最小生成树问题知识讲解

最小生成树问题

榆林学院12届课程设计

《最小生成树问题》

课程设计说明书

学生姓名：赵佳

学号：1412210112

院系：信息工程学院

专业：计算机科学与技术

班级：计14本1

指导教师：

答辩时间：年月日

最小生成树问题

一、问题陈述

最小生成树问题

设计要求：在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。

二、需求分析

1.在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可。

2.求城市之间最经济的架设方法。

3.采用多种存储结构，求解算法也采用多种。

三、概要设计

1、功能模块图

2、功能描述

（1) CreateUDG()

创建一个图：通过给用户信息提示，让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序，并根据写入的数据创建成一个图。

（2) Switch()

功能选择：给用户提示信息，让用户选择相应功能。

（3) Adjacency_Matrix()

建立邻接矩阵：将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。

（4) Adjacency_List()

建立邻接表：将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。

（5) MiniSpanTree_KRSL()

kruskal算法：利用kruskal算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。

（6) MiniSpanTree_PRIM()

PRIM算法：利用PRIM算法求出图的最小生成树，即：城市之间最经济的连接方案。

四、详细设计

本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。

1、两种存储结构的存储定义如下：

typedef struct Arcell

{

double adj;

}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct

{

char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组

AdjMatrix arcs; //邻接矩阵

int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数

}MGraph;

typedef struct Pnode //用于普利姆算法

{ char adjvex; //节点

double lowcost; //权值

}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义

typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点

{

char ch1; //节点1

char ch2; //节点2

double value;//权值

}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];

2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。

（1）普里姆算法(Prim)算法

普里姆算法(Prim)算法是一种构造性算法，生成最小生成树的步骤如下：

初始化U={v}。以v到其他顶点的所有边为候选边。

重复一下步骤(n-1)次，使得其他(n-1)个顶点被加入到U中。

○1从候选边中挑选权值最小的边加入TE，设该边在V—U中的顶点是vk，将顶点vk加入到U中;

○2考察当前V—U中的所有顶点vj ，修改候选边：若(vk,vj)的权值小于原来和vj关联的候选边，则用(vk,vj)取代后者作为候选边。

（2）克鲁斯卡尔(Kruskal)算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法是一种按权值的递增次序选择合适的边来构造最小生成树的方法。假设G=(V,E)是一个具有n个顶点的带权连通无向图，T=(U,TE)是G的最小生成树，则构造最小生成树的步骤如下：

置U的初值等于V（即包含有G中的全部顶点），TE的初值为空集（即图T中每一个顶点都构成一个分量）。

将图G中的边按权值从小到大的顺序依次选取：若选取的边未使生成树T 形成回路，则加入TE，否则舍弃，直到TE中包含(n-1)条边为止。

3、使用的函数

int CreateUDG(MGraph & G,Dgevalue & dgevalue);

int LocateVex(MGraph G,char ch);

int Minimum(MGraph G,Closedge closedge);

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,char u);

void Sortdge(Dgevalue & dgevalue,MGraph G);

void Adjacency_Matrix(MGraph G);

void Adjacency_List(MGraph G,Dgevalue dgevalue);

函数之间的调用关系图：

五、程序代码

#include

#include

#include

#define MAX_VERTEX_NUM 20

#define OK 1

#define ERROR 0

#define MAX 1000

typedef struct Arcell

{

double adj;

}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];

typedef struct

{

char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组

AdjMatrix arcs; //邻接矩阵

int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数

}MGraph;

typedef struct Pnode //用于普利姆算法

{

char adjvex; //节点

double lowcost; //权值

}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义

typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点

{

char ch1; //节点1

char ch2; //节点2

double value;//权值

}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];

int CreateUDG(MGraph & G,Dgevalue & dgevalue);

int LocateVex(MGraph G,char ch);

int Minimum(MGraph G,Closedge closedge);

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G,char u);

void Sortdge(Dgevalue & dgevalue,MGraph G);

void Adjacency_Matrix(MGraph G);

void Adjacency_List(MGraph G,Dgevalue dgevalue);

中国古代史知识整理

中国古代史知识整理 第一部分先秦 【阶段特征】从170万年前至公元前221年秦统一前是我国的先秦时期，包括原始社会、奴隶社会及封建社会初步形成三个历史时期。由于原始社会的内容不列入高考范围，故本单元主要涉及从公元前2070年夏朝的建立到公元前221年秦统一完成期间的历史变化。其间依据社会性质的变化，划分为两个时期，其特点有：1、夏朝、商朝和西周（公元前2070年──前771年）这是奴隶社会的形成、发展和强盛时期。夏朝实行王位世袭制，表明中国历史进入文明时代；商朝奴隶制文明有新的发展；西周时期实行分封制，奴隶制国家走向强盛。2．春秋战国时期（公元前770年──前221年）从奴隶社会过渡到封建社会的大变革时期。（基本特征）（1）政治上：A王室衰微。新兴地主阶级势力上升，展开广泛的变法，中央集权的政治体制逐步建立。B大国争霸。统一的封建国家在形成之中。C分封制瓦解。D 民族融合。（2）经济上：铁器和牛耕的推广使用，使得私田扩大A 井田田制瓦解。B 以土地私有制为基础的封建剥削制度得以确立，社会经济因之得到发展。C 封建经济初步繁荣。（3）文化上，社会思潮相当活跃，形成“百家争鸣”的局面，与人们生活密切相关的科学技术、文学艺术也取得一系列成就。

