一元二次方程与二次函数的含参问题
一,堂前测
1.如果关于x 的方程(m+2)x 2-2(m+1)x+m=0有且只有一个实数根,那么关于x 的 方程(m+1)x 2-2mx+m-1=0的根为( )
A. -1或-3
B. 1或3
C. -1或3
D. 1或-3 2. 已知关于x 的方程2(12)2110k x
k x --+-=有两个不相等的实数根,求k 的取值范围。
3. 当m 取何值时,关于x 的方程22210x mx m m ++--=有两个小于1的根?
4. 已知函数y=x 2-x+4-2m 在-1≤x≤1时与x 轴有交点,求实数m 的取值范围。
5,已知关于x 的方程. 220 (0)kx x k k
--=≠ (1)求证:方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求整数k 的值。
6已知关于 x 的方程x 2
-(m+1)x+ =0 的两根是一矩形的两邻边长,当矩形的对角线长为 时,求m 的值
7已知函数y= x 2-6x+m+4与x 轴有两个交点(x1,0),(x2,0),若x1,x2满足3x1=|x2|+2,求m 的值。
二,例题
1,已知关于x 的一元二次方程x 2﹣(m +1)x + =0有实根。
(1)求m 的值
(2)先作函数 的图像关于x 轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位,再向上平移2个单位,写出变化后的图像解析式。
(3)在(2)的条件下,第直线y=2x+n(n>m)与变化后的图像有公共点时,求n2-4n 的最大值和最小值。
2, 已知:关于x 的一元二次方程mx 2
﹣(3m +1)x +2m +2=0 (m >1)。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两个实数根分别为x 1,x 2(其中x 1>x 2),若y 是关于m 的函数,且y =m x 2﹣2x 1,求这个函数的解析式;
(3)将(2)中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答:当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时,求b 的取值范围。
3, 已知抛物线22
21y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B (点B 在点A 右侧),与y 轴交于点C 。
(1)试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标;
(2)当点B 在原点的右侧,点C 在原点的下方时,若BOC △是等腰三角形,求抛物线的解析式;
(3)已知一次函数y kx b =+,点P (n ,0)是x 轴上一个动点,在(2)的条件下,过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ,交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ,若只有当14n <<时,点M 位于点N 的下方,求这个一次函数的解析式。
三,作业
1. 关于x 的一元二次方程()2
121=0m x mx m --++有两个实数根。 (1)求m 的取值范围;
(2)当m 为何整数时,此方程的两个根都为正整数。
2. 当m 取何值时,关于x 的方程2350x x m -+=的一根大于2-且小于0,另一根大于1而小于3?
3. 已知关于x 的方程mx 2+(3m +1)x +3=0(m ≠0)。
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m 的值;
(3)在(2)的条件下,将关于x 的二次函数y = mx 2+(3m +1)x +3的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请结合这个新的图象回答:当直线y =x +b 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围。
4,已知二次函数y=x 2+2mx+2,当x >2时,y 的值随x 值的增大而增大,则实数m 的取值范
围是 .
5.若抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点,且过点A (m ,n ),B (m+6,n ),则n= .
6,设函数y =kx 2+(2k +1)x +1(k 为实数).
