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三角形中位线中的常见辅助线
知识梳理
知识点一中点
一、与中点有关的概念
三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线
) 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．
中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．
直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半
斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形
二、与中点有关的辅助线
方法一：倍长中线
解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
方法二：构造中位线
解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一
解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口
其他位置的也要能看出
方法四：构造斜边中线
解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现
两个等腰三角形，从而转化线段关系。
其他位置的也要能看出
常见考点
构造三角形中位线
考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点;
② 延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．
典型例题
【例 1】已知：AD是△ ABC 的中线，AE 是△ABD的中线，且AB BD ，求证：AC 2 AE ．A
B E D C
举一反三
1. 如右下图，在ABC 中，若 B 2 C ， AD BC ，E为 BC 边的中点．求证：AB 2DE ．
A
B D E C
2. 在ABC 中， ACB 90 ， AC 1
BC ，以 BC 为底作等腰直角BCD ，E是 CD 的中点，求证：AE EB 2
且 AE BE ．
D
E
C
A B
【例 2】已知四边形 ABCD 的对角线AC BD ，E、F分别是AD、 BC 的中点，连结EF分别交 AC 、BD 于 M 、 N ，求证：∠ AMN ∠BNM ．
A
B
F E
N
M
C D
举一反三
1. 已知四边形ABCD 中， AC BD ， E、 F 分别是 AD、 BC 的中点，EF交 AC 于 M ；EF交BD于 N ， AC 和 BD 交于G点．求证：GMN GNM ．
D
E
A
N
G M
B F C
2. 已知：在ABC 中， BC AC ，动点 D 绕ABC的顶点 A 逆时针旋转，且AD BC ，连结 DC ．过AB、DC 的中点 E 、 F 作直线，直线EF 与直线 AD 、BC分别相交于点M、N．
1
）如图1
旋转到 BC 的延长线上时，点N 恰好与点F重合，取 AC 的中点H，连结HE、HF，
（，当点 D
求证：AMFBNE
（2）当点D旋转到图 2 中的位置时，AMF 与BNE 有何数量关系？请证明．
M
D
F(N) C
C
F
N D
M
A
E B A E B
【例 3】如图，在五边形ABCDE 中，ABC AED 90 ，BAC EAD ，F为 CD 的中点．求证：BF EF ．
A
B
E
C
F D
举一反三
1.如图所示，在三角形 ABC 中， D 为 AB 的中点，分别延长 CA 、 CB 到点 E、 F，使 DE=DF ．过 E、 F 分别作直线 CA 、 CB 的垂线，相交于点 P，设线段 PA、 PB 的中点分别为 M 、N ．求证：
（1） DEM ≌ FDN ；
（2）PAE PBF ．
C
A D
B
E M
N
F P
3. 已知：在
ABC 中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN， P 是边
BC
的中点．求
证： PM PN
A
M
P
B N C
4. 如图所示，已知ABD 和ACE 都是直角三角形，且ABD ACE90 ，连接
DE，设
M
为
DE的中
点．
（1）求证 MB MC ．
（2）设BAD CAE ，固定Rt ABD ，让Rt ACE 移至图示位置，此时MB MC 是否成立？请证明你的结论．
A A
E
C
E
C
M
M
D D
B B
5. 在△ABC 中， AB=AC ，分别以AB 和 AC 为斜边，向△ ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是 BC 边中点中点，连接MD 和 ME
（1）如图 1 所示，若 AB=AC ，则 MD 和 ME 的数量关系是
（2）如图 2 所示，若 AB≠AC 其他条件不变，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；
（3）在任意△ ABC 中，仍分别以AB 和 AC 为斜边，向△ ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME ，请在图 3 中补全图形，并直接判断△ MED 的形状．
A
A A
D
D E
E
C B M C
B C B M
M
图 1图2图 3
【例 4】以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD 和等腰 Rt ACE ，BAD CAE 90 . 连接DE ， M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系．
（1）如图①当ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是________；线段AM 与 DE 的数量关系
是________；
（2）将图①中的等腰Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转( 090 ) 后，如图②所示，（ 1）问中得到的
两个结论是否发生改变？并说明理由．
D D
N N
E
A E
A
B M
C BM C
图①图②
举一反三
1. 1 1
△ABC 的外角平分线，过点 A 作AD BD 、AE CE ,
垂足分别为
D 、
E ，
（）如图， BD 、 CE 分别是连接 DE ．求证：DE∥BC，DE 1
BC AC AB
2
（ 2 ）如图2， BD 、CE 分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变；
（ 3 ）如图3，BD为△ABC的内角平分线，CE为△ABC的外角平分线，其他条件不变。则在图2、图3 两种情况下，DE 、BC 还平行吗？它与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明．
A A A