第二部分秦汉【阶段特征】从公元前221年秦统一中国到公元220年曹丕建魏的秦汉时期是我国封建社会初步发展和首次出现大一统局面的时期（基本特征）：1．政治上：A秦统一后首次建立起专制主义中央集权制度，到西汉武帝时期，得到巩固，封建大一统局面出现了。B 封建中央和地方官制初步建立。C 统治思想：秦朝是法家思想，西汉初年是道家思想，至汉武帝时期用儒家思想统治（罢黜百家，独尊儒术）D 中央与地方的矛盾：加强中央集权。（秦朝的措施和西汉的“王国问题”解决及东汉地方豪强地主势力的膨胀）E 选官制度的进步：废除世卿世实禄的制度。秦朝：按军功授爵；两汉是察举制和皇帝征召。2．经济上：①基本特征：封建经济初步发展；②秦朝实现国家统一，统一度量衡、货币，有利于经济发展，但暴虐统治又破坏了生产力发展，两汉实行休养生息政策；③经济发展主要是在黄河流域的北方地区（经济重心在北方）；④对外贸易开始：丝绸之路。 ⑤经济发展的表现：农业、手工业、商业和城市。3.民族关系：A 统一的多民族的封建国家形成并不断发展，国家的版图大大开拓。B 中原与少数民族的关系：北方：主要是与匈奴的关系，以战争为主。西方：与西域的关系，开始发生密切的贸易关系和文化交流。南方和西南：主要是越族和西南夷，秦汉时期是我国古代对南方和西南少数民族地区进行初步开发和管辖的阶段。4.对外关系：A 对外交往初步发展，

数据结构课程设计报告java最小生成树

上海电力学院 数据结构（JAVA）课程设计 题目:____最小生成树_______ 学生姓名：_****___________ 学号：_____*******_______ 院系：计算机科学与技术学院 专业年级： ______*****___级 20**年 *月**日

目录 1.设计题目 (1) 2.需求分析 (1) 1）运行环境 (1) 2）输入的形式和输入值的范围 (1) 3）输出的形式描述 (1) 4）功能描述 (1) 5）测试数据 (1) 3.概要设计 (1) 1）抽象数据类型定义描述 (1) .2）功能模块设计 (1) 3）模块层次调用关系图 (2) 4.详细设计。实现概要设计中定义的所有的类的定义及类中成员函数，并对主要的模块写出伪码算法。 (2) 5.调试分析。包括调试过程中遇到的问题及解决的方法、算法的时间空间复杂性分析、经验体会。 (6) 6.用户使用说明。详细列出每一步的操作说明。 (7) 7. 测试结果 (7) 8.附录：程序设计源代码 (9)

一、设计题目 1).问题描述 若要在 n 个城市之间建设通信网络，只需要架设n-1 条线路即可。如何以最低的经济代价建设这个通信网，是一个网的最小生成树问题。 2). 基本要求 以邻接多重表存储无向带权图，利用克鲁斯卡尔算法或普瑞姆算法求网的最小生成树。 二、需求分析 1）运行环境 软件在JDK运行，硬件支持windows系统 2）输入的形式和输入值的范围 自动生成顶点数据在10~20之间；各个顶点之间权值在25~50之间；通过程序改动亦可生成已知顶点权值之间的最小生成树，需将随机生成代码改为edge edge[]={new edge(0,1,16),new（0,2,18）......}； 将已知顶点、权值通过其函数输入再生成其所对应最小生成树。 3）输出的形式描述 输出随机生成顶点个数以及各个顶点之间权值；然后输出本次生成顶点之间构成的最小生成树。

最小生成树数据结构课程设计报告

河北科技大学 课程设计报告 学生姓名：白云学号：Z110702301 专业班级：计算机113班 课程名称：数据结构课程设计 学年学期： 2 01 3—2 014学年第2学期指导教师：郑广 2014年6月

课程设计成绩评定表

目录 一、需求分析说明 (1) 1.1最小生成树总体功能要求 (1) 1.2基本功能 (1) 1.3 模块分析 (1) 二、概要设计说明 (1) 2.1设计思路 (1) 2.2模块调用图 (2) 2.3数据结构设计 (2) 2.3.1.抽象数据类型 (2) 2.3.2方法描述 (2) 三、详细设计说明 (3) 3.1主函数模块 (3) 3.2邻接表输出子模块 (3) 3.3邻接矩阵输出子模块 (3) 3.4创建邻接矩阵子模块 (3) 3.5创建邻接表子模块 (3) 3.6 Prim子模块 (3) 3.7 Kruscal子模块 (4) 四、调试分析 (4) 4.1实际完成情况说明 (4) 4.2 出现的问题及解决方案 (4) 4.3程序中可以改进的地方 (4) 六、课程设计总结 (7) 七、测试数据 (7) 八、参考书目 (7)

