反函数练习
反函数练习
一、选择题
1．定义在R 上的函数y=f(x)有反函数，下列命题中假命题为（ ）
A ．y=f(x)与)(1y f x -=的图象不一定关于y=x 对称
B ．)(1x f y -=与
)(1x f y --=的图象关于x 轴对称 C ．y=f(x)与
)(1x f y -=的图象不可能有交点 D ．y=f(x)与)(1x f y -=的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个
2．下列说法中正确的是（ ）
①一函数图象上的任意两点的连线都不平行于x 轴，则此函数在定义域上一定是单调的 ②图象关于直线y=x 对称的函数一定有反函数，且其反函数是它自己
③一函数是奇函数，且有反函数，则它的反函数也是奇函数
④定义域是一个闭区间并且图象连续的函数，一定有最大值与最小值。
A ．②③④
B ．②④
C ．③④
D ．①②③④
二、填空题
3．如果点（1，2）既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，那么a=__________b=__________。
4．函数196)(--+==x x x f y 的反函数为___________。
三、解答题
5．已知实数a ≠0 ，a ≠1，函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且。求证：函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 成轴对称图形。
6．已知函数)2(12-≤-=x x y ，求)4(1-f 。
7．已知x x x f 32)3
(+=，求)3(x f -。 8．已知x x x f 324)(++=，求)]([1x f f -及
)]([1x f f -的解析式，并判定它们是否为同一函数。
9．已知y=f(x)的定义域为]0,(-∞，且x x x f 2)1(2+=+，求)2(1-f 。
10．设y=f(x)是单调递增函数，求证
)(1x f y -=也是单调递增函数。 11．函数⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈-=]0,( 1],0[ 22x x x x y 是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在，
请说明理由。
12．已和函数y=f(x)在其定义域]0,(-∞上存在反函数，且x x x f 2)1(2-=-，求)21(1--f 的值。
参考答案
1．C 它错在y=f(x)与)(1x f y -=有可能有交点，反例：y=-x+3的反函数为y=-x+3，这两条直线重合，它们有无数多个交点。故选C 。
2．A ①可举反例：
x y 1=。故选A 。
3．a=-3 b=7 确定a 、b 只要列出关于a 、b 的两个方程，而由f （1）=2可得一方程，但直接用
2)1(1=-f 则需求出反函数，应注意
1)2(2)1(1=⇔=-f f 。 依题意可有：
f(1)=2且f(2)=1，即
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+122b a b a 解得⎩⎨⎧=-=73b a
4．1916)(1++-==-x x x f y ，),8[+∞∈x ，
1)39(19969)(-+-=-+-+-==2x x x x f y ，),8[+∞∈y ， ∴391+-=+x y 。∴
9)31(2+-+=y x 。 ∴9)31()(21+-+==-x x f
y ，),8[+∞∈x
5．解：要证明函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 成轴对称图形，只要证明该函数的反函数是其自身，即该函数与它的反函数是同一个函数。 证明：由
)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且，得
y(ax-1)=x-1。
∴(ay-1)x=y-1。 若ay-1=0，则
a y 1=。代入
11--=ax x y ，得111--=ax x a ，从而ax-a=ax-1。 ∴a=1，与已知矛盾。故ay-1≠0。 于是，由(ay-1)x=y-1，得
)1(11a y ay y x ≠--=
。 ∴函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的反函数为)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且。这就是说函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的反函数是其自身。故函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 对称。
6．解：求出)(1x f -或根据f(x)与)(1x f -中x 、y 的互换关系解答。
解法一：函数)2(12-≤-=x x y 的反函数为1)(1+-=-x x f