D E
D E F
E D
B 图1
C
B 图 2C
B 图 3 C
2. 已知 ABC 中， ACB 90 ， AB 边上的高线CH与ABC 的两条内角平分线AM 、BN分别交于 P 、Q 两点 PM 、QN的中点分别为 E 、 F ．求证： EF ∥ AB．
A
H
N F Q
P
E
C M B
【例 5】等腰梯形ABCD 中，AB ∥ CD ，AC BD ，AC 与 BD 交于点O ，AOB 60 ，P、Q 、R 分别是OA 、BC 、 OD 的中点，求证：PQR 是正三角形．
D C
R
O
Q
P
A B
举一反三
1
1. AD是ABC 的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC 于E．求证： AE AC ．
3
A
E
F
B D C
【例 6】如左下图，在梯形ABCD 中， AB ∥ CD ，E、F分别是 AC 、BD中点．求证：EF ∥ AB ，且
EF 1 AB CD ．
2
D C
E F
A B
举一反三
2.在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图 1，已知 ABC ， ACB 90 ，ABC 45 ，分别以 AB ，BC 为边向外作ABD 和BCE ，且DA DB ，EB EC ，ADBBEC 90 ，连接 DE 交 AB 于点 F ，探究线段 DF 与 EF 的数量关系。
小慧同学的思路是：过点 D 作DG AB 于 G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解
小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，ABC 30 ， ADB BEC 60
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（ 1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系
（ 2）如图 2，若ABC 30 ，ADB BED 60 ，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的
结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；
（3）如图 3，若ADBBEC
生变化？请写出你的猜想并加以证明。
D
D
F
A
B
A
C E
图12 ABC, 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发
D
B F B
F
A
C E C E
图 2 图 3
真题演练
1. 已知：△AOB中，AB OB 2，△COD中，CD OC 3 ，∠ABO ∠DCO .连接AD、BC、，点 M 、N 、 P 分别为 AO 、 DO 、 BC 的中点.
（1）如图 1，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO 60o，则△PMN的形状是_______________
_，此时AD
________；BC
（2）如图 2，若A、O、C三点在同一直线上，且∠ABO 2，证明△PMN∽△BAO，并计算AD
的值
BC
（用含的式子表示）；
（3）在图 2 中，固定△AOB，将△COD绕点O旋转，直接写出PM 的最大值.
B A B
A
M
M
O O
N
P P
N
D
C D
C
图 1 图 2
2.如图， D 是△ ABC 中 AB 边的中点，△ BCE 和△ ACF 都是等边三角形， M、 N 分别是 CE 、CF 的中点 . （1）求证：△ DMN 是等边三角形；
（2）连接EF ，Q 是EF 中点， CP⊥ EF 于点P. 求证：DP＝DQ.
同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考：
小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；
小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如何构造出相应的三角形呢？
△NCM 绕顶点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置她考虑将.
F
N
M
E
C
A D B
3. 在△ABC 中， D 为 BC 边的中点，在三角形内部取一点P，使得∠ ABP =∠ AC P．过点 P 作 PE⊥ AB 于点E， PF ⊥ AC 于点 F．
（1）如图 1，当 AB=AC 时，判断的 DE 与 DF 的数量关系，直接写出你的结论；
（2）如图 2，当 AB AC，其它条件不变时，（ 1）中的结论是否发生改变？请说明理由．
A
A
F
E P
F E
P
B D
C B
D C
图 1图 2
4. 探究问题：已知AD、 BE 分别为△ ABC 的边 BC、 AC 上的中线，且
（1）△ ABC 为等边三角形，如图1，则 AO︰ OD =__________ ；
AD、 BE 交于点O.
（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若△ ABC 为一般三角形（如图2），⑴中的结论仍成立，请你给予证明.
（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：
如图 3，在△ ABC 中，点 E 是边 AC 的中点， AD 平分∠ BAC, AD ⊥BE 于点 F，若 AD =BE=4.
求：△ABC 的周长 .
A
A
A
E
E
E
O O F
B D C
B D
C B
D C
图 1图2图 3
5. 如图 1，在四边形 ABCD 中， AB CD ， E 、F 分别是 BC 、 AD 的中点，连结 EF 并延长，分别与
BA 、CD 的延长线交于点 M 、 N ，则 BME
CNE （不需证明）．
（温馨提示：在图
1 中，连结 BD ，取 BD 的中点 H ，连结 HE 、 HF ，根据三角形中位线定理，证明
HE HF ，从而 1 2 ，再利用平行线性质，可证得 BME CNE ．）
问题一：如图 2，在四边形 ADBC 中， AB 与 CD 相交于点 O ， AB CD ， E 、F 分别是 BC 、AD 的中
点，连结 EF ，分别交 DC 、AB 于点 M 、N ，判断 △OMN 的形状，请直接写出结论．
问题二： 如图 3，在 △ ABC 中， AC
AB ， D 点在 AC 上， AB CD ， E 、 F 分别是 BC 、AD 的中点，
连结 EF 并延长，与 BA
的延长线交于点 G ，若 EFC 60° GD ，判断 △ AGD
的形状并证明．
，连结
M
N A
A F
G
D
D A
F
O
H
M
N
E
F
D
B
E
CB
C B
E
C
图 1
图 2
图 3
6. 我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2:1 ．请你用此性质解决下面的问题.
