矩阵相似的性质
1 矩阵的相似
1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件
3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）
矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似
定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质
（1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=.
（2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。
（3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=，
C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =；
引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵，
那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）
证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩
（B ）=秩（1
B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ）
（2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即
11()()P AP B P f A P f B --=?=
证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1
110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1
110()n n n n f B a B a B a B a E --=++
+
由于A 相似于B ，则k
A 相似与k
B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
1k k B X A X -=，
因此 ()()111110n n n n X f A X X a A a A a A a E X ----=++
+
111
1110n n n n a X A X a X A X a X AX a E -----=++
++
1
110n n n n a B a B a B a E --=++
+
()f B = 所以()f A 相似于()f B 。
（3）相似矩阵有相同的行列式，即,A B trA trB ==；
证明：设A B 与相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=，两边取行列式
得：111B C AC C A C A C C A ---====，从而相似矩阵有相同的行列式。
又由性质（2）知，A B 与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值12,,,n λλλ，而
A 的迹12n trA λλλ=++
+，B 的迹12n trB λλλ=+++，从而trA trB =，即相似
矩阵有相同的迹
（4）A 与B 有相同的Jordan 标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。
证明：设A B 与相似，由性质2可知A B =，若A 可逆，即0A ≠，从而0B ≠，故B
可逆；若A 不可逆，即=0A ，从而=0B ,故B 不可逆。 （6）若A 与B 相似，B D 与相似，则0000A B C D ????
? ?????
与相似。
证明：A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ,使得1
B P AP -=,
C
D 与相似，即存在可逆矩阵Q ,
使得1
D Q CQ -=，由于110000=0000B A P P D C Q Q --????????
? ? ??????
????? 1
000=000P A P Q C Q -?????? ? ?????????
显然00P Q ??
???
是可逆矩阵。由此可见，则0000A B C D ????
? ?????与相似。
定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。
证明：先证前一部分。设线性空间V 中线性变换A 在两组基：
12,,,n εεε （1） 12,,.,n ηηη（2）
下的矩阵分别为A 和B ,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X ，则：
1212(,,,)(,,.,)n n A A A A εεεεεε=， 1212(,,,)(,,
,)n n A A A B ηηηηηη=
1212(,,
,)(,,.
,)n n X ηηηεεε=
于
是
1212(,,
,)(,,
,)
n n A A A A ηηηηηη=12[(,,.
,)]n A X εεε=
12(,,,)n A A A X εεε= 12(,,
,.)n AX εεε= 112(,,.,)n X AX ηηη-=
由此可得 1
B X AX -=
现在证后一部分。设n 级矩阵A 和B 相似，那么它们可以 看作是n 维线性空间V 中一个线性变换 在基12,,.,n εεε下
的矩阵。因为1B X AX -=，令：
1212(,,
,)(,,
,.)n n X ηηηεεε=,显然，12,,n ηηη 也是一组基，A 在这组基下的
矩阵
就是B 。
例一：证明12
n λλλ??
?
? ? ??
?与2
1i i in λλ
λ??
?
? ? ? ??
?
相似，其中 12
,,
,n
i i i 是
1,2,
,n 的一个排列。
证明：设：
1
2
1212(,,)(,,
)n n n A λλεεεεεελ?? ? ?== ? ??
?
，则
2
1
12
1
2(,
,,)(,
,,.)i i n n in A λλ
εεεεεελ?? ? ?== ? ? ??
?
，因为12
n λλλ??
? ? ? ???
和
2
1i i in λλ
λ?? ?
? ? ? ??
?
是线性变换A 在不同基下的矩阵，故它们相似。
定理2.1：设,A B 是数域P 上的两个n 级矩阵，A 与B 相似的充要条件是它们的特征矩阵
E A λ-和E B λ-等价。
例一：设,,a b c 是实数，b c a A c a b a b c ?? ?= ? ???，c a b B a b c b c a ??
?
= ? ???
,证明A 与B 相似。
证明：
b c a E A c a b a b c λλλλ---?? ?-=--- ? ?---??a b c c a b b c a λλλ---?? ?→--- ? ?---??c a
b b
c a a b c λλλ---?? ?
→--- ? ?---??
c a
b a b
c E B b c a λλλλ---?? ?
→---=- ? ?---??
