数学建模常微分方程的解法

第十五章 常微分方程的解法

建立微分方程只是解决问题的第一步，通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。如果能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特殊类型的函数时，才可以肯定得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的，即使看起来非常简单的方程如22x y dx

dy +=，于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。

§1 常微分方程的离散化

下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式是

?????=≤≤=0)(),(y a y b x a y x f dx dy (1)

在下面的讨论中，我们总假定函数),(y x f 连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存在常数L ，使得

|||),(),(|y y L y x f y x f -≤-

这样，由常微分方程理论知，初值问题(1)的解必定存在唯一。

所谓数值解法，就是求问题（1）的解)(x y 在若干点

b x x x x a N =<<<<=Λ210

处的近似值),,2,1(N n y n Λ=的方法，),,2,1(N n y n Λ=称为问题（1）的数值解，n n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。今后如无特别说明，我们总取步长为常量h 。 建立数值解法，首先要将微分方程离散化，一般采用以下几种方法：

（i ）用差商近似导数 若用向前差商h

x y x y n n )()(1-+代替)('n x y 代入（1）中的微分方程，则得 ),1,0())(,()()(1Λ=≈-+n x y x f h

x y x y n n n n 化简得

))(,()()(1n n n n x y x hf x y x y +≈+ 如果用)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值，记为1+n y ，则有

),1,0(),(1Λ=+=+n y x hf y y n n n n （2）

这样，问题（1）的近似解可通过求解下述问题

???==+=+)

(),1,0(),(01a y y n y x hf y y n n n n Λ （3） 得到，按式（3）由初值0y 可逐次算出Λ,,21y y 。式（3）是个离散化的问题，称为差分方程初值问题。

需要说明的是，用不同的差商近似导数，将得到不同的计算公式。

（ii ）用数值积分方法

将问题（1）的解表成积分形式，用数值积分方法离散化。例如，对微分方程两端

积分，得

?+==-+1

),1,0())(,()()(1n n x x n n n dx x y x f x y x y Λ(4)

右边的积分用矩形公式或梯形公式计算。

（iii ）Taylor 多项式近似

将函数)(x y 在n x 处展开，取一次Taylor 多项式近似，则得

))(,()()(')()(1n n n n n n x y x hf x y x hy x y x y +=+≈+

再将)(n x y 的近似值n y 代入上式右端，所得结果作为)(1+n x y 的近似值1+n y ，得到离散化的计算公式

),(1n n n n y x hf y y +=+

以上三种方法都是将微分方程离散化的常用方法，每一类方法又可导出不同形式的计算公式。其中的Taylor 展开法，不仅可以得到求数值解的公式，而且容易估计截断误差。

§2欧拉（Euler ）方法

2.1 Euler 方法

Euler 方法就是用差分方程初值问题（3）的解来近似微分方程初值问题（1）的解，即由公式（3）依次算出)(n x y 的近似值),2,1(Λ=n y n 。这组公式求问题（1）的数值解称为向前Euler 公式。

如果在微分方程离散化时，用向后差商代替导数，即h

x y x y x y n n n )()()('11-≈

++，则得计算公式 ???==+=+++)

(),1,0(),(0111a y y n y x hf y y n n n n Λ （5） 用这组公式求问题（1）的数值解称为向后Euler 公式。

向后Euler 法与Euler 法形式上相似，但实际计算时却复杂得多。向前Euler 公式是显式的，可直接求解。向后Euler 公式的右端含有1+n y ，因此是隐式公式，一般要用迭代法求解，迭代公式通常为

?????=+=+=+++++),2,1,0(),(),()(11)1(1)0(1Λk y x hf y y y x hf y y k n n n k n n n n n （6）

2.2 Euler 方法的误差估计

对于向前Euler 公式（3）我们看到，当Λ,2,1=n 时公式右端的n y 都是近似的，所以用它计算的1+n y 会有累积误差，分析累积误差比较复杂，这里先讨论比较简单的所谓局部截断误差。

假定用（3）式时右端的n y 没有误差，即)(n n x y y =，那么由此算出

))(,()(1n n n n x y x hf x y y +=+ （7）

局部截断误差指的是，按（7）式计算由n x 到1+n x 这一步的计算值1+n y 与精确值)(1+n x y 之差11)(++-n n y x y 。为了估计它，由Taylor 展开得到的精确值)(1+n x y 是

)()(''2

)(')()(32

1h O x y h x hy x y x y n n n n +++=+ （8）

（7）、（8）两式相减（注意到),('y x f y =）得

)()()(''2

)(232

11h O h O x y h y x y n n n ≈+=-++ （9） 即局部截断误差是2h 阶的，而数值算法的精度定义为：

若一种算法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该算法具有p 阶精度。

显然p 越大，方法的精度越高。式（9）说明，向前Euler 方法是一阶方法，因此它的精度不高。

§3 改进的Euler 方法

3.1 梯形公式

利用数值积分方法将微分方程离散化时，若用梯形公式计算式(4)中之右端积分，即

))](,())(,([2

))(,(111

+++≈?+n n n n x x x y x f x y x f h dx x y x f n n 并用1,+n n y y 代替)(),(1+n n x y x y ，则得计算公式

)],(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y 这就是求解初值问题（1）的梯形公式。

直观上容易看出，用梯形公式计算数值积分要比矩形公式好。梯形公式为二阶方法。 梯形公式也是隐式格式，一般需用迭代法求解，迭代公式为

???

