线性代数课后习题及解答

第五章课后习题及解答

1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：

(1) ;1332?

??

?

??-- 解：,0731

3

3

2

2=--=--=

-λλλλλA I

2

37

3,237321-=+=

λλ ,00

13

36

37

123712

137

1???

? ??→→???

?

??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T

-

因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T

,00

13

36

37

12371237

12???

? ??→→???

?

??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T

+

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T

(2) ;211102113????

? ??--

解：2)2)(1(2

11

121

13--==------=-λλλλ

λλ A I

所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)

???

?

? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ

所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T

因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T

???

?

? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ

所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T

(3) ;311111002????

? ??-

解：3)2(3

1

111

1

02

-==------=-λλλλλ A I

所以，特征值为：21=λ(三重根)

???

?

?

??-→→????? ??----=-0000001111111110001 A I λ

所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(T

T -

因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T

T k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。

(4) ;1000210032104321

??

?

?

?

?

?

??

解：4)1(1

2

1003

2

1

04

321

-=----------=

-λλλλλλA I 所以，特征值为：11=λ(四重根)

????

??

? ??------=-00002

000320043201A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)0,0,0,1(T

因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T

k )0,0,0,1(1(01≠k )

(5) ;111122254????

? ??-----

解：3)1(1

1

1

12

22

54

-==--+--=

-λλλλλ A I

所以，特征值为：11=λ(三重根)

???

?

?

??-→→????? ??---=-0001101010111322531 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,1(T

-

因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T

k )1,1,1(1-(01≠k )

(6) ;020212022????

?

??----

解：)2)(4)(1(202120

22

+--==--=

-λλλλ

λλλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根), 42=λ(单根), 23-=λ(单根),

???

?

?

??→→????? ??-=-0001201011202020211 A I λ

所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)2,1,2(T

--

因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：T

k )2,1,2(1--(01≠k )

???

?

? ??-→→????? ??=-0002102014202320222 A I λ

所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)1,2,2(T

-

因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：T

k )1,2,2(2-(02≠k )

???

?

? ??--→→????? ??---=-0001101022202320243 A I λ

所以，0)(3=-x A I λ的基础解系为：.)2,2,1(T

因此，A 的属于3λ的所有特征向量为：T

k )2,2,1(3(03≠k )

2. 已知矩阵???

?

? ??----=x A 44174

147

的特征值31=λ(二重)，122=λ, 求x 的值，并求其特征向量。

解：123377++=++x 4=∴x

???

?

? ??-→→????? ??-----=-0000001441441441443 A I

所以，0)3(=-x A I 的基础解系为：.)4,0,1(,)0,1,1(T

T -

因此，A 的属于3的所有特征向量为：T

T k k )4,0,1()0,1,1(21+-(21,k k 为不全为零的任意常数)

???

?

? ??→→????? ??--=-00011010184415414512 A I

所以，0)12(=-x A I 的基础解系为：.)1,1,1(T

--

因此，A 的属于12的所有特征向量为：T

k )1,1,1(3--(03≠k )

3. 设21,x x 是矩阵A 不同特征值的特征向量，证明21x x +不是A 的一个特征向量。

证：（反证法）

若21x x +是A 的属于特征值λ的一个特征向量，21,x x 是A 的属于特征值21,λλ的特征向量且21λλ≠，则：

2211212121)()(x x Ax Ax x x A x x λλλ+=+=+=+

所以，0)()(2211=-+-x x λλλλ

21,x x 属于不同特征值 21,x x ∴线性无关

0,021=-=-∴λλλλ即21λλλ==与21λλ≠矛盾。

所以，21x x +不是A 的一个特征向量。

4. 设321,,x x x 分别是矩阵A 对应于互不相同的特征值321,,λλλ的特征向量，证明

321x x x ++不是A 的一个特征向量。

证：类似3题可证。

5. 证明对合矩阵A (即I A =2

)的特征值只能为1或1-.

证：0)1()1(2=-=-=-=-n I I I A I λλλλ

2

A ∴的特征值只有1.

若λ为A 的特征值，则2λ为2

A 的特征值

A ∴的特征值只能为1或1-.

6. 设A 可逆，讨论A 与*

A 的特征值(特征向量)之间的相互关系。

解：1-*=A A A

∴若,x Ax λ=则x A

x A λ

=

*

.

7. 若,1B AP P =-问：I B P I A P 2)2(1

-=--是否成立？

解：成立。

8. 已知,2001~?

??

?

??-=∧A 求).det(I A - 解：,~∧A 相似矩阵具有相同的特征值

)2)(1(-+=-∴λλλA I

2)21)(11()1()det(2-=-+=--=-A I I A

9. 已知,2001,23121?