一、需求分析说明 1.1最小生成树总体功能要求 在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。 1.2基本功能 在n个城市之间建设网络，只需要架设n-1条线路，建立最小生成树即可实现最经济的架设方法。 程序可利用克鲁斯卡尔算法或prim算法生成最小生成树。 1.3 模块分析 主模块：用于生成界面和调用各个子模块。 Kruscal模块：以kruscal算法实现最小生成树。 Prim模块：以prim算法实现最小生成树。 邻接表模块：用邻接表方式存储图。 邻接表输出模块：输出邻接表。 邻接矩阵模块：用邻接矩阵方式存储图。 邻接矩阵模块：输出邻接矩阵。 二、概要设计说明 2.1设计思路 问题的解决分别采用普利姆算法以及克鲁斯卡尔算法。 1) 普利姆算法就是先选择根，把它放入一个集合U中，剩余的顶点放在集合V中。然后选择该顶点与V中顶点之间权值最小的一条边，以此类推，如果达到最后一个则返回上一个顶点。 2) 克鲁斯卡尔算法就是写出所有的顶点，选择权最小的边，然后写出第二小的，以此类推，最终要有一个判断是否生成环，不生成则得到克鲁斯卡尔的最小生成树。

最小生成树问题的算法实现及复杂度分析—天津大学计算机科学与技术学院(算法设计与分析)

算法设计与分析课程设计报告 学院计算机科学与技术 专业计算机科学与技术 年级2011 姓名XXX 学号 2013年5 月19 日

题目：最小生成树问题的算法实现及复杂度分析 摘要：该程序操作简单，具有一定的应用性。数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。而最小生成树算法是算法设计与分析中的重要算法，最小生成树也是最短路径算法。最短路径的问题在现实生活中应用非常广泛，如邮递员送信、公路造价等问题。本设计以Visual Studio 2010作为开发平台，C/C++语言作为编程语言，以邻接矩阵作为存储结构，编程实现了最小生成树算法。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM 经典算法的算法思想，最后用这种经典算法实现了最小生成树的生成。 引言：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n（n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。最小生成树是指在所有生成树中，边上权值之和最小的生成树，另外最小生成树也可能是多个，他们之间的权值之和相等。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。而实现这个运算的经典算法就是普利姆算法。

贪心算法实验(最小生成树)

算法分析与设计实验报告第一次附加实验

附录： 完整代码（贪心法） //贪心算法最小生成树prim算法 #include #include #include #include #include using namespace std; #define inf 9999; //定义无限大的值const int N=6; template //模板定义 void Prim(int n,Type c[][N+1]); int main() { int c[N+1][N+1]; cout<<"连通带权图的矩阵为："<

cin>>c[i][j]; } } cout<<"Prim算法最小生成树选边次序如下："< //参数为结点个数n，和无向带权图中各结点之间的距离c[][N+1] void Prim(int n,Type c[][N+1]) { Type lowcost[N+1]; //记录c[j][closest]的最小权值 int closest[N+1]; //V-S中点j在s中的最临接顶点 bool s[N+1]; //标记各结点是否已经放入S集合| s[1]=true; //初始化s[i],lowcost[i],closest[i] for(int i=2;i<=n;i++) { lowcost[i]=c[1][i]; closest[i]=1; s[i]=false; } for(int i=1;i

最小生成树实验报告

数据结构课程设计报告题目：最小生成树问题 院（系）：计算机工程学院 学生姓名: 班级：学号: 起迄日期: 指导教师: 2011—2012年度第 2 学期 一、需求分析 1.问题描述：

在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用多种。求解算法多种。 2.基本功能 在n个城市之间建设网络，只需要架设n-1条线路，建立最小生成树即可实现最经济的架设方法。 程序可利用克鲁斯卡尔算法或prim算法生成最小生成树。 3.输入输出 以文本形式输出最小生成树，同时输出它们的权值。通过人机对话方式即用户通过自行选择命令来输入数据和生成相应的数据结果。 二、概要设计 1.设计思路： 因为是最小生成树问题，所以采用了课本上介绍过的克鲁斯卡尔算法和 prim算法两种方法来生成最小生成树。根据要求，需采用多种存储结构，所以我选择采用了邻接表和邻接矩阵两种存储结构。 2.数据结构设计： 图状结构： ADT Graph{ 数据对象V：V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集。 数据关系R：R={VR} VR={|v,w∈V且P(v,w)，表示从v到w的弧， 谓词P(v,w)定义了弧的意义或信息} 基本操作： CreateGraph( &G, V, VR ) 初始条件：V是图的顶点集，VR是图中弧的集合。 操作结果：按V和VR的定义构造图G。 DestroyGraph( &G )

初始条件：图G存在。 操作结果：销毁图G。 LocateVex( G, u ) 初始条件：图G存在，u和G中顶点有相同特征。 操作结果：若G中存在顶点u，则返回该顶点在图中位置；否则返 回其它信息。 GetVex( G, v ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回v的值。 PutVex( &G, v, value ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：对v赋值value。 FirstAdjVex( G, v ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接顶点， 则返回“空”。 NextAdjVex( G, v, w ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点，w是v的邻接顶点。 操作结果：返回v的（相对于w的）下一个邻接顶点。若w是v的 最后一个邻接点，则返回“空”。 InsertVex( &G, v ) 初始条件：图G存在，v和图中顶点有相同特征。 操作结果：在图G中增添新顶点v。 DeleteVex( &G, v ) 初始条件：图G存在，v是G中某个顶点。 操作结果：删除G中顶点v及其相关的弧。 InsertArc( &G, v, w )

