高中数学奇偶性与单调性基础知识讲解

奇偶性与单调性

●难点磁场

(★★★★)设a >0,f (x )=x

x e a a e +是R 上的偶函数，(1)求a 的值；(2)证明： f (x )在(0，+∞)上是增函数.

●案例探究

［例1］已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2

1

)=－1,当且仅当0

xy

y

x ++1),试证明： (1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减.

命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.属★★★★题目.

知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.

错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 技巧与方法：对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定

2

11

21x x x x --的范围是

焦点.

证明：(1)由f (x )+f (y )=f (

xy y

x ++1),令x =y =0,得f (0)=0,令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (2

1x x x --)=f (0)=0.∴f (x )=－f (－x ).∴f (x )为奇函数.

(2)先证f (x )在(0，1)上单调递减.

令0

2

11

21x x x x --)

∵00,1－x 1x 2>0，∴

1

21

21x x x x -->0,

又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0

∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<

12121x x x x --<1,由题意知f (2

11

21x x x x --)<0

即f (x 2)

∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0. ∴f (x )在(－1，1)上为减函数.

［例2］设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，并在区间(－∞,0)内单调递增，f (2a 2+a +1)

2

1)1

32+-a a 的单调递减区间. 命题意图：本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法.本属于★★★★★级题目.

知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题. 错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.

技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类，掌握审题的一般技巧与方法.

解：设0

.03

2

)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又

由f (2a 2+a +1)3a 2－2a +1.解之，得0

5. ∴函数y =(

21)132+-a a 的单调减区间是［2

3，+∞］ 结合0

3

，3).

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题及解决方法主要有： (1)判断函数的奇偶性与单调性

若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.

若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.

同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一.

复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.

(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展开研究奇偶性、单调性的应用.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.(★★★★)下列函数中的奇函数是( )

A.f (x )=(x －1)x

x -+11

B.f (x )=2

|2|)

1lg(22---x x

C.f (x )=?????>+-<+)

0()

0(22x x x x x x

D.f (x )=

x

x x

x sin cos 1cos sin 1++-+

2.(★★★★★)函数f (x )=1

1112

2+++-++x x x x 的图象( )

A.关于x 轴对称

B.关于y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线x =1对称

二、填空题

3.(★★★★)函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.

4.(★★★★★)若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0

单调递增，则b 的取值范围是_________.

三、解答题

5.(★★★★)已知函数f (x )=a x +

1

2

+-x x (a >1). (1)证明：函数f (x )在(－1，+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程f (x )=0没有负数根.

6.(★★★★★)求证函数f (x )=2

23

)1(-x x 在区间(1，+∞)上是减函数.

7.(★★★★)设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足：(i)f (x 1－x 2)=

)

()(1

)()(1221x f x f x f x f -+?；

(ii)存在正常数a 使f (a )=1.求证：

(1)f (x )是奇函数.

(2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a .

8.(★★★★★)已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且

f (－

21)=0,当x >－2

1

时，f (x )>0. (1)求证：f (x )是单调递增函数；

(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.

参考答案

难点磁场

(1)解：依题意，对一切x ∈R ,有f (x )=f (－x ),即

x x x ae e a a e 1=++ae x .整理，得(a －a

1

) (e x －

x e 1)=0.因此，有a －a

1

=0,即a 2=1,又a >0,∴a =1 (2)证法一：设0＜x 1＜x 2,则f (x 1)－f (x 2)=)11)((112

11

22121--=-+

-+x x x x x x x

x e

e e e e e e 2

12

11

211)1(x x x x x x x e e e

e ++---=

由x 1>0,x 2>0,x 2>x 1,∴112--x x e >0,1－e 21x x +＜0, ∴f (x 1)－f (x 2)＜0,即f (x 1)＜f (x 2) ∴f (x )在(0,+∞)上是增函数

证法二：由f (x )=e x +e －x ，得f ′(x )=e x －e －x =e －x ·(e 2x －1).当x ∈(0,+∞)时，e －x >0,e 2x －1>0. 此时f ′(x )>0,所以f (x )在［0，+∞)上是增函数. 歼灭难点训练

一、1.解析：f (－x )=?????>+--<+-=?????<-->-)0(

)()0(

)()0( )0( 2

222x x x x x x x x x x x x =－f (x )，故f (x )为奇函数. 答案：C

2.解析：f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称. 答案：C

二、3.解析：令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减.

答案：(－∞,－1]

4.解析：∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0.f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0.又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0. 答案：(－∞,0）

三、5.证明：(1）设－1＜x 1＜x 2＜+∞,则x 2－x 1>0, 12x x a ->1且1x a >0, ∴)1(12112-=--x x x x x a a a a >0,又x 1+1>0,x 2+1>0 ∴

)

1)(1()

(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x >0, 于是f (x 2)－f (x 1)=12x x a a -+

1

2

121122+--+-x x x x >0

∴f (x )在(－1，+∞）上为递增函数.

(2）证法一：设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)=0,则12

000

+--

=x x a

x 且由0＜0x a ＜1得0＜－1

200

+-x x ＜1,即

2

1

＜x 0＜2与x 0＜0矛盾，故f (x )=0没有负数根. 证法二：设存在x 0＜0(x 0≠－1)使f (x 0)=0,若－1＜x 0＜0,则

1

2

00+-x x ＜－2,0x a ＜1,∴f (x 0)＜－1与f (x 0)=0矛盾，若x 0＜－1,则

1

2

00+-x x >0, 0x a >0，∴f (x 0)>0与f (x 0)=0矛盾，故方程f (x )=0没有负数根. 6.证明：∵x ≠0,∴f (x )=

2

2422322)11(1

)1(1)1(1x x x x x x x -=-=-, 设1＜x 1＜x 2＜+∞,则

01111,1112

12

2

2

1

2

2

>-

>-

<<

x x x x .

2

2

1

12

2

2

222

1

122

2

2)

11(1)

11(1.0)11()11(x x x x x x x x -

<

-

∴>->-

∴

∴f (x 1)>f (x 2),f (x )在(1，+∞）上是减函数.(本题也可用求导方法解决）

7.证明：(1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=

)

()(1

)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+

=－f (x 1－x 2)=－f (x ).∴f (x )是奇函数.

(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ). ∵f (x +a )=f ［x －(－a )］=

)1)((1

)(1

)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f .

).

(1

1

1

)(1)(1

1)(1

)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -

=++--+-=++-+=++=+∴ ∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)

2(1

a x f +-=f (x ),故f (x )是以4a 为周期的周期函数.

8.(1）证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－

21>－21,由题意f (x 2－x 1－2

1

)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－

2

1

)

1］>0,

－1=f［(x2－x1)－

2

∴f(x)是单调递增函数. (2)解：f(x)=2x+1.验证过程略.

内容来源于：要学习网学科资料库