非线性动力学学习报告

非线性动力学学习报告

在课堂上老师以生动活泼的方式介绍了分形的相关知识，特别是展现了一些美丽的分形图案，我对此十分感兴趣，所以课后找了一些相关资料，学会了用仿射变换的循环迭代方法，在MATLAB 平台下，实现了一些简单的飞行图案的绘制。具体内容见项目一。其中的数学原理由于我还不是特别清楚，所以在此进仅做一简要汇报，下面会具体叙述用MATLAB 绘制分形图案的过程。

在项目二中，探讨了对于一根细长压杆，端部的压力大小与杆件变形之间的关系。这里的端部压力是较大的载荷（即大于临界力），那么经典的材料力学理论便束手无策，这里构建了一个压杆变形的微段迭代模型，把一个大变形非线性问题转化为有限个小变形的迭加，用MATLAB 编程迭代计算的结果较好的吻合了铁木辛哥弹性稳定理论中有关压杆弹性屈曲中的一些成果。

项目一：用MATLAB 绘制美丽的分形图案

上个世纪60年代，B.Mandelbrot 对一个具有复杂几何性质但局部看起来

仍然一样的几何对象提出了分形概念。在很多非线性动力学系统等血多领域都会看到分形的例子，随着电子计算机的发展，我们绘制出了很多分形图案。

在这个项目中，实现了用MATLAB 来绘制蕨类植物枝叶和著名的Sierpinski 三角形；另外还给出了一个通过编程绘制树枝的例子没有用到仿射变换，只是复杂的循环。

经过翻阅相关资料（考文献[1]），我了解到数学中的仿射变换的定义如下：

设x 是一个n 维向量，A 是n*n 的矩阵，b 是与x 同维的向量，那么变换b Ax x +→称作仿射变换，去不同的A ，b 就会得到不同的变换结果。如果打印前k 次（k 应该取较大的值）迭代过程中向量x 在坐标系中所表示的所有点，那么就可以得到一幅漂亮的分形图案。其中矩阵A 和向量b 的取法涉及到很复杂的数学理论，在这里不做详细介绍。

基于前面的理论分析很容易得到MATLAB 绘图程序代码及其运行结果。 1.、使用数学中的仿射变换理论，绘制蕨类植物枝叶 程序：%fenxing_juelei.m %蕨类植物模拟

x = [.5; .5]; %初值

h = plot(x(1),x(2),'.'); %绘制初值点 %设置用于后面随机数的判别向量 p = [ .85 .92 .99 1.00]; b1 = [0; 1.6]; b2 = [0; 1.6]; b3 = [0; .44];

%------仿射变换矩阵

A1 = [ .85 .04; -.04 .85];

A2 = [ .20 -.26; .23 .22];

A3 = [-.15 .28; .26 .24];

A4 = [ 0 0 ; 0 .16];

for i=1:20000

r = rand; %产生随机数

if r < p(1)

x = A1*x + b1;

elseif r < p(2)

x = A2*x + b2;

elseif r < p(3)

x = A3*x + b3;

else

x = A4*x;

end

plot(x(1),x(2),'g'),hold on %采用绿色绘制

end

axis off %取消坐标轴

把该m文件放置到Matlab的当前工作目录下在命令行中输入fenxing_juelei，变得到了下面的运行结果。

在具体操作中，迭代了20000次，电脑计算了十多秒钟才计算绘制完毕，着看起来好像迭代次数，可是得到的图形靠下的部分还是不够细密。而实际上再多尺度上分型图形保持了其固有的形态，就是说当把分形图形的一部分无穷放大后仍然保留了其原来的形状特性。如果增加迭代次数显然可以得到更为细密的蕨类植物枝叶图形。

2.、绘制Sierpinski三角形分形图案

程序：fenxing_sie.m

%Sierpinski三角形分形图案

%初值

x = [0; 0];

h = plot(x(1),x(2),'.'); %绘制初值

A=[1/2 0;0 1/2]; %仿射变换矩阵

b1=[0 0]';

b2=[1/2 0]';

b3=[1/4 sqrt(3)/4]';

for i=1:10000

r = rand; %产生随机数

if r >0.66666666667

x = A*x + b1;

elseif r >0.333333333333

x=A*x+b2;

else

x = A*x+b3;

end

plot(x(1),x(2),'-'),hold on %保持图形

end

axis off %取消坐标轴

程序编制完成后将其放在MATLAB当前工作目录下，在命令行中输入fenxing_sie。得到下面的运行结果。

3.、编程绘制树枝图案的形成过程。

○1绘图原理：

树形分形图，将一条线段三等分，在等分点上个画一条长度为原线段长度的1/3长的线段，该线段与原线段成一定夹角。依次做下去就会得到树形。

○2程序代码%tree.m

clf;

clear;

theta=pi/6;

u(:,:,1)=[0,0;0,1];

n=1;

for k=1:6;

subplot(2,3,k)

hold on;

o=u;

for i=0:n-1;

diff=(o(:,2,i+1)-o(:,1,i+1))/3;

u(:,1,5*i+1)=o(:,1,i+1);

u(:,2,5*i+1)=u(:,1,5*i+1)+diff;

u(:,1,5*i+2)=u(:,2,5*i+1);

lp=[cos(theta),-sin(theta);sin(theta),cos(theta)]*diff;

u(:,2,5*i+2)=u(:,1,5*i+2)+lp;

u(:,1,5*i+3)=u(:,2,5*i+1);

u(:,2,5*i+3)=u(:,2,5*i+1)+diff;

u(:,1,5*i+4)=u(:,2,5*i+3);

rp=[cos(theta),sin(theta);-sin(theta),cos(theta)]*diff;

u(:,2,5*i+4)=u(:,1,5*i+4)+rp;

u(:,1,5*i+5)=u(:,1,5*i+4);

u(:,2,5*i+5)=u(:,1,5*i+5)+diff;

end

n=length(u);

for j=1:n;

plot(u(1,:,j),u(2,:,j));

end

axis off

end

○3程序运行结果

4.、编程绘制雪花图案的形成过程。

○1绘图原理：

雪花的分形图，将等边三角形的一条边三等分，将中间的一段去掉，代之以一个更小的等边三角形的两条边，依次做下去，将得到雪花图。

○2程序简单分析

在程序中用复数的实部和虚部分别表示点的坐标x,y。plot是作图指令，它对复数作图相当于用复数的实部和虚部分别表示曲线的x,y坐标。因此只要计算出各点的坐标，依次连接起来，就是所求的结果。

程序中的第一句是列出第一个分区图中a,b,c,d共4点的坐标，其中a,d两点是重合的，然后画出一个等边三角形，接下来对k的循环画出了后面的5各分区图，而对jj的循环，是对每条边计算新图形中4个点的坐标。