最小生成树算法分析

最小生成树算法分析 一、生成树的概念 若图是连通的无向图或强连通的有向图，则从其中任一个顶点出发调用一次bfs或dfs后便可以系统地访问图中所有顶点；若图是有根的有向图，则从根出发通过调用一次dfs或bfs亦可系统地访问所有顶点。在这种情况下，图中所有顶点加上遍历过程中经过的边所构成的子图称为原图的生成树。 对于不连通的无向图和不是强连通的有向图，若有根或者从根外的任意顶点出发，调用一次bfs或dfs后一般不能系统地访问所有顶点，而只能得到以出发点为根的连通分支（或强连通分支）的生成树。要访问其它顶点需要从没有访问过的顶点中找一个顶点作为起始点，再次调用bfs 或dfs，这样得到的是生成森林。 由此可以看出，一个图的生成树是不唯一的，不同的搜索方法可以得到不同的生成树，即使是同一种搜索方法，出发点不同亦可导致不同的生成树。 可以证明：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。 二、求图的最小生成树算法 严格来说，如果图G=（V，E）是一个连通的无向图，则把它的全部顶点V和一部分边E’构成一个子图G’，即G’=（V， E’），且边集E’能将图中所有顶点连通又不形成回路，则称子图G’是图G的一棵生成树。 对于加权连通图，生成树的权即为生成树中所有边上的权值总和，权值最小的生成树称为图的最小生成树。 求图的最小生成树具有很高的实际应用价值，比如下面的这个例题。

例1、城市公交网 [问题描述] 有一张城市地图，图中的顶点为城市，无向边代表两个城市间的连通关系，边上的权为在这两个城市之间修建高速公路的造价，研究后发现，这个地图有一个特点，即任一对城市都是连通的。现在的问题是，要修建若干高速公路把所有城市联系起来，问如何设计可使得工程的总造价最少。 [输入] n（城市数，1<=n<=100） e（边数） 以下e行，每行3个数i,j,w ij，表示在城市i,j之间修建高速公路的造价。 [输出] n-1行，每行为两个城市的序号，表明这两个城市间建一条高速公路。 [举例] 下面的图（A）表示一个5个城市的地图，图（B）、（C）是对图（A）分别进行深度优先遍历和广度优先遍历得到的一棵生成树，其权和分别为20和33，前者比后者好一些，但并不是最小生成树，最小生成树的权和为19。 [问题分析] 出发点：具有n个顶点的带权连通图，其对应的生成树有n-1条边。那么选哪n-1条边呢？设图G的度为n，G=（V，E），我们介绍两种基于贪心的算法，Prim算法和Kruskal算法。 1、用Prim算法求最小生成树的思想如下： ①设置一个顶点的集合S和一个边的集合TE，S和TE的初始状态均为空集； ②选定图中的一个顶点K，从K开始生成最小生成树，将K加入到集合S； ③重复下列操作，直到选取了n-1条边： 选取一条权值最小的边（X，Y），其中X∈S，not (Y∈S)； 将顶点Y加入集合S，边（X，Y）加入集合TE； ④得到最小生成树T =（S，TE）

简单易懂的历史学考研知识体系框架

中国古代史 第一章 政治制度 一、西周的政治制度 1、分封制，宗法制 2、国野制，班爵制 3、礼乐制 二、春秋战国政治制度的变迁 法家韩非子提出建立中央集权专制国家的主张；商鞅变法建立县制，初步确立了君主集权的政治体制。 三、秦朝废分封行郡县 1、实质 2、意义：开创中央集权的政治体制 四、两汉的刺史 1、西汉刺史的特点 品级不高，不固定办公，六条问事 2、东汉刺史的变化 官品渐升，固定办公，掌握军权 五、两汉的察举制度 1、创立 2、内容 3、到东汉时期的变化 六、西汉的中朝制度 1、创立 2、内容 3、影响 七、东汉早期的政治制度（以尚书台和御史台为中心） 1、尚书台行政权力的加强 2、监察机构权力的加强 八、东晋的侨置郡县和土断运动 了解侨置郡县和土断运动发生的原因，结果，并和《徙戎论》等区分记忆 九、唐代宰相制度的变化 1、同中书门下平章事 2、翰林院（内相）——武则天 十、辽政治制度的特点

1、中央：南面官与北面官 2、地方：斡鲁朵与头下军州 3、四时捺钵 十一、宋代政治制度 1、官制（中央、地方） 2、君相之争 3、考试制度 4、兵役制度与国防弱点 十二、元朝创新的行省制度 十三、明加强中央集权的措施 1、地方官制 2、中央官制 3、特务机构 4、选官制度 5、法律制度 6、社会控制 7、政治举措 十四、明内阁制度的实质 1、明太祖废相 2、内阁大学士的设立及其发展 3、明中期内阁权力的扩大：票拟权 4、英宗之后内阁制度的继续发展：首辅、次辅 5、内阁的实质：不是宰相，没有监察百官的权力注意区分票拟和批红 十五、明朝的宦官专权 1、太祖对宦官的限制 2、成祖对宦官的倚重：二十四衙门 3、英宗以后的宦官专权 ①通过“批红”控制朝政 ②控制特务机构 ③出任税使和矿监 ④监督护卫京师的军队京营，镇守太监监视边境 十六、清朝的专制顶峰 1、中枢决策机构的演变 2、地方组成形式 3、军机处和六部尚书 4、考试制度及统制政策 十七、行政区划

最小生成树问题中北大学数据结构课程设计资料

中北大学 数据结构与算法课程设计 说明书 学院、系：软件学院 专业：软件工程 班级： 学生姓名：学号： 设计题目：最小生成树问题 起迄日期: 2015年1月12日- 2015年1月29日指导教师:王秀娟 2015 年1月 29 日