所以514)4(1-=+-=-f
解法二：令142-=x 得5±=x ，因为x ≤-2，所以5-=x ，即
5)4(1-=-f 7．解：x x f 32)3(+=，∴)2,0(12)(≠≠+=y x x x f ， ∴)0,2(211≠≠-=-y x x f ， ∴)6(,63231)3(1≠-=-=-x x x x f
8．解：由x x x f 324)(++=求出反函数)31(1324)(1≠--=-x x x x f ， 则)32(132********)(3)(24)]([1-≠=-++⋅++⋅
-=--=-x x x x x x
x f x f x f f
)31(21324313244)(32)(4)]([111≠=+--⋅--+=++=---x x x x x x x f x f x f f
虽然)]([1x f f -与)]([1x f f -两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不是同一函数。
9．解：令x+1=t ，则x=t-1，所以1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f
即)0(1)(2
≤-=x x x f ，由212=-x 且x ≤0 得3-=x ，所以3)2(1-=-f
10．证明：设1x 、2x 是)(1x f y -=定义域中任意两个值，且21x x >，
令111)(y x f =-，221)(y x f =-，则有)(11y f x =，)(22y f x =
即)()(21y f y f >，∴21y y >
即)()(2111x f x f
-->。 ∴)(1x f -单调递增。
11．解：不存在反函数，理由为：已知函数不是单调函数，如取
21
-=y 时，对应的x 值有两个值为
411=
x ，222-=x 。 12．解：1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，∴
1)(2-=x x f 。 由)(1x f -与f （x ）的关系，令2112-=-x ，解得212=x 。 ∵]0,(-∞∈x ，∴
22-=x 。
反函数练习题
习题精选 一、选择题 1．在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ). A．与 B．与 C．与 D．与 2．若函数存在反函数,则的方程为常数)( ). A．至少有一实根 B．有且仅有一实根 C．至多有一实根 D．没有实根 3．点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ). A． B． C． D． 4．（）的反函数是（） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．设函数，，则的定义域是（） A． B． C． D． 6．已知，则的表达式为（） A． B． C． D． 7．将的图象向右平移一个单位，向上平移2个单位再作关于的对称图象，所得图象的函数的解析式为（） A． B． C． D．
8．定义在上的函数有反函数，下例命题中假命题为（） A．与的图象不一定关于对称； B．与的图角关于轴对称； C．与的图象不可能有交点； D．与的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个 9．若有反函数，下列命题为真命题的是（） A．若在上是增函数，则在上也是增函数； B．若在上是增函数，则在上是减函数； C．若在上是增函数，则在上是增函数；D．若在上是增函数，则在上是减函数10．设函数（），则函数的图象是（） 11．函数（）的反函数 =（） A．（）B．（） C．（）D．（） 二、填空题 1．求下列函数的反函数:
（1） ; （2） ; （3） ; （4） . 2．函数的反函数是_____________________． 3．函数（）的反函数是_________． 4．函数的值域为__________ ． 5． ,则的值为_________. 6．要使函数在上存在反函数,则的取值范围是_____________．7．若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________． 8．已知函数（），则为__________． 9．已知的反函数为，若的图像经过点，则 =________． 三、解答题 1．求函数的反函数． 2．若点（1，2）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求，的值．3．已知，求及的解析式，并判定它们是否为同一函数． 4．给定实数，且，设函数（且）证明：这个函数的图象关于直线成轴对称图形． 5．若点在函数的反应函数的图象上，求．
高中数学反函数例题精讲及练习
