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(完整版)大一高数知识点,重难点整理,推荐文档

第一章基础知识部分

&1.1初等函数

一、函数的概念

1、函数的定义

函数是从量的角度对运动变化的抽象表述，是一种刻画运动变化中变化量相依关系的数学模型。

设有两个变量x 与y ，如果对于变量x 在实数集合D 内的每一个值，变量y 按照一定的法则都有唯一的值与之对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数，记作y=f （x ），其中自变量x 取值的集合D 叫函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域。 2、函数的表示方法（1）解析法

即用解析式（或称数学式）表示函数。如y=2x+1, y=︱x ︱，y=lg(x+1),y=sin3x 等。便于对函数进行精确地计算和深入分析。（2）列表法

即用表格形式给出两个变量之间函数关系的方法。便于差的某一处的函数值。（3）图像法

即用图像来表示函数关系的方法

非常形象直观，能从图像上看出函数的某些特性。

分段函数——即当自变量取不同值时，函数的表达式不一样，如

???--≥+=0,120 x 1,2x y πx x ()?????=≠=0

1sin x f x x x

隐函数——相对于显函数而言的一种函数形式。所谓显函数，即直接用含自变量的式子表示的函数，如y=x 2+2x+3，这是常见的函数形式。而隐函数是指变量x 、y 之间的函数关系

式是由一个含x ，y 的方程F(x,y)=0给出的，如2x+y-3=0，

0e y

x =--+y x 等。而由2x+y-3=0

可得y=3-2x ，即该隐函数可化为显函数。

参数式函数——若变量x,y 之间的函数关系是通过参数式方程()()()?

?∈==T t t y t x ，

ψ?给出的，这样的函数称为由参数方程确定的函数，简称参数式方程，t 称为参数。

反函数——如果在已给的函数y=f(x)中，把y 看作自变量，x 也是y 的函数，则所确定的函数x=∮(y)叫做y=f(x)的反函数，记作x=f ˉ1(y)或y= f ˉ1(x)(以x 表示自变量).

二、函数常见的性质

1、单调性（单调增加、单调减少）

2、奇偶性（偶:关于原点对称，f （-x ）=f （x ）；奇：关于y 轴对称，f （-x ）=-f(x).）

3、周期性（T 为不为零的常数，f （x+T ）=f （x ），T 为周期）

4、有界性（设存在常数M ＞0，对任意x ∈D ，有f ∣(x)∣≤M,则称f(x)在D 上有界，如果不存在这样的常数M ，则称f(x)在D 上无界。

5、极大值、极小值

6、最大值、最小值三、初等函数

1、基本初等函数

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数共六大类函数统称为基本初等函数。（图像、性质详见P10）

2、复合函数——如果y 是u 的函数y=f(u),而u 又是x 的函数u=∫(x)，且∫(x)的值域与f(x)的定义域的交非空，那么y 也是x 的函数，称为由y=f(u)与u=∫(x)复合而成的复合函数，记作y=f(∫(x))。

3、初等函数——由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，称为初等函数。四、函数关系举例与经济函数关系式

1、函数关系举例

2、经济函数关系式

（1）总成本函数——总成本=固定成本+变动成本平均单位成本=总成本/产量（2）总收益函数——销售总收益=销售价格×产量（3）总利润函数——总利润=销售总收益-总成本

（4）需求函数——若其他因素不变，需求量Q=f(P)(P 为产品销售价格)

&1.2函数的极限

一、数列的极限

对于无穷数列{a n }，当项数n 无限增大时，如果a n 无限接近于一个确定的常数A ，则

称A 为数列{a n }的极限，记为

A a n n

=∞→lim

，或当n →∞时，a n →A 。若数列{a n }存在极限，也称数列{a n }收敛，例如

01n lim =∞→n ，C C =∞

→n lim

（C 为常数），

()10πq q n =∞

→n lim

。若数列{a n }没有极限，则称数列{a n }发散。数列极限不存在的两种情况：

（1）数列有界，但当n →∞时，数列通项不与任何常数无限接近，如：()

1--n ；

（2）数列无界，如数列{n 2}。

二、当x →0时，函数f （x ）的极限

如果当x 的绝对值无限增大（记作x →∞）时，函数f(x)无限地接近一个确定的常数A ，那称A 为函数f(x)当x →∞时的极限，记作

()A x f x =∞

→lim

，或当x →∞时，f(x) →A 。

单向极限定义如果当+∞→x 或()-∞→x 时，函数f(x)无限接近一个确定的长寿湖A ，那么称A 为函数f(x)当+∞→x 或()-∞→x 时得极限，记作

()()???