????=++=+=+++++),2,1,0( )],(),([2),()(11)1(1)0(1Λk y x f y x f h y y y x hf y y k n n n n n k n n n n n (10) 由于函数),(y x f 关于y 满足Lipschitz 条件，容易看出

||2

||)1(1)(1)(1)1(1-+++++-≤-k n k n k n k n y y hL y y 其中L 为Lipschitz 常数。因此，当12

0<

3.2 改进Euler 法

按式（5）计算问题（1）的数值解时，如果每步只迭代一次，相当于将Euler 公式与梯形公式结合使用：先用Euler 公式求1+n y 的一个初步近似值1+n y ，称为预测值，然后用梯形公式校正求得近似值1+n y ，即

??

???++=+=++++校正预测 ] ),(),([2),(1111n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y （11） 式（11）称为由Euler 公式和梯形公式得到的预测—校正系统，也叫改进Euler 法。

为便于编制程序上机，式（11）常改写成

???????+=++=+=+)(2

1),(),(1q p n p n n q n n n p y y y y h x hf y y y x hf y y （12）

改进Euler 法是二阶方法。

§4 龙格—库塔（Runge —Kutta ）方法

回到Euler 方法的基本思想—用差商代替导数—上来。实际上，按照微分中值定理应有

10),(')()(1<<+=-+θθh x y h

x y x y n n n 注意到方程),('y x f y =就有

))(,()()(1h x y h x hf x y x y n n n n θθ+++=+ （13） 不妨记))(,(h x y h x f K n n θθ++=，称为区间],[1+n n x x 上的平均斜率。可见给出一种斜率K ，（13）式就对应地导出一种算法。

向前Euler 公式简单地取),(n n y x f 为K ，精度自然很低。改进的Euler 公式可理解为K 取),(n n y x f ，),(11++n n y x f 的平均值，其中),(1n n n n y x hf y y +=+，这种处理提高了精度。

如上分析启示我们，在区间],[1+n n x x 内多取几个点，将它们的斜率加权平均作为K ，就有可能构造出精度更高的计算公式。这就是龙格—库塔方法的基本思想。

4.1 首先不妨在区间],[1+n n x x 内仍取2个点，仿照（13）式用以下形式试一下

?????<<++==++=+1,0),,()

,()(12

122111βαβαλλhk y h x f k y x f k k k h y y n n n n n n （14） 其中βαλλ,,,21为待定系数，看看如何确定它们使（14）式的精度尽量高。为此我们分析局部截断误差11)(++-n n y x y ，因为)(n n x y y =，所以（14）可以化为

?????????+++=++===++=+)())(,(

))(,())(,( )

)(,()('))(,()()(2112122111h O x y x f hk x y x hf x y x f hk x y h x f k x y x y x f k k k h x y y n n y n n x n n n n n n n n n βαβαλλ （15） 其中2k 在点))(,(n n x y x 作了Taylor 展开。（15）式又可表为

)()()(')()(322211h O ff f h x hy x y y y x n n n ++

+++=+α

βαλλλ 注意到

)()(''2

)(')()(32

1h O x y h x hy x y x y n n n n +++=+ 中f y ='，y x ff f y +=''，可见为使误差)()(311h O y x y n n =-++，只须令

121=+λλ，212=αλ，1=α

β （16） 待定系数满足（16）的（15）式称为2阶龙格—库塔公式。由于（16）式有4个未知数而只有3个方程，所以解不唯一。不难发现，若令2

121==λλ ，1==βα，即为改进的Euler 公式。可以证明，在],[1+n n x x 内只取2点的龙格—库塔公式精度最高为2阶。

4.2 4阶龙格—库塔公式

要进一步提高精度，必须取更多的点，如取4点构造如下形式的公式：

?????????++++=+++=++==++++=+)

,(),()

,(),()(36251434231223

11121443322111hk hk hk y h x f k hk hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n βββαββαβαλλλλ （17） 其中待定系数i i i βαλ,,共13个，经过与推导2阶龙格—库塔公式类似、但更复杂的计

算，得到使局部误差)()(511h O y x y n n =-++的11个方程。取既满足这些方程、又较简

单的一组i i i βαλ,,，可得

?????????????++=++=++==+++=+)

,()2,2()2,2()

,()

22(6342312143211hk y h x f k hk y h x f k hk y h x f k y x f k k k k k h y n n n n n n n n n （18） 这就是常用的4阶龙格—库塔方法（简称RK 方法）。

§5线性多步法

以上所介绍的各种数值解法都是单步法，这是因为它们在计算1+n y 时，都只用到前一步的值n y ，单步法的一般形式是

)1,,1,0(),,(1-=+=+N n h y x h y y n n n n Λ?（19）

其中),,(h y x ?称为增量函数，例如Euler 方法的增量函数为),(y x f ，改进Euler 法的增量函数为

))],(,(),([2

1

),,(y x hf y h x f y x f h y x +++=?