试求a 、b 、c 、d 满足什么条件时，它的反函数仍是自身． 令x ＝0，得－a ＝d ，即a ＋d ＝0． 事实上，当a ＋d ＝0时，必有f -1(x)＝f(x)， 因此所求的条件是bc －ad ≠0，且a ＋d ＝0． 【例5】设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax 2＋b(x ≥0)的图像上，又在它的反函 数图像上，(1)求f -1(x)，(2)证明f -1(x)在其定义域内是减函数． 解法(二) 由函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f -1(x)之间的一一对应关 【例4】已知函数＝＝中，、、、均不为零，y f(x)a b c d ax b cx d ++解 f(x)bc ad 0f (x)x 1＝＋，∵常数函数没有反函数，∴－≠．又＝，要使＝，对定义域内一切值恒成立，a c bc ad c cx d dx b cx a dx b cx a ax b cx d -+-+--+-++-() 解证(1)2a b 14a b a b f(x)x (x 0)(2)y x (x 0)f (x)(x )221由＝＋＝＋得＝－＝，∴＝－＋≥由＝－＋≥得反函数＝≤．⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩ ⎪⎪--1373137313737373x 设＜≤，∴－＞－≥，∴＞，即＞，故在－∞，上是减函数．x x 73x 73x 0f (x )f (x )f (x)(]12121112173 73373 12-----x x x 【例6】解法一若函数＝ ，求的值．先求函数＝的反函数＝，于是＝＝－－．f(x)f (2)()f(x)f (x)f (2)532x x x x x x -+-++-+----12 1212112212111系，求的值，就是求＝时对应的的值，∴令 ＝，得＝－－，即＝－－．f (2)f(x)2x 2x 532f (2)53211---+x x 12
反函数练习题
反函数练习题 反函数练习题集 1、已知函数y A、y 6x 5 x 1 6x 5x 1(x R且x 1)，那么它的反函数为( ) x R且x 1 B、y x 5 x R且x 6 x 6 x 65 C、y x 1 x R且x 5 x R且x D、y 6x 5 6 x 5 2、函数 x2(x 0) 的反函数是( y 1 x(x 0) 2 ) 1 1 2x(x 0) 2x(x 0) x x 0 xx 0 A、y B、y C、y 2 D、y 2 x x 0 x x 0 x x 0 x x 0 3、已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（） A、(a,f 1(a)) B、f 1 b ,b C、 f 1 a ,a D、 b, 1f 1 b 4、若函数f(x) x2 1(x 1)，则f A、5 B、 5、函数f(x) (4)的值为（） 5 C、15 D、3 2 9x是否有反函数？_____；当x 0,4 时，反函数为 __________， 3 定义域为__________ ；当x 6、设f(x)的反函数为f 1 4 3,0 1时，反函数为________，定义域为_____________。 1(x)，f(x) 3x 2，则f(3) ________ ，f(3)=_________ 17、若点(1,2)既在函数f(x) 又在函数f(x)的反函数fax b的图象上，(x)的图象上， 则a=____________ ,b=________ 8、f(x)在0, 上为递增函数，则f 1(1)与f 1(3)的大小关系是________ 9、函数y=f(x)的图象是过点(2,1)的直线，其反函数的图象经过点(-2,-1)，求函数f(x)
(完整版)反函数基础练习含答案
反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数
C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数 D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 x 1 y＝－，那么另一个函数是 [ ] A．y＝x2＋1(x≤0) B．y＝x2＋1(x≥1) C．y＝x2－1(x≤0) D．y＝x2－1(x≥1) 7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点 [ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b) C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b)) 8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是 [ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x) C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x) 9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是 [ ]
