2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)
文科数学
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A
B =( )
A .{|0}x x ≥
B .{|1}x x ≤
C .{|01}x x ≤≤
D .{|01}x x << 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( )
A .23i +
B .23i -
C .32i +
D .32i - 3. 已知13
2
a -=,2
1211
log ,log 33
b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4. 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥
5. 设,,a b c 是非零向量,已知命题P :若0=⋅b a ,0=⋅c b ,则0=⋅c a ;命题q :若
//,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( )
A .p q ∨
B .p q ∧
C .()()p q ⌝∧⌝
D .()p q ∨⌝ 6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A .2π B .4π C .6π D .8
π
7. 某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积
为( )
A .84π-
B . 82
π
- C .8π- D . 82π-
8. 已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线
上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( ) A .43-
B .-1
C .34-
D .12
- 9. 设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a
为递减数列,则( ) A .0d > B .0d < C .10a d > D . 10a d <
10. 已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,1cos ,[0,]2
()121,(,)
2
x x f x x x π⎧
∈⎪⎪=⎨⎪-∈+∞⎪⎩,则不等式1(1)2f x -≤
的解集为( )
A .1247[,][,]4334
B .3112
[,][,]4343--
C .1347[,][,]3434
D .3113[,][,]4334
--
11. 将函数3sin(2)3y x π
=+
的图象向右平移
2
π
个单位长度,所得图象对应的函数( )
A .在区间7[,]1212ππ上单调递减
B .在区间7[,]1212ππ
上单调递增 C .在区间[,]63ππ-上单调递减 D .在区间[,]63
ππ
-上单调递增
12. 当[2,1]x ∈-时,不等式3
2
430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[5,3]-- B .9
[6,]8
-- C .[6,2]
-- D .[4,3]--
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. 执行右侧的程序框图,若输入3n =,则输出T = .
14. 已知x ,y 满足条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
,则目标函数34z x y
=+的最大值为 .
15. 已知椭圆C :22
194
x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .
16. 对于0c >,当非零实数a ,b 满足0242
2
=-+-c b ab a ,
且使|2|a b +最大时,c
b a 4
21++的最小值为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分12分)
在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边a ,b ,c ,且a c >,已知2BA BC ∙=,1cos 3
B =
,3b =,求:
(1)a 和c 的值; (2)cos()B C -的值.
18. (本小题满分12分)
某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
(1)根据表中数据,问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率. 附:
2
1212
211222112)
(++++-=
n n n n n n n n n χ,
19. (本小题满分12分)
如图,ABC ∆和BCD ∆所在平面互相垂直,且2AB BC BD ===,
0120ABC DBC ∠=∠=,E 、F 、G 分别为AC 、DC 、AD 的中点
.
(1)求证:EF ⊥平面BCG ; (2)求三棱锥D-BCG 的体积. 附:椎体的体积公式1
3
V Sh
=,其中S 为底面面积,h 为高.
D
C
20. (本小题满分12分)
圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (1)求点P 的坐标;
(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,
且与直线:l y x =A ,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.
21. (本小题满分12分)
已知函数()(cos )2sin 2f x x x x π=---
,2()(1x
g x x ππ
=--.
证明:(1)存在唯一0(0,
)2
x π
∈,使0()0f x =;
(2)存在唯一1(
,)2
x π
π∈,使1()0g x =,且对(1)中的01x x π+<.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图,EP 交圆于E 、C 两点,PD 切圆于D ,G 为CE 上一点且PG PD =,连接DG 并延长交圆于点A ,作弦AB 垂直EP ,垂足为F. (1)求证:AB 为圆的直径;
A
(2)若AC=BD ,求证:AB=ED.
23. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
将圆221x y +=上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程;
(2)设直线:220l x y +-=与C 的交点为12,P P ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
极坐标建立极坐标系,求过线段12PP 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
24. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数()2|1|1f x x x =-+-,2()1681g x x x =-+,记()1f x ≤的解集为M ,
()4g x ≤的解集为N.