如何通过较多地利用前面的已知信息，如r n n n y y y --,,,1Λ，来构造高精度的算法计算1+n y ，这就是多步法的基本思想。经常使用的是线性多步法。

让我们试验一下1=r ，即利用1,-n n y y 计算1+n y 的情况。

从用数值积分方法离散化方程的（4）式

?+=-+1

))(,()()(1n n x x n n dx x y x f x y x y

出发，记n n n f y x f =),(，111),(---=n n n f y x f ，式中被积函数))(,(x y x f 用二节点),(11--n n f x ，),(n n f x 的插值公式得到（因)n x x ≥，所以是外插。

])()[(1 ))(,(111111---------=--+--=n n n n n

n n n n n n n f x x f x x h x x x x f x x x x f x y x f （20）

此式在区间],[1+n n x x 上积分可得

12

23))(,(1

--=?+n n x x f h f h dx x y x f n n 于是得到

)3(2

11-+-+=n n n n f f h y y （21） 注意到插值公式（20）的误差项含因子))((1n n x x x x ---，在区间],[1+n n x x 上积分后

得出3h ，故公式（21）的局部截断误差为)(3

h O ，精度比向前Euler 公式提高1阶。 若取Λ,3,2=r 可以用类似的方法推导公式，如对于3=r 有

)9375955(24

3211---+-+-+=n n n n n n f f f f h y y （22） 其局部截断误差为)(5h O 。

如果将上面代替被积函数))(,(x y x f 用的插值公式由外插改为内插，可进一步减小误差。内插法用的是11,,,+-+r n n n y y y Λ，取1=r 时得到的是梯形公式，取3=r 时可得

)5199(24

2111--+++-++=n n n n n n f f f f h y y （23） 与（22）式相比，虽然其局部截断误差仍为)(5h O ，但因它的各项系数（绝对值）大

为减小，误差还是小了。当然，（23）式右端的1+n f 未知，需要如同向后Euler 公式一样，用迭代或校正的办法处理。

§6 一阶微分方程组与高阶微分方程的数值解法

6.1 一阶微分方程组的数值解法

设有一阶微分方程组的初值问题

???==0

21)(),,,,('i i m i i y a y y y y x f y Λ),,2,1(m i Λ= （24） 若记T m y y y y ),,,(21Λ=，T m y y y y ),,,(020100Λ=，T m f f f f ),,,(21Λ=，则初值

问题（24）可写成如下向量形式

???==0

)(),('y a y y x f y （25） 如果向量函数),(y x f 在区域D ：

m R y b x a ∈≤≤,

连续，且关于y 满足Lipschitz 条件，即存在0>L ，使得对],[b a x ∈?，m

R y y ∈21,，都有

2121),(),(y y L y x f y x f -≤-

那么问题（25）在],[b a 上存在唯一解)(x y y =。

问题（25）与（1）形式上完全相同，故对初值问题（1）所建立的各种数值解法可全部用于求解问题（25）。

6.2 高阶微分方程的数值解法

高阶微分方程的初值问题可以通过变量代换化为一阶微分方程组初值问题。 设有m 阶常微分方程初值问题

???===≤≤=---)1(0)1()1(00)1()()(,,)(',)(),,',,(m m m m y a y

y a y y a y b x a y y y x f y ΛΛ （26） 引入新变量)1(21,,',-===m m y y y y y y Λ，问题（26）就化为一阶微分方程初值问题

?????????========----)1(0

1)2(011)1(02320121)( ),,,(')( ' )( ')( 'm m m m m m m m y a y y y x f y y a y y y y a y y y y a y y y ΛM M

（27） 然后用6.1中的数值方法求解问题（27），就可以得到问题（26）的数值解。

最后需要指出的是，在化学工程及自动控制等领域中，所涉及的常微分方程组初值问题常常是所谓的“刚性”问题。具体地说，对一阶线性微分方程组

)(x Ay dx

dy Φ+= （28） 其中A R y m ,,∈Φ为m 阶方阵。若矩阵A 的特征值),,2,1(m i i Λ=λ满足关系

),,2,1(0Re m i i Λ=<λ

|Re |min |Re |max 11i m

i i m i λλ≤≤≤≤>> 则称方程组（28）为刚性方程组或Stiff 方程组，称数

|Re |min /|Re |max 11i m

i i m i s λλ≤≤≤≤= 为刚性比。对刚性方程组，用前面所介绍的方法求解，都会遇到本质上的困难，这是由数值方法本身的稳定性限制所决定的。理论上的分析表明，求解刚性问题所选用的数值方法最好是对步长h 不作任何限制。

§7 Matlab 解法

7.1 Matlab 数值解

7.1.1 非刚性常微分方程的解法

Matlab 的工具箱提供了几个解非刚性常微分方程的功能函数，如ode45，ode23，ode113，其中ode45采用四五阶RK 方法，是解非刚性常微分方程的首选方法，ode23采用二三阶RK 方法，ode113采用的是多步法，效率一般比ode45高。