○3程序代码%xuehua.m

clf;

clear;

new=[.5+(sqrt(3)/2*i),-0.5+(sqrt(3)/2*i),0+0*i,0.5+(sqrt(3)/2*i)];%%给分区图1中a,b,c,d点的坐标

subplot(2,3,1);plot(new),axis equal%%画出分区图2

for k=1:5%%画出分区图2~6

old=new;%%保存原有个点的坐标

n=length(old)-1;%%计算点的数目

subplot(2,3,k+1);%

axis([-1 1 -0.5 1.5])%

grid%

hold on%

for j=1:n+1%

plot(old(j),'r.','marker','.','markersize',5)%

end%

for jj=0:n-1; %%对每条边计算4个新的点的坐标

diff=(old(jj+2)-old(jj+1))/3;

new(4*jj+1)=old(jj+1);

plot(new(4*jj+1),'marker','*','markersize',5)%

new(4*jj+2)=old(jj+1)+diff;

plot(new(4*jj+2),'marker','*','markersize',5)%

new(4*jj+3)=new(4*jj+2)+diff*((1-sqrt(3)*i)/2);

plot(new(4*jj+3),'marker','*','markersize',5)%

new(4*jj+4)=old(jj+1)+2*diff;subplot(2,3,k+1);

plot(new(4*jj+4),'marker','*','markersize',5)%

end

new(4*n+1)=old(n+1);

subplot(2,3,k+1);

plot(new),axis equal;

end

○4程序运行结果：

项目总结：

本项目使用MATLAB的矩阵运算和画图功能，借助数学中的仿射变换工具成功的绘制出了分形图案。通过这个项目的探索学习，实现了在计算机上生动的再现出曼德尔布罗特集，从而体会到了分形的复杂的精细结构，反过来加深了对分形的理解。

项目二：细长压杆大变形问题探索

一．问题描述：

如下图对于一根细长均匀的圆柱形弹性杆，在杆的两端施加大小相等、方向相反的轴向压力载荷，实验表明，当载荷小于临界载荷时，如果给压杆一个微小的侧向干扰力，压杆就会产生一个微小的弯曲变形，干扰消失后，压杆会恢复其直线平衡状态；当载荷大于临界载荷时，撤去微小的干扰力后，压杆将不能恢复原来的直线平衡状态。当载荷进一步增大后，杆将发生大变形，处于弯曲的平衡

状态。

现在要求探索杆当端载荷P 大于临界载荷时，杆件变形特征与载荷大小的关系。特别的，给出当杆件端部压到重合时，杆件的变形特征与此时的载荷大小。 首先对原问题进行简单分析，不难发现杆件变形具有对称性可以研究一半，即看做杆件中心处悬臂的一个简单压杆。

由材料力学知识，方便的得到一端固定一端自由临界力Fcr 的计算公式如下：

2

24l

EI

F cr π=

(21)

这里我们研究的是原杆件的一半长，即2

L

l =，代入式(21)，从而得到原问题中临界力的表达式

22L EI

F cr π=

(22)

二、迭代模型建立与求解

对于小变形的杆件，在分析它们的本构关系时可以认为是线性的，我们可以由杆件截面上的弯矩算得杆件变形后的曲率，然后用高数中的知识方便地求出其挠曲线。然而对于大变形的杆件，原来在小变形中得出的结论不再适用，虽然现在可以使用各种方法列出几何非线性平衡方程的统一表达式，但是这些方程的求解是极其困难的（铁木辛哥弹性稳定理论）。为此需要开辟一种新的途径去寻找大变形压杆的挠曲线。下面是我的求解思路。

我们把杆件分为若干个微段。在整体坐标系之外，建立另外一系列对应于每一微段的坐标系，这里将其命名为随转坐标系（见参考文献[2]），并规定这些随转坐标系只能随着单元一起转动，而不能随着单元一起平动。由于在每一个随转坐标系内，可以认为该微段的变形是小变形，遵守经典材料力学中的一些载荷与变形的关系。也就是说每一微段在该微段所对应随转坐标系下的变形是全息的，这个位移再加上该随转坐标系原点相对于整体坐标系的位移，就是杆件上各点的实际位移。

悬臂压杆自由端受到超过临界载荷轴向集中载荷作用时发生大变形，如图4其中OA 是受载荷前杆件的位置，OB 是受到超过临界载荷轴向集中载荷作用后杆件的变形位置。

悬臂压杆受到载荷前后的平衡状态

将压杆分为n 个微段，每个微段长度为n

l

l =?；整体坐标系为OXY ，设每个微

段端点在整体坐标系下的坐标为B k (X k ,Y k ), k=0,1,2,…,n ；设随转坐标系为oxy k ，它是以每个微段变形曲线上的起始点B k-1(X k-1,Y k-1) 为坐标原点，以该点处杆件的切线和法线为坐标轴的坐标系。设材料常数为弹性模量E ，泊松比v 。在图4中，由材料力学知第k 微段所受的弯矩M k 剪力Q k 轴力N k 大小分别为：

1sin -=k k a F Q (1)

1cos --=k k a F N (2) )(1--=k n k Y Y F M (3) EI

M k

k

=

ρ1 (4) k

k k l

M EI αρ??=

=

(5) 得出

k

k l

ρα?=

? (6)

k x ?为由弯矩和轴力两者共同引起的变形和，即：

EA

l

N x k k k k ?+

?=?αρsin (7) k y ?为由弯矩和剪力两者共同引起的变形和，即：

EA

l

Q y k k k k ?++

?-=?)1(2)cos 1(ναρ (8)

在整体坐标系下，B k 点坐标由B k-1点位置和k 段变形与转角共同决定。坐标和转角由下面的递推关系式给出：

k k k ααα?+=-1 (9)

111sin cos ---?-?+=k k k k k k y x X X αα (10) 111cos sin ---?-?+=k k k k k k y x Y Y αα (11)

为了后面迭代时候程序设计方便，下面我们把转角的增量k α?、x 方向位移的增

量k x ?、y 方向上的位移增量k y ?都用已知量如轴力F ，杆长l ，杆件细分数n 以及材料常数等参数来表示出来，由(3)、(4)、(6)推出

nEI

Y Y Fl k n k )

(1--=

?α (12)

由(3)、(4)、(7)推出

nEA Y Y Fl Y Y nF EI x k n k n k k )

()(sin 11----

-?=

?α (13) 由(3)、(4)、(8)推出

nEA

v Fl Y Y nF EI y k k n k k )

1(sin 2)()cos 1(11++

-?-=

?--αα (14) 另外我们注意到原点处的点B 0的各个广义位移的值不难发现有下面的事实

0,0,0000===Y X α (15)

这样由公式(9)~(15)共同构成了大变形杆件挠曲线迭代方程。

分析一下这几个位移增量的表达式，发现其中存在Y n 这一项，即就是杆件受较大轴向压力后端点相对悬臂端B 0点，在Y 轴方向上的位移。这个值关系到杆件最后的变形情况，是我们求解的关键参数。但是由于这个参数出现在了迭代过程中，这就使得我们不能像一般迭代过程那样给定一个初始值，和一些迭代公式，经过若干次迭代就能得出最后的近似解。需要构造一个迭代的评价函数。下面是具体分析过程和评价函数的建立。

我们可以先给定一个Y n ’值作为杆件端部的目标变形点，经过上面几个式子的n 次迭代算出杆件受压后端点的坐标值Y n 。如果这两个坐标在整体坐标下所表示的点之间的距离较远，则需要给Y n ’值加上一个步长重新迭代，当Y n ’和Y n 所代表的两个点距离足够近时，即可认为此次迭代已经达到我们的要求，最后得到的(X n ,Y n )就是杆件在已知轴向压力作用下变形稳定后端点的坐标值。同时我们也要考虑此评价函数的无量纲性。

基于以上分析我们建立迭代评定函数如下：

2

2

)(l

Y Y Evlu n n '