(1)求M ; (2)当x M N ∈时,证明:221()[()]4
x f x x f x +≤
.
2014高考辽宁卷文科数学参考答案
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. D A C B A B C C D A B C 1.【解析】).10()∪(∞).C 1[]0∞-(∴∞)1[],0-(R ,,,=+⋃=⋃+=∞=B A B A B A 2.【解析】..3225
252-25,5)-2)(2-(A i i i i i z i i z 选)(+=++=+=
∴= 3.【解析】.∴).2,1(∈log ),1-2-(∈log ),121
(∈2312
13123
1
-b a c c b a >>===,, 4.【解析】对A, 平行同一平面的直线不一定平行,所以A 错;对B ,直线垂直平面,则
必垂直平面内任意一条直线,所以B 对;同样C,D 均错. 5.【解析】命题p 为假,命题q 为真,所以A 正确. 选A
6.【解析】 4
21121
)(2
π
π=⨯⋅=A P ,所以选B.
7.【解析】几何体为直棱柱,体积π-82)2
1π-22(2
=⨯⨯==sh V ,选C. 8.【解析】.4p 2,2
,)3,2-(==p
A 得在准线上
..4
3
-2-2-3),0,2(,8∴2C k F F x y AF 选从而的坐标为焦点===
9. 【解析】由已知得n a a 1递减,所以
n n a a a a 111<+,
解得
.00;0011><<>d a d a 且或且
.
.01D d a 选<∴
10.【解析】依题可以画出函数)(x f y =的图象如图,直线
21
=
y 与函数)(x f y =的四个交点横坐标从左到右依次为43,31,31,43--,因此可得,43131≤-≤x 或31143-≤-≤-x ,解得]47
,34[]32,41[ ∈x ,选A. 11.【解析】;
一个增区间为的周期把]6π
-4π,6π-4π-[π,)6π(2sin 3)3π2sin(3=+=+
=T x x y .
].12
7π
,12π[]6π-4π2π,6π-4π-2π[2πB 选后,增区间为右移=+
12.【解析】x
t x x f x 1
0≠.0≥)(0.==时,令当成立时,当
]1,2-[∈∀x ,0≥)3
41-
()(323x x x a x x f ++=
]
2
1
,-∞-(∈∀t ,0≤34-),∞,1[∈∀t ,0≥34-∴3232t t t a t t t a +++++且
)1-9)(1(981-)(,34-)(232t t t t t g t t t a t g +=++='++=则令
.
)∞,1[]2
1
,-1-(),-1∞-()(递增上递减,在上递增,在在+'t g
.].-2,-6[∈a ∴-6≥-2≤.0≥)1(0≤)-1(∴C a a g g 选且解得,且
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上) 13. 20 14. 18 15. 12 16. 1-
16.【解析】设2a b t +=,则2b t a =-,代入到22
420a ab b c -+-=中,得
()()2
242220a a t a t a c --+--=,即221260a ta t c -+-=………(*)
因为关于a 的二次方程(*)有实根,所以0)(1243622≥-⨯-=∆c t t ,可得c t 42
≤,
所以当|2|b a +取最大值时,⎪⎩
⎪⎨⎧==c b c a 2或⎪⎩⎪⎨
⎧
-=-
=c
b c a 2. (1) 当⎪⎩⎪⎨⎧==
c
b c
a 2时,0422421>++=
++c c c c b a , (2) 当⎪⎩
⎪⎨⎧-=-
=c
b c
a 2时,11)211(44224212-≥--=+--
=++c c c c c b a ,当且仅当2,1,4-=-==b a c 时等号成立.
综上可知,当2,1,4-=-==b a c 时,c
b a 4
21++的最小值为1-.