Matlab 的工具箱中没有Euler 方法的功能函数。

（I ）对简单的一阶方程的初值问题

???==00

)(),('y x y y x f y 改进的Euler 公式为

???????+=++=+=+)(2

1),(),(1q p n p n n q n n n p y y y y h x hf y y y x hf y y

我们自己编写改进的Euler 方法函数eulerpro.m 如下：

function [x,y]=eulerpro(fun,x0,xfinal,y0,n);

if nargin<5,n=50;end

h=(xfinal-x0)/n;

x(1)=x0;y(1)=y0;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));

y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);

y(i+1)=(y1+y2)/2;

end

例1 用改进的Euler 方法求解

x x y y 222'2++-=，)5.00(≤≤x ，1)0(=y

解编写函数文件doty.m 如下：

function f=doty(x,y);

f=-2*y+2*x^2+2*x;

在Matlab 命令窗口输入：

[x,y]=eulerpro('doty',0,0.5,1,10)

即可求得数值解。

（II ）ode23，ode45，ode113的使用

Matlab 的函数形式是

[t,y]=solver('F',tspan ，y0)

这里solver 为ode45，ode23，ode113，输入参数 F 是用M 文件定义的微分方程),('y x f y =右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。

例2 用RK 方法求解

x x y y 222'2++-=，)5.00(≤≤x ，1)0(=y

解同样地编写函数文件doty.m 如下：

function f=doty(x,y);

f=-2*y+2*x^2+2*x;

在Matlab 命令窗口输入：

[x,y]=ode45('doty',0,0.5,1)

即可求得数值解。

7.1.2刚性常微分方程的解法

Matlab 的工具箱提供了几个解刚性常微分方程的功能函数，如ode15s ，ode23s ，ode23t ，ode23tb ，这些函数的使用同上述非刚性微分方程的功能函数。

7.1.3 高阶微分方程),,',,()1()(-=n n y y y t f y

Λ解法

例3 考虑初值问题 1)0(''1)0('0)0(0'''3'''-====--y y y y y y y

解 （i ）如果设'',',321y y y y y y ===，那么

?????-=+=====1)0( 3'1)0(

'0)0( '31233

232121y y y y y y y y y y y 初值问题可以写成0)0(),,('Y Y Y t F Y ==的形式，其中

];;[321y y y Y =。 （ii ）把一阶方程组写成接受两个参数t 和y ，返回一个列向量的M 文件F.m ： function dy=F(t,y);

dy=[y(2);y(3);3*y(3)+y(2)*y(1)];

注意：尽管不一定用到参数t 和y ，M —文件必须接受此两参数。这里向量dy 必须是列向量。

（iii ）用Matlab 解决此问题的函数形式为

[T,Y]=solver('F',tspan,y0)

这里solver 为ode45、ode23、ode113，输入参数F 是用M 文件定义的常微分方程组，tspan=[t0tfinal]是求解区间，y0是初值列向量。在Matlab 命令窗口输入

[T,Y]=ode45('F',[0 1],[0;1;-1])

就得到上述常微分方程的数值解。这里Y 和时刻T 是一一对应的，Y(:,1)是初值问题的解，Y(:,2)是解的导数，Y(:,3)是解的二阶导数。

例4 求 van der Pol 方程

0')1(''2=+--y y y y μ

的数值解，这里0>μ是一参数。

解（i ）化成常微分方程组。设',21y y y y ==，则有

???--==1

221221)1(''y y y y y y μ （ii ）书写M 文件（对于1=μ）vdp1.m:

function dy=vdp1(t,y);

dy=[y(2);(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

（iii ）调用Matlab 函数。对于初值0)0(',2)0(==y y ，解为

[T,Y]=ode45('vdp1',[0 20],[2;0]);

（iv ）观察结果。利用图形输出解的结果：

plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'--')

title('Solution of van der Pol Equation,mu=1');

xlabel('time t');

ylabel('solution y');

常微分方程在数学建模中的应用(免费版)

常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（ 马尔萨斯 （Malthus ） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为9 1006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 ) 1961(02.09 e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人 口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）． 但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

常微分方程在数学建模中的应用.

微分方程应用 1 引言 常微分方程的形成与发展和很多学科有着密切的联系，例如力学、天文学、物理学等.数学的其他分支的快速发展，产生出很多新兴学科，这些新兴学科的产生都对常微分方程的发展有着深刻的影响，而且当前计算机的快速发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具. 数学解决实际问题就必须建立模型，而数学建模就是把数学语言描述实际现象的过程.利用数学去解决各类实际问题时，建立数学模型是十分重要的一步，但是也是最困难的一步.建立数学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程.要通过大量调查、收集相关数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和内在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题. 因此本文先简要介绍了如何建立微分方程模型，并通过具体的实例来简单地介绍了微分方程在数学建模中的应用. 2 数学模型简介 通常我们把现实问题的一个模拟称为模型．如交通图、地质图、航空模型和建筑模型等．利用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等来模拟现实的模型称为数学模型．数学模型在实际生活中经常碰到，如求不规则图形的面积，可建立定积分的数学模型，求变化率的问题可建立导数模型，统计学中抽样调查，买彩票中奖的概率问题等等．学会建立数学模型对解决实际生活问题会有很大的帮助． 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁．随着科学技术的进步，特别是电子计算机技术的迅速发展，数学已经渗透到从自然科学技术到工农业生产建设，从经济生活到社会生活的各个领域．一般地说，当实际问题需要我们对所研究的现实对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果时，往往都离不开数学的应用，而建立数学模型则是这个过程的关键环节． 3 常微分方程模型 3．1 常微分方程的简介