反函数练习
反函数练习 一、选择题 1．定义在R 上的函数y=f(x)有反函数，下列命题中假命题为（ ） A ．y=f(x)与)(1y f x -=的图象不一定关于y=x 对称 B ．)(1x f y -=与 )(1x f y --=的图象关于x 轴对称 C ．y=f(x)与 )(1x f y -=的图象不可能有交点 D ．y=f(x)与)(1x f y -=的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个 2．下列说法中正确的是（ ） ①一函数图象上的任意两点的连线都不平行于x 轴，则此函数在定义域上一定是单调的 ②图象关于直线y=x 对称的函数一定有反函数，且其反函数是它自己 ③一函数是奇函数，且有反函数，则它的反函数也是奇函数 ④定义域是一个闭区间并且图象连续的函数，一定有最大值与最小值。 A ．②③④ B ．②④ C ．③④ D ．①②③④ 二、填空题 3．如果点（1，2）既在函数b ax x f +=)(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，那么a=__________b=__________。 4．函数196)(--+==x x x f y 的反函数为___________。 三、解答题 5．已知实数a ≠0 ，a ≠1，函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且。求证：函数)1,(11a x R x ax x y ≠∈--=且的图象关于直线y=x 成轴对称图形。 6．已知函数)2(12-≤-=x x y ，求)4(1-f 。 7．已知x x x f 32)3 (+=，求)3(x f -。 8．已知x x x f 324)(++=，求)]([1x f f -及 )]([1x f f -的解析式，并判定它们是否为同一函数。 9．已知y=f(x)的定义域为]0,(-∞，且x x x f 2)1(2+=+，求)2(1-f 。 10．设y=f(x)是单调递增函数，求证 )(1x f y -=也是单调递增函数。 11．函数⎩⎨⎧-∞∈-+∞∈-=]0,( 1],0[ 22x x x x y 是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在， 请说明理由。 12．已和函数y=f(x)在其定义域]0,(-∞上存在反函数，且x x x f 2)1(2-=-，求)21(1--f 的值。
关于反函数的练习题
关于反函数的练习题 反函数是数学中一个常见且重要的概念，它指的是对于给定函数 f(x)，存在一个函数 g(x) 使得对于所有的 x 在定义域中成立 g(f(x)) = x。反函数可以帮助我们求出原函数的逆变换，从而解决一系列实际问题。 为了更好地理解和掌握反函数的性质，下面将给出一些有关反函数 的练习题，希望能够帮助读者更好地理解和应用反函数。 题目一：设函数 f(x) = 2x + 3，求反函数 g(x) 的表达式。 首先，我们先假设 g(x) = y，根据反函数的定义，我们有 f(g(x)) = x。将 f(x) 的表达式代入得到： 2g(x) + 3 = x 接下来，解方程可以得到 g(x) = (x - 3) / 2 因此，反函数为 g(x) = (x - 3) / 2。 题目二：已知函数 f(x) = x^2 + 1，求反函数 g(x) 的表达式。 同样地，我们假设 g(x) = y，根据反函数的定义，有 f(g(x)) = x。代 入 f(x) 的表达式得到： (g(x))^2 + 1 = x 接下来，解这个二次方程可以得到： g(x) = √(x - 1)
题目三：已知函数 f(x) = 3x，求反函数 g(x) 的表达式。 假设 g(x) = y，根据反函数的定义，有 f(g(x)) = x。代入 f(x) 的表达 式得到： 3g(x) = x 解这个一次方程可以得到： g(x) = x/3 通过这些练习题，我们可以发现一些反函数的性质和规律。首先， 对于线性函数 f(x) = a*x + b，其反函数的表达式为 g(x) = (x - b) / a。这 表明了线性函数与其反函数之间存在着一种简单的关系。 其次，平方函数 f(x) = x^2 的反函数是开方函数g(x) = √x。这一结 果说明了平方和开方之间存在着一种互逆的关系，通过平方操作可以 获得一个数的平方，通过开方操作可以得到平方根。 最后，我们观察到常数函数 f(x) = c 的反函数也是一个常数函数 g(x) = c'，其中 c 可以是任意实数，c' 是 c 的逆元。 练习题的目的在于帮助读者通过实践掌握反函数的性质和求解方法，同时加深对函数和反函数的理解。在实际应用中，反函数可以帮助我 们进行函数的逆变换，解决一些实际问题，比如物理上的运动过程， 经济学中的成本分析等等。 总而言之，反函数是数学中一个重要的概念，在解题过程中具有广 泛的应用。通过练习题的探讨，读者可以更好地理解和应用反函数，
反函数练习题