-= (16) 基于上面的分析，给出如下的程序流程图。

程序代码：

E=2e11;u=0.3;d=1;l=15;I=pi*d^4/64;

n=500;A=pi/4*d^2;

eps=1e-3; %误差容限pcr=E*I*pi^2/l^2/4; %临界力

arf=zeros(1,10);

X=zeros(1,10);

Y=zeros(1,10);

darf=zeros(1,10);

dX=zeros(1,10);

dY=zeros(1,10);

arf(1)=0;X(1)=0;Y(1)=0;dl=l/n;dX(1)=0;dY(1)=0;darf(1)=0;

a=0.1; %寻找目标变形y坐标的初值与杆长的比，

figure

hold on

str1=['P='];

str2=['Fcr'];

for kk=1:6

subplot(2,3,kk);

p=pcr*(1.1+(kk-1)*.2); %给定载荷

xn=0;yn=a*l;

F=10; %给定一个较大的评价函数的初值以便能够进入下面的循环

while F>eps

for k=2:n+1

darf(k)=p*(yn-Y(k-1))*dl/E/I;

arf(k)=arf(k-1)+darf(k);

dX(k)=E*I*sin(darf(k))/p/(yn-Y(k-1))-p*dl*cos(arf(k))/E/A;

dY(k)=E*I*(1-cos(darf(k)))/p/(yn-Y(k-1))+2*p*sin(arf(k-1))*(1+u)*dl/E/A;

X(k)=X(k-1)+dX(k)*cos(arf(k-1))-dY(k)*sin(arf(k-1));

Y(k)=Y(k-1)+dX(k)*sin(arf(k-1))+dY(k)*cos(arf(k-1));

end

F=(Y(n+1)-yn)^2/l^2;

a=a+1/1000; %改变目标变形坐标

yn=a*l;

end

xmax=max(X);

fprintf('*********************************************');

fprintf('\n杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的%.2f倍时变形后杆件形态特征为：\n',p/pcr);

fprintf('\n最终挠曲线的长度与棒长之比为%.4f\n',Y(end)/l);

fprintf('\n最终挠曲线的高度与棒长之比为%.4f\n',xmax/l);

plot(Y,X,Y,-X,'blue');

axis equal;

axis off

str3=num2str(p/pcr);

title([str1,str3,str2]);

end

程序中给出了当外载分别是临街载荷的1.1、1.3、1.5、1.7、1.9、2.1倍时的杆件变形图。程序运行如下：

同时得到了上述六个杆件变形后图形的几何特征如下：

*********************************************

杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的1.10倍时变形后杆件形态特征为：

最终挠曲线的长度与棒长之比为0.1076

最终挠曲线的高度与棒长之比为0.9921

*********************************************

杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的1.30倍时变形后杆件形态特征为：

最终挠曲线的长度与棒长之比为0.1229

最终挠曲线的高度与棒长之比为0.9899

*********************************************

杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的1.50倍时变形后杆件形态特征为：

最终挠曲线的长度与棒长之比为0.7753

最终挠曲线的高度与棒长之比为0.4282

*********************************************

杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的1.70倍时变形后杆件形态特征为：

最终挠曲线的长度与棒长之比为0.8058

最终挠曲线的高度与棒长之比为0.3444

*********************************************

杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的1.90倍时变形后杆件形态特征为：

最终挠曲线的长度与棒长之比为0.8094

最终挠曲线的高度与棒长之比为0.3007

*********************************************

杆件端部载荷大小为临界载荷Fcr的2.10倍时变形后杆件形态特征为：

最终挠曲线的长度与棒长之比为0.7957

最终挠曲线的高度与棒长之比为0.2682

下面考虑一特殊情况：当杆件的两端被外载荷压到重合的程度时杆件的形状特征。

根据铁木辛哥的弹性稳定理论，计算当杆件被压到上述情形时需要的外加载荷为2.1857倍的Fcr。由此把上述程序稍加修改，再把载荷p设置为p=2.1857pcr。并画出对应的杆件变形图得到下面的结果：

由上图看到此时杆件两个端点基本上已经重合，这就从一个侧面反映出了上面构建的迭代模型的正确性，可以用来求解压杆受大载荷时的变形情况。

至此，完成了项目二。

参考文献：

[1]皮明红马俊，基于放射变换系的分形图形的交互式生成，武汉纺织工学院学报，V o1,10 No.3 Sep.1997

[2]张旭侯祥林孙凤久陈长征，悬臂压杆大变形的优化算法东北大学学报（自然科学版）V ol.27,No.353~355,2006

第一章 非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法（6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性的概念； 2、掌握线性稳定性的分析方法； 3、掌握奇点的分类及判别条件； 4、理解结构稳定性及分支现象； 5、能分析简单动力系统的奇点类型及分支现象。 二、教学重点 1、线性稳定性的分析方法； 2、奇点的判别。 三、教学难点 线性稳定性的分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 学习本章内容之前，学生要复习常微分方程的内容。 六、教学过程

本章只介绍一些非常初步的动力学分析方法，但这些方法在应用上是十分有效的。 1.1相空间和稳定性 一、动力系统 在物理学中，首先根据我们面对要解决的问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象和研究目的，按一定原则从众多的要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量的微分方程，这些微分方程构成的方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程的解及其稳定性以及其他性质的学问称为动力学。 假定一个系统由n 个状态变量1x ，2x ，…n x 来描述。有时，每个状态变量不但是时间t 的函数而且也是空间位置r 的函数。如果状态变量与时空变量都有关，那么控制它们变化的方程组称为偏微分方程组。这里假定状态变量只与时间t 有关，即X i ＝X i (t)，则控制它们的方程组为常微分方程组。 ),,,(2111 n X X X f dt dX ???=λ ),,,(2122 n X X X f dt dX ???=λ (1.1.1) … ),,,(21n n n X X X f dt dX ???=λ 其中λ代表某一控制参数。对于较复杂的问题来说，i f (i ＝l ，2，…n)一般是{}i X 的非线性函数，这时方程(1.1.1)就称为非线性动力系统。由于{}i f 不明显地依赖时间t ，故称方程组(1.1.1)为自治动力系统。若{}i f 明显地依赖时间t ，则称方程组(1.1.1)为非自治动力系统。非自治动力系统可化为自治动力系统。 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如:)cos(t A x x ω=+