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建 立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对 微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有 所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能 近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性 质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t时刻病人人数() x t连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0 t=时有0x个病人。 +?病人人数增加 建模：t到t t

()()()x t t x t x t t λ+?-=? （1） 0,(0)dx x x x dt λ== （2） 解得： 0()t x t x e λ= （3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型 假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)* λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ= （4） 由于 ()()1s t i t += （5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-= （6）

数学建模中常见的十大模型

数学建模常用的十大算法==转 (2011-07-24 16:13:14) 转载▼ 1. 蒙特卡罗算法。该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，几乎是比赛时必用的方法。 2. 数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用MA TLAB 作为工具。 3. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类算法。建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件求解。 4. 图论算法。这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。 5. 动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。这些算法是算法设计中比较常用的方法，竞赛中很多场合会用到。 6. 最优化理论的三大非经典算法：模拟退火算法、神经网络算法、遗传算法。这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。 7. 网格算法和穷举法。两者都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。 8. 一些连续数据离散化方法。很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只能处理离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。 9. 数值分析算法。如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。 10. 图象处理算法。赛题中有一类问题与图形有关，即使问题与图形无关，论文中也会需要图片来说明问题，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用MA TLAB 进行处理。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 以下将结合历年的竞赛题，对这十类算法进行详细地说明。 2 十类算法的详细说明 2.1 蒙特卡罗算法 大多数建模赛题中都离不开计算机仿真，随机性模拟是非常常见的算法之一。 举个例子就是97 年的A 题，每个零件都有自己的标定值，也都有自己的容差等级，而求解最优的组合方案将要面对着的是一个极其复杂的公式和108 种容差选取方案，根本不可能去求解析解，那如何去找到最优的方案呢？随机性模拟搜索最优方案就是其中的一种方法，在每个零件可行的区间中按照正态分布随机的选取一个标定值和选取一个容差值作为一种方案，然后通过蒙特卡罗算法仿真出大量的方案，从中选取一个最佳的。另一个例子就是去年的彩票第二问，要求设计一种更好的方案，首先方案的优劣取决于很多复杂的因素，同样不可能刻画出一个模型进行求解，只能靠随机仿真模拟。 2.2 数据拟合、参数估计、插值等算法 数据拟合在很多赛题中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是98 年美国赛A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的

最新31微分方程与微分方程建模法汇总

31微分方程与微分方 程建模法

第三章微分方程模型 3.1微分方程与微分方程建模法 一、微分方程知识简介 我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系：(1)初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程） ?Skip Record If...?(2)一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） ?Skip Record If...?(3)高阶线性微分方程（高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理。 0．常数变易法：常数变易法在上面的（1）（2）（3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次方程或方程组的解的一种方法。 1．初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法，掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。 分离变量法：（1）可分离变量方程： ?Skip Record If...? (2) 齐次方程：?Skip Record If...? 常数变易法：(1) 线性方程，?Skip Record If...??Skip Record If...?

(2) 伯努里方程，?Skip Record If...??Skip Record If...? 积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。 对于一阶隐式微分方程?Skip Record If...?有 参数法：(1) 不含x或y的方程:?Skip Record If...? (2) 可解出x或y的方程：?Skip Record If...? 对于高阶方程，有 降阶法：?Skip Record If...? 恰当导数方程 一阶方程的应用问题（即建模问题）。 2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根[待定系数法]），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）； n阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到

数学建模之微分方程建模与平衡点理论

微分方程 列微分方程常用的方法： （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 一、模型的建立与求解 1.1传染病模型 （1）基础模型 假设：t 时刻病人人数()x t 连续可微。每天每个病人有效接触（使病人治病的接触）的人数为λ，0t =时有0x 个病人。 建模：t 到t t +?病人人数增加 ()()()x t t x t x t t λ+?-=?（1） 0,(0)dx x x x dt λ==（2） 解得： 0()t x t x e λ=（3） 所以，病人人数会随着t 的增加而无限增长，结论不符合实际。 （2）SI 模型

假设：1.疾病传播时期，总人数N 保持不变。人群分为两类，健康者占总人数的比例为s(t),病人占总人数的比例为i(t)。 2.每位病人每天平均有效接触λ人，λ为日接触率。有效接触后健康者变为病人。 依据：患病人数的变化率=Ni(t)(原患病人数)*λs(t)(每个病人每天使健康人变为病人的人数) 建模： di N Nsi dt λ=（4） 由于 ()()1s t i t +=（5） 设t=0时刻病人所占的比例为0i ，则可建立Logistic 模型 0(1),(0)di i i i i dt λ=-=（6） 解得： 01()111kt i t e i -= ??+- ??? （7） 用Matlab 绘制图1()~i t t ，图2 ~di i dt 图形如下， 结论：在不考虑治愈情况下