1需求分析 1.1已知一个无向连通网表示n个城市以及城市间可能设置的通信网络线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋于边上的权值表示相应的代价。对于n个点的连通网能建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。我们要选择一棵生成树，使总的耗费最小。 1.2该无向连通图的建立需要使用两种存储结构，即邻接表和邻接矩阵。 1.3实现最小生成树需要使用两种算法。即普里姆算法和克鲁斯卡尔。 1.4程序通过人机交互实现数据的输入和输出。 2选题要求 设计内容： 在n个城市之间建设网络，只需保证连通即可，求最经济的架设方法。存储结构采用（邻接表和邻接矩阵）两种，采用课本上的两种求解算法。 设计要求： (1) 符合课题要求，实现相应功能； (2) 要求界面友好美观，操作方便易行； (3) 注意程序的实用性、安全性。 3程序设计方法及主要函数介绍 ADT Graph{ 数据对象V;V是具有相同特性的数据元素的集合，成为顶点集。 数据关系R： R = {VR} VR = {（v,w）|v,w为V集合中的元素，（v,w）表示v和w之间存在的路径} 基本操作P; CreateMGraph(MGraph *G) 初始条件：V是图的顶点集，VR是图的边的集合。 操作结果：按V和VR的定义构造图G，用邻接矩阵存储。 CreateALGraph(ALGraph *G)

kruskal算法求最小生成树

#include #include #include #include using namespace std; #define maxn 110 //最多点个数 int n, m; //点个数，边数 int parent[maxn]; //父亲节点，当值为-1时表示根节点 int ans; //存放最小生成树权值 struct eage //边的结构体，u、v为两端点，w为边权值

{ int u, v, w; }EG[5010]; bool cmp(eage a, eage b) //排序调用 { return a.w < b.w; } int Find(int x) //寻找根节点，判断是否在同一棵树中的依据 { if(parent[x] == -1) return x; return Find(parent[x]); } void Kruskal() //Kruskal算法，parent能够还原一棵生成树，或者森林{ memset(parent, -1, sizeof(parent)); sort(EG+1, EG+m+1, cmp); //按权值将边从小到大排序 ans = 0; for(int i = 1; i <= m; i++) //按权值从小到大选择边 { int t1 = Find(EG[i].u), t2 = Find(EG[i].v); if(t1 != t2) //若不在同一棵树种则选择该边，合并两棵树 { ans += EG[i].w; parent[t1] = t2; printf("最小生成树加入的边为:%d %d\n",EG[i].u,EG[i].v); } } } int main() { printf("输入顶点数和边数:"); while(~scanf("%d%d", &n,&m)) { for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w); Kruskal(); printf("最小生成树权值之和为:%d\n", ans); } return 0; }

徐州工程学院数据结构最小生成树实验文档

实验九图的最小生成树算法的实现 实验预备知识： 1．理解图最小生成树的意义和相应算法。 2．掌握带权图的存储结构。 一、实验目的 1．使学生熟悉最小生成树的算法实现。 2．掌握带权图的存储结构和处理方法。 二、实验环境 ⒈硬件：每个学生需配备计算机一台。操作系统：DOS或Windows； ⒉软件：DOS或Windows操作系统+Turbo C； 三、实验要求 1．能够独立完成带权图的存储和最小生成树的生成 四、实验内容 1．在自己的U盘的“姓名+学号”文件夹中创建“实验9”文件夹，本次实验的所有程序和数据都要求存储到本文件夹中。 2．现在某电信公司要对如下图的几个城市之间进行光纤连接布线，请用合适的存储结构将下图存储到计算机中方便进行处理。 3．现在公司想以最小的代价将所有城市连通，方便所有城市间通信，请用普里姆算法和克鲁斯卡尔算法实现本图的最小生成树

#include #include #define INF 50 typedef struct ArcNode{ int adjvex; //该弧所指向的顶点位置struct ArcNode *nextarc; //下一个临接点 int weight; //弧的权重 }ArcNode; //表结点 typedef struct VNode{ char data; //顶点信息 ArcNode *firstarc; //指向下一个结点 }VNode,AdjList[6]; typedef struct{ AdjList LH; //创建头结点数组 int vexnum; //图的点的个数 int arcnum; //图的边的个数 }Graph; typedef struct{ char nextvex; int lowcost; int know; }Auxiliary_array; //辅助数组结构体 void main (void){ void buildtu (Graph*); void printgraph(Graph*); void prim( Graph *G, char u); char u; Graph UDG; Graph *G = &UDG; buildtu(G); printgraph(G); //打印图 printf("请输入起始顶点：\n"); while(getchar()!='\n'); u = getchar();

最小生成树经典算法

最小生成树的两种经典算法的分析及实现 摘要：数据结构是计算机科学的算法理论基础和软件设计的技术基础，在计算机领域中有着举足轻重的作用，是计算机学科的核心课程。构造最小生成树有很多算法，本文主要介绍了图的概念、图的遍历，并分析了PRIM和KRUSKAL的两种经典算法的算法思想，对两者进行了详细的比较，最后用这两种经典算法实现了最小生成树的生成。 关键词：连通图，赋权图，最小生成树，算法，实现 1 前言 假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连接n个城市只需要n-1条线路。这时，自然会考虑这样一个问题，如何在节省费用的前提下建立这个通信网？自然在每两个城市之间都可以设置一条线路，而这相应的就要付出较高的经济代价。n个城市之间最多可以设置n （n-1）/2条线路，那么如何在这些可能的线路中选择n-1 条使总的代价最小呢？可以用连通网来表示n 个城市以及n个城市之间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两个城市之间的线路，赋予边的权值表示相应的代价。对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一个生成树都可以是一个通信网。现在要选择这样一棵生成树，也就是使总的代价最小。这个问题便是构造连通网的最小代价生成树（简称最小生成树）的问题。一棵生成树的代价就是树上各边的代价之和。 2图的概念 2.1 定义 无序积 在无序积中， 无向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为无向边，简称边。 有向图，其中为顶点(结点)集，为边集，，中元素为有向边，简称边。 有时，泛指有向图或无向图。 2.2 图的表示法