结构动力学读书笔记

《结构动力学》读书报告 学院 专业 学号 指导老师 2013 年 5月 28日

摘要：本书在介绍基本概念和基础理论的同时，也介绍了结构动力学领域的若干前沿研究课题。既注重读者对基本知识的掌握，也注重读者对结构振动领域研究发展方向的掌握。主要容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构动力学的前沿研究课题。侧重介绍单自由度体系和多自由度体系，重点突出，同时也着重介绍了在抗震中的应用。 1 概述 1.1结构动力学的发展及其研究容： 结构动力学，作为一门课程也可称作振动力学，广泛地应用于工程领域的各个学科，诸如航天工程，航空工程，机械工程，能源工程，动力工程，交通工程，土木工程，工程力学等等。作为固体力学的一门主要分支学科，结构动力学起源于经典牛顿力学，就是牛顿质点力学。质点力学的基本问题是用牛顿第二定律来建立公式的。牛顿质点力学，拉格朗日力学和哈密尔顿力学是结构动力学基本理论体系组成的三大支柱。 经典动力学的理论体系早在19世纪中叶就已建立，。但和弹性力学类似，理论体系虽早已建立，但由于数学求解上的异常困难，能够用来解析求解的实际问题实在是少之又少，能够通过手算完成的也不过仅仅限于几个自由度的结构动力体系。因此，在很长一段时间，动力学的求解思想在工程实际中并未得到很好的应用，人们依然习惯于在静力学的畴用静力学的方法来解决工程实际问题。 随着汽车，飞机等新时代交通工具的出现，后工业革命时代各种大型机械的创造发明，以及越来越多的摩天大楼的拔地而起，工程界日新月异的发展和变化对工程师们提出了越来越高的要求，传统的只考虑静力荷载的设计理念和设计方法显然已经跟不上时代的要求了。也正是从这个时候起，结构动力学作为一门学科，也开始受到工程界越来越高的重视，从而带动了结构动力学的快速发展。 结构动力学这门学科在过去几十年来所经历的深刻变革，其主要原因也正是由于电子计算机的问世使得大型结构动力体系数值解的得到成为可能。由于电子计算机的超快速度的计算能力，使得在过去凭借手工根本无法求解的问题得到了解决。目前，由于广泛地应用了快速傅立叶变换（FFT），促使结构动力学分析发生了更加深刻地变化，而且使得结构动力学分析与结构动力试验之间的相互关系也开始得以沟通。总之，计算机革命带来了结构动力学求解方法的本质改变。 作为一门课程，结构动力学的基本体系和容主要包括以下几个部分：单自由度系统结构动力学，；多自由度系统结构动力学，；连续系统结构动力学。此外，如果系统上所施加的动力荷载是确定性的，该系统就称为确定性结构动力系统；而如果系统上所施加的动力荷载是非确定性的，该系统就称为概率性结构动力系统。 1.2主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模

非线性动力学和混沌理论

非线性动力学和混沌理论 非线性动力学 随着科学技术的发展，非线性问题出现在许多学科之中，传统的线性化方法已不能满足解决非线性问题的要求，非线性动力学也就由此产生。 非线性动力学联系到许多学科，如力学、数学、物理学、化学，甚至某些社会科学等。非线性动力学的三个主要方面：分叉、混沌和孤立子。事实上，这不是三个孤立的方面。混沌是一种分叉过程，孤立子有时也可以和同宿轨或异宿轨相联系，同宿轨和异宿轨是分叉研究中的两种主要对象。 经过多年的发展，非线性动力学已发展出了许多分支。如分叉、混沌、孤立子和符号动力学等。然而，不同的分支之间又不是完全孤立的。非线性动力学问题的解析解是很难求出的。因此，直接分析非线性动力学问题解的行为(尤其是长时期行为)成为研究非线性动力学问题的一种必然手段。 混沌理论是谁提出的？ 混沌理论，是系统从有序突然变为无序状态的一种演化理论，是对确定性系统中出现的内在“随机过程”形成的途径、机制的研讨。 美国数学家约克与他的研究生李天岩在1975年的论文“周期3则乱七八糟(Chaos)”中首先引入了“混沌”这个名称。 美国气象学家洛伦茨在2O世纪 6O年代初研究天气预报中大气流动问题时，揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，同时他还发现表面上看起来杂乱无章的混沌，仍然有某种条理性。 1971年法国科学家罗尔和托根斯从数学观点提出纳维-斯托克司方程出现湍流解的机制，揭示了准周期进入湍流的道路，首次揭示了相空间中存在奇异吸引子，这是现代科学最有力的发现之一。 1976年美国生物学家梅在对季节性繁殖的昆虫的年虫口的模拟研究中首次揭示了通过倍周期分岔达到混沌这一途径。 1978年，美国物理学家费根鲍姆重新对梅的虫口模型进行计算机数值实验时，发现了称之为费根鲍姆常数的两个常数。这就引起了数学物理界的广泛关注。 与此同时，曼德尔布罗特用分形几何来描述一大类复杂无规则的几何对象，使奇异吸引子具有分数维，推进了混沌理论的研究。20世纪70年代后期科学家们在许多确定性系统中发现混沌现象。作为一门学科的混沌学目前正处在研讨之中，未形成一个完整的成熟理论。混沌的理论 要弄明白不可预言性如何可以与确定论相调和，可以来看看一个比整个宇宙次要得多的系统——水龙头滴下的水滴。这是一个确定性系统，原则上流入水龙头中的水的流量是平稳、均匀的，水流出时发生的情况完全由流体运动定律规定。但一个简单而有效的实验证明，这一显然确定性的系统可以产生不可预言的行为。这使我们产生某种数学的“横向思维”，它向我们解释了为什么此种怪事是可能的。 假如你很小心地打开水龙头，等上几秒钟，待流速稳定下来，通常会产生一系列规则的水滴，这些水滴以规则的节律、相同的时间间隔落下。很难找到比这更可预言的东西了。但假如你缓缓打开水龙头，使水流量增大，并调节水龙头，使一连串水滴以很不规则的方式滴落，这种滴落方式似乎是随机的。只要做几次实验就会成功。实验时均匀地转动水龙头，别把龙头开大到让水成了不间断的水流，你需要的是中速滴流。如果你调节得合适，就可以在好多分钟内听不出任何明显的模式出现。 １９７８年，加利福尼亚大学圣克鲁斯分校的一群年青的研究生组成了一个研究动力学系统的小组。他们开始考虑水滴系统的时候，就认识到它并不像表现出来的那样毫无规则。他们用话筒记录水滴的声音，分析每一滴水与下一滴水之间的间隔序列。他们所发现的是短期的可预言性。要是我告诉你３个相继水滴的滴落时刻，你会预言下一滴水何时落下。例如，假如水滴之间最近３个间隔是０.６３秒、１.１７秒和０.４４秒，则你可以肯定下一滴水将在０.８２秒后落下这些数只是为了便于说明问题。事实上，如果你精确地知道头３滴水的滴落时刻，你就可以预言系统的全部未来。 那么，拉普拉斯为什么错了? 问题在于，我们永远不能精确地测量系统的初始状态。我们在任何物理系统中所作出的最精确的测量，对大约１０位或１２位小数来说是正确的。 但拉普拉斯的陈述只有在我们使测量达到无限精度即无限多位小数，当然那是办不到的时才正确。 在拉普拉斯时代，人们就已知道这一测量误差问题，但一般认为，只要作出初始测量，比如小数点后１０位，所有相继的预言也将精确到小数点后１０位。误差既不消失，也不放大。 不幸的是，误差确实放大，这使我们不能把一系列短期预言串在一起，得到一个长期有效的预言。例如，假设我知道精确到小数点后１０位的头３滴水的滴落时刻，那么我可以精确到小数点后９位预言下一滴的滴落时刻，再下一滴精确到８位，以此类推。 误差在每一步将近放大１０倍，于是我对进一步的小数位丧失信心。所以，向未来走１０步，我对下一滴水的滴落时刻就一无所知

工程测量课程设计报告

课程编号：SJ000350 2016年6 月3 日至2016 年6 月10 日 课程性质：必修 工程测量学课程设计报告 --建筑场地施工控制网的建立及建筑物放样方案设计 学 院： _____________ 矿业工程学院 _______________ 专 业： _______________ 测绘工程 _________________ 地 点： 太原理工大学虎峪校区 _____________________ 班 级： ______________ 测绘1301班 _______________ 姓 名： __________________________________________ 学 号： __________________________________________ 指导教师： _______________________________________