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.【解析】(1)由2BA BC ∙=得,2cos =B ca ,又1
cos 3
B =
,所以6=ac .又3b =, ac b c a B 2-cos 222+=,得到13cos 22
22=+=+B ca b c a ,
2
,3.2,3∴====>c a c a c a 所以,解得
(2)3
2
2`cos 1sin 31cos 2=-=∴=
B B B ,
92
4sin ,972c -cos ,2,3,32
22=
=+=
===C ab b a C c b a
.
27
23
)-cos(.2723sin sin cos cos )-cos(==+=∴C B C B C B C B 所以,
18. 【解析】(1)841.376.4≈3
710030702080)1020-1060(100χ22
>∙=∙∙∙∙∙=
面有差异”方的学生在甜品饮食方的把握认为“南方和北所以,有%95 (2)种;人,共有人中选从1035 10
7
7611611==+p 所以,所求事件的概率种人喜欢甜品的情况有种,所以至多有学生喜欢甜品的情况有个
种,只有品的情况有其中,没有学生喜欢甜
19. 【解析】(1)︒====120∠∠,DBC ABC BD BC BA 且
BCG
⊥EF ∴∩BC ⊥EF EF ⊥BC EF
⊥BC EFH,⊥BC ∴∩BC ⊥BC,⊥⊥EF ,⊥EF//AD ∴,ΔΔΔ∴面,且,即面,且根据对称性可知,上,且在设即分别是三边的中点,且,中在全等,与C CG CG H EH FH EH FH BC H CG
CG DC AC G F E ACD DC
AC DBC ABC ====
(2)BCG,⊥Δ∴BCG ⊥面上的高底边面面BC ABC ABC
21
CG -2
1
∴3120sin 22212
3
31CG -3Δ.CD -CG -ΔΔCD -CG -的体积为
所以,三棱锥的体积三棱锥上的高底边的高是它的一半即三棱锥B D V S S V V B D BC ABC B G B D BCD BCD B G B D =
=︒∙∙∙=∙∙=
==
20.【解析】(1),4,,,2
=r n m P r 为点上下两段线段长分别设圆半径
三角形面积由射影定理得,2mn r =
16)(4214421224
22+++=++=
n m r n m s ,168211682124224++=++≥r r n m r ).2,2(2P s n m 取最大值,这时时,仅当==
(2)).,(),(1221122
22y x B y x A b y a x ,,设椭圆方程为=+
1
2
2)2,2(22=+b a P 得:椭圆过点
.
2
33=
+=d x y P 的距离到直线则
324221Δ==∙∙=
AB AB d S ABP ,解得由题得
,由弦长公式得3
32
]4-)[(2]4-))[(1(212212122122=
+=++=x x x x x x x x k AB 1
3
6)(3,66,30
31
3-6,316-38-48-32,34-∴01-3322,01-3321
312
2.3164-)(2
22222242242
2
212212
2
22222222
2221221=+=====+=∙∙==+=++=+++⎪⎩⎪⎨⎧=++==+=
+y x a b a b b
b b b b b b x x b x x b x x b x x a x b y a
x x y b
a P x x x x 所以,椭圆方程为舍,或解得即代入上式得整理得得由代入方程得:把点即
21.【解析】(1)04-2
π)2π(,02-π-)0(∴2-sin 2-)cos -(π)(2
>=
<==f f x x x x f 上仅有一个零点
,在所以,上单调递增
,在上有零点
,在)2π
0()()2
π
0()(∴0osx)2-π(sin πosx 2-)sin 1(π)()2
π
0()(∴x f x f c x c x x f x f >+=+='
(2) π),,2
π
(∈,1-π2sinx 1sinx -1π)
-()(x x x x g ++=
1-π2sinx 1cosx -π)
-()(∴x x x g ++=)
2π(0,∈,π2-πsin 1cos -)-π(∴x x x x x x g ++=.
h(x)g(x))2
π
(0,∈,π2-πsin 1cos -h(x)的零点相同与,则设x x x x x ++=π2
-sin 1sin 1cos -π2-)sin (1cos )sin 1(sin sin 1cos -(x)h 2
2x x x x x x x x x x x +++=+++++='
)2π(0,∈,)sin 1(π)()sin 1(π)sin 1(2-)cos -π(x x x x f x x x +=++=
,上只有一个零点在知,由0)2π(0,)()1(x x f .