??=-∞→=+∞→A x f n A x f x lim lim

。

三、当X →Xo 时，函数f （x ）的极限

1、当X →Xo 时，函数f(x)的极限定义如果当x 无限接近Xo(记作X →Xo)时，函数f(x)无限接近于一个确定的常数A ，则称A 为函数f(x)当X →Xo 时的极限，记作

()A x f n =∞

→lim

，或当X →Xo 时，f(x) →A 。

2、当X →Xo 时，函数f(x)的左极限和右极限

如果当X →Xo ˉ（或+

→0x x ）时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A ，则称函数f(x)当X →Xo 时的左极限（右极限）为A ，记作()()???

??=

→=→+-

A x f x x A x f x x 00

lim lim

。四、无穷大与无穷小

1、无穷大与无穷小的定义

如果当X →Xo 时，f(x)→0，就称f(x)当X →Xo 时的无穷小，记作

()0lim 0

=→x f x x ；如

果当X →Xo 时，f(x)的绝对值无限增大，就称函数f(x)当X →Xo 时为无穷大，记作

()∞=→x f x x 0

lim 。其中，如果当X →Xo 时，f(x)向正的方向无限增大，就称函数f(x)当X

→Xo 时为正无穷大，记作

()+∞=→x f x x 0

lim ；如果当X →Xo 时，f(x)向负的方向无限增大，

就称函数f(x)当X →Xo 时为负无穷大，记作

()-∞=→x f x x 0

lim 。

2、无穷小与无穷大的关系

在自变量的同一变化中，如果f(x)为无穷大，那么

)

(f 1

x 为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，那么

)

(f 1

x 为无穷大。根据这个性质，无穷大的问题可以转化为无穷小的问题。 3、无穷小的性质

性质1：有限个无穷小的代数和为无穷小；性质2：有限个无穷小的乘积为无穷小；性质3：有界函数与无穷小的乘积为无穷小。 4、无穷小的比较

设a 与b 是自变量同一变化中的两个无穷小，记作a=o(b)；

(1)如果lim

b a

=0，则称a 是比b 低阶的无穷小； (2) 如果lim b

=∞, 则称a 是比b 高阶的无穷小；

(3) 如果lim

=c(c 为非零的常数),则称a 是比b 同阶的无穷小。特别的，当c=1,即lim b

=1时，称a 与b 是等阶无穷小，记作a ～b 。

&1.3极限运算法则

法则一若lim u=A ，lim v=B ，则

lim(u ±v)=lim u ±lim v=A ±B; 法则二若lim u=A ，lim v=B ，则

lim(u ·v)=lim u ·lim v=A ·B ；法则三若lim u=A ，lim v=B ，且B ≠0，则 lim

v u =v u lim lim =B

A 推论若lim u=A ，C 为常数，k ∈N ，则 (1)lim C ·u=C ·lim u=C ·A ； (2)lim k

u = k

u) (lim =k

注运用这一法则的前提条件是u 与v 的极限存在（在商的情况下还要求分母的极限不为零）。

&1.4两个重要极限

一、

0x lim →x

sin x

二、x

x 11x lim ??