故E A λ-和E B λ-等价，从而A B ∽
3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵
定义3.1.1：把矩阵A （或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换A ）的初等因子。
定理3.1.1：数域F 上的方阵A B 与相似的充要条件是E A λ-和E B λ-有相同的列式因子。
定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。
例1：证明：任何方阵A 与其转置方阵A ' 相似。
证明：因为E A λ-与E A λ'- 互为转置矩阵，它们对应k 阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故E A λ-与E A λ'- 等价，从而A 与A ' 相似。
例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。
证法一：设A B 与相似，即可存在可逆矩阵Q ，使1B Q AQ -=，又设A B 与的最小
多项式分别为()()12,g g λλ，于是：()()()111210g B g Q AQ Q g A Q --===,但是，
B 的最小多项式整除任何以B 为根的多项式，故()()12g g λλ=
证法二：设A B 与相似，则E A λ-和E B λ-等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A B 与有相同的最小的多项式。
4 相似矩阵与矩阵的对角化
矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。
定义3.1.2：数域F 上方阵A ，如果与一个F 上的对角方阵相似，则称A 在F 上可对角化。
定理3.2.3：复数矩阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是A 的初等因子全是一次的。
定理3.2.4：复数矩阵A 与对角阵相似的充分必要条件是A 的不变因子都没有重根。
定理3.2.5：复数域上方阵A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式没有重根。
定理3.2.6：设A 是n 阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A 相似于对角矩阵；（2）属于A 的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A 有n 个线性无关的特征向量；（4）A 的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。
例4：设复矩阵A 的最小多项式()21k f λλ=-，证明：A 与对角阵相似。
证明：()()()()221,1,21k k f f k λλλλ-'=-= ，即A 的最小多项式无重根，所以A 的初等因子都是一次的，所以A 相似于对角阵。
例5：设A 为n 阶方阵，()f E A λλ=- 是A 的特征多项式，并令：
()()
()()()
,f G f f λλλλ=
'，证明：A 与一个对角矩阵相似的充分必要条件是
()0g A =。
证明：设()()
()
()
1
2
12n n n
r f E A λλλλλλλλ=-=---，其中12,,...r λλλ
互不相等，且12r n n n n ++
=，则：()()()()12r g λλλλλλλ=---。如果A
与一个对角矩阵相似，则E A λ-的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是12,,
,r λλλλλλ--- ，它们的乘积就是E A λ-最后一个不变因子
()n d λ，亦即()()()()()12n r d g λλλλλλλλ=---=。
但()n d λ 就 是E A λ-的 最 小 多 项 式 ， 所 以()()0n g A d A ==。反之，若()0g A =，则A 的最小多项式()n d λ整除()g λ，因而()n d λ没有重根，故A 与对角矩阵相似。
例7：设131210311A --??
?
= ? ???
，试证明：
（1）A 在复数域上可对角化；（2）A 在有理数域上不可对角化。
证明：⑴()323128f E A λλλλλ=-=-+- ,()23612f λλλ'=-+,
用辗转相除法可证得()()(),1f f λλ'=，故在复数域上A 相似于对角矩阵。
（2）若A 在有理数域上可对角化，那么A 的特征值必须都是有理数，从而()f λ有有理根，而()f λ的首项系数为1，从而()f λ的有理根必为整数根。由于()f λ的常数项为-8，如果()f λ有整数根必为1,2,4,8±±±±，用综合除法验算它们都不是()f λ的根，因此()f λ无有理根，从而得证A 在有理数域上不可对角化。
注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化
（即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵0110A -??
= ???在
实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵
00i B i ??= ?-??
相似，事实上，取11P i i ??=
?-?? ，即有1
P AP B -=。
矩阵的合同-等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=L ，12(,,,)m B βββ=L 1、若向量组（12,,,m βββL ）是向量组（12,,,n λλλL ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλL ）?（12,,,m βββL ）则有矩阵A,B 同型且()()~,,r A r B A B A B A B =??;r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>?L L 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵相似性质与应用研究报告
矩阵相似的性质与应用的研究 1引言 矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教案中的难点之一，特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。 由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学习者的掌握和应用。 2矩阵相似的定义与基本性质 2.1矩阵相似的定义 令I二I为非奇异矩阵，考察矩阵 1^1的线性变换 令线性变换的特征值为，对应的特征向量为R，即 将式——1代入上式，即有 -------------- 1或 ---------- 1 令一或—：，则式------------------ 1 可以写作 比较― 和亠两式可知，矩阵A和一1具有相同的特征值，并且矩阵B的特征向量是矩阵的特征向量的线性变换，即二刃。由于 矩阵和—I的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这
两个矩阵“相似”。于是: 设、都是阶方阵，若有可逆方阵，使______ I ，则称是的相似矩阵。或者说矩阵与相似。对进行运算—称为对进行相似变换。可逆矩阵称为把变成的相似变换阵。 2.2矩阵相似的一些基本性质： 自反性：。 对称性：三则二。 传递性：3及丄可得：二11 如果阶矩阵，相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。 相似矩阵另外的一些特性： 1＞相似矩阵有相同的秩。 2＞相似矩阵的行列式相等。 3＞相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。 4＞y 贝y 亠，亠、?亠I 、亠I ＜若，均可逆）、 」从而，有相同的特征值。 3相似对角矩阵的有关性质 3.1矩阵可相似对角化的引入与定义 设是复数域上的维线性空间，是的一个线性变换。又―I 与______ 是的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是。则线性变换在这两组基下的矩阵与相似，即 我们自然会问：矩阵可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选取第二组基__________________ ，使得线性变换在这组基下的矩阵是个对角矩阵