数学建模——微分方程的应用

第八节 数学建模——微分方程的应用举例 微分方程在物理学、力学、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程的实际应用，尤其是微分方程经济学中的应用. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力. 分布图示 ★衰变问题 ★逻辑斯谛方程 ★价格调整问题 ★人才分配问题 内容要点： 一、衰变问题 镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量, 这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知, 衰变速度与现存物质的质量成正比, 求放射性元素在时刻t 的质量. 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量, 则 dt dx 表示x 在时刻t 的衰变速度, 于是“衰变速度与现存的质量成正比”可表示为 .kx dt dx -= (8.1) 这是一个以x 为未知函数的一阶方程, 它就是放射性元素衰变的数学模型, 其中0>k 是比例常数, 称为衰变常数, 因元素的不同而异. 方程右端的负号表示当时间t 增加时, 质量x 减少. 解方程(8.1)得通解.kt Ce x -=若已知当0t t =时, ,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt e x C -= 则可得到方程(8.1)特解 ,)(00t t k e x x --= 它反映了某种放射性元素衰变的规律. 注: 物理学中, 我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期, 不同物质的半衰期差别极大. 如铀的普通同位素( U 238)的半衰期约为50亿年;通常的镭( Ra 226)的半衰期是上述放射性物质的特征, 然而半衰期却不依赖于该物质的初始量, 一克Ra 226 衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年, 正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳-14测验的基础.

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

数学建模作业求解常微分方程和人口模型问题

实验报告 课程名称：数学建模 课题名称：求解常微分方程与人口模型 专业：信息与计算科学 姓名：胡家炜 班级： 123132 完成日期： 2016 年 6 月 10 日

一．求解微分方程的通解 (1). dsolve('2*x^2*y*Dy=y^2+1','x') ans = (exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) -(exp(C3 - 1/x) - 1)^(1/2) i -i (2). dsolve('Dy=(y+x)/(y-x)','x') ans = x + 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) x - 2^(1/2)*(x^2 + C12)^(1/2) (3). dsolve('Dy=cos(y/x)+y/x','x') ans = (pi*x)/2-x*log(-(exp(C25 + log(x)) - i) /(exp(C25 + log(x))*i - 1))*i (4). dsolve('(x*cos(y)+sin(2*y))*Dy=1','x') ans = -asin(x/2 + lambertw(0, -(C30*exp(- x/2 - 1))/2) + 1) (5). dsolve('D2y+3*Dy-y=exp(x)*cos(2*x)','x') ans = C32*exp(x*(13^(1/2)/2 - 3/2)) + C33*exp(-x*(13^(1/2)/2 + 3/2)) + (13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2-3/2))*exp((5*x)/2(13^(1/2)*x)/2)* (2*sin(2*x) - cos(2*x)*(13^(1/2)/2 - 5/2)))/(13*((13^(1/2)/2 - 5/2)^2 +4))-(13^(1/2)*exp(x*(13^(1/2)/2+3/2))*exp((5*x)/2 +(13^(1/2)*x)/2)*(2*sin(2*x)+cos(2*x)*(13^(1/2)/2+5/2))) /(13*((13^(1/2)/2 + 5/2)^2 + 4)) （6）dsolve('D2y+4*y=x+1+sin(x)','x') ans = cos(2*x)*(cos(2*x)/4 - sin(2*x)/8 + sin(3*x)/12 - sin(x)/4 + (x*cos(2*x))/4 - 1/4) + sin(2*x)*(cos(2*x)/8 - cos(3*x)/12 + sin(2*x)/4 + cos(x)/4 + (x*sin(2*x))/4 + 1/8) + C35*cos(2*x) + C36*sin(2*x)

常微分方程在数学建模中的应用论文正稿

毕业论文 论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名： 学科专业： 指导教师： 完成时间：

常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。 关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型

第一章人口预测模型 第二章市场价格模型 第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型

绪论 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器有盐水100L,含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器盐水浓度始终是均匀的，求容器含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。

第一章 人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ，00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 )1961(02.09e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间

常微分方程数值解法的误差分析教材

淮北师范大学 2013届学士学位论文 常微分方程数值解法的误差分析 学院、专业数学科学学院数学与应用数学 研究方向计算数学 学生姓名李娜 学号 20091101070 指导教师姓名陈昊 指导教师职称讲师 年月日

常微分方程数值解法的误差分析 李娜 （淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000） 摘要 自然界与工程技术中的很多现象，往往归结为常微分方程定解问题。许多偏微分方程问题也可以化为常微分方程问题来近似求解。因此，研究常微分方程的数值解法是有实际应用意义的。数值解法是一种离散化的数学方法，可以求出函数的精确解在自变量一系列离散点处的近似值。随着计算机计算能力的增强以及数值计算方法的发展，常微分方程的数值求解方法越来越多，比较成熟的有Euler 法、后退Euler法、梯形方法、Runge—Kutta方法、投影法和多步法，等等．本文将对这些解的误差进行分析,以求能够得到求解常微分数值解的精度更好的方法。 关键词：常微分方程, 数值解法, 单步法, 线性多步法, 局部截断误差