? ??+∞→=e

&1.5函数的连续性

一、函数连续性的概念

1.函数在某点的连续性

若函数f(x)在点0x 及其左右有定义，且0

x x lim →f(x)=f(0x )，则称函数f(x)在点0

x 处连续，0x 为函数f(x)的连续点。

理解这个定义要把握三个要点：（1）f(x)要在点0x 及其左右有定义；（2）

0x x lim → f(x)要存在

（3）0

x x lim →f(x)= f(0x )。

增量

△x=x-0x △y= f(x)- f(0x )

设函数f(x)在点0x 及其左右有定义，如果当自变量x 在点0x 处的增量△x 趋近于零时，相应的函数增量△y 也趋近于零，即

0y 0

x lim

=?→?，

则称函数f(x)在点0x 处连续，0x 为f(x)的连续点。

2.函数在区间上的连续性、连续函数

如果函数f(x)在区间（a ，b ）上每一点上连续，则称函数f(x)在区间（a ，b ）上连续。

如果函数f(x)在某个区间上连续，就称f(x)是这个区间上的连续函数。二、连续函数的运算与初等函数的连续性

1.连续函数的运算

如果两个函数在某一点连续，那么它们的和、差、积、商（分母不为零）在这一点也连续。

设函数()χ?=u 在点0x 处连续，且()00x u ?=，函数y=f(u)点0u 处连续，那么复合函数())x (f y 0?=在点0x 处也连续。

2.初等函数的连续性

初等函数在其定义域内是连续的。

第二章微分与导数

&2.1导数的概念

设函数y=f(x)在点0x 处及其左右两侧的小范围内有定义，当△x →0时，若

??得极限存在，则称y=f(x)在点0x 处可导，并称此极限值为函数y=f(x) 点0x 处的导数，记作

()()()x

x f x x f 0x lim x y

0x lim

x f 000?-?+→?=??→?=’，

还可记作y ’

∣

0x x 或

=∣dx dy 0x x ，

=∣

x x =。

函数f(x)在点0x 可导且f ′(0x )=A 等价于-

'f (0x )和+'f (0x )都存在且等于A ，即 ()()()A x f x f A x f 000='='?='+-

。根据这个定理，函数在某点的左、右导数只要有一个不存在，或者虽然都存在但不相等，

该点的导数就不存在。

&2.2导数的四则运算法则和基本公式

一、导数的四则运算法则

设函数u=u(x)，v=v(x)都可导，则

（1）()v u v u '±'='

±；（2）()

u v u ′v u +′=?，特别的，(k ·u)’=k ·u ’,其中k 为常数。

（3）若0v ≠，则2v v u v u v u '?-?'='??? ??，特别的，2

v v k v k '?-='

??，，其中k 是常数。推论若函数()x u u 11=，()x u u 22=，...，()x u u m m =都可导，则 (1) ()m 21m

21u u u u u u '???+'+'='+???++；

(2) ()m 21m 21m 21m 21u u u u u u u u u u u u '???+???'+???'=???.

若函数y=f(x)在开区间I 内单调、可导，且f ’(x)≠0，则反函数()y f x -1

=在对应区

间内可导，且()[

]()

x f 1

y f

-'=

'，或1x y y x ='?'。

二、导数的基本公式

(1)()0c ='

，c 为任意常数； (2) ()1

x -?='αα

α,α为任意非零实数；

(3) ()a ln a a

=',a ＞0且a ≠1； (4) ()x

='x

e ；

(5) ()a x x ln 1log a =

，a ＞0且a ≠1； (6) ()x

ln x =' ； (7) ()x cos sin x ='； (8) ()x sin x cos -='

； (9) ()x 2sec tan x ='； (10) ()x 2csc cot x -='

； (11) ()2

11arcsin x x

-='

； (12) ()2

11 x arccos x

；

(13) ()211arctan x x +=

； (14) ()2

11arccot x x +-

。 &2.3复合函数、隐函数求导法则

一、复合函数求导法则

设函数y=f(u)在u 处可导，u=(x)在x 处可导，则复合函数y=f(u(x))在x 处可导，且导数为

du df ?=dx dy 或()()x u u '?'='u

f y 。可见，复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。具体求导步骤如下：

（1）引进中间变量u ，将复合函数分解为基本初等函数y=f(u)与函数u=u(x)。

（2）计算(),f u

u '在将u=u(x)代入，表示成关于x 的表达式()()x u u f '。（3）计算u ’(x),若u(x)是基本初等函数或简单函数，直接求出u ’(x)。若u=u(x)仍然是复合函数，则继续分解，重复上述步骤，直至求出u ’(x)。最后作乘积()()()x u '?'x u f 即求得y ’。