相似矩阵的性质及应用
华北水利水电大学相似矩阵的性质及应用 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成： 联系方式： 2013年11月6 日
摘要：若矩阵P可逆,则矩阵P-1AP与A称为相似。矩阵相似的概念是为深入研 究矩阵特性而提出的，其中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标准型来解决。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan标准型；特征向量；特征值 英文题目：The properties and application of similar matrix Abstract:There are a lot of applications about similar matrix. Matrix for further research is the concept of similarity matrix characteristics, and that part of the problem can be converted into similar problems with a diagonalization matrix to simplify the problem study, while others matrix cannot be similar to a diagonal matrix, so this kind of problem can only use a definition or if and when the standard to solve.For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into.In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Key words:similar matrices; diagonal matrix; Jordan’s normal form; characteristic value; characteristic vector
矩阵相似的性质：矩阵相似例题
1 矩阵的相似 1 定义2性质3定理（证明）4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵在微分方程中的应用【1 】） 矩阵的相似及其应用1 矩阵的相似 定义1设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B?X?1AX，就说A相似于B记作A∽B 2 相似的性质 （1）反身性A∽A；这是因为A?E?1AE. （2）对称性如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使B?X?1AX，令Y?X?1，就有A?XBX?1?Y?1BY，所以B∽A。 （3）传递性如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使B?X?1AX， C?Y?1BY。令Z?XY，就有C?Y?1X?1AXY?Z?1AZ，因此，A∽C。 3 相似矩阵的性质若A,B?Cn?n，A∽B，则（1）r(A)?r(B)；
Q是n?n可逆矩阵，引理A是一个s?n矩阵，如果P是一个s?s可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B?C?1AC,由引理2可知，秩 ?1 （B）=秩（B?CAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P?1AP?B?P?1f(A)P?f(B) 证明设f(x)?anx?an?1x nn n?1
a1x?a0 a1A?a0E a1B?a0E 于是，f(A)?anAn?an?1An?1? f(B)?anB?an?1B n?1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 Bk?X?1AkX， ?1?1 anAn?an?1An?1?因此Xf?A?X?X ?a1A?a0E?X
矩阵相似的性质
1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质 （1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=. （2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。 （3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=， C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ?∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =； 引理：A 是一个s n ?矩阵，如果P 是一个s s ?可逆矩阵，Q 是n n ?可逆矩阵， 那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ） 证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩 （B ）=秩（1 B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ） （2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即 11()()P AP B P f A P f B --=?= 证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1 110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1 110()n n n n f B a B a B a B a E --=++ + 由于A 相似于B ，则k A 相似与k B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得
相似矩阵的性质及应用毕业论文
相似矩阵的性质及应用毕业论文 一.相似矩阵的定义 定义：设A 、B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得B=1-X AX ，就说A 相似于B ，记做B A ~. 二.相似矩阵的重要性质 性质1 数域P 上的n 阶方阵的相似关系是一个等价关系. 证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E 是可逆矩阵，且A=1-E AE ，故任何方阵A 与A 相似. 2〉（对称性） 设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆方阵C ，使得B=1-C AC ，由此可得A=CB 1-C =11)(--C B 1-C ，显然可逆，所以B 与A 相似. 3〉（传递性）设A 与B 相似，B 与C 相似，即存在数域P 上的n 阶可逆方阵P 、Q ，使B=1-P AP ，C=1-Q BQ ，则 C=BQ=1-Q 1-P APQ=1)(-PQ A （PQ ），从而A 与C 相似. 〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式. 证明：设A 与B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得B=1-C AC ，两边取行列式得：｜B ｜=｜1-C AC ｜=｜1-C ｜｜A ｜｜C ｜=｜A ｜｜1-C C ｜=｜A ｜. 从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理 引理1：设A 是数域P 上的n ×m 矩阵，B 是数域P 上m ×s 矩阵，于是 秩（AB ）≤min[秩（A ），秩（B ）] (1) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB ）≤秩（A ），同时，秩（AB ）≤秩（B ）.