反函数练习题 反函数是高中数学中的一个重要概念，它与函数的定义域和值域有着密切的关系。在学习反函数的过程中，练习题是非常重要的一环，通过练习题的解答， 可以帮助我们更好地理解和掌握反函数的性质和应用。本文将通过一些典型的 反函数练习题，帮助读者加深对反函数的理解。 1. 练习题一：已知函数f(x) = 2x + 5，求其反函数f^(-1)(x)。 解答：要求函数f(x)的反函数，即求出一个函数f^(-1)(x)，使得f^(-1)(f(x)) = x。根据题目给出的函数f(x) = 2x + 5，我们可以将其表示为y = 2x + 5。接下来， 将x和y互换位置，得到x = 2y + 5。然后，解方程x = 2y + 5，得到y = (x - 5)/2。因此，函数f^(-1)(x) = (x - 5)/2。 2. 练习题二：已知函数g(x) = 3x^2 + 1，求其反函数g^(-1)(x)。 解答：同样地，要求函数g(x)的反函数，即求出一个函数g^(-1)(x)，使得g^(-1)(g(x)) = x。根据题目给出的函数g(x) = 3x^2 + 1，我们可以将其表示为y = 3x^2 + 1。接下来，将x和y互换位置，得到x = 3y^2 + 1。然后，解方程x = 3y^2 + 1，得到y = √((x - 1)/3)。因此，函数g^(-1)(x) = √((x - 1)/3)。 3. 练习题三：已知函数h(x) = e^x，求其反函数h^(-1)(x)。 解答：函数h(x) = e^x是一个指数函数，指数函数的反函数是对数函数。因此，我们可以得到函数h^(-1)(x) = ln(x)，其中ln表示自然对数。 4. 练习题四：已知函数k(x) = sin(x)，求其反函数k^(-1)(x)。 解答：函数k(x) = sin(x)是一个三角函数，三角函数的反函数称为反三角函数。 对于函数k(x) = sin(x)，其反函数为k^(-1)(x) = arcsin(x)，其中arcsin表示反正 弦函数。
反函数练习题
反函数练习题 一、简答题 1. 什么是反函数？ 答：反函数是指在给定函数的定义域上，通过互换函数的输入和输出得到的新函数。对于给定函数 f(x)，如果存在一个函数 g(x)，满足 g(f(x)) = x，且 f(g(x)) = x，那么 g(x) 就是 f(x) 的反函数。 2. 如何判断一个函数是否有反函数？ 答：要判断一个函数是否有反函数，需要满足两个条件： a) 函数必须是一个一对一函数，即对于不同的输入，函数的输出不能相同。 b) 函数必须是可逆的，即函数的定义域和值域都必须相等。 3. 如果一个函数有反函数，它们之间的关系是什么？ 答：如果一个函数有反函数，那么它们之间存在以下关系： a) 函数 f(x) 和其反函数 g(x) 是互逆的，即 f(g(x)) = x 和 g(f(x)) = x 成立。 b) 函数 f(x) 和 g(x) 是对称的，即 f(x) 经过反函数后得到 g(x)，同样，g(x) 经过反函数后得到 f(x)。 4. 反函数与原函数的图像有何关系？ 答：反函数与原函数的图像关系如下：
a) 反函数与原函数的图像是关于直线 y = x 对称的。 b) 反函数的图像可以通过将原函数的图像绕直线 y = x 旋转 180 度得到。 二、计算题 1. 计算以下函数的反函数： (1) f(x) = 3x - 2 解：首先将 f(x) 换成 y，则等式变为 y = 3x - 2。接下来，交换 x 和y，得到 x = 3y - 2。然后解方程，将 y 表示为 x 的函数：x = 3y - 2 x + 2 = 3y y = (x + 2) / 3 所以，f(x) 的反函数是 g(x) = (x + 2) / 3。 (2) f(x) = √x 解：同样地，将 f(x) 换成 y，则等式变为y = √x。交换 x 和 y，并解方程，得到反函数： x = √y x^2 = y 所以，f(x) 的反函数是 g(x) = x^2。 2. 求反函数的定义域和值域：
反函数经典例题
反函数经典例题 t 反函数是指： f(x)=ax(y)-yf(x)dx，而实际上它可表示为：f(x)=(a-x)f(y)，这样的函数就叫做反函数。 １．，这种函数图象称为y轴上的反函数。 2．若反函数y=f(x)，则该函数称为原函数的反函数。 3．， f'(y)=(y-1)f(x)，称为x 轴上的反函数。 4．若反函数y=f'(x)，则该函数称为原函数的反函数。 5．函数是有两个自变量的，则称该函数为二次函数。 6．函数是有两个未知量的，则称该函数为三次函数。 7．函数是有三个自变量的，则称该函数为三次函数。 8．含有两个未知量和一个常数的二次函数图象的顶点为原点，若顶点在坐标轴上，则称为顶点在坐标轴上的函数。 9．若函数y=f(x)与x轴交于两点a、 b，则该函数图象关于直线y=x=a+b对称，记作： y=a+bx。 10．函数的图象关于坐标轴对称，记作： y=ax(a+bx)-bx，其中a、 b为常数。 可见，反函数其实并不神秘，只是我们平时没有去注意它，只要我们能多加练习，熟悉他，我相信，任何一个函数我们都可以把它变成一个反函数。以下是两道经典的反函数例题： 下面我们继续利用反函数解决函数问题。 1．f(x) = x。 2． f(x) = -(-3)^x + 2。 3．当x=-1时， f(x)的值为2， f(0)的值为-3。4．，当f(0)等于0时， f(x) = -5，当f(0)不等于0时， f(x)等于5。 以上两道例题都给出了利用f(x)=a(y)dx求函数解析式。为什么前一道题f(x)=0，而后一道题f(x)=-5，是不是f(x)=-5比f(x)=0