Error Analysis of Numerical Method for Solving the Ordinary Differential Equation Li Na (School of Mathematical Science, Huaibei Normal University, Huaibei, 235000) Abstract In nature and engineering have many phenomena , definite solution of the problem often boils down to ordinary differential equations. So study the numerical solution of ordinary differential equations is practical significance. The numerical method is a discrete mathematical methods, and exact solution of the function can be obtained in the approximation of a series of discrete points of the argument.With the enhanced computing power and the development of numerical methods,ordinary differential equations have more and more numerical solution,there are some mature methods. Such as Euler method, backward Euler method, trapezoidal method, Runge-Kutta method, projection method and multi-step method and so on.Therefore, numerical solution of differential equation is of great practical significance. Through this paper, error of these solutions will be analyzed in order to get a the accuracy better way to solve the numerical solution of ordinary differential. Keywords:Ordinary differential equations, numerical solution methods, s ingle ste p methods, l inear multi-step methods, local truncation error

常微分方程在数学建模中的应用

北方民族大学学士学位论文 论文题目:常微分方程在数学建模中的应用 院(部)名称:信息与计算科学学院 学生姓名:马木沙 专业:信计学号:20093490 指导教师姓名:魏波 论文提交时间: 论文答辩时间: 学位授予时间: 北方民族大学教务处制

摘要 本文利用常微分方程和数学建模二者之间的联系，了解微分方程的一般理论、微分方程解的存在惟一性、微分方程的稳定性问题、通过几个典型的数学模型如：人口模型、减肥的数学模型、化工车间通风模型、传染病的传播模型及定性分析等例子来体现微分方程在数学建模中的应用. 用数学理论解决实际生活中的问题.微分方程的出现以及运用微分方程在数学建模中的应用，就是为了更好地使更多的人理解并运用数学理论，更好的解决实际生活中的问题.努力在各个领域利用并渗透数学知识的广泛运用. 关键词：常微分方程，数学建模，数学模型

Abstract In this paper, ordinary differential equations and mathematical modeling contact between the two, understand the general theory of differential equations, stability problems of the existence and uniqueness of differential equations, differential equations, several typical mathematical models such as: demographic model,example of the mathematical model of weight loss, chemical plant ventilation model, spread of infectious diseases, model and qualitative analysis to reflect the application of differential equations in mathematical modeling. found that the application of mathematical theory to study and solve problems in the actual process of the emergence of ordinary differential equations andOrdinary Differential Equations in Mathematical Modeling widely used, in order to better enable ordinary people to understand and use mathematical theory, solving real-world problems. sublimation theory by the knowledge-based transformation to the ability to type, highlight the differential equationsand differential equations in mathematical modeling efforts made outstanding and significant contribution in various fields. Keywords: ordinary differential equations, mathematical modeling, mathematical model.

常微分方程数值解法

i.常微分方程初值问题数值解法 常微分方程初值问题的真解可以看成是从给定初始点出发的一条连续曲线。差分法是常微分方程初值问题的主要数值解法，其目的是得到若干个离散点来逼近这条解曲线。有两个基本途径。一个是用离散点上的差商近似替代微商。另一个是先对微分方程积分得到积分方程，再利用离散点作数值积分。 i.1 常微分方程差分法 考虑常微分方程初值问题：求函数()u t 满足 (,), 0du f t u t T dt =<≤ （i.1a ） 0(0)u u = (i.1b) 其中(,)f t u 是定义在区域G : 0t T ≤≤, u <∞上的连续函数，0u 和T 是给定的常数。我们假设(,)f t u 对u 满足Lipschitz 条件，即存在常数L 使得 121212(,)(,), [0,]; ,(,)f t u f t u L u u t T u u -≤-?∈∈-∞∞ （i.2） 这一条件保证了（i.1）的解是适定的，即存在，唯一，而且连续依赖于初值0u 。 通常情况下，（i.1）的精确解不可能用简单的解析表达式给出，只能求近似解。本章讨论常微分方程最常用的近似数值解法-差分方法。先来讨论最简单的Euler 法。为此，首先将求解区域[0,]T 离散化为若干个离散点： 0110N N t t t t T -=<< <<= （i.3） 其中n t hn =，0h >称为步长。 在微积分课程中我们熟知，微商（即导数）是差商的极限。反过来，差商就是微商的近似。在0t t =处，在（i.1a ）中用向前差商 10()()u t u t h -代替微商du dt ，便得 10000()()(,())u t u t hf t u t ε=++ 如果忽略误差项0ε，再换个记号，用i u 代替()i u t 便得到 1000(,)u u hf t u -= 一般地，我们有 1Euler (,), 0,1, ,1n n n n u u hf t u n N +=+=-方法： （i.4） 从(i.1b) 给出的初始值0u 出发，由上式可以依次算出1,,N t t 上的差分解1,,N u u 。