现在来分别证明这两个不等式. 设A=??????? ??nm n n m m a a a a a a a a a 2 1 22221 11211，B=?? ? ? ? ? ? ??ms m m s s b b b b b b b b b 21222 21112 11 令1B ，2B ，…，m B 表示B 的行向量，1C ，2C ，…n C ，表示AB 行向量.由计算可知，i C 的第j 个分量和m im i i B a B a B a +++ 2211的第j 个分量都等于kj m k ik b a ∑=1 ，因 而i C =m im i i B a B a B a +++ 2111 （i=1，2，…n ）. 即矩阵AB 的行向量组n C C C ,,,21 可经B 的行向量组线性表出.所以AB 的秩不能超过B 的秩，也即, 秩（AB ）≤秩（B ）. 同样，令m A A A ,,21 表示A 的列向量，s D D D ,,21表示AB 的列向量，由计算可知 i D =11A b i +22A b i +…+m mi A b （i=1，2，…，s ）. 这个式子表明，矩阵AB 的列向量可以经矩阵A 的列向量组表出，前者的秩不可能超 过后者的秩，这就是说，秩（AB ）≤秩（A ）. <证毕> 引理2:A 是一个s ×n 矩阵,如果P 是个s ×s 可逆矩阵,Q 是n ×n 可逆矩阵,那么 秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）. 证明:令 B=PA,由引理1知秩（B ）≤秩（A ）； 但是由 A=1-P B, 又由 秩（A ）≤秩（B ）, 所以
一类矩阵的若干性质及其在考研数学中的应用(原创)
矩阵T αβ的若干性质及其在考研数学中的应用 设向量βα，均为n 维非零列向量，记T αβA =。通过对历年考研试题的研究发现，线性代数部分比较重视对矩阵A 性质的考查，而课本和相关考研辅导书对这些性质没有做系统的研究，从而导致考研学生在遇到相关题目时不知所措。本文将研究矩阵A 的性质，并借助考研数学真题来说明这些性质的应用，进而强调掌握好这些性质的重要性。 1 矩阵），（00≠≠=βααβA T 的性质 性质1 矩阵），（00≠≠=βααβA T 的秩为1。 证明：令()0αT ≠=n a a a ,,,21 ，()0βT ≠=n b b b ,,,21 ，不妨设0≠i a ，则 ????????? ???????→????????????????→????????????????=00000021212112111212112111 n n n n n n n n n n n n i i i n b b b b a b a b a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A ????????????? ???→00 000000021 n b b b ，于是A 的秩为1。 性质2 A αβA n 1T )(-=n 。注意，αβT 就是A 的迹。 该性质利用矩阵乘法的结合律即可证明。由于秩为1的矩阵总可以表示为矩阵A 的形式[1] ，因此上述性质也可推广到以下结论： 推论1 秩为1的矩阵的n 次方等于该矩阵迹的n —1次方乘以这个矩阵本身。 性质3 当0≠=βα即T ααA =时，A 的全部特征值分别为0002，，，， α，其中唯一非零特征值对应的线性无关的特征向量为α。 证明：因为矩阵A 是实对称矩阵，所以它一定相似于一个对角阵 ????????????=n 21λλλ Λ 其中n λλ,,1 为A 的n 个特征值。由性质1，1)(=A r ，又因为相似矩阵有相同的秩，故
相似矩阵的性质及应用 论文
相似矩阵的性质及应用论文 相似矩阵的性质及应用 学院:电力学院专业:电子科学与技术小组人员:韩燕军 201009931 高向红201009929 高亚伟 201009930 靳佳奇 201009932 一定义 -1设A,B为n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P,使得PAP=B,则称矩阵A 和B相似，记为A~B 。 211,111,,,,,,例:设A=,B=,P= ,,,,,,,,,,,,01,12,10,,,,,, 211,1,,,,1,1,,,,,,-1,,,,因为PAP=-1 ,,,12,10,,,,,,,12,, 100111,,,,,, =,,==B ,,,,,,,,,,1101,11,,,,,, 所以A~B 二矩阵的相似关系具有的性质 -11 自反性 A~A 因为A=EAE 2对称性如果A~B，则B~A -1-1如果设A~B，则有可逆矩阵P,使B=PAP,令C=P, -1- 1 -1-1因为A=(P)B P=CBC,则B~A 3传递性如果A~B，B~C,则A~C -1-1如果设A~B，B~C，则存在可逆矩阵M,N,使B= MAM,C= NAN, -1-1-1故C= N M AMN= (MN) A(MN),所以A~C 三. 矩阵的其它性质 1.若A~B，则A与B的行列式相等 2. 若A~B，则A可逆的充要条件是B可逆 3. 若A~B，且A可逆，则A与B的逆矩阵也相似 4. 若A~B，则A与B有相同的特征多项式，但特征多项式相等的矩阵并不一定相似
5. 若A~B，则r(A)= r(B) TT 例:证明若A~B，则A~B -1T-1TTT-1T-1T 证:因为B=PA P,所以B=(PAP)=PA(P)=CAC T-1TT 其中P= C ,于是A~B 四求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); 解故A的特征值为1(三重) 对于特征值1 由 T得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1) 向量p1就是对应于特征值1的特征值向量. (2); 解 故A的特征值为10 21 39 对于特征值10 由
矩阵相似的若干判别法及应用讲解