??

? ??-=????

??--=-AP P P 求.n

A 解：???

? ?

?-==--n n

n n

AP P P A P 20

0)1()(1

1

???? ??+-?--+-?--=???? ?

?-=∴+++++-21111212)1(32

3)1(62)1(223)1(220

0)1(n n n n n n n n n n

n P P A

*

10. 设x AP P B ,1

-=是矩阵A 属于特征值0λ的特征向量。证明：x P 1

-是矩阵B 对应其特

征值0λ的一个特征向量。

证：AP P B x Ax 1

0,-==λ

)()(1

0011111x P x P Ax P x APP P x P B ------====∴λλ

*

11. 设A 为非奇异矩阵，证明AB 与BA 相似。

证：A 为非奇异矩阵 1

-∴A 存在

BA A AB A =-)(1

∴AB 与BA 相似

*

12. 设,~,~D C B A 证明：.00~00???

?

??????

??D B C A 证：D C B A ~,~ ∴存在可逆矩阵Q P ,, 使得D CQ Q B AP P ==--1

1

,

???? ??=???? ??=???? ?????? ?

????? ??=???? ?????? ?????

? ??-----D B CQ Q AP

P Q P C A Q P Q P C A Q P 000000000000000011111

.00~00???

? ?????? ??∴D B C A *13. 证明：m 阶矩阵?????

?

?

??=01

010 J 只有零特征值，且特征子空间是m

R 的一维子空间，并求它的基。

解：0==-m J I λλ

J ∴只有零特征值。

???

?

?

?

?

??--=-01010 J

0=-∴Jx 的基础解系为：.)0,,0,1(T

14. 若A I +可逆，A I -不可逆，那么，关于A 的特征值能做出怎样的断语？

解：A I + 可逆，A I -不可逆

0,0=-≠+∴A I A I

∴1-不是A 的特征值，1是A 的特征值。

15. 若,0)det(2

=-A I 证明: 1或1-至少有一个是A 的特征值。

证：A I A I A I -+=-=)det(02 0=+∴A I 或0=-A I

∴1或1-至少有一个是A 的特征值。

16. 在第1题中，哪些矩阵可对角化？并对可对角化的矩阵A , 求矩阵P 和对角矩阵∧, 使得

.1∧=-AP P

解：由矩阵可对角化的条件及第1题的求解过程易知：(1), (6)可对角化。

(1) ).237

3,2373(,37137166-+=∧???

? ??+-=diag P (2) ).2,4,1(,212221122-=∧???

?

?

??---=diag P

17. 主对角元互不相等的上（下）三角形矩阵是否与对角阵相似（说明理由）？

解：可以，因为有n 个互不相等的特征值。

18. 设n 阶矩阵A 的2n 个元素全为1，试求可逆矩阵,P 使AP P 1

-为对角阵，并写出与A 相似的对角阵。

解：

1

112121)(000

0111)(),,(1

111

111

11)

(),,(11

1

111111

--=-=++-------=++---------=

-n n n n n r r r r n r r r r A I λλλ

λλλλλλλλλ

所以，特征值为：n =1λ(单根)，02=λ(1-n 重根)

???

???

?

?

??---→→????

???

?

?---------=-0000

1100

10101001

11111

1111

n n n A nI

所以，0)(=-x A nI 的基础解系为：.)1,,1,1(T

??

?

?

?

?

?

??→→???

???? ??---------=-000000111

111111111 A

所以，0=-Ax 的基础解系为：.)1,0,,0,1(,,)0,,0,1,1(T

T

--

所以，,100101

0101

110011?????

??

?

?

?---=

P 与A 相似的对角阵为：

).0,,0,(1 n diag AP P =-

19. 已知4阶矩阵A 的特征值为11=λ(三重)，;32-=λ对应于1λ的特征向量有

,)1,1,1,0(,)0,1,1,1(,)0,0,1,1(321T T T x x x --=--=-=对应于2λ的特征向量为

.)1,1,0,0(4T x -=问：A 可否对角化？如能对角化，求出A 及n A (n 为正整数)。

解：容易验证，321,,x x x 线性无关，所以，可对角化。

令,1100111001110011???

???? ??------=P 则,10110011110011011

???????

??--------=-P ,304441440010

00

0131

111???

?

???

?

?---=??????? ??-=-P P A

.)3(0)3(1)3(1)3(11)3(1)3(100100

00131

111????

?

?

?

?

?

--------+--+-=??????? ??-=-n n

n

n n n

n

n P P A

20. 设三阶矩阵A 有二重特征值,1λ如果

T T T T x x x x )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(,)1,0,1(4321-==--==都是对应于1λ的特征向量，问A

可否对角化？

解：???