、工程概况 (1) 1.1 工程任务 (1) 1.2 工程的地理位置 (1) 1.3 工程简介 (1) 1.4 已有的测绘成果 (1) 二、............................................................. 体育馆施工控制网的建立 2 2.1 概述 (2) 2.1.1 建筑施工控制网的特点 (2) 2.1.2 施工控制网的精度 (2) 2.2 平面控制方案 (4) 2.2.1 点位布置方案 (4) 2.2.2 控制网网形简介、网形选择，控制网布设方案及示意图 (4) 2.3高程控制方案 (5) 2.3.1 点位布置方案 (6) 2.3.2 控制网布设方案及示意图 (6) 三、体育馆施工放样方案 7 3.1施工放样方法 (7) 3.2体育馆施工放样方案设计 (7) 3.3实施步骤及应注意的事项 (9) 3.4方案评价 (10) 四、............................................................................... 总结 10

(完整版)系统动力学模型案例分析

系统动力学模型介绍 1.系统动力学的思想、方法 系统动力学对实际系统的构模和模拟是从系统的结构和功能两方面同时进行的。系统的结构是指系统所包含的各单元以及各单元之间的相互作用与相互关系。而系统的功能是指系统中各单元本身及各单元之间相互作用的秩序、结构和功能，分别表征了系统的组织和系统的行为，它们是相对独立的，又可以在—定条件下互相转化。所以在系统模拟时既要考虑到系统结构方面的要素又要考虑到系统功能方面的因素，才能比较准确地反映出实际系统的基本规律。系统动力学方法从构造系统最基本的微观结构入手构造系统模型。其中不仅要从功能方面考察模型的行为特性与实际系统中测量到的系统变量的各数据、图表的吻合程度，而且还要从结构方面考察模型中各单元相互联系和相互作用关系与实际系统结构的一致程度。模拟过程中所需的系统功能方面的信息，可以通过收集，分析系统的历史数据资料来获得，是属定量方面的信息，而所需的系统结构方面的信息则依赖于模型构造者对实际系统运动机制的认识和理解程度，其中也包含着大量的实际工作经验，是属定性方面的信息。因此，系统动力学对系统的结构和功能同时模拟的方法，实质上就是充分利用了实际系统定性和定量两方面的信息，并将它们有机地融合在一起，合理有效地构造出能较好地反映实际系统的模型。 2.建模原理与步骤

(1)建模原理 用系统动力学方法进行建模最根本的指导思想就是系统动力学的系统观和方法论。系统动力学认为系统具有整体性、相关性、等级性和相似性。系统内部的反馈结构和机制决定了系统的行为特性，任何复杂的大系统都可以由多个系统最基本的信息反馈回路按某种方式联结而成。系统动力学模型的系统目标就是针对实际应用情况，从变化和发展的角度去解决系统问题。系统动力学构模和模拟的一个最主要的特点，就是实现结构和功能的双模拟，因此系统分解与系统综合原则的正确贯彻必须贯穿于系统构模、模拟与测试的整个过程中。与其它模型一样，系统动力学模型也只是实际系统某些本质特征的简化和代表，而不是原原本本地翻译或复制。因此，在构造系统动力学模型的过程中，必须注意把握大局，抓主要矛盾，合理地定义系统变量和确定系统边界。系统动力学模型的一致性和有效性的检验，有一整套定性、定量的方法，如结构和参数的灵敏度分析，极端条件下的模拟试验和统计方法检验等等，但评价一个模型优劣程度的最终标准是客观实践，而实践的检验是长期的，不是一二次就可以完成的。因此，一个即使是精心构造出来的模型也必须在以后的应用中不断修改、不断完善，以适应实际系统新的变化和新的目标。 (2)建模步骤 系统动力学构模过程是一个认识问题和解决问题的过程，根据人们对客观事物认识的规律，这是一个波浪式前进、螺旋式上升的过程，因此它必须是一个由粗到细，由表及里，多次循环，不断深化的过程。系统动力学将整个构模过程归纳为系统分析、结构分析、模型建立、模型试验和模型使用五大步骤这五大步骤有一定的先后次序，但按照构模过程中的具体情况，它们又都是交叉、反复进行的。 第一步系统分析的主要任务是明确系统问题，广泛收集解决系统问题的有关数据、资料和信息，然后大致划定系统的边界。 第二步结构分析的注意力集中在系统的结构分解、确定系统变量和信息反馈机制。 第三步模型建立是系统结构的量化过程(建立模型方程进行量化)。 第四步模型试验是借助于计算机对模型进行模拟试验和调试，经过对模型各种性能指标的评估不断修改、完善模型。 第五步模型使用是在已经建立起来的模型上对系统问题进行定量的分析研究和做各种政策实验。 3.建模工具 系统动力学软件VENSIM PLE软件 4.建模方法 因果关系图法 在因果关系图中，各变量彼此之间的因果关系是用因果链来连接的。因果链是一个带箭头的实线(直线或弧线)，箭头方向表示因果关系的作用方向，箭头旁标有“+”或“-”号，分别表示两种极性的因果链。

非线性动力学数据分析

时间序列分析读书报告与数据分析 刘愉 200921210001 时间序列分析是利用观测数据建模，揭示系统规律，预测系统演化的方法。根据系统是否线性，时间序列分析的方法可分为线性时间序列分析和非线性时间序列分析。 一、 时间序列分析涉及的基本概念 1、 测量 对于一个动力系统，我们可以用方程表示其对应的模型，如有限差分方程、微分方程等。如果用t X 或)(t X 表示所关心系统变量的列向量，则系统的变化规律可表示成 )(1t t X f X =+或)(X F dt dX = 其中X 可以是单变量，也可以是向量，F 是函数向量。通过这类方程，我们可以研究系统的演化，如固定点、周期、混沌等。 在实际研究中，很多时候并不确定研究对象数据何种模型，我们得到的是某类模型（用t X 或)(t X 表示）的若干观测值（用t D 或)(t D 表示），构成观测的某个时间序列，我们要做的是根据一系列观测的数据，探索系统的演化规律，预测未来时间的数据或系统状态。 2、 噪声 测量值和系统真实值之间不可避免的存在一些误差，称为测量误差。其来源主要有三个方面：系统偏差（测量过程中的偏差，如指标定义是否准确反映了关心的变量）、测量误差（测量过程中数据的随机波动）和动态噪音（外界的干扰等）。 高斯白噪声是一类非常常见且经典的噪声。所谓白噪声是指任意时刻的噪声水平完全独立于其他时刻噪声。高斯白噪声即分布服从高斯分布的白噪声。这类噪声实际体现了观测数据在理论值（或真实值）周围的随机游走，它可以被如下概率分布刻画： dx M x dx x p 2222)(exp 21 )(σπσ--= （1） 其中M 和σ均为常数，分别代表均值和标准差。 3、 均值和标准差 最简单常用的描述时间序列的方法是用均值和标准差表示序列的整体水平和波动情况。 （1）均值 如果M 是系统真实的平均水平，我们用观测的时间序列估计M 的真实水平方法是：认为N 个采样值的水平是系统水平的真实反映，那么最能代表这些观测值（离所有观测值最近）的est M 即可作为M 的估计。于是定义t D 与est M 的偏离为2 )(est t M D -,所以，使下面E 最小的M 的估计值即为所求： 21)(∑=-=N t est t M D E （2）