有向图，无向图的顶点都用小圆圈表示。 无向边——连接顶点的线段。 有向边——以为始点，以为终点的有向线段。 2.3 概念 (1)有限图——都是有限集的图。 阶图——的图。 零图——的图。特别，若又有，称平凡图。 (2)关联 (边与点关系)——设边(或)，则称与(或)关联。 无环 孤立点——无边关联的点。 环——一条边关联的两个顶点重合，称此边为环 (即两顶点重合的边)。 悬挂点——只有一条边与其关联的点，所对应的边叫悬挂边。 (3)平行边——关联于同一对顶点的若干条边称为平行边。平行边的条数称为重数。 多重图——含有平行边的图。 简单图——不含平行边和环的图。 2.4 完全图 设为阶无向简单图，若中每个顶点都与其余个顶点相邻，则 称为阶无向完全图，记作。 若有向图的任一对顶点，既有有向边，又有有向边，则 称为有向完全图。 例如：

大数据结构课程设计-最小生成树

《数据结构》期末课程设计 题目第8题：最小生成树问题学院计算机学院 专业 班别 学号 姓名陈聪 2015年7月6日

一、需求分析 1、问题描述 若要在n个城市之间建设通讯网络，只需要架设n-1条线路即可。如何以最低的经济代价建设这个通讯网，是一个网的最小生成树问题。 2、基本要求 （1）利用克鲁斯卡尔算法求网的最小生成树。 （2）实现并查集。以此表示构造生成树过程中的连通分量。 （3）以文本形式输出生成树中各条边以及他们的权值。 3、实现提示 通讯线路一旦建立，必然是双向的。因此，构造最小生成树的网一定是无向网。设图的顶点数不超过30个，并为简单起见，网中边的权值设成小于100的整数，可利用C语言提供的随机数函数产生。 图的存储结构的选取应和所作操作向适应。为了便于选择权值最小的边，此题的存储结构既不选用邻接矩阵的数组表示法，也不选用邻接表，而是以存储边(带权)的数组即边集数组表示图。 二、详细设计 根据课设题目要求，拟将整体程序分为三大模块，分别是：图的存储结构，并查集的实现，克鲁斯卡尔算法的实现。 1、边集数组的类型定义： typedef struct { int x, y; int w; }edge; x表示起点，y表示终点，w为权值。 2、并查集功能的实现由以下函数实现： Make_Set(int x)初始化集合； Find_Set(int x) 查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径； Union(int x, int y, int w)合并x,y所在的集合。

3、克鲁斯卡尔算法的实现 该算法的实现位于主函数中： qsort(e, n, sizeof(edge), cmp); //将边排序 printf("最小生成树的各条边及权值为：\n"); for (i = 0; i < n; i++) { x = Find_Set(e[i].x); y = Find_Set(e[i].y); if (x != y ) { printf("%c - %c : %d\n", e[i].x + 'A', e[i].y + 'A', e[i].w); Union(x, y, e[i].w); } } 4、设计中还包含以下函数： （1）/* 比较函数，按权值(相同则按x坐标)非降序排序*/ int cmp(const void *a, const void *b) { if ((*(edge *)a).w == (*(edge *)b).w) { return (*(edge *)a).x - (*(edge *)b).x; } return (*(edge *)a).w - (*(edge *)b).w; } （2）快排函数qsort,包含在stdlib.h头文件里 qsort(e, n, sizeof(edge), cmp); （3）C语言提供的随机数函数srand( unsigned int seed ); 使用随机数函数如下： srand( (unsigned)time( NULL ) ); for( i = 0; i < n;i++ )

最小生成树(Prim、Kruskal算法)整理版

一、树及生成树的基本概念 树是无向图的特殊情况，即对于一个N个节点的无向图，其中只有N-1条边，且图中任意两点间有且仅有一条路径，即图中不存在环，这样的图称为树，一般记为T。树定义有以下几种表述： (1)、T连通、无圈、有n个结点，连通有n－1条边；(2)、T无回路，但不相邻的两个结点间联以一边，恰得一个圈；(3)、T连通，但去掉任意一边，T就不连通了（即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）；(4)、T的任意两个结点之间恰有一条初等链。 例如：已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任 意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。若用 六个点v1…v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话 线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个 电话网就作成一个图。任意两个城市之间均可以通话，这个图 必须是连通图，且这个图必须是无圈的。否则，从圈上任意去 掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。图5-6是 一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。 生成树（支撑树） 定义：如果图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’是G的一个支撑树或生成树。例如,图5-7b是图5-7a的一个支撑树。 定理：一个图G有生成树的条件是G是连通图。 证明:必要性显然； 充分性:设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个生成树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个生成树。若G1仍然含圈，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一生成子图G2。依此类推，可以得到图G的一个生成子 图G K，且不含圈，从而G K是一个生成树。 寻找连通图生成树的方法： 破圈法：从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图 重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个生成树。 取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边e3。在剩下的图 中，再取一个圈（v1,v2,v4,v3,v1），去掉边e4。再从圈（v3,v4,v5,v3） 中去掉边e6。再从圈(v1,v2,v5,v4,v3,v1）中去掉边e7， 这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。 避圈法：也称为生长法，从图中某一点开始生长边，逐步扩展成长为一棵树，每步选取与已入树的边不构成圈的那些边。