?

? ??-→→????? ??---=000011000111101111000111),,,(4321 x x x x

所以，31,x x 线性无关。又因为剩余的那个特征值是单根，所以A 可对角化。

21. 已知.2223?

??

?

??--=A (1) 求k

A A A ,,5

4(k 为正整数)。

(2) 若,1

1)(6

34+-=x x x

x x f 求).(A f 解：(1) 0)1)(2(2

2

2

3

=-+=--+=

-λλλλλA I

所以，特征值为：21-=λ(单根)，12=λ(单根)

?

??

?

??-→????

??--=-002142211A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,2(T

???

?

??-→→????

??--=-001212242 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)2,1(T

令,122131,21,12211???? ??---=???

? ??-=∧????

??=-P P 则：.1

-∧=P P A 所以，,12222243,410

10211

55144???

? ??--=∧=???? ?

?--=∧=--P P A P P A .)2(2)

2(2)2(2)2(13121121

????

??------+-+-=∧=+++-k k k k k

k

P P A (2) .320640

6401280)(610???

?

?

?--=--=I A A A f 22. 设,20004200003

4004

3??????

?

??-=A 求k A (k 为正整数)。(提示：按对角块矩阵求k

A .)

解：令,2042,344321?

???

??=???? ??-=A A 则,0021???? ??=A A A 从而，.0021???

?

??=k k

k A A A .0253

4

4

3

21=-=+---=

-λλλλA I

所以，特征值为：.5,521-==λλ

???

? ??-→→???? ?

?--=-002184

42

51 A I 所以，0)5(1=-x A I 的基础解系为：.)1,2(T

???

?

??→→???? ??----=--0012244851 A I 所以，0)5(1=--x A I 的基础解系为：.)2,1(T

-

令,5005,2112

1???

? ??-=∧???? ?

?-=P 则,

1

111-∧=P P A ???

?

??---+-+--=???? ??---???? ??-???? ??--=∧=---------1111111111

11

)5(45)5(2)5(2)5(2)5(2)5()5(42112)5(0

05211251k k k k k k k k k k

k

k

P P A

???

? ??=???? ?????? ??-200220421021 ???

? ?????? ??=???? ?????? ??-=???? ??∴-200210212002102120421

???

?

??=???? ?????? ??=∴-k

k k k

k k

k A 20

2422002102112 ????

??

?

??---+-+--=∴---------k

k k

k k k k k k k k k

k A 20002420000)5(4)5()5(2)5(200

)5(2)5(2)5()5(4111111111

23. 对5.2节例1的矩阵,A 求正交矩阵,T 使AT T 1

-为对角阵。

解：借助5.2节例1的求解过程，对1x 单位化，对232221,,x x x 构成的线性无关向量组利用施密特正交化方法进行处理，即得所求的正交矩阵为：

.2222,0001212

3216

36

22163612

12

1

636121

??

????? ??-=??????

? ?

?-

-

-=-AT T T

24. 对下列实对称矩阵,A 求正交矩阵T 和对角矩阵,∧使:1

∧=-AT T

(1) ;324202423????? ?? (2) ;110143031????? ??-- (3) ;122210201????

? ??-

(4) ;0041001441001400???????

?? (5) .1333313333133331????

?

?

?

??------------ (1) 解：

)8()1(3

24224

2

32=-+=--------=-λλλλ

λλA I

所以，特征值为：11-=λ(二重根)，82=λ(单根)

???

?

? ??→→????? ??---------=-0000002124242124241 A I λ

所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：T

T x x )1,0,1(,)0,2,1(21-=-=

用施密特正交化方法得：

T

T )45

5,452,454(,)0,52,51(

21-=-=ηη???

?

? ??--→→????? ??------=-0001201015242824252 A I λ

所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：T

)2,1,2(

单位化得：T

)32,31,32(

所以，.811,03

245

5314525

2324545

1????? ??--=∧?????

? ?

?-

-=T (2) , (3), (4), (5)类似(1)可求解。

25. 设A 是n 阶实对称矩阵，且,2

A A =证明存在正交矩阵,T 使得

).0,,0,1,,1,1(1

diag AT T =-

证：设x 是A 的对应于特征值λ的一个特征向量，则：x Ax λ=

2A A = x x A Ax x 2

2λλ===∴

x 为非零向量 2

λλ=∴ 1=∴λ或0

A 为实对称矩阵 ∴存在正交矩阵,T 使得).0,,0,1,,1,1(1

diag AT T =-

*

26. 设n 阶实对称矩阵A 的特征值),,,2,1(0n i i =≥λ证明存在特征值非负的实对称矩阵

B , 使得.2B A =

证：A 为实对称矩阵 ∴存在正交阵T 使得1

21-?????