(x)h ,00左负右正在点即左负右正且在点x x ' π.,),2
()(π
∴π,-π∴0
)-π(,0)h()0(∈,0)(0)2
πh(,01)0(h(x)∴101100121212202000>+>++<=+===<=>=x x x x g x x x x x x x x x g x x x x h h x x 且上存在唯一零点在所以,即即,使得,存在唯一故点右侧递增,且点左侧递减,在在ππ
22.【解析】(1)PG PD D PD =' .到延长, AG ∠∠∴∠∠∠∴F DB D PD FGA PGD ADP ='==为切线 π∠∠BDA AG ∠∴π∠ADP ∠BDA ∠=++=++'FGA F DB D
.,2π∠BDA ∴π2π∠BDA ∴为直径所以AB ==+
(2)EC ∠AG ∠AD ∠∴A F B AC BD ===
为直径中,在三角形ED EG AF ACE ∴2π∠EAD ⇒2π∠EAG ∴⊥== .,AB ED =所以
23. 【解析】(1).],π∈[0,t sin 2cos 为参数,的参数方程:曲线t t y t x C ⎩
⎨⎧== (2)02-θsin 2θcos 2θ)sin 2θ,(cos =+在直线上,则上的点设曲线P C
0.3θsin ρ4-cos θ 2ρ,23-4)21-(211-∴).1,21(),2,0(),0,1(.2π0θ.1)4πθsin(2=+====+是所求直线的极坐标方程所以即的中垂线方程是垂直中点所以,,或即解得x y x y AB AB B A
24. 【解析】(1).1≤
1-|1-|2)(x x x f += .1≤01;34≤≤11≥< (2)由41816)(2≤+-=x x x g ,解得4341≤≤-x .因此},4341|{≤≤-=x x N 故 }4 3 0|{≤≤=x x N M ,于是当N M x ∈时,x x f -=1)(.于是 .4 1)1()()] ()[()]([)(22≤-=⋅=+=⋅+x x x f x x f x x xf x f x x f x 2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷) 文科数学 一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合M ={x |-1 2014年辽宁省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)(2014?辽宁)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:先求A∪B,再根据补集的定义求C U(A∪B). 解答:解:A∪B={x|x≥1或x≤0}, ∴C U(A∪B)={x|0<x<1}, 故选:D. 点评:本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法. 2.(5分)(2014?辽宁)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=() A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析: 把给出的等式两边同时乘以,然后利用复数代数形式的除法运算化简,则z可求. 解答:解:由(z﹣2i)(2﹣i)=5,得: , ∴z=2+3i. 故选:A. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题. 3.(5分)(2014?辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 考点:对数的运算性质. 专题:计算题;综合题. 分析:利用指数式的运算性质得到0<a<1,由对数的运算性质得到b<0,c>1,则答案可求. 解答: 解:∵0<a=<20=1, b=log2<log21=0, c=log=log23>log22=1, ∴c>a>b. 故选:C. 点评:本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1这样的特殊值能起到事半功倍的效果,是基础题. 4.(5分)(2014?辽宁)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 解答:解:A.若m∥α,n∥α,则m,n相交或平行或异面,故A错; B.若m⊥α,n?α,则m⊥n,故B正确; C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α或n?α,故C错; D.若m∥α,m⊥n,则n∥α或n?α或n⊥α,故D错. 故选B. 点评:本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型. 5.(5分)(2014?辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若?=0,?=0,则?=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是() A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q) 考点:复合命题的真假;平行向量与共线向量. 专题:简易逻辑. 分析:根据向量的有关概念和性质分别判断p,q的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结论. 解答: 解:若?=0,?=0,则?=?,即(﹣)?=0,则?=0不一定成立,故命题p为假命题, 若∥,∥,则∥平行,故命题q为真命题, 则p∨q,为真命题,p∧q,(¬p)∧(¬q),p∨(¬q)都为假命题, 2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 文科数学 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B =( ) A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3. 已知13 2 a -=,2 1211 log ,log 33 b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4. 已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α?,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥ 5. 设,,a b c 是非零向量,已知命题P :若0=?,0=?,则0=?;命题q :若 //,//a b b c ,则//a c ,则下列命题中真命题是( ) A .p q ∨ B .p q ∧ C .