最小生成树的Kruskal算法实现

#include #include #define M 20 #define MAX 20 typedef struct { int begin; int end; int weight; }edge; typedef struct { int adj; int weight; }AdjMatrix[MAX][MAX]; typedef struct { AdjMatrix arc; int vexnum, arcnum; }MGraph; void CreatGraph(MGraph *);//函数申明 void sort(edge* ,MGraph *); void MiniSpanTree(MGraph *); int Find(int *, int ); void Swapn(edge *, int, int); void CreatGraph(MGraph *G)//构件图 { int i, j,n, m; printf("请输入边数和顶点数:\n"); scanf("%d %d",&G->arcnum,&G->vexnum); for (i = 1; i <= G->vexnum; i++)//初始化图{ for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++) { G->arc[i][j].adj = G->arc[j][i].adj = 0; } } for ( i = 1; i <= G->arcnum; i++)//输入边和权值

{ printf("请输入有边的2个顶点\n"); scanf("%d %d",&n,&m); while(n < 0 || n > G->vexnum || m < 0 || n > G->vexnum) { printf("输入的数字不符合要求请重新输入:\n"); scanf("%d%d",&n,&m); } G->arc[n][m].adj = G->arc[m][n].adj = 1; getchar(); printf("请输入%d与%d之间的权值:\n", n, m); scanf("%d",&G->arc[n][m].weight); } printf("邻接矩阵为:\n"); for ( i = 1; i <= G->vexnum; i++) { for ( j = 1; j <= G->vexnum; j++) { printf("%d ",G->arc[i][j].adj); } printf("\n"); } } void sort(edge edges[],MGraph *G)//对权值进行排序{ int i, j; for ( i = 1; i < G->arcnum; i++) { for ( j = i + 1; j <= G->arcnum; j++) { if (edges[i].weight > edges[j].weight) { Swapn(edges, i, j); } } } printf("权排序之后的为:\n"); for (i = 1; i < G->arcnum; i++) {

中国古代史知识点复习提纲

2017年中国古代史基础知识复习提纲 中国古代史上 第一单元中华文明的起源 第二单元国家的产生和社会变革 第三单元统一国家的建立 一、中考考点：1、秦兼并六国、秦始皇加强中央集权 2、文景之治、汉武帝大一统 3、张骞通西域、丝绸之路 二、基础知识复习： （一）秦王扫六合 1、秦统一六国： ⑴时间：公元前230年至公元前221年，先后灭掉东方六国。 ⑵人物：赢政⑶都城：咸阳。 ⑷影响：符合历史发展趋势，符合人民愿望，利于人民生产生活的安定。秦是我国历史上第一个统一的中央集权的封建国家。 2、政治上：建立中央集权制度 ⑴目的：适应统一的新形势，加强封建统治。 ⑵措施：①最高统治者称皇帝，至高无上，总揽全国一切军政大权。②中央政府设丞相、太尉、御史大夫，分管行政、军事和监察，最后由皇帝决断。 ③地方推行郡县制，分天下为36郡，郡下设县。这一制度在我国历史上影响深远。 3、思想上：焚书坑儒①目的：加强思想控制。 ②内容：秦始皇接受李斯建议，发布焚书令，规定除政府外，民间只准留下有关医药、占卜和种植的书，其它书都要烧掉。以后再有谈论儒家诗书的都要判处死刑；后又把暗中批评他的儒生在咸阳活埋。 ③影响（或评价）：采取巩固统一的措施是必要的，但“焚书坑儒”这种做法是既残暴又愚蠢的，它箝制了思想，摧残了文化。（郭沫若：“书籍被烧残，其实还在其次，春秋末年以来，蓬蓬勃勃的自由思索的那种精神，事实上因此而遭受了一次致命的打击。”） 4、经济上：统一货币（圆形方孔铜钱），统一度量衡 5、文化上：统一文字（小篆）