结构动力检测研究概述读书报告

结构动力检测研究概述 读书报告

结构动力检测研究概述 一.引言 土木工程事故的发生，造成了人员伤亡和财产损失，必然引起人们对土木工程安全性的关心和重视。评估已有建筑物或桥梁等结构在灾害性事件(如：地震、台风、爆炸等)后的健康情况，采用常规检测方法进行检测是费时的。因为主要的结构构件或节点一般都在外覆盖物或者建筑装饰物的下面。为迅速营救生命、拯救财产，立即对它们的健康情况做出评估是很有必要的。例如，1994年1月17日，美国加州Northridge大地震，一些建筑物在主震后并未倒塌，但是结构的损伤没有及时发现并进行处理，在后来的一次余震作用下结构发生了倒塌。1995年日本神户大地震和1999年台湾台中大地震也有类似的情况发生[1]。 人们在基于振动的结构健康监测方面进行了一系列的研究。20世纪70年代和80年代初，石油工业投人大量的人力和物力开发海洋平台健康监测系统；20世纪70年代后期，美国航天航空部门开展了有关航天飞机动力健康监测的研究；1987年以来，美国所有的人造卫星都配置了航天模型的健康监测系统，美国国家航空和宇航局要求所有的发射设备安置结构健康监测系统[2]。20世纪80年代初，土木工程部门开展了桥梁健康监测系统的研究。在连接香港新机场的青马大桥上安装了600多个传感器[3]。期间，虽然得出了一些较为成功的健康监测技术，但是如何从测量的信息来解释结构的健康状态和损伤情况，至今还没有完善的理论体系，基于振动的结构健康监测仍然是一个挑战。 综观结构损伤检测的研究历史，从损伤的定义来划分，大体上可以划分为单元刚度整体下降的损伤检测法和单元之间连接刚度下降的损伤检测法。对于前者，结构的损伤程度可由单元刚度折减系数来表示[4]；对于后者，损伤程度可以由单元之间连接部分(连接单元)刚度的减小来表示，如钢结构梁柱连接部位螺栓的破坏、混凝土与钢筋之间粘结的破坏都属于连接单元失效问题。前者把损伤简单地假定为结构某些单元刚度减小，在此基础上开展的损伤检测研究已经很多了；后一种损伤定义更加接近结构的实际破坏形式，但目前开展的研究工作尚不多。 结构损伤检测从研究对象来看，研究的结构形式是由简单到复杂的一个过程：由简支梁开始到平面框架结构，再到桁架结构和空间结构，如海洋石油井架等。 从研究方法上来划分，可以划分为基于力学理论的损伤检测方法，基于神经网络的损伤检测方法，基于小波分析的损伤检测方法和基于模糊逻辑(fuzzy logic)的损伤检测方法等。基于力学理论的方法可以划分为基于静力学理论和基于动力学理论的方法。基于动力学理论的方法又可以划分为：线弹性理论的损伤检测方法和非线性理论的损伤检测方法。线弹性理论的方法又可以分为：基于模态理论的损伤检测和基于波动理论的损伤检测方法。基于非线性力学理论损伤检测方面的研究文献尚不多见[5]。 二.开展工程结构动力检测的意义 开展工程结构动力检测有如下重大意义：(1)传统的检测手段(如目测和静力检测)和无损检测技术(如超声波)均是结构局部损伤的检测方法，这些方法要求事先知道结构破损的大致位置，所以只能检测到结构表面或附近的损伤。如果是大体量结构，则不仅工作量巨大，而且难以预测结构性能的整体变化。基于结构振动的损伤识别可应用于复杂结构的定量的整体检测，能够有效克服静态检测方法中存在的应用条件限制和工作效率相对较低的缺点。(2)在土木工程实践中，设计、施工存在失误或正常使用中超载、环境腐蚀均可对结构造成不同程度的损伤，利用结构的健康检测技术，不仅可及时发现这些损伤的具体部位，甚至检测到无法接近的或隐蔽的损伤部位，为制定技术、经济水平均较高的加固方案提供充分的技术支持。(3)将结构的健康检测技术应用于结构在线监测，可发现早期的结构损伤，以便及时对结构进行维修，从而排除隐患。结构动力检测方法可不受结构规模和隐蔽的限制，只要在可

测量平差课程设计报告

设计报告 设计名称：测量平差课程设计学院名称：测绘工程学院 专业班级：测绘11-3班 学生姓名：邹云龙 学号： 20110242 指导教师：周秋生 黑龙江工程学院教务处制 2013年6月

注：1、在此页后附实习报告、总结。其内容应包括：实习目的、实习内容及实习结果等项目。 2、此页为封皮，用A4幅面纸正反面打印。 3、实习总结使用A4幅面纸张书写或打印，并附此页后在左侧一同装订。 4、实习成绩以优（90~100）、良（80~89）、中（70~79）、及格（60~69）、不及格（60以下）五 个等级评定。

目录 一、水准网观测精度设计 (4) 二、水准网、测角网、边角网平差计算 (6) 1、水准网平差计算 (6) 2、测角网平差计算 (8) 3、边角网平差计算 (12)

一、设计目的 在学完误差理论与测量平差基础课程后，在掌握了测量数据处理基本理论、基本知识、基本方法的基础上，根据设计任务，熟悉自动平差软件的应用，通过实例计算，提高用电子计算机进行相关测量数据处理的能力，在此基础上通过测量程序设计提高用高级语言进行简单测量程序设计的能力。 二、设计任务 （1）水准网观测精度设计 根据所给控制网的形状和高程平差值的点位中误差要求，推求水准高差观测的精度要求。 （2）利用已有平差软件完成下述平差计算任务 1）熟悉前方交会与后方交会计算 分别自选1至2个前后方交会计算实例进行平差计算，熟悉程序使用方法。 2）水准网平差计算 3）导线网平差计算 4）测角网平差计算 分别自选1个水准网、测角网和边角网计算实例进行平差计算，要求每个学生的计算题目不能重复。 建议使用的数据处理软件：测量控制网自动平差系统，黑龙江工程学院,2002年版；平差易，南方测绘，2002年或2005年版。使用指导书见相应电子版文件。 （3）编制测量计算程序 仿照已有测量程序的设计界面和程序计算管理功能，在测角（测边）前方交会与后方交会计算程序、单一符合、闭合水准网平差计算程序、单一符合、闭合导线平差计算程序设计选题中选择一至两项内容进行程序设计，设计使用的语言可采用VB、C、C#等。参考书可选测绘出版社出版，葛永会编《测量程序设计》，和黑志坚等编著的《测量平差》教材，以及针对所使用语言的相关程序设计书籍。 三、设计内容 （一）、水准网观测精度设计 4、水准网如下图所示，各观测高差的路线长度相同。