()()p q ?∧? D .()p q ∨? 6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A .2π B .4π C .6π D .8 π 2014年辽宁省高考数学试卷(文科) 一、选择题(共12小题,每小题5分) 1.(5分)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=()A.{x|x≥0}B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1}D.{x|0<x<1} 2.(5分)设复数z满足(z﹣2i)(2﹣i)=5,则z=() A.2+3i B.2﹣3i C.3+2i D.3﹣2i 3.(5分)已知a=,b=log 2,c=log,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 4.(5分)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是()A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥αD.若m∥α,m⊥n,则n⊥α 5.(5分)设,,是非零向量,已知命题p :若?=0,?=0,则?=0;命题q :若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是() A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧(¬q)D.p∨(¬q) 6.(5分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是() 1 A . B . C . D . 7.(5分)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() A.8﹣B.8﹣C.8﹣πD.8﹣2π 8.(5分)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为() A .﹣ B.﹣1 C .﹣ D .﹣ 9.(5分)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则()A.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<0 10.(5分)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=, 2 2014年普通高等学校招生全国统一考试 辽宁卷文科 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014辽宁文1)已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()U A B =e( ) A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.(2014辽宁文2)设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z =( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3.(2014辽宁文3)已知1 3 2 a -=,2 1log 3b =,121 log 3 c =,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c b a >> D .c a b >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α?,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥ 5.设,,a b c 是非零向量,已知命题p :若0?=a b ,0?=b c ,则0?=a c ;命题q :若∥a b ,∥b c ,则∥a c ,则下列命题中真命题是( ) A .p q ∨ B .p q ∧ C .()()p q ?∧? D .()p q ∨? 6.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =,1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) A . 2π B .4π C .6π D .8 π 7.(2014辽宁文7)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A D C B 2014年辽宁省高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分) 把给出的等式两边同时乘以 3.(5分)(2014?辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则() 2< c=log 5.(5分)(2014?辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若?=0,?=0,则?=0; 命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是() ?=0?=0,则??,即()=0,则? ∥,∥,则∥平行,故命题 6.(5分)(2014?辽宁)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是() B S= 为直径的半圆内的概率是 7.(5分)(2014?辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() ﹣﹣ 圆柱,根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面 圆柱, × 8.(5分)(2014?辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为﹣ = 的斜率为=. 9.(5分)(2014?辽宁)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{2}为递减数列,则() < } ∴< ∴ 10.(5分)(2014?辽宁)已知f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=,则不等式f(x﹣1)≤的解集为() ,]∪[,],﹣]∪[,] ,]∪[,],﹣]∪[,] 的解,然后利用函数的奇偶性求出整个定义域上≤ ],即x= x=, 时,由,得, x= ≤的解为, ≤的解为﹣≤, 的解为或﹣≤ ≤或≤, ≤或≤, ≤{x|≤或≤ 的11.