6、军事上：北修长城抵御匈奴，南平越疆修灵渠 ⑴目的：为抵御匈奴，安定北边，维护国家的统一。 ⑵人物：秦始皇、蒙恬。⑶起止：西起临洮，东到辽东。 ⑷地位：是中华民族的象征，也是我国古代劳动人民智慧和独创性的象征；同时，也是秦暴政的 历史见证。 7、秦朝疆域：东至东海，西到陇西，北至长城一带，南达南海。 8、秦是我国历史上第一个统一的多民族的封建国家，也是当时世界上的大国。 （二）大一统的汉朝 1、文景之治 （1）出现原因：①吸取秦亡的教训，减轻农民的赋税、兵役和徭役负担，注重发展农业生产②奖励耕作，劝诫百官关心农桑③提倡节俭，以身作则④重视“以德化民” （2）表现：①社会比较安定，百姓富裕起来②国家的粮仓丰满③府库里的大量铜钱，多年不用。（出现的这种局面，叫文景之治） 2、汉武帝的大一统 政治上：汉武帝解决王国问题，颁布推恩令 ⑴背景：西汉初年，分封的诸侯国势力相当大，严重威胁中央政权。 ⑵措施：接受主父偃的建议，准许诸王将自己的封地分给子弟，建立较小的侯国。 ⑶影响：解决了汉初以来的王国问题，加强了中央集权。 思想上：罢黜百家，独尊儒术 ⑴背景：诸子百家各派人物聚集诸侯门下，批评皇帝的政策，指责中央，对中央集权很不利。 ⑵目的：加强思想统治，巩固中央政权。⑶提出者：董仲舒。 ⑷内涵：把儒家学说作为封建正统思想，持法家、道家等各家学说的读书人均受排斥。 ⑸相关措施：在长安设太学，以儒家的五经为主要教材。太学是我国古代最高学府。 经济上：将地方的铸币权和盐铁经营权收归中央，统一铸造五铢钱。 军事上：派卫青、霍去病反击匈奴，夺取了河套和河西走廊地区。 武帝时，西汉王朝在政治、经济、军事和思想上实现了大一统，进入鼎盛时期。 （三）汉通西域和丝绸之路 1、张骞通西域： ⑴西域的地理位置：今天的甘肃玉门关和阳关以西，也就是今天新疆地区和更远的地方。 ⑵经过：①第一次：目的：联络大月氏，夹击匈奴。时间：公元前138年。结果：未达到预期目

(完整word版)实验5 最小生成树算法的设计与实现(报告)

实验5 最小生成树算法的设计与实现 一、实验目的 1、根据算法设计需要, 掌握连通图的灵活表示方法； 2、掌握最小生成树算法，如Prim、Kruskal算法； 3、基本掌握贪心算法的一般设计方法； 4、进一步掌握集合的表示与操作算法的应用。 二、实验内容 1、认真阅读算法设计教材和数据结构教材内容, 熟习连通图的不同表示方法和最小生成树算法； 2、设计Kruskal算法实验程序。 有n个城市可以用（n-1）条路将它们连通，求最小总路程的和。 设计测试问题,修改并调试程序, 输出最小生成树的各条边, 直至正确为止。 三、Kruskal算法的原理方法 边权排序: 1 3 1 4 6 2 3 6 4 1 4 5 2 3 5 3 4 5 2 5 6 1 2 6 3 5 6 5 6 6 1. 初始化时：属于最小生成树的顶点U={}

不属于最小生成树的顶点V={1，2，3，4，5，6} 2. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（1 3 1），属于最小生成树 的顶点U={1，3}，不属于最小生成树的顶点V={2,4,5,6}

3. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（4 6 2），属于最小生成树的顶点U={{1，3}，{4，6}}（还没有合在一起，有两颗子树），不属于最小生成树的顶点V={2,5} 4. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，3，4，6}（合在一起），不属于最小生成树的顶点V={2,5}

5. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，6},，不属于最小生成树的顶点V={5} 6. 根据边权排序，选出还没有连接并且权最小的边（3 6 4），属于最小生成树的顶点U={1，2，3，4，5，6}此时，最小生成树已完成

中国古代历史知识框架结构图

中国古代历史知识框架结构图 中国是世界上文明发达最早的国家之一，有将近4000年的有文字可考的古代历史。下面由为你提供的中国古代历史知识框架结构图，希望大家喜欢。 中国古代历史知识框架结构图欣赏一、夏(约公元前21世纪-约前16世纪) 1.约公元前2070年，禹建立了我国历史上第一个奴隶制国家--夏朝，定都阳城。 2.禹死后，其子启继承了王位，从此王位世袭制代替了禅让制。 二、商(公元前16世纪-前11世纪) 1.商汤灭夏，建立商朝，建都在亳。后商王盘庚把都城迁到殷。 2.后期制造的司母戊鼎，是我国迄今考古发现的最大的青铜器。 3.商朝的文字，刻写在龟甲和兽骨上，称为“甲骨文”。 三、西周(公元前11世纪-前771年) 1.公元前1046年，武王伐纣，牧野之战击败商军，商亡。周武王建立周朝，都城在镐。 2.西周实行分封制和井田制。 3.我国历史有确切纪年的开始：公元前841年。“国人暴动”。 四、东周(公元前770-前221年) 1.公元前771年，王都迁到洛邑，史称东周。

2.“春秋五霸”：齐桓公，晋文公，楚庄王，吴王阖闾(hé lǘ)，越王勾践。 3.战国七雄：齐楚秦燕赵魏韩 4、秦国商鞅变法、李悝在魏国变法、吴起在楚国变法、申不害在韩国变法 中国古代历史知识点二五、秦(公元前221年-公元前206年) 1.我国历史上第一个统一的中央集权的封建国家--秦朝，定都咸阳。 2.统一币制、度量衡、文字;“焚书坑儒”;修筑长城。 3.秦末农民起义： 陈胜吴广起义--公元前209年，陈胜、吴广在大泽乡揭杆起义，反抗秦朝的残暴统治，这是中国历史上第一次大规模的农民起义，表现了人民的革命首创精神。 巨鹿之战--公元前207年，项羽领导的起义军大败章邯和王离领导的秦军主力。典故：破釜沉舟 六、西汉(公元前202年至公元9年) 1.公元前202年，刘邦称帝，建立汉朝，定都长安，史称西汉。 2.文景之治 3.丝绸之路：汉武帝时，张骞两次出使西域。 七、东汉(公元25年～220年) 1.刘秀“光武中兴”，定都洛阳。 2.200年，官渡之战，曹操VS袁绍，曹操大胜，奠定了统一北