已知：如图，点 O 为等腰直角三角形 ABC 的重心，CAB 90 ，直线m ,
过点 O 过 A、B、C 三点分别作直
线 m 的垂线，垂足分别为点D、E、F .
（1）当直线 m 与BC平行时（如图 1），请你猜想线段BE、CF 和 AD 三者之间的数量关系并证明；
（2）当直线 m 绕点O旋转到与BC不平行时，分别探究在图 2、图 3 这两种情况下，上述结论是否还成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段 AD、 BE、CF 三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需
证明．
A A A
m
F m
F
E F m D
D
O D E O O
B C B C
B C
图1 E 图3
图 2
7. 以平面上一点O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作VAOB 和 VCOD ，其中
ABO DCO 30
（ 1）点E、F、M 分别是 AC 、 CD 、 DB 的中点，连接FM 、 EM ．
（2
）
①
如图
1
，当点 D 、 C 分别在 AO 、 BO 的延长线上时，FM =_______ ；
EM
②如图 2，将图 1 中的VAOB绕点O沿顺时针方向旋转角（ 0o 60o），其
他条件不变，判断
FM 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；
EM
（ 3）如图3，若BO 3 3 ，点N 在线段 OD 上，且 NO 2 ．点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将 VAOB 绕点 O 旋转的过程中，线段PN 长度的最小值为_______，最大值为 _______．
《三角形的中位线》教学设计
《三角形的中位线》教学设计 [设计思路] （一）教材分析 本课时在教学中注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线性质，不但能指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且还为证明线段之间的位置关系和数量关系提供了新的思路。 （二）学情分析 针对本班学生基础知识不够扎实，新知识接受能力不强，数学思想方法运用不够灵活的现状,本节课着眼于基础，注重能力的培养，积极引导学生首先通过实际操作获得结论，然后借助于平行四边形的有关知识进行探索和证明。在此过程中注重知识渗透转化、类比、归纳的数学思想方法，使学生能充分参与到教学过程中去，从而提高本节课的教学效果。 （三）教学目标 1.知识目标 （1）理解三角形中位线的概念。 （2）掌握三角形中位线的性质。 （3）会运用性质进行论证和计算。 2.能力目标
通过性质证明，培养学生思维的广阔性，渗透对比转化的思想。 3.情感目标 通过学生动手操作、观察、实验、推理、猜想、论证等过程，让学生体验知识的发生和发展过程，培养学生的创新意识。 （四）教学重点与难点 教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线的性质. 教学难点：三角形中位线性质的证明。 （五）教学方法与学法指导 对于三角形中位线定义的引入采用类比法，在此基础上，教师引导学生通过探索、猜测等自主探究的方法先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，而对于定理的证明过程，则运用多媒体的优势，给予演示增强直观性，使学生易于理解和接受。 （六）教具和学具的准备 教具：多媒体、刻度尺、教学三角板。 学具：三角板、刻度尺。 [教学过程] 一、引入 谈话：同学们好，今天这节课我将与大家一起来学习三角形中位线的概念与性质。 二、新授 （1）对照图片，回顾三角形中线的概念及 特点：
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明 以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师 一、 三角形中位线定理的几种证明方法 法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则 ，有AD FC ，所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边 形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1． 法2： 如图所示，过C 作 交DE 的延长线于F ，则 ， 有FC AD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。 因为 ，所以DE BC 2 1． 法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形 ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD ，那么四边形BCFD 为平 行四边形，DF BC 。因为 ，所以DE BC 2 1．
法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ???，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DE BC 21。 法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线． 二、教学说明 1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维” 在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？ A C 图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗? C 图⑵： 说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜. 2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
八年级数学鲁教版三角形的中位线1教学设计
3. 三角形的中位线(1) 一、学生知识状况分析 本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。 二、教学任务分析 本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸”的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。 利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。 教学目标 1、认知目标 （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 （3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力． 2、能力目标 引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生 观察问题、分析问题和解决问题的能力。 3、德育目标 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4、情感目标 利用制作的Powerpoint课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，
激活学生思维。 教学重难点 【重点】：三角形中位线定理 【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的灵活应用． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情景,导入课题；第二环节：教师讲授、传授新知；第三环节：师生共析、证明定理；第四环节：灵活运用、自我检测；第五环节：回顾小结、共同提升；第六环节：分层作业，拓展延伸；第七环节：课后反思。 第一环节：创设情景，导入课题 １．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？ 操作：（1）剪一个三角形，记为△ABC （2）分别取AB,AC中点D,E，连接DE （3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ABC绕点E旋转180°，得四边形BCFD. 2、思考：四边形ABCD是平行四边形吗？ 3、探索新结论：若四边形ABCD是平行四边形，那么DE与BC有什么位 置和数量关系呢？
新人教版八年级数学下册学案：三角形的中位线导学案
第十八章 平行四边形 . . . ∠ADC DE. . 1 .2 DE BC DE BC 求证：∥，