系统动力学优化方法案例研究

系统动力学优化方法案例研究 1研究背景 农业生态系统是由自然生态系统和社会经济系统组成的复杂系统，它的发展受人类、社会、经济、政策、科技和自然等因素综合作用，呈现高度非线性、多回路、复杂的动态特性。农业生态系统的优化管理就是对农业生产进行合理的人为干预，通过政策实施和技术支撑，对系统结构和功能进行合理调控，使农业生态系统处于安全与健康状态，为人类提供持续的生态服务、满足人类生存和发展需求。 禹城农业生态系统为县级尺度的生态系统。全市拥有耕地52927 hm2，全市总人口499755人，其中农业人口415913人。土地平坦，水资源丰富，适合农业生产，经济以农业为主，农业长期以种植业为主，20世纪90年代，粮食单产稳定在12000kg/hm2以上，畜牧业有了较快发展，逐步呈现农牧结合的良好态势，到2000年种植业产值和畜牧业产值在农业生产总产值中分别占到65.0%和29.8%。种植业以小麦、玉米为主，部分为棉花、蔬菜、瓜果等经济作物，养殖业以牛、猪、鸡为主。目前，随着我国农业发展进入新阶段，面临新一轮农业结构调整，根据区域资源特点及我国优势农产品区划，禹城市既是粮食生产优势产区，同时也是畜牧业生产的优势产区，种植业子系统和养殖业子系统是禹城市农业生态系统两个最主要的子系统，种植业和养殖业的结合也是农业生产最基本的形式。养殖业在农业生态系统中的重要作用，一方面主要表现为提供营养丰富的动物性食品和增加经济收入，另一方面则表现为充分利用种植业副产物，并为种植业提供大量有机肥从而可适当减少化肥用量。种植业和养殖业的有机结合，有利于减少工业辅助能的投入，能够提高抵抗自然灾害和社会经济风险的能力，可以增加系统的稳定性。运用系统动力学方法优化并调控种植业和养殖业内部组分结构比例，协调种植业和养殖业两个子系统之间的相互关系，探讨实现系统的整体高效和良性循环的途径。 2模型的建立与检验 （1）建模思路 应用系统动力学模型对禹城市农牧结合生态系统发展趋势进行动态模拟，并

《从非线性动力学到复杂系统》

《从非线性动力学到复杂系统》 段法兵 系统理论博士生课程

第一讲动态系统的发展 系统是一些相互关联的客体组成的集合，动态（动力dynamical）系统是系统状态变量，比如温度、位移、价格、信号幅值等，随着时间变化的。它的描述可以用微分方程或者离散方程。 微分方程历史悠久，可追溯到牛顿、伽利略、欧拉、雅克比等人，用以描述行星的运动轨迹。研究中发现即使满足牛顿引力定律的三体运动也非常复杂，其微分方程是非线性的，非线性是指不满足叠加定律的方程，解无法利用已知函数进行描述，如果能够描述的我们称为显式解。因此，庞加莱在1880年-1910年期间，试图利用解的拓扑几何性质来解释动态系统的运动规律，发现即使确定性系统，其运动规律也会出现随机性态，非常复杂（确定性系统是指其外力是确定的不随机，只要知道初始条件和演化方程，其运动是可预先确定的）。 非线性系统运动的复杂性：李雅普诺夫研究了系统平衡点？的稳定性？问题，随后本迪尔松等发现系统的解包含（1）平衡态（静止不动）；（2）周期运动（比如行星）（3）拟周期，就是几个频率不可公约周期之和。 接着1975年Li和Yorke提出了混沌的概念，即系统的解是非周期的一种类似随机运动的现象，这其中就包含了洛伦兹提出的“蝴蝶效应”，根源在于这类非线性动力系统对于初始条件的极其敏感性，初始条件的微小变化导致了系统状态的巨大改变，从此有关非线性科学的发展异常迅速，形成了现代动力学理论，其最重要的贡献是揭示了一个简单的模型可能蕴含了无比复杂的动力学性态。 例子：Van der Pol（范德波尔）方程 1920年Van der Pol利用电子震荡管研究心脏的跳动问题，比如人工心脏起

结构动力学读书报告

《结构动力学》 读书报告

结构动力学读书报告 学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下： 1. （1）结构动力学及其研究内容： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 （2）主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 （3）数学模型 将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由

度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。 ②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi （它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u（x）可以近似地表为： @7710 二送 结构动力学 （1）式中的qj称为广义坐标，它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。 ③有限元法：可以看作是分区的瑞利-里兹法，其要点是先把结构划 分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利-里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点（例如三角形的顶点、边中点等）处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 （4）运动方程

控制测量学_课程设计报告

控制测量课程设计 指导老师：周显平 班级：测矿11-2 姓名：石磊 学号：1179204105

一、概述 1目的要求 依据精度要求和通视性良好的原则，结合测区自然地理条件的特征和已知控制点，选择最佳布网方案，保证所布设的控制网能能够辐射到整个测区，并满足精度要求。 2任务范围 内蒙古包头市九原区哈林格尔乡 3 设计任务及作业内容 将四张1:10000的地形图用VPstudio进行矫正，然后利用南方Cass进行拼接并加上图幅，再在拼接好的图上进行设计选点，网型布设完毕后，用科傻软件对所布的控制网进行平差，最后上交一张控制网的地图及技术设计说明书。 二、测区概况 1测量区行政隶属 内蒙古包头市九原区 2地形情况 哈林格尔乡地处包头市区西南部，总面积83.3平方公里，总人口15847人，乡政府座落于昆区友谊大街南桥东侧。哈林格尔乡地理位置优越，紧靠城区，临近包钢，面对百万人口的大城市，消费市场十分广阔，交通条件也很便利，发展前景十分广阔，粮食、蔬菜稳步前进，年提供商品粮5832万吨，商品菜35812万公斤，肉、蛋、奶商品量达1105吨、562吨、363吨，大大丰富了包头地区的蔬菜市场。乡镇企业初具规模，形成了轧钢、冶炼、建筑、造纸等15个行业，年产值103800万元，利税11418万元。. 3气候条件 于洪区属高原地区，气候属温和型湿润气候，日照时数为1140—1200小时，年平均气温7.0~7.4℃，大于等于10℃，积温为3300℃左右，冬季最低气温为-33℃，无霜期为155天，年降雨量为700毫米左右，土质为黄土。 4水资源条件 经地质和环保部门检验分析，地下矿泉水资源丰富，且水质优良，完全能满足生活与生产用水。 5通讯条件 近年来于洪区陆续开通了无线、光缆和数字程控交换机，实现了国际、国内电话直拔。现有程控电话装机容量4000门，已装机2976门，手机2000余部，还拥有固网信息电话近百部，通讯条件非常便利 三、已有成果及资料

第一章 非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法(6学时） 一、教学目标 1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念; 2、掌握线性稳定性得分析方法; ?3、掌握奇点得分类及判别条件; ?4、理解结构稳定性及分支现象; 5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象. 二、教学重点 1、线性稳定性得分析方法； ?２、奇点得判别。 三、教学难点 ?线性稳定性得分析方法 四、教学方法 讲授并适当运用课件辅助教学 五、教学建议 ?学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。 六、教学过程 本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。 1、1相空间与稳定性 ?一、动力系统 在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学. 假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方

程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X ＝X i（t),则控制它们 ｉ 得方程组为常微分方程组。 ?????（１。1．1) … 其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。1．１)为自治动力系统。若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统. 对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。 例如： 令,,上式化为 上式则就是一个三维自治动力系统。 又如: 令,则化为 它就就是三微自治动力系统、 对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。 能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。 二、相空间 ,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ １ 起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。 三、稳定性 把方程组（1。1．1)简写如下

结构动力学3-3w总结

T p —荷载的周期 7/63 单自由度体系对周期荷载的反应 任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为： 用复数Fourier 级数将周期荷载展开， 先计算单位复荷载e i ωj t 作用下，体系稳态反应的复幅值，设： 总的稳态反应为: 复频反应函数，也称为频响函数，传递函数

