相似矩阵的有关性质及其应用
相似矩阵的有关性质及其应用
作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授
摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。
关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值
Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we can
discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance.
Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector
1 相似矩阵有关定义
定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似.
定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使
),,(2,11
n diag AP P
λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值.
2 相似矩阵有关性质
a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则
ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |.
b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式.
c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应
i λ的特征向量.
d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.
e. 实对称矩阵A 的特征值都是实数,属于不同特征值的特征向量正交.
f. 若λ是实对称矩阵A 的r 重特征值,则A 对应特征值λ恰有r 个线性 无关的特征向量.
g. 任何一个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 形矩阵J 相似. h. 对n 阶方阵A ，以下三条等价: ⑴A 可对角化;
⑵A 有n 个特征值（重根按重数计），且?r （＞1）重特征值λ; ⑶A 有n 个线性无关的特征向量.
i. 对角化的基本方法有如下两种:特征值法,特征向量法.
3 相似矩阵在微分方程中的应用
许多实际问题最后都归结为求解微分方程（组）的问题.因此,如何求解微分方程（组）是个很重要的问题.下面举例说明特征值和特征向量,约当标准形在其中的应用.
3.1 将常系数线性微分方程组
?
?+++=+++=+++=.;;221122221212
12121111
n nn n n n n n n n u a u a u a dt du u a u a u a dt du u a u a u a dt du
(3-1)
写成
矩
阵
形
式
为
Au
dt
du =
(3-2)
其中u=(T n u u u ),,,21 ,n n ij a A *)(=为系数矩阵,令(3-2)式的解u=x e t λ, (3-3)
即 (T n u u u ),,,21 =T n t x x x e ),,,(21 λ.
将(3-3)式代入（3-2）得λx e t λ=A x e t λ=Ax e t λ,
化简得X AX λ=,即(3-3)式中λ为A 的特征值,X 为λ对应的特征向量;若A 可对
角化,则存在n 个线性无关的特征向量,,,,21n x x x 于是得到(3-2)式的n 个线性无关的特解.
u 1=11
1x e t λ, u 2=22
x e t λ,, u n =n t x e n
λ.
它们的线性组合 =u c 1
1
1
1x e
t λ+c
2
2
2x e
t
λ+…+c
n
n
t
x e
n λ,
(3-4)
(其中n c c c ,,,21 为任意常数)为(3-1)式的一般解,将(3-4)式改写成矩阵形式
u=),,,(21n x x x ??
??
??
?????
???t
t
t n e e e λλλ 21?????
?
??????n c c c 21, 记 c=(n c c c ,,,21 )T ,Λt e =diag (t t t n
e e e λλλ,,,2
1
) p=),,,(21n x x x ,则(3-1)式或(3-2)式有一般解
c
pe u t ?
=
(3-5) 对
于
初
值
问
题
?????==?=00
,u t u u dt du
(3-6) 解为
01
u p pe
u t -?
=
(3-7)
因为t=0代入(3-5)式得 c=01u p -. 例3.1 解线性常系数微分方程组
?????????+-=+-=+=.2;54;313
212
211
x x dt
dx x x dt dx x x dt dx
已知初始值为: .2)0(,1)0(,1)0(321=-==x x x
解 本题的初始值问题为???
??-===T
x x Ax dt dx
)2,1,1()0(0
其中 1
104501
2A ??
??
=-??????
,可得A 的约当标准形,即有可逆矩阵 P =0120
251
1
1??????
???? ,使????
?
?????==-30
130
002
1
J AP P . 由(3-7)式,该初值问题的解为
1
x P
Pe
X tJ
-=
(3-8)
其中 ,!
)(!
2)(2
++
++
+=n tJ tJ tJ I e n
tJ
(3-9)
????
?
?????=????
?
?????=-n n n n n n
n
C J 30033000230
13000211 (3-10)
将(3-10)式代入(3-9)式得 ??????
????=t t
t t tJ
e te e e e 33320
000
(3-11)
再将(3-11)式及1,-P P 代入(3-8)式得
?????
?????-+----=??????????-??????????---????????????
????
????=??????????=t t t t t t t
t
e t e e t e t e te e e t x t x t x x 32333332321)34(2)61()31(2110120251130
00
0111520210)()()( 例3.2 解线性微分方程组
1
1111221221122221122..............................n n n n n
n n nn n
dx a x a x a x dt dx a x a x a x dt
dx a x a x a x dt ?=+++??