分析： 证法 1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是 ________________， ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ． ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 要点归纳：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 符号语言：△ABC 中，若D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， 12 =. DE BC DE BC 则， 重要结论：①中位线DE 、EF 、DF 把△ABC 分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和BDEF ，四边形BFED 和CFDE ，四边形ADFE 和DFCE. ②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
三角形中位线定理 知识讲解
三角形中位线定理 【学习目标】 1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理． 2. 掌握中点四边形的形成规律. 【要点梳理】 要点一、三角形的中位线 1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. 要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个 小三角形的周长为原三角形周长的1 2 ，每个小三角形的面积为原三角形 面积的1 4 . （3）三角形的中位线不同于三角形的中线. 要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 【典型例题】 类型一、三角形的中位线 1、（优质试题?北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：BM=MN； （2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长． 【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．
三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见 辅助线 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出
C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证： 2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证： 2AB DE =．
鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题1(附答案)
鲁教版2020八年级数学上册5.3三角形的中位线培优练习题1（附答案）一．选择题（共10小题） 1．将一个面积为4的正方形按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线（中位线）剪去上方的小三角形，将剩下部分展开所得图形的面积是（） A．B．1C．2D．3 2．如图所示，有一张一个角为60°的直角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是（） A．邻边不等的矩形B．等腰梯形 C．有一个角是锐角的菱形D．正方形 3．如图，DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则S△DMN：S四边形ANME等于（） A．1：5B．1：4C．2：5D．2：7 4．如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若＝6，则△ABC的边长为（） A．B．C．D．1 5．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（） A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5 C．＜MN＜D．＜MN≤
6．（体验探究题）下列说法正确的是（） ①顺次连接四边形的中点，所围成的四边形是平行四边形 ②顺次连接矩形四条边的中点，所围成的四边形是菱形 ③顺次连接梯形四边的中点，所围成的四边形是矩形 ④顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所围成的四边形是矩形 A．1个B．2个C．3个D．4个 7．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，点D是AB上一动点，作DE∥AC，且DE＝2，连结BE、CD，P、Q分别是BE、DC的中点，连结PQ，则PQ长为（） A．6B．2C．D．6.5 8．如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB＝AC≠BC，那么△DEF为（） A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．等腰三角形D．不等边三角形 9．如图，在△ABC中，BD、CE是角平分线，AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N．△ABC 的周长为30，BC＝12．则MN的长是（） A．15B．9C．6D．3
三角形的中位线教学设计
三角形的中位线教学设计 宣汉县第二中学徐霞 一、教材分析 《三角形的中位线》是北师大版九年级（上）第三章《证明三》的第一节，平行四边形的第3课时的教学内容，教材安排一个学时完成。本节教材是在学生学完了三角形、四边形内容之后,作为三角形和四边形知识的应用和深化所引出的一个重要性质定理，它揭示了线与线之间的位置关系，线段与线段间的数量关系，对进一步学习非常有用，尤其是在证明两直线平行和论证线段倍分关系时常常要用到.由于在本章最后要探索特殊平行四边形的中点四边形，为了知识的连贯性和探索的完整性我将本节中探索一般四边形的中点四边形的形状调整到探索特殊平行四边形的中点四边形一起完成。 二、学情分析 本章从内容上讲是《证明一》和《证明二》的继续，初三的学生对于推理证明的基本要求、基本步骤和方法已经初步掌握。对于本节课三角形中位线定义的理解及完成大部分练习也不是难事，但在本节学习中学生容易出现以下问题：一是如何证明线段的倍分问题；二是应用中位线性质定理时怎样添加辅助线的问题. 三、教学目标 1.理解三角形中位线的概念，会证明三角形的中位线定理，能应用三角形中位线定理解决相关的问题； 2.进一步经历“探索—猜想—证明”的过程，发展探究能力、推理论证的能力；培养数学应用意识 3.在命题的证明过程中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力； 4.在定理的证明和应用过程中体归纳、类比、转化等数学思想方法。 四、教学重难点 重点：三角形中位线性质定理证明及应用 难点：用添加辅助线的方法来推证三角形中位线定理,了解证明线段倍分关系问题的基本要领. 五、教学准备：教师准备多媒体课件，三角板. 六、教学过程 （一）创设情境，导入新课 1.多媒体展示右图，观察思考：
人教版初二数学下册平行四边形判定(3)中位线定理
平行四边形判定（3）—三角形中位线 一、学生知识状况分析本节课是在学生学习了全等三角形、平行四边形的性质与判定的基础上学习三角形中位线的概念和性质。三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四种重要线段。三角形中位线定理为证明直线的平行和线段的倍分关系提供了新的方法和依据，也是后续研究梯形中位线的基础。三角形中位线定理所显示的特点既有线段的位置关系又有线段的数量关系，因此对实际问题可进行定性和定量的描述，在生活中有着广泛的应用。 二、教学任务分析本节课以“问题情境——建立模型——巩固训练——拓展延伸” 的模式展开，引导学生从已有的知识和生活经验出发，提出问题与学生共同探索、讨论解决问题的方法，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而更好地理解数学知识的意义。 利用制作的多媒体课件，让学生通过课件进行探究活动，使他们直观、具体、形象地感知知识，进而达到化解难点、突破重点的目的。 教学目标 1、认知目标 （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同。 （2）理解三角形中位线定理，并能运用它进行有关的论证和计算。 （3）通过对问题的探索及进一步变式，培养学生逆向思维及分解构造基本图形解决较复杂问题的能力． 2、能力目标 引导学生通过观察、实验、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和 解决问题的能力。 3、德育目标 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4、情感目标 利用制作的Powerpoint 课件，创设问题情景，激发学生的热情和兴趣，激活学生思维。 教学重难点 重点】：三角形中位线定理 【难点】：难点是证明三角形中位线性质定理时辅助线的添法和性质的录活应用.