二、隐函数求导法则

若需求因隐函数y 在点0x 处的导数值y '∣0x x =，具体求法是：（1）先由方程F （x ，y ）=0求出对应于0x x =的函数值y=0y ；（2）再求出y '，然后将0x x =，y=0y 代入，所得数值即为y '∣0x x =。

&2.4高阶导数

函数

y=f(x)的n-1阶导数()x 1

-n f

的导数称为函数

y=f(x)的n 阶导数，记作()

n y

或

()

()x n f

，n dx y n d ，n dx

f n d 。

二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数，相应地，函数y=f(x)的导数()x f '称为一阶导数。求高阶导数只需反复进行一阶导数的求导运算即可。

&2.5函数的微分

设函数y=f(x)在点0x 处及其左右两侧的小范围内有定义，自变量x 在点0x 处有改变量

0≠?x ，相应的函数该变量为y ?。若存在常数A ，使得当0→?x 时，x A y ?-?是比x

?高阶的无穷小，即

00lim =??-?→?x

A y x ，则称函数y=f(x)在点0x 处可微，并称x A ?为函

数y=f(x)在点0x 处的微分，记作dy ∣x A x x ?==0。

函数y=f(x)在点0x 处可微与在点0x 处可导等阶，且dy ∣()x x f x x ?'==00。若函数y=f(x)在区间I 上没一点都可微，则称函数 y=f(x)在区间I 上可微。函数的微分可以写成()dx x f dy '=。

根据函数y=f(x)的微分表达式、基本初等函数的导数公式及运算法则，可得以下微分

运算公式及法则：

（1）d(c)=0（c 为常数）

（2）d(u(x)+c)=d(u(x))(c 为常数)

（3）d(ku(x))=kd(u(x))(k 为常数)

（4）d(u(x)±v(x))=d(u(x)) ±d(v(x))

（5）d(u(x)· v(x))=v(x)d(u （x ）)+u （x ）d(v(x)) （6）2

v udv

vdu v u d -=??

?? （7）()()()()()()dx x u x u f x u f d ''=

如果函数y=f(u)对u 可微，u=u(x)对x 可微，则()du u f dy '=。我们把这个定理称为微分形式不变性。

&2.6函数的单调性、极值与最值

一、函数的单调性

设函数f(x)在开区间I 内可导：

（1）如果()0φx f '，那么函数f(x)在I 内单调增加；（2）如果()0πx f '，那么函数f(x)在I 内单调减少。

如果函数f(x)的一阶导数()x f '在开区间I 内恒非负（恒非正），且使得()x f '=0的点只是一些孤立的点，那开区间I 为函数f(x)的单调增加区间（单调减少区间）。

二、函数的极值

若函数f(x)在点0x 处的一阶导数值()00='x f ，则称点0x 为函数f(x)的驻点。若函数f(x)在点0x 处可导，且0x 是f(x)的极值点，则0x 必是函数f(x)的驻点。极值存在的第一充分条件：设函数f(x)只可能在有限的几个点处不可导，点0x 为f(x)的驻点或一阶导数不存在的点，当x 从点0x 的左侧变化到右侧时：

（1）如果一阶导数()x f '变号，且从正号（负号）变化到负号（正号），则点0x 为函数f(x)的极大值点（极小值点）；

（2）如果一阶导数()x f '不变号，则点0x 不是函数f(x)的极值点。极值存在的第二充分条件：设函数f(x)在其驻点0x 处二阶可导。（1）若()0πx f ''，则0x 是函数f(x)的极大值点；（2）若()0φx f ''，则0x 是函数f(x)的极小值点。三、函数的最值