(5分)(2014?辽宁)将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图 [,][, ,], [,] 2x+)的图象向右平移个单位长度, )] ﹣ 当函数递增时,由 ,得 ,] 2014年辽宁省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 3.(5分)(2014?辽宁)已知a=,b=log2,c=log,则() 5.(5分)(2014?辽宁)设,,是非零向量,已知命题p:若?=0,?=0,则?=0;命题q:若∥,∥,则∥,则下列命题中真命题是() 7.(5分)(2014?辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为() ﹣ 8.(5分)(2014?辽宁)设等差数列{a n}的公差为d,若数列{}为递减数列,则() [,][, ,], 10.(5分)(2014?辽宁)已知点A(﹣2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切.C D. 32 ,﹣ 12.(5分)(2014?辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足: ①f(0)=f(1)=0; ②对所有x,y∈[0,1],且x≠y,有|f(x)﹣f(y)|<|x﹣y|. .C D. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。考生根据要求作答. 13.(5分)(2014?辽宁)执行如图的程序框图,若输入x=9,则输出y=_________. 14.(5分)(2014?辽宁)正方形的四个顶点A(﹣1,﹣1),B(1,﹣1),C(1,1),D(﹣1,1)分别在抛物线y=﹣x2和y=x2上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形ABCD中,则质点落在图中阴影区域的概率是 _________. 15.(5分)(2014?辽宁)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合,若M关于C的焦点的对称点分别为A、B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=_________. 16.(5分)(2014?辽宁)对于c>0,当非零实数a,b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大时,﹣+的最小 值为_________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12分)(2014?辽宁)在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知?=2,cosB=, b=3,求: (Ⅰ)a和c的值; (Ⅱ)cos(B﹣C)的值. 18.(12分)(2014?辽宁)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (Ⅰ)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率; (Ⅱ)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X). 19.(12分)(2014?辽宁)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°,E、F 分别为AC、DC的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥BC; (Ⅱ)求二面角E﹣BF﹣C的正弦值. 20.(12分)(2014?辽宁)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:﹣=1过点P且离心率为. (Ⅰ)求C1的方程; (Ⅱ)若椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程. 2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合{2,0,2}A =-,2 {|20}B x x x =--=,则A I B= (A) ∅ (B ){}2 (C ){}0 (D) {}2- 考点: 交集及其运算. 分析: 先解出集合B ,再求两集合的交集即可得出正确选项. 解答: 解:∵A={﹣2,0,2},B={x|x2﹣x ﹣2=0}={﹣1,2},∴A ∩B={2}. 故选: B 点评: 本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键. (2) 131i i +=- () (A )12i + (B )12i -+ (C )1-2i (D) 1-2i - 考点: 复数代数形式的乘除运算. 分析: 分子分母同乘以分母的共轭复数1+i 化简即可. 解答: 解:化简可得====﹣1+2i 故选: B 点评: 本题考查复数代数形式的化简,分子分母同乘以分母的共轭复数是解决问题的关键,属基础题. (3)函数()f x 在0x x =处导数存在,若00:()0;:p f x q x x '==是()f x 的极值点,则() (A )p 是q 的充分必要条件 (B )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (C )p 是q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 (D) p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有 分析: 根据可导函数的极值和导数之间的关系,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 函数f (x )=x3的导数为f'(x )=3x2,由f ′(x0)=0,得x0=0,但此时函数f (x )单调递增, 无极值,充分性不成立.根据极值的定义和性质,若x=x0是f (x )的极值点,则f ′(x0)=0成立,即必要性成立,故p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件, 普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷) 数学(供文科考生使用) 第I 卷 一、选择题 (1) 已知全集U R =,{}0|A x x =≤,{}1|B x x =≥,则集合()U A B =ð (A ) {}0|x x ≥ (B ){}1|x x ≤ ( C ){}1|0x x ≤≤ ( D ){}1|0x x << (2) 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z =( ) A. 23i + B. 23i - C. 32i + D. 32i - (3) 已知13 2a -=,21log 3b =,121log 3c =,则 (A )a b c >> (B )a c b >> (C )c a b >> (D )c b a >> (4) 已知,m n 表示两条不同的直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) A. 