鲁教版-数学-八年级上册-5.3 三角形的中位线 教案
三角形的中位线 教学目标： 1.理解三角形中位线的概念，掌握它的性质． 2.能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算． 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力． 4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法． 重点、难点 1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质． 2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）． 3．难点的突破方法： （1）本教材三角形中位线的内容是由一道例题从而引出其概念和性质的，新教材与老教材在这个知识的讲解顺序安排上是不同的，它这种安排是要降低难度，但由于学生在前面的学习中，添加辅助线的练习很少，因此无论讲解顺序怎么安排，证明三角形中位线的性质时，题中辅助线的添加都是一大难点，因此教师一定要重点分析辅助线的作法的思考过程．让学生理解：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可添加辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的对边平行且相等来证明结论成立的思路与方法． （2）强调三角形的中位线与中线的区别： 中位线：中点与中点的连线； 中线：顶点与对边中点的连线． （3）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚： 特点：在同一个题设下，有两个结论．一个结论表明位置关系，另一个结论表明数量关系；条件（题设）：连接两边中点得到中位线； 结论：有两个，一个表明中位线与第三边的位置关系，另一个表明中位线与第三边的数量关系（在应用时，可根据需要选用其中的结论）； 作用：在已知两边中点的条件下，证明线段的平行关系及线段的倍分关系． （4）可通过题组练习，让学生掌握其性质． 三、例题的意图分析 例1是三角形中位线性质的证明题，一是要练习巩固平行四边形的性质与判定，二是为了降
(完整版)人教版八年级下三角形中位线定理
知识点回顾（笔记） 证一证 如图，在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 边的中点. 1 .2 DE BC DE BC =求证：∥， 证法1：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接AF 、CF 、DC ． ∵AE=EC ，DE=EF ， ∴四边形ADCF 是_______________． ∴CF ∥AD ,CF=AD ， ∴CF_____BD ,CF_____BD ， ∴四边形BCFD 是____________ ∴DF_____BC ,DF_______BC ， 12 DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC. 证法2：证明：延长DE 到F ，使EF=DE ．连接FC ． ∵∠AED=∠CEF ，AE=CE ， ∴△ADE_____△CFE ．（全等） ∴∠ADE=∠_____,AD=_______, ∴CF______AD,∴BD______CF. ∴四边形BCFD 是___________________. ∴DF_______BC. 12DE DF =又∵， ∴DE_____BC ,DE=______BC.
类型1 三角形中位线的定理及运用 例1如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长. 例2 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 类型2中位线辅助线的构造 例3如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 例4. 如图，在△ABC中，AB=AC，CD是AB边上的中线，延长AB到点E，使BE=AB，连接CE．求 证：CD= CE。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线济宁附中李涛 1.定义 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图：DE是△ABC的中位线。 符号语言 说明：（1）一个三角形有3条中位线 （2）定义有双重性：即是性质，也是判定 （3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角 形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段． 2.三角形中位线性质定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言：（重点，书上记了） 说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。 （2）常用辅助线：见中点，构造中位线。 （3）分离基本图形：全等，平行四边形 证明（转化思想，常用辅助线） 证明1： 如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF.-------（中线加倍，构造全等） ∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC ∴△ADE ≌△CFE（SAS） ∴AD=FC ∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又∵AD=DB ∴BD∥CF，BD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形