?

? ??=T T A n λλλ

取,1

2

1

-??????

?

?

?=T T B n λλλ

则B 满足条件。 *

27. 设A 为n 阶实对称幂等矩阵,)(),(2

r A r A A ==试求).2det(I A -

解: r n r A I --=-λλλ)1( (求解过程参考p240例4)

线性代数(李建平)习题答案详解__复旦大学出版社

线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L

线性代数测试试卷及答案

线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；

北大版 线性代数第一章部分课后答案详解

习题1.2： 1 .写出四阶行列式中 11121314212223243132333441 42 43 44 a a a a a a a a a a a a a a a a 含有因子1123a a 的项 解：由行列式的定义可知，第三行只能从32a 、34a 中选，第四行只能从42a 、44a 中选，所以所有的组合只有() () 13241τ-11233244a a a a 或() () 13421τ-11233442a a a a ，即含有因子1123a a 的项 为11233244a a a a 和11233442a a a a 2. 用行列式的定义证明111213141521 22232425 31 3241425152 000000000 a a a a a a a a a a a a a a a a =0 证明：第五行只有取51a 、52a 整个因式才能有可能不为0，同理，第四行取41a 、42a ，第三行取31a 、32a ，由于每一列只能取一个，则在第三第四第五行中，必有一行只能取0.以第五行为参考，含有51a 的因式必含有0，同理，含有52a 的因式也必含有0。故所有因式都为0.原命题得证.。 3.求下列行列式的值： （1）01000020;0001000 n n -L L M M M O M L L （2）00100200100000 n n -L L M O M O M L L ； 解：（1）0100 0020 0001 000 n n -L L M M M O M L L =()()23411n τ-L 123n ????L =()1 1!n n --

线性代数考试题库及答案(六)

线性代数考试题库及答案 第一部分 客观题（共30分） 一、单项选择题（共 10小题，每小题2分，共20分） 1. 若行列式11 121321 222331 32 33 a a a a a a d a a a =，则212223 11 121331 32 33 232323a a a a a a a a a 等于 ( ) (A) 2d (B) 3d (C) 6d (D) 6d - 2. 设123010111A ?? ? =- ? ??? ，ij M 是A 中元素ij a 的余子式，则313233M M M -+=（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 3. 设A 为n 阶可逆矩阵，则下列各式恒成立的是（ ） (A) |2|2||T A A = (B) 11(2)2A A --= (C) *1A A -= (D) 11[()][()]T T T T A A --= 4. 初等矩阵满足（ ） (A) 任两个之乘积仍是初等矩阵 (B) 任两个之和仍是初等矩阵 (C) 都是可逆矩阵 (D) 所对应的行列式的值为1 5. 下列不是．．n 阶矩阵A 可逆的充要条件为（ ） (A) 0≠A (B) A 可以表示成有限个初等阵的乘积 (C) 伴随矩阵存在 (D) A 的等价标准型为单位矩阵 6. 设A 为m n ?矩阵，C 为n 阶可逆矩阵，B AC =，则 ( )。 (A) 秩(A )> 秩(B ) (B) 秩(A )= 秩(B )

(C) 秩(A )< 秩(B ) (D) 秩(A )与秩(B )的关系依C 而定 7. 如果向量β可由向量组12,, ,s ααα线性表示,则下列结论中正确的是（ ） (A) 存在一组不全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (B) 存在一组全为零的数12,,s k k k ，使得1122s s k k k βααα=++ + 成立 (C) 存在一组数12,, s k k k ，使得1122s s k k k βααα=+++ 成立 (D) 对β的线性表达式唯一 8. 设12,ξξ是齐次线性方程组0AX =的解，12,ηη是非齐次线性方程组AX b =的解，则（ ） (A) 112ξη+为0AX =的解 (B) 12ηη+为AX b =的解 (C) 12ξξ+为0AX =的解 (D) 12ηη-为AX b =的解 9. 设110101011A ?? ? = ? ??? ,则A 的特征值是( )。 (A) 0,1,1 (B) 1,1,2 (C) 1,1,2- (D) 1,1,1- 10. 若n 阶方阵A 与某对角阵相似，则 ( )。 (A) ()r A n = (B) A 有n 个互不相同的特征值 (C) A 有n 个线性无关的特征向量 (D) A 必为对称矩阵 二、判断题（共 10小题，每小题1分，共10分 ）注：正确选择A,错误选择B. 11. 设A 和B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。（ ） 12. 当n 为奇数时，n 阶反对称矩阵A 是奇异矩阵。（ ）