?=+++?????=+++??
(3-12)
解 令
12n x x X x ??????=
??????
,1
2
n dx dt dx dX
dt dt dx dt
????
??
????=?
?
??
??
????
,1112121
22212
n n
n n nn a a a a
a a A a a a ??????=??????
则方程组(3-12)可表示成矩阵形式 dX A X
dt
=
(3-13)
假设A 可以相似对角化,即存在可逆矩阵P ,使得
1
12(,,,)n P
AP diag λλλ-=
其中12,,,n λλλ 为A 的全部特征值.于是令
X PY
=
(3-14)
其中12(,,,)T n Y y y y = ,将式(3-14)代入式(3-13)，得
()d P Y A P Y
dt
=
即
dY P A P Y
dt
=
(3-15)
在上式两端同时左乘1P -,得
1
12(,,)n dY P
A P Y diag Y
dt
λλλ-==
即
111222n n n
dy y dt dy y dt dy y dt
λλλ?=???=?????=??
将上式积分,得
121122,,,n t
t
t
n n y C e
y C e
y C e
λλλ===
(3-16)
其中1C ,2C , ,n C 为积分常数.将式(3-16)代入(3-15)式,可得
121122n t
t
t
n n X C P e
C P e
C P e
λλλ=+++
其中i P 为矩阵P 的第i 列,也是A 的对应于特征值i λ的特征向量,1,2,,i n = .
3.2 对于n 阶线性齐次常系数微分方程
1
1
1
1
()()
()()0
n
n n n n n d x t d
x t dx t a a a x t dt
dt
dt
---++++=
(3-17) 可令
2
1
12321
,
,
,,
n n n dx d x d
x
x x x x x dt dt
dt
--====
于是可得与方程(3-17)同解的方程组
12
2
31121n
n n n
dx x dt dx x dt dx a x a x a x dt
-?
=??
?=?
?
???=----??
(3-18)
式(3-18)可写成矩阵形式
dX A X
dt
=
(3-19) 其中
12(,,)
T
n X x x x = ,
12
(
,,,)T n dx dx dx dX dt
dt dt dt
= ,
1
10
10000001n
n A a a a -=??????????????---??
于是这类微分方程可以归纳为等价的线性微分方程组,然后再利用特征值和特征向量求解.
例3.3 求解微分方程
3
2
32
3
4
120
d x d x dx x dt
dt
dt
--+=
(3-20)
解 令
2
1232
,
,
x x dx d x x x dt
dt
===
于是(3-20)式可变成等价的方程组
12
233
123
1243dx x dt dx x dt dx x x x dt
?
=??
?
=?
?
?=-++?? 即
dX A X
dt
=
其中 123(,,)T
X x x x =,312(,,)T dx dx dx dX dt dt dt dt
=,0
1000112
4
3A ????=????-??
可求得A 的特征值为1233,2,2λλλ===-，对应的特征向量分别为
123(1,3,9),(1,2,4),(1,2,4)
T T T
X X X ===-
于是由上例知,
312112233t
t
t
X C C C X e
X e
X e
λλλ=++
32212311
1322944t
t
t C C C e e e -??????
??????=++-??????????????????
从而
3221
123t t t
C C C x x e e e -==++ 其中(1,2,3)i C i =为任意常数.
4 相似矩阵在现实生活中的应用
例4.1 污染与环境发展的增长模型——发展与环境已成为21世纪各国政府关注的重点,为了定量分析污染与工业发展间的关系，我们可提出以下的工业增长模型:
解 设x 0是某地区目前的污染水平（以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位）,y 0是目前的工业发展水平（以某种工业发展指数为测量单位）,以5年作为一个期间,第t 个期间的污染和工业发展水平分别记为x t 和y t ,它们之间的关系是：
11
11
322t t t t t t x x y y x y ----=+??
=+?t=1,2,…
(4-1)
记 A=??
??
??22
13 , ??
?
???=t t t y x α ,
则(4-1)的矩阵形式为 ,1-=t t A αα t=1,2,… (4-2)
如果已知该地区目前（亦称为基年）的污染和工业发展水平0α=[],00
T
y x 利
用(4-2)就可以预测第k 个期间该地区的污染和工业发展水平k α,这是因为由(4-2)
可得
.,,,002
1201αααααααk
k A A A A ====
这表明k α可通过k A 求得,为此考察A 能否对角化,计算出A 的特征多项式.