若//,//m n αα,则//m n B. 若,m n αα⊥⊂,则m n ⊥ C. 若,m m n α⊥⊥,则//n α D. 若//,m m n α⊥,则n α⊥ (5) 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0;命题q :若 a ∥ b , b ∥ c ,则a ∥c . 则下列命题中真命题是 (A )p q ∨ (B )p q ∧ (C ) ()()p q ⌝∧⌝ (D ) ()p q ∨⌝ (6) 若将一个质点随即投入如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落 在以AB 为直径的半圆内的概率是 (A )2π (B )4π (C )6π (D )8 π (7) 某几何体三视图如图所示,则该几何体体积为 (A )82π- (B )8π- (C )82π - (D )84π - (8) 已知点A (-2,3)在抛物线2:2C y px =的准线 上,记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为 (A )43- (B ) -1 (C )34- (D )12 - (9) 设等差数列{}n a 中的公差为d ,若数列1{2}n a a 2014年辽宁高考理科数学试题及参考答案 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合()U C A B = A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2)(2)5z i i --=,则z = A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3.已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则 A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是 A .若//,//,m n αα则//m n B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α D .若//m α,m n ⊥,则n α⊥ 5.设c b a ,,是非零向量,已知命题p :若0=⋅b a ,0=⋅c b ,则0=⋅c a ;命题q :若b a //,c b //,则c a //,则下列命题中真命题是 A .p q ∨ B .p q ∧ C .()()p q ⌝∧⌝ D .()p q ∨⌝ 6.把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种 数为 A .144 B .120 C .72 D .24 7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 A .82π- B .8π- C .82π - D .84π - 8.设等差数列{}n a 的公差为d ,若数列1{2}n a a 为递减数列,则 A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 数学试卷 第1页(共21页) 数学试卷 第2页(共21页) 数学试卷 第3页(共21页) 绝密★启用前 2014年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科 考生使用) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知全集U =R ,{|0}A x x =≤,{|1}B x x =≥,则集合()U A B =ð ( ) A .{|0}x x ≥ B .{|1}x x ≤ C .{|01}x x ≤≤ D .{|01}x x << 2.设复数z 满足(2i)(2i)5z --=,则z = ( ) A .23i + B .23i - C .32i + D .32i - 3.已知1 3 2a -=,21log 3b =,121 log 3 c =,则 ( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >> 4.已知m ,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是 ( ) A .若m α∥,n α∥,则m n ∥ B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ C .若m α⊥,m n ⊥,则n α∥ D .若m α∥,m n ⊥,则n α⊥ 5.设a ,b ,c 是非零向量.已知命题p :若a b 0=,b c 0=,则a c 0=;命题q :若a ∥b ,b ∥c , 则a ∥c ,则下列命题中真命题是 ( ) A .p q ∨ B .p q ∧ C .()()p q ⌝∧⌝ D .()p q ∨⌝ 6.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A .144 B .120 C .72 D .24 7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .82π- B .8π- C .π82- D .π84 - 8.设等差数列{}n a 的公差为d .若数列1{2}n a a 为递减数列,则 ( ) A .0d < B .0d > C .10a d < D .10a d > 9.将函数π 3sin(2)3 y x =+的图象向右平移 π 2 个单位长度,所得图象对应的函数 ( ) A .在区间π7π [ ,]1212上单调递减 B .在区间π7π [,]1212上单调递增 C .在区间ππ [,]63 -上单调递减 D .在区间ππ [,]63 -上单调递增 10.已知点(2,3)A -在抛物线C :22y px =的准线上,过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ,记C 的焦点为F ,则直线BF 的斜率为 ( ) A .12 B .23 C .34 D .43 11.