闭区间上的连续函数必有最值。最值可在区间内部取得，也可在区间端点取得。结合最值与极值的关系，求函数f(x)在[a ，b]上的最值的步骤如下：

（1）求出函数在开区间（a ，b ）内所有可能的极值点的函数值（包括驻点、间断点及导数不存在的点的函数值）；

（2）求出区间点的函数值f(a)和f(b)；

（3）将这些函数值进行比较其中最大（小）者为最大（小）值。

&2.8经济应用

一、边际函数

总成本函数C=C(x)对产量x 的一阶导数()x C '称为边际成本函数；总收益函数R=R(x)对产量x 的一阶导数()x R '称为边际收益函数；总利润函数L=L(x)对产量x 的一阶导数()x L '称为边际利润函数。二、需求弹性函数

需求函数Q=Q(P)对销售价格P 的相对变化率称为需求弹性函数，记作()()()

P P Q P Q P '=η。

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论

结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =）则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设 ~,~ααββ'',

且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。

考研数学一笔记.doc

高等数学常用公式 ⒈等比数列 1 1n -=n q a a q q a s n n --=1) 1(1 ⒉等差数列 d n a a )1(1n -+= 2 )(1n a a s n n += ⒊ )12)(1(6 1 3212222++= ++++n n n n ⒋ 2 33332)1(321?? ? ???+=++++n n n 极限一、对于和式 n u u u ++∑=2n 1 11 进行适当放缩有两种典型的方法 ①当n 为无穷大时，则 n ?u min ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max ②当n 为有限项，且u i ≥0时，则 u max ≤u 1+u 2+?+u n ≤n ?u max 二、常用极限： )m 3,2,1i (}max {lim .1n 21n a ==++∞→， i m m n n a a a n a b i n a b a f x f dx x f n i n i b n i i --+ =?=∑?∑=∞ →=→)(lim )(lim )(.21 a 1 ξλ n a b n a b i a f x f dx x f n i n i b n i i ---+ =?=∑?∑=∞ →=→)))(1((lim )(lim )(31 a 1 ξλ 1lim .3=∞ →n n a 为常数），（，b a ,1lim .4=+∞ →n n b an 1 lim .50 x =+→x x

，则若a a n n =∞ →lim ..6 a n a a a n n =+++∞→ 21lim .① a a a a n a n n n n ==>∞ → 21lim )3,2,1(0.② ，则若三、常见等价无穷小代换总结

高数知识点总结

高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim 020==+→→x x x x x x x 4、两个重要极限：()e x e x x x x x x x x =?? ? ??+=+=∞ →→→11lim 1lim )2(1 sin lim )1(1 0 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[] ) ()(lim ) (0 )(1lim x g x f x g x x x x e x f →=+→ 例如：()33lim 10 031lim -? ? ? ? ?-→==-→e e x x x x x x 5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||x y =连续但不可导。 6、导数的定义：()00 00 ') ()(lim ) (') ()(lim x f x x x f x f x f x x f x x f x x x =--=?-?+→→? 7、复合函数求导： [][])(')(')(x g x g f dx x g df ?= 例如：x x x x x x x y x x y ++=++ = +=2412221 1', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx 例如：y x dx dy ydy xdx y x y yy x y x - =?+- =?=+=+22,),2('0'22,),1(1 22左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若?? ?==) ()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[] ) (')('/)('/)/(/22 t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ??=-?+ 例如：计算 ?31sin

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数 1、二次曲面 1）椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2）椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3）单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4）椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5）椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6）抛物柱面： ay x =2 （二）平面及其方程 1、点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三）空间直线及其方程

(完整版)高数_大一_上学期知识要点

总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB =g (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =）则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为 αβ:. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.

定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123L ; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 1 0lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。未定式为0,,,0,00∞ ∞∞-∞?∞∞ 类型. ①定理(x a →时的0 型): 设 (1)lim ()lim ()0x a x a f x F x →→==; (2) 在某(,)U a δo 内, ()f x 及()F x 都存在且()0F x ≠;

高数读书笔记

高等数学读书笔记

——定积分与不定积分马燕妮四川农业大学经济学院经济学中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义（一）、定积分的定义：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任

考研高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 2 12211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+= ，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '--='-='? ?????????+±+ =±+=+=+= +-=?+=?+-== +==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+= -++-=-+=++-=++=+=+-=? ???????arcsin ln 21ln 21 1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2 2 22 22 2 ? ????++ -= -+-+--=-+++++=+-= == -C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 2 2 ln 2 2)ln(2 21cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0π π