本科生毕业论文 矩阵相似的若干判别法及应用 学号： 2011562010 姓名：邵坷 年级： 2011级本科班 系别：数学系 专业：数学与应用数学 指导教师：由金玲 完成日期： 2015 年4月30日
承诺书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期：年月日
目录 摘要 ..................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... II 前言 (1) 第一章基本概念 (2) 1.1 矩阵 (2) 1.1.1 矩阵的概念 (2) 1.1.2 矩阵的性质 (2) 1.2 矩阵相似 (3) 1.2.1矩阵相似的概念 (3) 1.2.2 矩阵相似的性质 (4) 第二章矩阵相似的判别 (5) 2.1 特征值与特征向量法判定 (5) 2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 .................................. 错误！未定义书签。 2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5) 2.2用初等变法换判定 (8) 2.3 应用分块矩阵相似判定 (10) 第三章矩阵相似的应用 (13) 3.1 利用相似变换把方阵对角化 (13) 3.2 矩阵相似性质的简单应用 (13) 3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (14) 结论 (16) 参考文献 (17) 致谢 (18)
幂等矩阵的性质及其应用
幂等矩阵的性质及其应用 0 引言 幂等矩阵是一类性质特殊的矩阵，不仅在高等代数中有着重要的应用，在其它课程中，如计量经济学、统计学课程中也有着重要应用。在代数学中，线性变换的许多问题都可以转化为幂等矩阵来解决。但是在通常的高等代数的教材中关于幂等矩阵的讨论是比较少的。因此本文对幂等矩阵的性质做出相关讨论。本文主要给出幂等矩阵特征值、特征子空间和Jordan标准型的基本性质，同时给出了一些相关的应用。 1 主要结果 首先给出幂等矩阵的定义和基本性质。 定义1：若n阶方阵A满足A2=A，则称A为幂等矩阵。 下面给出关于幂等矩阵的一些简单的性质。 定理1：幂等矩阵A的特征值只能是0或者1。 证明：设A为任意一个幂等矩阵。 由A2=A，可得 λ2=λ 其中λ为A的特征值。于是有 λ=1或0， 命题得证。 推论：可逆的幂等矩阵的特征值均为1。 证明：设A为一可逆的幂等矩阵。由A2=A可得 A2A-1=AA-1 即 A=E。 此时有 λE-E=0 即 λ=1 其中，λ为A的特征值。命题得证。 定理2：任意的幂等矩阵A都相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得： P-1AP=E■ 00 0， 其中r=R（A）。 证明：A为任意幂等矩阵，J为其Jordan标准型，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J=■， 其中Ji=■。 由此可得J 2=J。于是有，Ji 2=Ji。 此时，Ji只能为数量矩阵λ■E。 又因为A2=A，所以λ■=0或1，且r=R（A）。命题得证。 定理3：幂等矩阵的特征值为1的特征子空间为其值域，特征值为0的特征子空间为其零（核）空间。 证明：（i）A为一n阶幂等矩阵。？琢为其特征值1对应的特征向量。 则有，A？琢=？琢。由此可得？琢属于A的值域。
矩阵相关性质
等价：存在可逆矩阵Q P ,，使B PAQ =，则A 与B 等价； 相似：存在可逆矩阵P ，使B AP P =-1，则A 与B 相似； 合同：存在可逆矩阵C ，使B AC C T =，则A 与B 合同. 一、相似矩阵的定义及性质 定义1 设B A ,都是n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使B AP P =-1 ，则称B 是A 的相似矩阵， 或说矩阵A 与B 相似，记为B A ~.对A 进行运算AP P 1-称为对A 进行相似变换，可逆矩阵P 称为把A 变成B 的相似变换矩阵. 注 矩阵相似是一种等价关系. （1）反身性：A A ~. （2）对称性：若B A ~，则A B ~. （3）传递性：若B A ~，C B ~，则C A ~. 性质1 若B A ~，则 （1）T T B A ~； （2）11~--B A ； （3）E B E A λλ-=-； （4）B A =； （5）)()(B R A R =. 推论 若n 阶矩阵A 与对角矩阵??????? ? ?=Λn λλλ 21相似，则n λλλ,,,21 是A 的n 个特征值. 性质2 若1-=PBP A ，则A 的多项式1)()(-=P B P A φφ. 推论 若A 与对角矩阵Λ相似，则 1211)()()()()(--?????? ? ??=Λ=P P P P A n λφλφλφφφ . 注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；
（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似. 二、矩阵可对角化的条件 对n 阶方阵A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使Λ=-AP P 1为对角阵，就称为把方阵A 对角化。 定理1 n 阶矩阵A 可对角化（与对角阵相似）A ?有n 个线性无关的特征向量。 推论 如果n 阶矩阵A 的n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似.（逆命题不成立） 注：（1）若A ～Λ，则Λ的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i λ的排列顺序，则Λ唯 一，称之为矩阵A 的相似标准形。 （2）可逆矩阵P 由A 的n 个线性无关的向量构成。 