当[2,1]x ∈-时,不等式32430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是 ( ) A .[5,3]-- B .9 [6,]8 -- C .[6,2]-- D .[4,3]-- 12.已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足: ①(0)(1)0f f ==; ②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1 |()()|||2 f x f y x y --<. 若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<恒成立,则k 的最小值为 ( ) A .1 2 B .14 C .12π D .18 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.执行如图所示的程序框图,若输入9x =,则输出y =________. 14.正方形的四个顶点(1,1)A --,(1,1)B -,(1,1)C ,(1,1)D -分别在抛物线2y x =-和2 y x =上,如图所示.若将一个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是________. 15.已知椭圆C : 22 194 x y +=,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ,B ,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN +=________. 16.对于0c >,当非零实数a ,b 满足224240a ab b c -+-=且使|2|a b +最大时,345a b c -+的最小值为________ . --------在 --------------------此-------------------- 卷-------------------- 上-------------------- 答-------------------- 题-------------------- 无-------------------- 效---------------- 姓名________________ 准考证号_____________ 2014年一般高等学校招生全国统一考试(辽宁) 数学(文科) 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2014年辽宁,文1,5分】已知全集,{|0},{|1}U R A x x B x x ==≤=≥,则集合U ()A B =( ) (A ){|0}x x ≥ (B ){|1}x x ≤ (C ){|01}x x ≤≤ (D ){|01}x x << 【答案】D 【解析】{}10A B x x x =≥≤或,∴{}U ()01A B x x =<<,故选D . 【点评】本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方法. (2)【2014年辽宁,文2,5分】设复数z 满意(2i)(2i)5z --=,则z =( ) (A )23i + (B )23i - (C )32i + (D )32i - 【答案】A 【解析】由(2i)(2i)5z --=,得:()()()52i 52i 2i 2i 2i 2i z +-= ==+--+,∴23i z =+,故选A . 【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算,是基础的计算题. (3)【2014年辽宁,文3,5分】已知132a -=,21 log 3b =,121log 3 c =,则( ) (A )a b c >> (B )a c b >> (C )c b a >> (D )c a b >> 【答案】D 【解析】∵1030221a -<=<=,221 log log 103b =<=,12221log log 3log 213c ==>=,∴c a b >>,故选D . 【点评】本题考查指数的运算性质和对数的运算性质,在涉及比较两个数的大小关系时,有时借助于0、1这样 的特别值能起到事半功倍的效果,是基础题. (4)【2014年辽宁,文4,5分】已知,m n 表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的是( ) (A )若//m α,//n α,则//m n (B )若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥ (C )若m α⊥,m n ⊥,则//n α (D )若//m α,m n ⊥,则n α⊥ 【答案】B 【解析】A :若//m α,//n α,则m ,n 相交或平行或异面,故A 错; B .若m α⊥,n α⊂,则m n ⊥,故B 正确; C .若m α⊥,m n ⊥,则//n α或n α⊂,故C 错; D .若//m α,m n ⊥,则//n α或n α⊂或n α⊥,故D 错,故选B . 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的推断与性质,记熟这些定理是快 速解题的关键,留意视察空间的直线与平面的模型. (5)【2014年辽宁,文5,5分】设,,a b c 是非零向量,已知命题p :若0=a b ,0=b c ,则0=a c ;命题q : 若a b ,b c ,则a c ,则下列命题中真命题是( ) (A )p q ∨ (B )p q ∧ (C )()()p q ⌝∧⌝ (D )()p q ∨⌝ 【答案】A 【解析】若0=a b ,0=b c ,则a b =b c ,即()0-=a c b ,则0a c =不肯定成立,故命题p 为假命题,若a b , b c ,则a c ,故命题q 为真命题,则p q ∨,为真命题,p q ∧,()()p q ⌝∧⌝,()p q ∨⌝都为假命题, 故选A . 【点评】本题主要考查复合命题之间的推断,利用向量的有关概念和性质分别推断p ,q 的真假是解决本题的关 键. (6)【2014年辽宁,文6,5分】若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中,其中2AB =, 1BC =,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( ) (A )2π (B )4π (C )6π (D )8 π2014年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)
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