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学难点总结及课后习题解读

这三篇总结文章，来自于我五一给学生的几堂总结课，当时没有做书面材料，后来才想到把它们整理成文。考虑到现在大多数人都还在进行第一轮，也就是基础阶段的复习，所以先把自己对高数知识点的总结奉上，希望对大家能有帮助。可能以后也会有关于线代和概率的总结。上册除了空间解析几何基本都涉及了，这是数一数二数三数四的共通内容。下册（一）是关于多元微积分和级数的，其中数二数四的就不用看级数了。下册（二）是关于线面积分的，数一专题。上册：函数（高等数学的主要研究对象）极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性……应当注意到，由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立在提出极限概念的时候并未涉及到函数在该点的具体情况，所以函数在某点的极限与函数在该点的取值并无必然联系连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量无限接近，因变量无限接近导数的概念本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆定积分的几何应用和物理应用

大一上学期高数知识点电子教案

第二章导数与微分一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式（1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义（2）定理与运算法则定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法（1）复合函数微分法（2）反函数的微分法（3）由参数方程确定函数的微分法（4）隐函数微分法（5）幂指函数微分法（6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数（1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式：（2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率二、例题解析例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问：（1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导；（2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续；（3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？解函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在，当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K

大一高数上复习重点

大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020

高数高数重点本章公式：两个重要极限：常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用：

洛必达法则：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点：注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍）对原函数的理解原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）不定积分的性质

2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有可考虑用代换

高等数学中易错知识点总结

高等数学中易错知识点总结 1．在一元函数中，若函数在某点连续，则该函数在该点必有极限。若函数在某点不连续，则该函数在该点必无极限。 2, 在一元函数中，若函数在某点可导，则函数在该点一定连续。但是如果函数不可导，不能推出函数在该点一定不连续。 3. 基本初等函数在其定义域内是连续的，而初等函数在其定义区间上是连续的。 4．若函数在某一区间上连续，则在这个区间上，该函数存在原函数。若函数在某一区间上不连续，则在这个区间上，该函数也可能存在原函数，不能说该函数在区间上必无原函数。 5. 在二元函数中，两个偏导数存在与该函数的连续性没有关系。但是若果二元函数可微，则该函数必然连续。 6．在一元函数中，驻点可能是极值点，也可能不是极值点。函数的极值点必是函数的驻点或导数不存在的点。在多元函数中，若偏导数存在，则极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。 7. 函数f(x)的周期性和奇偶性与它的导数的周期性和奇偶性有什么关系？ a.函数f(x)与它的导数的周期一样：可导的周期函数，其导数必定是周期函数证明如下：设可导函数为f(x), 因为它是周期函数,所以f(x+T)=f(x), --->f'(x)=(x+T)'*f'(x+T)=1*f'(x+T) 所以f'(x+T)=f'(x),就是说它的导函数也是周期函数. b. 函数f(x)与它的导数的奇偶性相反：可导的偶函数的导数是奇函数证明如下: 一、根指导数定义和偶函数定义,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h} =lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)} =-f′(x) 二、根据复合函数的求导法则, 设f(x)为偶函数,则有f(-x)=f(x) 对上式两边关于x求导数,则有 8. 设函数y=f(x)在x=a处可导,则函数y=f(x)的绝对值在x=a处不可导的充分条件是: f(a)=0,f'(a)≠0 证明如下：f(a)=0,f'(a)>0或f'(a)<0 ①f(a)=0,f'(a)>0 lim(x→a-)f'(x)=-f'(a) lim(x→a+)f'(x)=f'(a)≠-f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在 ②f(a)=0,f'(a)<0 lim(x→a-)f'(x)=f'(a) lim(x→a+)f'(x)=-f'(a)≠f'(a)=lim(x→a-)f'(x) ∴x=a处导数不存在如果想不通,就当f(x)=x吧,|x|在x=0处导数不存在 9.闭区间上的单调函数必可积。