∴DE∥BC 且DE=1/2BC 证明2： 如图，延长DE 到F，使EF=DE ，连结CF、DC、AF ∵AE=CE DE=EF ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴AD∥CF,AD=CF ∵AD=BD ∴BD∥CF,BD=CF ∴四边形BCFD为平行四边形 ∴BC∥DF,BC=DF ∴DE∥BC 且DE=1/2BC 中位线的应用： （1）中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次 连接起来的一个新三角形. 性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三 边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等（2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 （2）中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。 中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是 平行四边形。 证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线） ∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点 ∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线 ∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD ∴EH平行等于GF ∴EFGH是平行四边形
初中数学《三角形的中位线》教学案
《3.6三角形的中位线》教学案
1、如图1：在△ABC 中，DE 是中位线 （1）若∠ADE=60°，则∠B= 度，为什么？ （2）若BC=8cm ，则DE= cm ，为什么？ 2、如图2：在△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边中点，AB=6cm ，AC=8cm ，BC=10cm ，则△DEF 的周长= cm 3、如图，A 、B 两地被建筑物阻隔，为测量A 、B 两地间的距离，在地面上 选一点C ，连接CA 、CB ，分别取CA 、CB 的中点D 、E 。 ①若DE 的长为36cm ，求AB 两地间的距离 ②如果D 、E 两地间还有阻隔，你有什么解决办法？ 四、例题运用，形成能力 下面我们通过习题尝试运用三角形的中位线性质。 例题： 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，四边形EFGH 是平行四边形吗？为什么？ 提问：你是如何思考这个问题的？ 变式训练： 变式1：如果这个条件不变，改变结论：如EG 与FH 的关系等。 变式2：四边形ABCD 是平行四边形呢？ 变式3：四边形ABCD 是矩形呢？ 变式4：四边形ABCD 是菱形呢？ 五、小结反思，巩固提高 1． 你是如何发现三角形的中位线及 学生练习，教师巡回指导，特别是关注后进的学生，帮助他们解决学习上的困难。 鼓励学生回答： 可利用： ①一组对边平行且相等； ②两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形 学生口答从①定义，②图形，③性质几方面比较回答。 学生先自主思考练习， 然后再小组讨论，交流思考问题的体会 角形的高与中位线的关系，做下铺垫. 通过直观的观察让学生得到三角形中位线的性质，培养学生对客观世界的直观认识，培养学生的猜测、归纳能力。 用推理的方法对三角形的中位线的性质进行验证。培养学生严密的数学态度，也发展学生有条理地思考和表达能力。 适时的练习有助于学生 巩固知识，运用知识。 H G F E D C B A
三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见?CAL?FENGHAL?(YI
三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合） 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半. 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于列一边的直线必平分第三边. 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段, 方法二J 构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取列一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形 中位线的目的。 从而达到将条件进行转化的目的。
方法三：构造三线台 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现 两个等腰三角形.从而转化线段关系。 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直 角三角形斜边中点或其他线段中点； ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的0 "题中有中点，莫忘中位线与此很柑近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延"，这两个是常用几何思 想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来-平移也有类似作用. 集他位置的也要能看出 其他位苣的也要能看出
2020-2021学年最新鲁教版五四制八年级数学上册《三角形的中位线》教学设计-评奖教案
三角形的中位线教学设计 教学目标： 1．能证明三角形中位线定理，能利用三角形中位线定理进行简单的证明． 2．逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力． 3．经历对合情推理得到的结论的正确性的证明过程，感受探索活动中所体现的转化、类比的思想方法． 4．不断感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理都是人们正确认识事物的重要途径．教学重点：掌握三角形中位线定理及其应用． 教学难点：：三角形中位线定理探索与证明． 教学方法：为使学生更好地构建新的认知体系，我采用的教法和学法是： 1.“动”——学生动口说，动手操做，动脑想，经历知识发生发展的过程． 2.“探”——引导学生自主学习、探索交流，突出重点、突破难点． 3.“渗”——在整个教学过程中，渗透用转化和特殊到一般的数学思想． 教具准备： 教师：计算机多媒体、PPT课件、几何画板课件． 学生课前准备：彩纸卡纸做成的任意三角形、剪刀 教学过程： 一、创设问题情境——认识三角形的中位线（9分钟） 由单元导入，让学生对本节知识在本章中的地位有所了解．