单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。 单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程。 积分 时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度： 由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零：

13/63 —Duhamel 积分无阻尼体系的单位脉冲反应函数为： 有阻尼体系的单位脉冲反应函数为： 、单位脉冲反应函数 单位脉冲及单位脉冲反应函数 15/63 在任意时间t 结构的反应，等的和： Duhamel 积分： 任意荷载作用下单自由度体系的反应等于作用于结构的外荷载与单位脉冲反应函数的卷积。 3.8.1时域分析方法—Duhamel 积分 无阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式： 阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式：

17/63杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。 因为使用了叠加原理，因此杜哈曼积分法限于弹性范 速度和加速度的Fourier变换为：

21/63单自由度体系时域运动方程： 对时域运动方程两边同时进行Fourier 正变换，得单自由度体系频域运动方程： —Fourier 变换法频域解为： )—复频反应函数，i 是用来表示函数是一复数。再利用Fourier 逆变换，即得到体系的位移解： 作Fourier 变换, 得到荷载的Fourier 谱P (ω)和复频反应函数到结构反应的频域解—Fourier 谱U (逆变换，由频域解U (ω)得到时域解u (t )： 在用频域法分析中涉及到两次Fourier 变换，均为无穷域积分，特别是Fourier 逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。

检测技术及仪表课程设计报告

检测技术及仪表课程设计报告 1、1 课程设计目的针对“应用技术主导型”普通工科高等教育的特点，从工程创新的理念出发，以工程思维模式为主，旨在培养突出“实践能力、创新意识和创业精神”特色的、适应当前经济社会发展需要的“工程应用型人才”。通过在模拟的实战环境中系统锻炼，使学生的学习能力、思维能力、动手能力、工程创新能力和承受挫折能力都得到综合提高。以增强就业竞争力和工作适应力。 1、2课题介绍本课设题目以多功能动态实验装置为对象，要求综合以前所学知识，完成此实验装置所需参数的检测。设计检测方案，包括检测方法，仪表种类选用以及需要注意事项，并分析误差产生的原因等等。 1、3 实验背景知识换热设备污垢的形成过程是一个极其复杂的能量、质量和动量传递的物理化学过程，污垢的存在给广泛应用于各工业企业的换热设备造成极大的经济损失，因而污垢问题成为传热学界和工业界分关注而又至今未能解决的难题之一。 1、4 实验原理 1、4、1 检测方法按对沉积物的监测手段分有：热学法和非传热量的污垢监测法。热学法中又可分为热阻表示法和温差表示法两种；非传热量的污垢监测法又有直接称重法、厚度测量法、压降测量法、放射技术、时间推移电影法、显微照相法、电解法

和化学法。这些监测方法中，对换热设备而言，最直接而且与换热设备性能联系最密切的莫过于热学法。这里选择热学法中的污垢热阻法。 1、4、2 热阻法原理简介表示换热面上污垢沉积量的特征参数有：单位面积上的污垢沉积质量mf，污垢层平均厚度δf和污垢热阻Rf。这三者之间的关系由式表示： （1-1）图1-1 清洁和有污垢时的温度分布及热阻通常测量污垢热阻的原理如下：设传热过程是在热流密度q为常数情况下进行的，图1a为换热面两侧处于清洁状态下的温度分布，其总的传热热阻为： （1-2）图1b为两侧有污垢时的温度分布，其总传热热阻为： （1-3）忽略换热面上污垢的积聚对壁面与流体的对流传热系数影响，则可认为（1-4）于是两式相减得： （1-5）该式表明污垢热阻可以通过清洁状态和受污染状态下总传热系数的测量而间接测量出来。实验研究或实际生产则常常要求测量局部污垢热阻，这可通过测量所要求部位的壁温表示。为明晰起见，假定换热面只有一侧有污垢存在，则有：（1-6）（1-7）若在结垢过程中，q、Tb均得持不变，且同样假定（1-8）则两式相减有： （1-9）这样，换热面有垢一侧的污垢热阻可以通过测量清洁状态和污染状态下的壁温和热流而被间接测量出来。

单摆非线性动力学

单摆的非线性动力学分析 亚兵 （交通大学车辆工程专业，，730070） 摘要:研究单摆的运动，从是否有无阻尼和驱动力方面来分析它们对单摆运动的影响。对于小角度单摆的运动，从单摆的动力学方程入手，借助雅普诺夫一次近似理论，推导出单摆的运动稳定性情况。再借助绘图工具matlab，对小角度和大角度单摆的运动进行仿真，通过改变参数，如阻尼大小、驱动力大小等绘出单摆运动的不同相图，对相图进行分析比较，从验证单摆运动的稳定性情况。关键词:单摆；振动；阻尼；驱动力 Abstract:The vibration of simple pendulum is studied by analyzing whether or not damp and drive force its influence of the simple pendulum. For small angle pendulum motion, pendulum dynamic equation from the start, with an approximate Lyapunov theory of stability of motion is derived pendulum situation. Drawing tools with help from matlab, small angle and wide-angle pendulum motion simulation, by changing the parameters, such as damping size, drive size draw simple pendulum of different phase diagram, analysis and comparison of the phase diagram, from the verification the stability of the situation pendulum movement. Key words: simple pendulum; vibration; damp; drive force 1 引言 单摆是一种理想的物理模型[1]，单摆作简谐振动（摆角小于5°）时其运动微分方程为线性方程，可以求出其解析解，而当单摆做大幅度摆角运动时，其运动微分方程为非线性方程，我们很难用解析的方法讨论其运动，这个时候可以用MATLAB软件对单摆的运动进行数值求解，并可以模拟不同情况下单摆的运动。 θ=时, 随着摆角的减小，摆球的运动速率将越来越大，而加速度将单调下降,至0 加速度取极小值。本文从动力学的角度详细考察了这一过程中摆球的非线性运，得出了在运动过程中.,t θθθ --的关系。

结构动力学 读书报告

《结构动力学》读书报告

结构动力学读书报告 学习完本门课程和结合自身所学专业，我对本门课程内容的理解和在各方面的应用总结如下： 1.（1）结构动力学及其研究内容： 结构动力学是研究结构系统在动力荷载作用下的振动特性的一门科学技术，它是振动力学的理论和方法在一些复杂工程问题中的综合应用和发展，是以改善结构系统在动力环境中的安全和可靠性为目的的。本书的主要内容包括运动方程的建立、单自由度体系、多自由度体系、无限自由度体系的动力学问题、随机振动、结构抗震计算及结构动力学的前沿研究课题。 （2）主要理论分析 结构的质量是一连续的空间函数，因此结构的运动方程是一个含有空间坐标和时间的偏微分方程，只是对某些简单结构，这些方程才有可能直接求解。对于绝大多数实际结构，在工程分析中主要采用数值方法。作法是先把结构离散化成为一个具有有限自由度的数学模型，在确定载荷后，导出模型的运动方程，然后选用合适的方法求解。 （3）数学模型 将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由

度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。 ②广义位移法：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi（它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u(x)可以近似地表为： 结构动力学 (1) 式中的qj称为广义坐标,它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。 ③有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞利－里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点(例如三角形的顶点、边中点等)处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。 （4）运动方程 可用三种等价但形式不同的方法建立，即：①利用达朗伯原理引