(1).写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中用描点法画出这两个特殊函数的图象
(2).根据所画图象,猜想出:对任意实数k ,函数的图象都具有的特征,并给予证明
(3).对任意负实数k ,当x 7,如图,一段抛物线:y =-x(x -3)(0≤x ≤3),记为C1,它与x 轴交于点O ,A1;将C1 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式. (2)点M是线段BC上的点(不与B,C重合),过M作MN∥y轴交抛物线于N,若点M的横坐标为m,请用m的代数式表示MN的长. (3)在(2)的条件下,连接NB、NC,是否存在m,使△BNC的面积最大?若存在,求m的值;若不存在,说明理由. 解答: 解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x﹣3),则: a(0+1)(0﹣3)=3,a=﹣1; ∴抛物线的解析式:y=﹣(x+1)(x﹣3)=﹣x2+2x+3. (2)设直线BC的解析式为:y=kx+b,则有: , 解得; 故直线BC的解析式:y=﹣x+3. 已知点M的横坐标为m,MN∥y,则M(m,﹣m+3)、N(m,﹣m2+2m+3); ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣(﹣m+3)=﹣m2+3m(0<m<3). (3)如图; ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN(OD+DB)=MN?OB, ∴S△BNC=(﹣m2+3m)?3=﹣(m﹣)2+(0<m<3); ∴当m=时,△BNC的面积最大,最大值为. 2.如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,已知B点坐标为(4,0). (1)求抛物线的解析式; (2)试探究△ABC的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; (3)若点M是线段BC下方的抛物线上一点,求△MBC的面积的最大值,并求出此时M点的坐标. 解答: 解:(1)将B(4,0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a﹣×4﹣2,即:a=; ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣2. (2)由(1)的函数解析式可求得:A(﹣1,0)、C(0,﹣2); ∴OA=1,OC=2,OB=4, 即:OC2=OA?OB,又:OC⊥AB, ∴△OAC∽△OCB,得:∠OCA=∠OBC; ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°, ∴△ABC为直角三角形,AB为△ABC外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为AB的中点,且坐标为:(,0). (3)已求得:B(4,0)、C(0,﹣2),可得直线BC的解析式为:y=x﹣2; 设直线l∥BC,则该直线的解析式可表示为:y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,可列方程:x+b=x2﹣x﹣2,即:x2﹣2x﹣2﹣b=0,且△=0; ∴4﹣4×(﹣2﹣b)=0,即b=﹣4; ∴直线l:y=x﹣4. 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点,有: ,解得:即M(2,﹣3). 过M点作MN⊥x轴于N, S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×(2+3)+×2×3﹣×2×4=4. 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符合条作“当x>1时,函数值y随自变量x增大而增大“的是() A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 () A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数,下列说法正确的是() A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时,的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示,下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点() A. (-3,-6) B. (-3,0) C. (-3,-5) D. (-3,-1) 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h=﹣t2+24t+1.则下列说法中正确的是() A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B(﹣1,0),则①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③b2﹣4ac<0;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数(,,是常数,)图象的一部分,与轴的交点在点 和之间,对称轴是.对于下列说法:①;②;③;④ (为实数);⑤当时,,其中正确的是() A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图1,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,且OC=3OA .点P 是抛物线上的一个动点,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点D ,连接PC . (1)求抛物线的解析式; (2)如图2,当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时,求过点P 作PF ⊥BC 于点F ,试问△PDF 的周长是否有最大值?如果有,请求出其最大值,如果没有,请说明理由. (3)当点P 在抛物线上运动时,将△CPD 沿直线CP 翻折,点D 的对应点为点Q ,试问,四边形CDPQ 是否成为菱形?如果能,请求出此时点P 的坐标,如果不能,请说明理由. 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3;(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点,使得四边形CDPQ 是菱形,此时点P 的坐标为( 73,256)或(173,﹣253). 【解析】 试题分析: (1)利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)设P (m ,﹣ 34m 2+94m+3),△PFD 的周长为L ,再利用待定系数法求直线BC 的解析式为:y=﹣ 34x+3,表示PD=﹣2334m m ,证明△PFD ∽△BOC ,根据周长比等于对应边的比得:=PED PD BOC BC 的周长的周长,代入得:L=﹣95(m ﹣2)2+365 ,求L 的最大值即可; (3)如图3,当点Q 落在y 轴上时,四边形CDPQ 是菱形,根据翻折的性质知:CD=CQ ,PQ=PD ,∠PCQ=∠PCD ,又知Q 落在y 轴上时,则CQ ∥PD ,由四边相等:CD=DP=PQ=QC ,得四边形CDPQ 是菱形,表示P (n ,﹣23n 4 +94 n+3),则D (n ,﹣34n+3),G (0,﹣34 n+3),利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论. 