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。 可对角化的矩阵主要有以下几种应用： 三、实对称矩阵的相似矩阵 实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化.即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1.更可找到正交可逆矩阵T ，使和Λ=-AT T 1 定理2 实对称矩阵的特征值为实数。 定理2的意义：因为对称矩阵A 的特征值1λ为实数，所以齐次线性方程组0)(=-x E A i λ是实系数方程组。又因为0=-E A i λ，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。 定理3：实对称矩阵A 的对应于不同特征值的特征向量正交。 定理4：A 为n 阶实对称矩阵，0λ是A 的k 重特征值，则对应于0λ的特征向量中，线性无关的个数为k ，即0)(0=-X E A λ的基础解系所含向量个数为k 。 定理5：（实对称矩阵必可对角化） 对于任一n 阶实对称矩阵A ，一定存在n 阶正交矩阵T ，使得Λ=-AT T 1。其中Λ是以A 的n 个特征值为对角元素的对角阵。 定义2 若二次型Ax x f T =，则对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵，也把f 叫做对称矩阵A 的二次型.对称矩阵A 的秩就叫做二次型f 的秩. 推理 对称矩阵A 为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正. 定理3 对称矩阵A 正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正，即
矩阵的合同,等价与相似的联系与区别
矩阵的合同，等价与相似的联系与区别 一、基本概念与性质 （一）等价： 1、概念。若矩阵A 可以经过有限次初等变换化为B ，则称矩阵A 与B 等价，记为A B ?。 2、矩阵等价的充要条件： A B ?.{P Q A B ?同型，且人r(A)=r(B)存在可逆矩阵和，使得PAQ=B 成立 3、向量组等价，两向量组等价是指两向量组可相互表出，有此可知：两向量组的秩相同，但两向量组各自的线性相关性却不相同。 （二）合同： 1、概念，两个n 阶方阵A,B ，若存在可逆矩阵P ，使得A B ?P T AP B =成立，则称A,B 合同，记作A B ?该过程成为合同变换。 2、矩阵合同的充要条件：矩阵A,B 均为实对称矩阵，则A B ??二次型x T Ax 与x T Bx 有相等的E 负惯性指数，即有相同的标准型。 （三）相似 1、概念：n 阶方阵A,B ，若存在一个可逆矩阵P 使得1B P AP -=成立，则称矩阵A,B 相似，记为~A B 。 2、矩阵相似的性质：
~A B 11~,~,~(,) |E-A |||,()(),T T k k A B A B A B A B E B A B tr A tr B A B λλ--=-?=前提，均可逆即有相同的特征值（反之不成立） r(A)=r(B) 即的逆相等 |A|=|B| 3、矩阵相似的充分条件及充要条件： ①充分条件：矩阵A,B 有相同的不变因子或行列式因子。 ②充要条件：~()()A B E A E B λλ?-?- 二、矩阵相等、合同、相似的关系 （一）、矩阵相等与向量组等价的关系： 设矩阵 12(,,,)n A λλλ=，12(,,,)m B βββ= 1、若向量组（12,,,m βββ）是向量组（12,,,n λλλ）的极大线性无关 组,则有m n ≤，即有两向量等价，而两向量组线性相关性却不同，钱者一定线性无关，而后者未必线性无关。而矩阵B 与A 亦不同型，虽然()()r A r B =但不能得出A B ?。 2、若m=n ，两向量组（12,,,n λλλ）?（12,,,m βββ）则有矩阵A,B 同 型且()()~,,r A r B A B A B A B =??r()()A r B A B =??。 3、若r()()A B A r B ??=?两向量组秩相同，?两向量组等价，即有1212(,,,)(,,,)n n A B λλλβββ?≠>? 综上所述：矩阵等价与向量等价不可互推。 （二）、矩阵合同。相似，等价的关系。 1、联系：矩阵的合同、相似、等价三种关系都具有等价关系，因为三者均具有自反性、对称型和传递性。 2、合同、相似、等价之间的递推关系
矩阵相似的若干判别法及应用知识讲解
矩阵相似的若干判别 法及应用
本科生毕业论文 矩阵相似的若干判别法及应用 学号： 2011562010 姓名：邵坷 年级： 2011级本科班 系别：数学系 专业：数学与应用数学 指导教师：由金玲 完成日期： 2015 年4月30日
承诺书 我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证,除了文中特别加以标注的地方外,论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符,本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期：年月日