问题1：给你一个任意的三角形，能否只剪一下，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形?请小组合作探究．（课前准备的彩色卡纸做的三角形） 问题2：尝试说明所拼成的图形，为什么是平行四边形？ 学生动手操作，让完成拼图的学生到前面交流展示． 目的：在操作的过程，自然生成“三角形的中位线”的概念． 设计意图： 剪纸游戏的设计一是让学生对三角形的中位线有一个直观的认识，感受到数学就在身边，增强进一步探究的信心；二是通过剪切与拼接的过程，向学生渗透转化的思想方法，为后续的证明做准备． 第二环节：几何画板动画演示剪拼的过程．（2分钟） 目的：再次感受拼图中的剪痕，准备认识三角形的中位线． 设计意图： 让没有完成拼图的学生直观地看到剪拼的过程，同时改变三角形的形状，让学生清楚地看到所有的三角形都可以这样剪拼得到平行四边形，为后面的三角形中位线定理的证明埋下伏笔．第三环节：掌握三角形的中位线定义及与中线的相同点和不同点（3分钟） 教师点题：刚才我们的剪纸是沿着两边的中点得到的线段剪下的，这条线段就是三角形的中位线．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 问题1：根据定义，你认为一个三角形会有几条中位线？另外两条怎么画？（图1） 问题2：图2中的线段AD是三角形的中位线吗？为什么不是？它是我们以前学过的什么线？ 问题3：三角形的中位线与三角形的中线有什么相同点和不同点？ 设计意图： 问题1，测评学生是否掌握了三角形中位线的定义，同时为后面的第3问做准备． 问题2，测评学生是否明确了三角形的中位线的定义，同时为第3问中的不同点的答案做了铺垫． 问题3，再次测评学生是否掌握了三角形中位线的定义，同时让学生明确区分中位线与中线．
《三角形的中位线定理》教学设计 (表格版)
《三角形的中位线定理》教学设计 【教学目标】 1.知识与技能目标： （1）知道三角形中位线的概念，明确三角形中位线与中线的不同； （2）理解三角形中位线定理，并能运用它解决有关问题。 2.能力与过程目标： 借助动手操作及动画变换等形式的直观演示，引导学生通过观察、实验、猜测、联想来发现三角形中位线的性质，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力。经历探索三角形中位线定理的过程，发展合情推理能力，掌握三角形中位线定理； 3.德育目标： 对学生进行事物之间相互转化的辩证的观点的教育。 4.情感目标： 利用多媒体课件，创设问题情境，激发学生的学习热情和兴趣，激活学生的思维。 【教学重点与难点分析】 1、教学重点：掌握和运用三角形中位线性质； 2、教学难点：三角形中位线定理的证明及应用。 【教学方法】 对于三角形中位线的引入采用发现法，在教师的指导下，学生通过观察、探索、猜测、联想等自主探究的方法先获得结论，再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学方法的渗透，提倡证明方法的多样性。课堂教学中，始终以“教师为主导，学生为主体、探究为主线”的教学思想，充分发挥主体地位的作用。 【教学用具】 教师：三角尺、剪刀、三角形纸片、计算机多媒体课件 学生：基本学具、导学案 【设计理念】 本节课我设计故事和问题情境导入，以学案导学，变静态、封闭型课堂为动态、开放性的知识互动交流和探究。借助动手操作演示，配合PowerPoint、几何画板等多媒体手段的动态辅助演示，用以突出教学重点，突破教学难点。力求遵循学生学习数学的认知规律，注意让学生经历知识的生成和发展过程，通过悬而未决的问题、简单的操作活动引起学生的注意，培养其分析问题、解决问题的能力，让学生在学习过程中不断构建各种数学模型，总结数学思想和规律，以便更好地运用所学的知识、方法去解决问题，真正体现“以学生为本”的理念。教学过程中选用的习题练习又易到难，梯度递升，贯穿了转化、一题多解、方程、倍分等数学思想和方法，融知识生成与解决途径于其中，体现了新课标的思想内涵。
三角形的中位线及定理
《§18.1.2 平行四边形的判定(3)----三角形的中位线及定理》 教学设计 新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜州阿合奇县同心中学 王全才 课题：§18.1.2 平行四边形的判定----三角形的中位线及定理 一、教材版本：义务教育教科书人民教育出版社出版八年级（下册）第18章p47—49页，§18.1 平行四边形中§18.1.2 平行四边形的 判定中的第3课时的内容。 二、教材分析： 三角形中位线是继三角形的角平分线、中线、高线后的第四条 重要线段，是三角形、平行四边形知识的进一步应用和深化.采用由 特殊的点——“中点”入手来研究，显示了其独到之处. 三角形中位 线定理的证明更是与三角形的全等紧密相连，作为一种暗线贯穿于整 个的平行四边形的知识中。三角形中位线定理为解决直线平行和线段 的倍分关系，提供了新的依据，拓宽了学生的证题思路.三角形中位 线定理的证明和应用，对于培养学生的合情推理能力、发散思维能力 以及探索、体验数学思维规律和用数学知识解决实际问题的能力方面 起着重要的作用，因此地位非常重要. 三、教学目标： 1、理解三角形中位线的概念和三角形中位线定理，掌握它的性质，几何语言的表述，会用三角形中位线定理进行有关的论证和计算。 2、经历三角形中位线的概念和定理的探索、得出过程，培养学生
观察、分析、探索知识的能力及归纳总结能力。 3、通过学生亲自参与定理的发现和证明，培养学生的参与、探索的意识，激发学生的学习兴趣，获得成功的体验。 四、教学重点： （1）三角形中位线的性质的探究与证明方法； （2）三角形中位线的性质的应用． 五、教学难点： （1）猜想结论，实践探究，动手操作的效果与意义； （2）证明三角形中位线的性质的思维拓展与前后知识的贯穿联系，几何辅助线的添加画法。 六、难点的突破： （1）实践性的用动手剪，拼，度量以达验证； （2）证明思维中的拓展以联系平行四边形性的探讨方法，一题多解。 七、教学用具：多媒体、三角尺、学生作的三角形、学生用剪刀、彩 色粉笔。 八、教学方法：猜想法、动手演示实验法、类比法、归纳法、应用举 例法、自主探究有机结合。 教学过程： （一）引入： [问题1]1、什么是三角形的中线？一个三角形有几条中线？ 动手画一画（让学生边画边回忆，同时为引入新知铺垫，通过
