2
72k =
。故7k =±
。所以05y =±。
综上，0y =±
或05
y =±