目录 摘要 ..................................................................................................................................... I Abstract .................................................................................................................................... II 前言 (1) 第一章基本概念 (2) 1.1 矩阵 (2) 1.1.1 矩阵的概念 (2) 1.1.2 矩阵的性质 (2) 1.2 矩阵相似 (3) 1.2.1矩阵相似的概念 (3) 1.2.2 矩阵相似的性质 (4) 第二章矩阵相似的判别 (5) 2.1 特征值与特征向量法判定 (5) 2.1.1 特征值和特征向量的定义及求法 ............................................. 错误!未定义书签。 2.1.2 特征值和特征向量的基本性质与矩阵相似的判定 (5) 2.2用初等变法换判定 (8) 2.3 应用分块矩阵相似判定 (11) 第三章矩阵相似的应用 (14) 3.1 利用相似变换把方阵对角化 (14) 3.2 矩阵相似性质的简单应用 (15) 3.3 矩阵相似在实际生活中的应用 (15) 结论 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)
相似矩阵的有关性质及其应用
相似矩阵的有关性质及其应用 作 者 王国强 数学系 数学与应用数学专业 指导教师 金银来 数学系 教授 摘要 若矩阵P 可逆,则矩阵P -1AP 与A 称为相似。相似矩阵有很多应用。例如：利用相似矩阵的性质来确定矩阵中未知元素方法的完整性；两个相似矩阵属于同一个特征值的特征向量之间的关系；矩阵相似与特征多项式的等价条件及相关结果；尤其是矩阵的标准形及其对角化问题,在高等代数和其他学科中都有极其广泛的应用。本文将讨论相似矩阵的有关性质及其应用。 关键词：相似矩阵；对角化；Jordan 标准型；特征向量；特征值 Abstract: There are a lot of applications about similar matrix. For example, we can discuss the integrality of the method by using the properties of similar matrices to confirm unknown elements and characteristic subspaces of similar matrices belong to the same characteristic value are isomorphism. Also we may discuss the equivalent conditions for similar matrices and their characteristic polynomial and their corresponding results, especially, applications of digitalization matrices in advanced algebra theory and other subjects are probed into. In this paper I will give out some corresponding properties of similar matrices and show their appliance. Keywords: similar matrices; diagonal matrix; Jordan ’s normal form; characteristic value; characteristic vector 1 相似矩阵有关定义 定义1.1设A,B 是n 阶方阵,如果存在可逆阵P 使得P -1AP=B,则称矩阵A 与B 相似. 定义 1.2矩阵A 相似于对角阵,则称A 可相似对角化,即存在可逆阵P 使 ),,(2,11 n diag AP P λλλ =-,n λλ,,1 为A 的n 个特征值. 2 相似矩阵有关性质 a. 已知P -1AP=B,即A 相似于B,则 ⅰ) |A|=|B|; ⅱ) t r (A)=t r (B); ⅲ) |A-λI |=|B-λI |. b. 若A 与B 都可对角化,则A 与B 相似的充分条件是A 与B 由相同的特征多项式. c. A 的属于同一特征值i λ的特征向量的线形组合只要不是零向量, 仍是对应 i λ的特征向量. d. A 的属于不同特征值的特征向量线形无关.
第五章 相似矩阵
第五章 相似矩阵 1．教学目的和要求： (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵. (3) 简单了解Jordan 标准形. 2．教学重点： (1) 方阵的特征值与特征向量. (2) 矩阵的相似对角化. 3．教学难点：矩阵的相似对角化. 4．本章结构：线性方程组和线性组合都涉及方阵A 和向量X 的运算:AX .从矩 阵上提出的问题是：能否找一个数λ和一个非零向量X ,使 X AX λ=,化简运算.从而引出特征值与特征向量，接着讨论特征 向量的性质，为矩阵相似对角化作准备，最后简单介绍一下Jordan 标准形. 5．教学内容： §5.1 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的概念 在一些应用问题中常会用到一系列的运算: .,,,,2 X A X A AX k 为了简化运算，希望能找到一个数λ和一个非零向量X ，使X AX λ=，这样的数λ 和向量X 就是方阵的特征值与特征向量. 定义：对于n 阶方阵A , 若有数λ和向量0≠x 满足x x A λ=, 称λ为A 的特征值, 称x 为A 的属于特征值λ的特征向量． 下面给出特征值与特征向量的求法： 特征方程： 0)(=-?=x E A x x A λλ 或者 0)(=-x A E λ 0)(=-x E A λ有非零解0)(det =-?E A λ 0)(det =-?A E λ 特征矩阵：E A λ-或者 A E -λ