小呢？答案是否定的，因为： a是正整数，即使它是0，但它还是个整数，而f(x)是-3的反函数，而-3是一个负整数，它等于-5，也就是说，当a是正整数时， f(x)将比f(x)小，而当a是负整数时， f(x)比f(x)大。 《中国著名数学家的学习故事》中有一篇文章《如何获得成功》，主人公海伦·凯勒曾说过：“我们不得不惊奇地发现，我们已经很久没有以严肃的态度开始新的一天了。”这句话给我留下了深刻的印象，是啊，我们应该时常提醒自己，重新捡回对每一天的认真对待。
反函数构造和性质练习题
反函数构造和性质练习题 反函数是数学中一个重要的概念，它与函数相互对应，是函数的一种特殊情况。在本文中，我们将针对反函数的构造和性质进行练习，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。 1. 构造反函数 在给定一个函数的情况下，如何构造它的反函数呢？我们以一个具体的例子来说明。 假设有函数 f(x) = 2x + 3，现在要构造它的反函数。 首先，我们将 f(x) 中的 x 替换为 y，即 f(y) = 2y + 3。 然后，将 f(y) 等式两边关于 y 进行求解，消去 y 前面的系数，得到y = (x - 3) / 2。这就是反函数 f^(-1)(x)。 通过上述步骤，我们成功地构造出了函数 f(x) = 2x + 3 的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2。 2. 反函数的性质 反函数具有以下几个重要的性质： 性质一：对于函数 f(x) 的定义域和值域，反函数 f^(-1)(x) 的定义域和值域分别与之相同。
性质二：对于函数 f(x) 的任意两个不同的定义域上的元素 x1 和 x2，如果它们分别对应到反函数 f^(-1)(x) 的值域上的元素 y1 和 y2，那么 x1 和 x2 一定也是对应到 f(x) 上的不同的值域上的元素。 性质三：对于函数 f(x) 和它的反函数 f^(-1)(x)，它们互为反函数， 即对于任意 x 属于 f(x) 的定义域和任意 y 属于 f^(-1)(x) 的定义域，有 f^(-1)(f(x)) = x 和 f(f^(-1)(x)) = x。 3. 练习题 接下来，我们进行一些反函数构造和性质的练习题。 练习一：给定函数 g(x) = 5x - 2，求它的反函数 g^(-1)(x)。 解答一：首先，将 g(x) 中的 x 替换为 y，得到 g(y) = 5y - 2。然后，将 g(y) 等式两边关于 y 求解，消去 y 前面的系数，得到 y = (x + 2) / 5。因此，函数 g(x) = 5x - 2 的反函数为 g^(-1)(x) = (x + 2) / 5。 练习二：已知函数 h(x) = 4x^2 + 3x - 1，求它的反函数 h^(-1)(x)。 解答二：首先，将 h(x) 中的 x 替换为 y，得到 h(y) = 4y^2 + 3y - 1。然后，将 h(y) 等式两边关于 y 求解，得到一个关于 y 的二次方程。通 过解这个二次方程，可以得到反函数的表达式。具体的解法可以使用 配方法、因式分解或求根公式等。 练习三：验证函数 f(x) = 2x + 3 和它的反函数 f^(-1)(x) = (x - 3) / 2 是否满足反函数的性质。
反函数练习（含详细解析）
反函数练习（含详细解析） 反函数练习 一．填空题 1．若f（x）=（x﹣1）2（x≤1），则其反函数f﹣1（x）=． 2．定义在R上的函数f（x）=2x﹣1的反函数为y=f﹣1（x），则f﹣1（3）= 3．若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=． 4．已知函数f（x）=2x﹣1的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（5）=． 5．函数y=x2+2（﹣1≤x≤0）的反函数是f﹣1（x）=． 6．已知函数f（x）=2x+m，其反函数y=f﹣1（x）图象经过点（3，1），则实数m 的值为． 7．设f﹣1（x）为的反函数，则f﹣1（1）=． 8．函数f（x）=x2，（x＜﹣2）的反函数是． 9．函数的反函数是． 10．函数y=x2+3（x≤0）的反函数是． 11．设函数f（x）=3x，若g（x）为函数f（x）的反函数，则g （1）=．12．设函数y=f（x）存在反函数y=f﹣1（x），且函数y=x ﹣f（x）的图象经过点（2，5），则函数y=f﹣1（x）+3的图象一定过点． 13．函数（x≤0）的反函数是． 14．已知函数，则=． 15．函数的反函数为f﹣1（x）=． 16．函数的反函数的值域是． 17．函数f（x）=x2﹣2（x＜0）的反函数f﹣1（x）=． 18．设f（x）=4x﹣2x+1（x≥0），则f﹣1（0）=． 19．若函数y=ax+8与y=﹣x+b的图象关于直线y=x对称，则a+b=．20．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）=．