试题解析: (1)由OC=3OA ,有C (0,3), 将A (﹣1,0),B (4,0),C (0,3)代入y=ax 2+bx+c 中,得: 第二部分 题型研究 题型二 二次函数性质综合题 类型二 二次项系数不确定型 针对演练 1. (2013杭州)已知抛物线y 1=ax 2 +bx +c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧),与y 轴相交于点C ,且 点A 、C 在一次函数y 2=43 x +n 的图象上,线段AB 长为16,线段OC 长为8,当y 1随着x 的增大而减小时,求自变量x 的取值范围. 2. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y =mx 2-2mx -2(m ≠0)与y 轴交于点A ,其对称轴与x 轴交于点B . (1)求点A ,B 的坐标; (2)若抛物线在-2≤x ≤3的区间上的最小值为-3,求m 的值; (3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称,且该抛物线在-2<x <-1这一段位于直线l 的上方,在2<x <3这一段位于直线AB 的下方,求该抛物线的解析式. 第2题图 3. 已知二次函数y =kx 2 +(3k +2)x +2k +2. (1)若二次函数图象经过直线y =x -1与x 轴的交点,求此时抛物线的解析式; (2)点A (x 1,y 1),B(x 2,y 2)是函数图象上的两个点,若满足x 1+x 2=-3,试比较y 1和y 2的大小关系. 4. (2012杭州)在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k). (1)当k=-2时,求反比例函数的解析式; (2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围; (3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值. 考向2) 函数类型不确定型(:2015.20,2014.23,2012.18) 针对演练 1. (2012杭州)当k分别取-1,1,2时,函数y=(k-1)x2-4x+5-k都有最大值吗?请写出你的判断,并说明理由,若有,请求出最大值. 2. (2015杭州)设函数y=(x-1)[(k-1)x+(k-3)](k是常数). (1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示,请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象; (2)根据图象,写出你发现的一条结论; (3)将函数y2的图象向左平移4个单位,再向下平移2个单位,得到函数y3的图象,求函数y3的最小值. 第2题图 3. (2011杭州)设函数y=kx2+(2k+1)x+1(k为实数). (1)写出其中的两个特殊函数,使它们的图象不全是抛物线,并在同一直角坐标系中,画出这两个特殊函数的图象; (2)根据所画图象,猜想出:对任意实数k,函数的图象都具有的特征,并给予证明; 2018中考数专题二次函数 (共40题) 1.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A(﹣4,﹣4),B(0,4)两点,直线AC:y=﹣x﹣6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点,过点E作EF⊥x轴交AC于点F,交抛物线于点G. (1)求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式; (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时,求点G的坐标; (3)①在y轴上存在一点H,连接EH,HF,当点E运动到什么位置时,以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形?求出此时点E,H的坐标; ②在①的前提下,以点E为圆心,EH长为半径作圆,点M为⊙E上一动点,求AM+CM它的最小值. 2.如图,抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A,B两点,与y轴的正半轴交于点C,其顶点为D. (1)写出C,D两点的坐标(用含a的式子表示); (2)设S△BCD:S△ABD=k,求k的值; (3)当△BCD是直角三角形时,求对应抛物线的解析式. 3.如图,直线y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(﹣4,0)、B(0,3),抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C. (1)求直线y=kx+b的函数解析式; (2)若点P(x,y)是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点,设点P到直线AB的距离为d,求d关于x的函数解析式,并求d取最小值时点P的坐标; (3)若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CE+EF的最小值. 4.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与x正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1 (1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标. (2)动点M从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动,当N点到达A点时,M、N同时停止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点P,设运动的时间为t秒. ①当t为何值时,四边形OMPN为矩形. ②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由. 5.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B(5,0)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)在第二象限取一点C,作CD垂直X轴于点D,AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m的值; (3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存中考数学二次函数压轴题(含答案)
2018年中考数学真题汇编:二次函数(含答案)
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析
2018中考数学,二次函数性质综合题
2018中考数学专题二次函数
含参二次函数中绝对值问题