特征多项式： λλλλλ?---= -=nn n n n n a a a a a a a a a E A 2 1 22221112 11)(det )( ])1([01110n n n n n a a a a a -=++++=--λλλ A 的特征值与矩阵A 又有什么关系呢？ 定理1：设 n 阶方阵)(ij a A =的n 个特征值为n λλλ ,,21 则 (1) nn n a a a +++=++ 221121λλλ ) (1A tr a n i ii ==∑= 称为矩阵A 的迹。(主对角元素之和) (2)A n n i i ==∏=λλλλ 211 例1 求 ?? ??? ?????--=201034011A 的特征值与特征向量． 例2，例3 见书第136、137页. 2. 特征向量的性质 方阵A 关于特征值i λ的特征向量是齐次线性方程组0)(=-X A I i λ 的非零解。由齐次线性方程组解得性质得：当21,X X 是A 对应于i λ 的特征向量时，它们的任何非零线性组合：)0(2211≠+X k X k 仍是A 关于i λ的特征向量。在此，我们重点关注矩阵A 的特征向量的线性 相关性。 定理2：设r X X X ,21，是矩阵A 的不同特征值所对应的特征向量， 则r X X X ,21，是线性无关的。 定理3：矩阵A 的s 个不同特征值所对应的s 组各自线性无关的特征 向量并在一起仍是线性无关的。 定理4：设0λ是n 阶方阵A 的一个t 重特征值，则0λ对应的特征向量中 线性无关的最大个数.t ≤ 由以上定理可知，若A 有n 个互异的特征值：,,,21n λλλ 则每个i λ仅 对应一个线性无关的特征向量，从而A 共有n 各线性无关的特征向量。
矩阵的等价,相似 合同的关系及应用
目录 摘要 (1) 1引言 (2) 2矩阵间的三种关系 (2) 2.1 矩阵的等价关系 (2) 2.2 矩阵的合同关系 (3) 2.3. 矩阵的相似关系 (3) 3 矩阵的等价、合同和相似之间的联系与区别 (4) 3.1矩阵的相似与等价之间的关系与区别 (4) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 3.2 矩阵的合同与等价之间的关系与区别 (5) 4矩阵的等价、合同和相似的应用 (6) 4.1矩阵等价的应用 (7) 4.2矩阵相似的应用 (9) 4.3矩阵合同的应用 (9) 4.4三种关系在概率统计中的应用 (10) 5结论 (12) 结束语 (12) 参考文献 (13)
摘 要: 本文主要了解矩阵的三种的关系的性质、联系、区别及应用，总结它们之间的结论和定理并应用到各个相应的领域。并且详细说明了三者的相同点和不同点。 关键字： 矩阵的等价关系及应用，矩阵的相似关系及应用，矩阵的合同关系及应用 1.引言 高等代数中我们讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．那么为了更好的掌握它们，我们不仅要了解它们的定义、性质还要了解它们间的异同点，总结它们的规律，并且要了解它们在各个领域的应用，我们需要更好的知道在什么条件下等价、合同、相似是可以相互转化的，加什么条件才可以相互转化，如果不能相互转化，那么你能找到相应的特例吗？另外，三种矩阵的应用你知道它具体应用到什么领域吗?是如何应用的？ 2.矩阵的三种关系 2.1矩阵的等价关系 定义2.1.1 : 两个s n ?矩阵,A B 等价的充要条件为：存在可逆的s 阶矩阵p 与可逆的 n 阶矩阵Q ，使得B PAQ = 矩阵A 与B 等价必须具备的两个条件： （1）矩阵A 与B 必为同型矩阵（不要求是方阵）. （2）存在s 阶可逆矩阵p 和n 阶可逆矩阵Q , 使B PAQ =. 2.1.2矩阵等价的性质： （1）反身性：即A A ?. （2）对称性：若A B ?，则B A ?. （3）传递性：若A B ?，B C ?，则A C ?. (4)A 等价于B 的充要条件是秩（A ）=秩（B ） (5)设A 为m ×n 矩阵，秩（A ）=r ，则A 等价于???? ??00 0r E ，即存在m 级可逆矩阵P ，n 级可逆矩阵Q ， 使 ???? ??=00 0r E PAQ . (6)(Schur 定理) 任何n 级复方阵A 必相似于上三角形矩阵，即A 相似于????? ? ?n λλ0 *1 其中n λλ,,1 为矩阵A 的特征值. 定理2.2.1： 若A 为m n ?矩阵，并且()r A r =，则一定存在可逆矩阵P （m 阶）和Q （n 阶），
矩阵的同时相似上三角化问题
矩阵的同时相似上三角化问题 张永伟（2011080010008） 数理基础科学班 指导教师：王也洲、何军华 【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。 【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式 一．引言 文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。 二．正文 定义2.1：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。 性质2.1：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。 证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得 111212221000n n nn a a a a a P AP a -?? ? ?= ? ???且111212221000n n nn b b b b b P BP b -?? ? ?= ? ??? 。 设12(,,,)n P a a a =K ，则1111A a αα=，1111B b αα=。 所以,A B 有公共的特征向量1α。■ 因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。 性质2.2：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA -为幂零矩阵。 证明：由性质2.1的证明可知, 121112121000 00 00000n n n n n n c c c c c AB BA c ---?? ? ? ?-= ? ? ?? ? 。