参考答案 一．填空题（共20小题） 1．1﹣（x≥0）；2．2；3．；4．3；5．，x∈[2，3]；6．1； 7．1；8．；9．f﹣1（x）=（x﹣1）2（x≥1）；10．y=﹣（x ≥3）；11．0；12．（﹣3，5）；13．（x≥﹣1）；14．﹣2；15．，（x∈（0，1））；16．；17．（x＞﹣2）；18．1；19．2；20．﹣ ；
反函数基础练习含标准答案
反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞， 1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ] A y y x B y y 2．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝ 和＝≠．＝≥和＝≥313131 1x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数
B．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f-1(x)也是奇函数 C．若y＝f(x)是偶函数，则y＝f-1(x)也是偶函数 D．若f(x)的图像与y轴有交点，则f-1(x)的图像与y轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y＝x对称，而其中一个函数是 x 1 y＝－，那么另一个函数是 [ ] A．y＝x2＋1(x≤0) B．y＝x2＋1(x≥1) C．y＝x2－1(x≤0) D．y＝x2－1(x≥1) 7．设点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，那么y＝f-1(x)的图像上一定有点 [ ] A．(a，f-1(a)) B．(f-1(b)，b) C．(f-1(a)，a) D．(b，f-1(b)) 8．设函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，则函数y＝f(－x)的反函数是 [ ] A．y＝g(－x) B．y＝－g(x) C．y＝－g(－x) D．y＝－g-1(x) 9．若f(x－1)＝x2－2x＋3(x≤1)，则函数f-1(x)的草图是 [ ]
反函数基础练习含答案
反函数基础练习含答案
反函数基础练习 (一)选择题 1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 [ ] A y (x 0) B y (x 0) C y (x 0) D y |x| ．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x -- 2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 [ ] A ．[0，＋∞) B ．[－∞，1] C ．(0，1] D ．(－∞，0] 3y 1(x 2)．函数＝＋≥的反函数是x -2 [ ] A ．y ＝2－(x －1)2(x ≥2) B ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥2) C ．y ＝2－(x －1)2(x ≥1) D ．y ＝2＋(x －1)2(x ≥1) 4．下列各组函数中互为反函数的是 [ ]
A y y x B y y 2 ．＝和＝．＝和＝ x x x 11 C y y (x 1) D y x (x 1)y (x 0) 2．＝和＝≠．＝≥和＝≥313131 1 x x x x x +-+- 5．如果y ＝f(x)的反函数是y ＝f -1(x)，则下列命题中一定正确的是 [ ] A ．若y ＝f(x)在[1，2]上是增函数，则y ＝f -1(x)在[1，2]上也是增函数 B ．若y ＝f(x)是奇函数，则y ＝f -1(x)也是奇函数 C ．若y ＝f(x)是偶函数，则y ＝f -1(x)也是偶函数 D ．若f(x)的图像与y 轴有交点，则f -1(x)的图像与y 轴也有交点 6．如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是 y ＝－，那么另一个函数是x -1 [ ] A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1)
反函数(练习详细答案)