人教版八年级数学下册三角形中位线教学设计
人教版义务教育课程标准教科书八年级下册 18.1.2《平行四边形的判定》（三）教学设计 一、教材分析 1、地位作用：本课时所要探究的三角形中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理是三角形的一个重要性质定理。因此，在教学中通过创设有趣的情境问题，激发学生的学习兴趣，注重新旧知识的联系，强调直观与抽象的结合，鼓励学生大胆猜想，大胆探索新颖独特的证明方法和思路，让学生充分经历“探索—发现—猜想—证明”这一过程，体会合情推理与演绎推理在获得结论的过程中发挥的作用，同时渗透归纳、类比、转化等数学思想方法。通过本节课的学习，应使学生理解三角形中位线定理不仅指出了三角形的中位线与第三边的位置关系和数量关系，而且为证明线段之间的位置关系和数量关系（倍分关系）提供了新的思路，从而提高学生分析问题、解决问题的能力。 2、教学目标： 1、探索并掌握三角形的中位线的概念、性质。 2、会利用三角形中位线的性质解决有关问题。 3、让学生交流讨论，培养学生合作学习的能力。 3、教学重、难点: 重点： 1、认识三角形的中位线，会画三角形的中位线； 2、理解三角形的中位线性质，会用中位线性质去解决相关问题。 难点：利用三角形中位线性质解决有关问题 重难点突破方法：对于三角形中位线定理的引入采用发现法，在教师的引导下，学生通过探索、猜测等自主探究的方法，先获得结论再去证明。在此过程中，注重对证明思路的启发和数学思想方法的渗透，提倡证明方法的多样性，而对于定理的证明过程，则运用多媒体演示。 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程：
猜想：DE∥BC, 你能验证你的猜想吗？证明：延长DE
(完整版)三角形中位线中的常见辅助线
三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．
19.1.2三角形的中位线(学案)
19.1.2平行四边形的判定2 班级_______________姓名________________学号_________________小组_______________ 学习目标：①理解并掌握三角形中位线的概念及性质定理②能应用中位线的性质定理解题 一、温故知新 二、探究问题 如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 边上的中点，分别连接DE 、EF 、FD ，请你猜想，此时图中有无平行四 边形？若有请列出来。 ________________________________________________ 分步探究： 1、研究DF 与BC 的关系（注：要从位置关系与数量关系两方面讨论） 猜想：①位置关系___________________________ ②数量关系___________________________ 已知：在△ABC 中，D 、F 分别是AB 、AC 边上的中点 求证：__________________________________________ 证明：延长DF 至M ，使DF=FM 连接CM ∵ D 、F 分别是AB 、AC 的中点 ∴____ = ____，____ = ____ 在△AFD 与△CFM 中 ∵ ?? ??? （像DF 这样的线就叫做三角形的中位线，具有一些特殊的性质） 2、归纳概念——三角形中位线的定义及性质定理 ⑴定义：_____________________________________________ 图示： A B C D E F A B C D F ∴△AFD ≌△CFM （ ） ∴MC = _____ = _____ ∴∠______ =∠ ______ ∴________∥_________ ∴MC ______BD ∴四边形BCMD 为平行四边形 ∴BC=DM=2DF ，BC ∥DM ∴DF _____ 12 BC A B C D F
三角形中位线定理
【学习目标】 1．知识技能 利用平行四边形的性质和判定证明出三角形的中位线定理，并会用定理进行计算或证明． 2．数学思考 通过猜想、验证、推理、交流等数学活动，发展我们的动手操作能力、合情推理能力以及应用数学能力． 3．解决问题 通过三角形中位线定理的探索过程，丰富我们从事数学活动的经验与体验，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性． 4．情感态度 （1）在观察、分析过程中发展我们主动探索、质疑和独立思考的习惯． （2）经历合作探究的过程，培养我们合作交流意识和探索精神．【学习重难点】 1．教学重点：理解和掌握三角形中位线定理，并能熟练运用． 2．教学难点：利用平行四边形的性质与判定证明三角形的中位线定理，以及复杂图形中通过作辅助线应用三角形中位线定理．课前延伸 各人准备一张三角形纸片，记作△ABC，分别取AB、AC边中点D、E，用直尺分别测量DE、BC的长，比较DE、BC的大小关系，
并猜想DE、BC之间存在怎样的数量关系．还能借助量角器测量有关角的大小，并猜想出DE、BC之间的位置关系吗？课内探究 一．上面猜想进行理论证明．已知：D、E分别平分AB、AC，求证：_______________________ 二．总结归纳．三角形的中位线定义：三角形的中位线定理：三．三角形的中位线和中线区别：三角形中位线定理的符号语言：四．随堂练习、巩固深化 1．D、E分别平分AB、AC，若BC=10cm，则DE=______；若DE= cm，则BC=______． 2．已知中，，且 cm，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则的周长是_________cm． 3．如图，内有一点P，EF是的中位线，MN是的中位线，求证：四边形MNFE是平行四边形． 4．判断任意一个四边形各边中点连接所形成四边形的形状，并证明你的结论． 已知：E、F、G、H分别为四边形ABCD中点，求证：四边形EFGH 为平行四边形． 5．实际应用： 想知道一池塘边缘宽度AB，且AB不可直接测量，怎么办？提醒：