数学建模仿真笔记本电脑方案资料

摘要 本文研究的是联想、惠普、东芝、戴尔、索尼、华硕、苹果、神州、ACER等主要厂家产品的价格与公司知名度、产品主要配置、大众消费倾向、产品附加值的定量关系。 首先，本文在对笔记本配置，大众消费倾向，附加值等因素进行详细深入的比较的基础上，制定了适应于所有笔记本的各影响因素的标度标准，并在该标准的前提下，统计了九大电脑公司、受关注较高的各个系列（每个品牌取六大不同系列，每个系列各取一台）的电脑的价格、配置、产品附加值等大量数据，并用均值法得到了一组具有代表性的数据。基于数据分析，借鉴层次分析法建立了模型，并且在建立模型的过程中采用了九级标度法，将对价格影响的各因素定量化，并在此基础上列出判断矩阵。 然后，求判断矩阵的相对权重。通过资料得到了三种不同的求权重方法，分别为和法、根法、特征根法。本文采取的是特特征根法。利用MATLAB软件，算出了判断矩阵的最大特征值，并将与之对应的特征向量归一化，得到相应元素对应的权重，并进行一致性检验。 最后，利用公式算出组合权重，组合一致性指标，便得出各因素对公司定价的影响程度，分析得出结论。 关键词：制定标准均值法借鉴层次分析法九级标度法判断矩阵特征根法一致性检验

目录 1.问题重述与分析………………4-5 1.1问题重述 (4) 1.2 问题分析 (5) 2.符号说明 (6) 3.数据说明……………………….. 6-7 4.主要电脑厂家产品的价格与公司知名度，产品主要配置，大众消费倾向，产品附加值等的定量关系研究——借鉴层次分析法…………………………………. 7-38 4.1 模型建立………………………7-14 4.2 模型求解……………………14-38 4.2.1 构造求解判断矩阵....... 14-32 4.2.2 一致性检验………………. 32-38 5.比较分析各厂家产品定价的优越…38-39 6.根据结论，提出建议………. 39-42 7.模型的总结与改进…………. 42-43 7.1 模型总结 (42) 7.2 模型改进 (43)

数学建模心得体会3篇

竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除 数学建模心得体会3篇 通过对专题七的学习，我知道了数学探究与数学建模在中学中学习的重要性，知道了什么是数学建模，数学建模就是把一个具体的实际问题转化为一个数学问题，然后用数学方法去解决它，之后我们再把它放回到实际当中去，用我们的模型解释现实生活中的种种现象和规律。 知道了数学建模的几点要求：一个是问题一定源于学生的日常生活和现实当中，了解和经历解决实际问题的过程，并且根据学生已有的经验发现要提出的问题。同时，希望同学们在这一过程中感受数学的实用价值和获得良好的情感 体验。当然也希望同学们在这样的过程当中，学会通过实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样学生要有一个尝试，一个探索的过程查询

资料等手段来获取信息，之后采取各种合作的方式解决问题，养成与人交流的能力。 实际上数学探究本身应该说在平时教学当中，老师有些在课堂上也是这样教学的，他更重要的意义就是引导老师增加一种教学方式，首先就是这个问题就是有点儿全新性，解决的方案不是很明了，这样的话学生要有一个尝试，一个探索的过程。数学探究活动的关健词就是探究，探究是一个活动或者是一个过程，也是一种学习方式，我们比较强调是用这样的方式影响学生，让他主动的参与，在这个活动当中得到更多的知识。 探究的结果我们认为不一定是最重要的，当然我们希望探究出来一个结果，通过这种活动影响学生，改变他的学习方式，增加他的学习兴趣和能力。我们也关心，大家也可以看到在标准里面，有非常突出的数学建模的这些内容，但是它的要求、定位和为什么把这些领域加到我的标准当中，你应该怎么看待这部分内容。 数学建模学习心得体会 刚参加工作那阵子就接触到“建模”这个概念，也曾对之有过关注和尝试，但终因功力不济，未能持之以恒给力研究，

各类微分方程的解法大全

各类微分方程的解法 1.可分离变量的微分方程解法 一般形式:g(y)dy=f(x)dx 直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx 设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法 一般形式:dy/dx=φ(y/x) 令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x 最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法 一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x) 先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－ ∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］ 即y=Ce－∫P(x)dx +e－ ∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解 4.可降阶的高阶微分方程解法 ①y(n)=f(x)型的微分方程 y(n)=f(x) y(n-1)= ∫f(x)dx+C1 y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2 依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解②y”=f(x,y’) 型的微分方程 令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1) 即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2 ③y”=f(y,y’) 型的微分方程

令y ’=p 则y ”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C 1) 即dy/dx=φ(y,C 1),即dy/φ(y,C 1)=dx,所以∫dy/φ(y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法 一般形式:y ”+py ’+qy=0,特征方程r 2+pr+q=0 6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法 一般形式: y ”+py ’+qy=f(x) 先求y ”+py ’+qy=0的通解y 0(x),再求y ”+py ’+qy=f(x)的一个特解y*(x) 则y(x)=y 0(x)+y*(x)即为微分方程y ”+py ’+qy=f(x)的通解 求y ”+py ’+qy=f(x)特解的方法: ① f(x)=P m (x)e λx 型 令y*=x k Q m (x)e λx ［k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m (x)的m+1个系数 ② f(x)=e λx ［P ｌ(x)cos ωx+P n (x)sin ωx ］型 令y*=x k e λx ［Q m (x)cos ωx+R m (x)sin ωx ］［m=max ﹛ｌ,n ﹜,k 按λ+i ω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m (x)和R m (x)的m+1个系数