()f λ=|A E -λ|=
)4)(1(2
2
1
3
--=----λλλλ
由A 有2个相异的特征值1和4知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11=λ,解,0)(=-X A E 可得A 属于1的一个特征向量[].211T =ξ 对于,42=λ解,0)4(=-X A E 可得A 属于4的一个特征向量[].112T =ξ 令[],21
ξξ=P 有A=[].41
1
-P
Pdiag
[
],424
*22414*2131121131400112
114
1
1
???
?
????++-+-+=??????-????????????-==-k k k
k k k
k
P
Pdiag A
所以 k α=???
?????+++-+-++=00000)42()4*22()41()4*21(31y x y x A k
k k
k k α
(4-3)
(4-3)就是所要的预测结果,对不同的0α值代入(4-3)即可求得k α.
例如：若[]T
110=α，有[]
T
k k
k 4
4=α,(实际上此时0α就是属于4的特征向
量,所以[]
);4
4400T
k k
k k k A ===ααα若[],21
0T
=α有
[]
.4
24
13
111
T
k k k +++-+-=
α
这些都表明,尽管工业发展水平可以达到相当高的程度,但照此模式发展，环境污染不容忽视.
例 4.2 人口流动模型——假设某省城人口总数保持不变,每年有20％的农村人口流入城镇,有10％的城镇人口流入农村.试问该省城人口与农村人口的分布最终是否会趋向一个“稳定状态”？
为解答这个问题，可设该省城人口总数为m,从今年开始,第k 年该省城的城镇人口和农村人口分别设为k x ,k y ,据题意有
1111
0.90.20.10.8k k k k k k x x y y x y ----=+??
=+? 即
0.90.20.10.8A ??=?
??? k k k x y α??
=????
则 110
()k k k k A A A A αααα--====
为计算k A ,仍考察A 能否对角化.
计算出A 的特征多项式
0.9
0.2
()(1)(0.7)
0.1
0.8
f E A λλλλλλ--=-=
=----
由于A 有2个相异的特征值1和0.7知,A 能对角化,所以可用性质来计算k A . 对于11λ=解()0E A X -=可得A 属于1的一个特征向量[]121T
ξ=; 对于20.7λ=解(0.7)0E A X -=可得A 属于0.7的一个特征向量[]211T
ξ=-. 令[]12P ξξ=,有1[10.7]A Pdiag P -=,
1
1
(0.7)k
k A Pdiag P -??=??
10
21112(0.7)22*(0.7)111112330(0.7)1(0.7)
12*(0.7)k k
k k k
??+-??????==????????---+????????
利用 00x y m +=,可得
00000002(0.7)22*(0.7)131(0.7)12*(0.7)2(2)(0.7)13(2)(0.7)
k k
k
k k k k
k
x A y m x y m x y αα??+-??==????
-+??
????
+-=?
?--????
从而有
000021(2)(0.7)3311(2)(0.7)33k
k k
k x m x y y m x y ?=+-????=--??
数列{}{},k k x y 的极限为
21lim ,lim 3
3
k k k k x m y m
→∞
→∞
=
=
这表明该省城的城镇人口与农村人口的分布会趋于一个“稳定状态”:大约有
23
为城镇人口,1
3
为农村人口.
例4.3 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收的新非熟练工补齐,新老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年一月统计的熟练工和非熟
练工所占百分比分别为n x 和n y ,记成向量n n x y ??
????
(a)求n+1n+1x y ???
???与n n x y ??????的关系式,并写成矩阵形式n+1n+1x y ??????=A n n x y ??
????
; (b)验证14=1η?? ???,2-1=1η?? ?
??
,是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特
征值;
(c)当111x 2=y 12??
??
??????????
????
时，求n+1n+1x y ??????. 【思路】本题的关键在于读懂题意,写出n +1x 与n+1y ,用n x ,n y 来表达的关系式:第n 年初熟练工与非熟练工所占百分比为n x 和n y ,第n+1年初的熟练工所占的百分比n +1x 由两部分构成。第一部分是上一年的熟练工n x 中有56
保留下来,即有
n
5x 6
构成n +1x 的第一部分;第二部分是由上年补齐的n
x 6
新非熟练工和上一年
n
y 的老非熟练工中经过培训其中有25构成新的熟练工,即n n 2
x
(+y )65
组成第二
部分,这样n+1n n n 521
x =
x +
(x +y )656
.同理,第二年的非熟练工n +1y 由新老非熟练工经过培训后仍有35不合格,仍是非熟练工所组成,即n+1n n 31y =(x +y )56
,有了这个关系式,就可以进一步写成矩阵的形式,按要求计算其他的问题了.