提能拔高限时训练7 反函数 一、选择题 1.若y ＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( ) A.无实数根 B.只有一个实数根 C.至多有一个实数根 D.至少有一个实数根 解析:y ＝f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C 2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x ,则f -1( 2 1)的值为( ) A.2 B.1 C.2 1 D.-1 解析:令f(x)＝2x ＝21,则x ＝-1,故f -1(21)＝-1,故选D. 答案:D 3.若函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,则f(x)等于… ( ) A.e 2x-1 B.e 2x C.e 2x+1 D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x . 答案:B 4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn ＝16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( ) A.-2 B.1 C.4 D.10 解析:设y ＝2x+3,则有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3. 于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2. 答案:A 5.设函数x x f -=11 )((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),则( ) A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1 B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0 C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1 D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0 解析:由x x f -=11 )((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x) 在其定义域上是增函数,且最小值是0. 答案:D 6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,, 0,22x x x x y 的反函数是( )
反函数例题讲解
反函数例题讲解 SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-
反函数例题讲 解 例1．下列函数中，没有反函数的是 () (A)y =x 2－1（x <21-） (B)y =x 3+1（x ∈R ） (C)1 -=x x y （x ∈R ，x ≠1） (D)⎩⎨⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y =4，则由⎩ ⎨⎧≥=-2422x x ，得x =3． 由⎩ ⎨⎧<=-144x x ，得x =－1． ∴（D ）中函数没有反函数． 如果作出⎩ ⎨⎧<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数． 例2．求函数211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由211x y --=，得：y x -=-112． ∴1－x 2=(1－y )2， x 2=1－(1－y )2=2y －y 2． ∵－1≤x ≤0，故22y y x --=．
又当－1≤x ≤0时，0≤1－x 2 ≤1， ∴0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即0≤y ≤1． ∴所求的反函数为22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ①把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x =φ(y )． ②求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x =φ(y )为 y =φ(x )． 例3．已知函数f (x )=x 2+2x +2（x <－1），那么f －1(2)的值为 __________________． 分析：依据f －1(2)这一符号的意义，本题可由f (x )先求得f －1(x )，再求f －1(2)的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1(2)=m ，则有f (m )=2．据此求f －1(2)的值会简捷些． 令x 2+2x +2=2，则得：x 2+2x =0． ∴x =0或x =－2． 又x <－1，于是舍去x =0，得x =－2，即f －1(2)=－2． 例4．已知函数241)(x x f +=（x ≤0），那么f (x )的反函数f －1 (x )的图像是 () （（