〔解〕(a)由上述分析可得
n+1n n n n n n+1n n n n 52192
x =x +
(x +y )=x +y 656105
3113y =(x +y )=x +y 56105
?
???
???
即得
n+1n n+1n 92x x 105=y 1
3y 105??
?????????????????????
?
;
其中
92105A=1310
5??
???
???????
(b) 求A 的特征值.
9
2--110
5I-A =
=(-1)(-)3
1
2--10
5
λλλλλ,
所以 1=1λ,21=
2
λ.
当 1=1λ时,得对应的特征向量为114x ==1η?? ???
;
当 21=2
λ时,得对应的特征向量为22-1x ==1η??
???
.
(c) n +1n +1x y ??????=A n n x y ??????=2A n-1n-1x y ??????=…=n
A
11x y ??
????
. 欲求n A ,先把相似对角化,由1-12100P AP=1002λλ??????=??????
??,得1
10102A P P -??
??=????
,而 4
111P -??=?
???,1
111145P -??=??-??
.
所以
1110101100()22104111111
11450()2114()44*()1221151()14*()22n
n n n n n n n A P P P P
--????
????==????????
??-???
?
??=????
??-????
??
?
?+-??=??
?
?-+????
因此
n +1n +1x y ??????=1183*()122111023*()22n n
n A ???
?-????==????????
+????????
本题是用特征值、特征向量解决实际问题的一个典型例题.解决此类问题的关键把所求用向量形式表示,并用矩阵表示它们之间的关系，得到用来推导向量
1n α+与n α之间的一个矩阵乘积表述式;如例中的(a)问，进一步用矩阵的特征值、
特征向量把其相似对角化,求其n 次方幂,而得到相关的结果,如例中的(b),(c)问。
应用问题往往题字比较长,要准确弄懂题意须多读几遍题目，然后根据题目要求,设定数学符号,建立数学模型,本题的(a),(b)问实际上是给了建立此数学模型的提示步骤.
参考文献
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伴随矩阵的性质知识讲解
伴随矩阵的性质
编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日
目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日
伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .
2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2- 矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质： ~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系 华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日 摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研 究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector 开题报告 数学与应用数学 浅谈伴随矩阵的性质及其应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义 矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵 的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了 1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)； Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1 a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X 伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。 则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4 -3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反 伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A . 例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A . 1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得 伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出 编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日 伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质 性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么 矩阵的伴随矩阵的性质 数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜 摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用. 关键词:伴随矩阵;矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质 中图分类号：O151.21 The properties of Adjoint Matrix Abstract:The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjoint matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out. Key words:adjoint matrix；the rank of the matrix；inverse matrix；property 目录 1 前言 (1) 2 伴随矩阵的定义 0 3 伴随矩阵的性质 0 3.1 伴随矩阵的基本性质 0 3.2 伴随矩阵秩的性质 (3) 3.3 伴随矩阵特征值的性质 (4) 3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 (4) 4 伴随矩阵的性质的简单应用 (7) 结束语 (8) 参考文献 (9) 致谢 (9) 矩阵T αβ的若干性质及其在考研数学中的应用 设向量βα，均为n 维非零列向量，记T αβA =。通过对历年考研试题的研究发现，线性代数部分比较重视对矩阵A 性质的考查，而课本和相关考研辅导书对这些性质没有做系统的研究，从而导致考研学生在遇到相关题目时不知所措。本文将研究矩阵A 的性质，并借助考研数学真题来说明这些性质的应用，进而强调掌握好这些性质的重要性。 1 矩阵），（00≠≠=βααβA T 的性质 性质1 矩阵），（00≠≠=βααβA T 的秩为1。 证明：令()0αT ≠=n a a a ,,,21 ，()0βT ≠=n b b b ,,,21 ，不妨设0≠i a ，则 ????????? ???????→????????????????→????????????????=00000021212112111212112111 n n n n n n n n n n n n i i i n b b b b a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ????????????? ???→00 000000021 n b b b ，于是A 的秩为1。 性质2 A αβA n 1T )(-=n 。注意，αβT 就是A 的迹。 该性质利用矩阵乘法的结合律即可证明。由于秩为1的矩阵总可以表示为矩阵A 的形式[1] ，因此上述性质也可推广到以下结论： 推论1 秩为1的矩阵的n 次方等于该矩阵迹的n —1次方乘以这个矩阵本身。 性质3 当0≠=βα即T ααA =时，A 的全部特征值分别为0002，，，， α，其中唯一非零特征值对应的线性无关的特征向量为α。 证明：因为矩阵A 是实对称矩阵，所以它一定相似于一个对角阵 ????????????=n 21λλλ Λ 其中n λλ,,1 为A 的n 个特征值。由性质1，1)(=A r ，又因为相似矩阵有相同的秩，故 第一讲 矩阵运算性质及其应用 矩阵是数学中的一个重要容，它是继数值这个运算对象之后，人们研究的又一个新的运算对象，也是处理线性模型的重要工具.矩阵的运算，到目前为止，人们已经研究了几十上百种.在这一讲中，我们复习学习过的其中10种，包括加法、减法、数乘、乘法、乘方、转置、共轭、行列式、伴随和求逆.学习矩阵运算，重点有两方面：运算的条件和性质.而运算需要的条件和数值运算是大不相同的. 一 矩阵的概念及其运算方法 首先，我们复习矩阵的概念及其运算方法. 定义1 由m n ?个数字ij a （1,2,,i m =L ，1,2,,j n =L ）排成的m 行n 列的数表，称为一个 m 行n 列矩阵，简称为m n ?型矩阵.通常用圆括号或方括号括起来表示矩阵数表是一个整体，并 用大写字母表示，即 1112121 22 212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M O M L 位于矩阵A 的第i 行第j 列的数字ij a ，称为A 的(,)i j 元素，简称(,)i j 元.以ij a 为(,)i j 元的矩阵可简记作()ij a .m n ?型矩阵A 也记作m n A ?或m n A ?.m n =时，n n ?型矩阵A 也称为n 阶矩阵，记作n A . 两个矩阵的行数相等，列数也相同时，称为同型矩阵.两个矩阵A 与B 是同型矩阵，且它们的对应位置上的数字元素都相等，就称这两个矩阵A 与B 相等，记作A B =. 有一些矩阵的元素分布比较特殊，我们用专门规定的记号来表示，如 零矩阵O ，它的元素全为0.要注意，不同型的零矩阵是不同的. 单位矩阵E （也记作I ），它是对角线元素都为1，其余元素都为0的方阵. 对角矩阵()1 2 12diag ,,,=n n λλλλλλ?? ? ?Λ= ? ?? ? L O （与行列式中一样，不写出的元素就是0）. 下面，我们来复习矩阵的10个运算方法. 定义2 设两个矩阵()ij m n A a ?=和()ij s t B b ?=， ①A 与B 能相加、减的条件是：A 与B 同型，即m s =且n t =. ②A 与B 相加的和记作A B +，A 与B 相减的差记作A B -. 运算方法规定为 中山大学 本科毕业论文（设计） （2016届） 题目：伴随矩阵及其应用 姓名： 学号： 学院：数学学院 专业： 指导老师： 申请学位： 摘要 伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A 的伴随矩阵A* 的性质也是非常重要的. 在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例. 关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值 I Abstract Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix A with the nature of the matrix A is also very important. In the current teaching of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples. Key words:adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue. II 幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。 伴随矩阵的性质及其应用 摘要： 伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。 关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质 1、 伴随矩阵的定义 定义 1.设ij A 是矩阵A =??? ???? ?????????nn n n n n a a a a a a a a a 2 122221 11211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵 A *=??? ???? ? ????????nn n n n n A A A A A A A A A 2 1 22221112 11 称为A 的伴随矩阵。 定义2.设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵，记为B=1-A 。 *注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。 2、伴随矩阵的性质 性质1.设A 为n 阶方阵，AA * =A *A=A E .矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
相似矩阵的性质及应用
浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
伴随矩阵
伴随矩阵的若干性质及应用
矩阵相似的性质
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伴随矩阵的性质
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一类矩阵的若干性质及其在考研数学中的应用(原创)
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