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

线性代数课后习题答案-复旦大学出版社-熊维玲

第一章 3.如果排列n x x x 2 1是奇排列,则排列1 1 x x x n n 的奇偶 性如何？ 解：排列 1 1x x x n n 可以通过对排列 n x x x 21经过 (1)(1)(2)212 n n n n L 次邻换得到，每一次邻换都 改变排列的奇偶性，故当2)1( n n 为偶数时，排列 1 1x x x n n 为奇排列，当2)1( n n 为奇数时，排列1 1 x x x n n 为 偶排列。 4. 写出4阶行列式的展开式中含元素13 a 且带负 号的项. 解：含元素13a 的乘积项共有13223144 (1)t a a a a ，13223441 (1)t a a a a ， 13213244 (1)t a a a a ，13213442 (1)t a a a a ，13243241 (1)t a a a a ，13243142 (1)t a a a a 六项， 各项列标排列的逆序数分别为(3214)3t ， (3241)4t ， (3124)2 t ， (3142)3 t ， (3421)5t ，(3412)4 t ， 故所求为13223144 1a a a a ， 132134421a a a a ， 13243241 1a a a a 。 5.按照行列式的定义,求行列式 n n 0 000100200100 的

值. 解：根据行列式的定义，非零的乘积项只有 1,12,21,1(1)t n n n nn a a a a L ， 其中(1)(2) [(1)(2)21]2 n n t n n n L ，故行列式的值等于： (1)(2) 2 (1) ! n n n 6. 根据行列式定义,分别写出行列式x x x x x 1 11 1231112 1 2 的 展开式中含4 x 的项和含3 x 的项. 解：展开式含4 x 的乘积项为 4 11223344 (1)(1)22t a a a a x x x x x 含3 x 的乘积项为13 12213344 (1)(1)1t a a a a x x x x 8. 利用行列式的性质计算下列行列式： 解 ： (1) 41 131123421 1234 1111 1 1 1 1 410234123410121 10310 ()341234120121 2412341230321 r r r r r r r r r r r

线性代数课后习题答案全)习题详解

线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.

2010-2011-2线性代数试卷及答案

东 北 大 学 考 试 试 卷（A 卷） 2010 — 2011学年 第二学期 课程名称：线性代数 （共2页） ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ (15分) 设三阶矩阵()321,,ααα=A ， ()3323214,3,32αααααα+-+=B ， 且A 的行列式1||=A ，求矩阵B 的行列式||B . 解 因为()3323214,3,32αααααα+-+=B ＝? ???? ??-413031002),,(321ααα， 所以，24413031002||||=-=A B 分) 设向量组????? ??-=2111α，????? ??=1122α，????? ??=a 213α线性相关，向量 ???? ? ??=b 13β可由向量组321,,ααα线性表示，求b a ,的值。 解 由于 ????? ??-=b a 1212113121),,,(321βααα????? ??---→62304330312 1b a ? ???? ??-+→210043303121b a 所以，.2,1=-=b a 三分) 证明所有二阶实对称矩阵组成的集合V 是R 2? 2 的子空间，试在 V 上定义内积运算，使V 成为欧几里得空间，并给出V 的一组正交基. 解 由于任意两个二阶实对称矩阵的和还是二阶实对称矩阵，数乘二阶实对称矩阵还是 二阶实对称矩阵，即V 对线性运算封闭，所以V 是R 2? 2 的子空间。 对任意V b b b b B a a a a A ∈??? ? ??=???? ??=2212121122121211,,定义内积：[A,B]=222212121111b a b a b a ++， 显然满足：[A,B]=[B,A], [kA,B]=k[A,B], [A,A]≥0且[A,A]=0当且仅当A=0. ???? ??=00011A ,???? ??=01102A ,???? ??=10003A 就是V 的一组正交基. 注：内积和正交基都是不唯一的. 2－1

线性代数习题集(带答案)

第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2

7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题

线性代数课后习题答案

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： 相信自己加油 （1） 3811411 02 ---； （2）b a c a c b c b a （3） 2 2 2 111 c b a c b a ； （4） y x y x x y x y y x y x +++. 解 注意看过程解答（1）=---3 81141 1 2811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-? )1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++- =4- （2） =b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++ 3333c b a abc ---= （3） =2 2 2 1 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++ ))()((a c c b b a ---= （4） y x y x x y x y y x y x +++ yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业 （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子 2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定， 4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： 多练习方能成大财 （1）?? ??????? ???711 00251020214214； （2）????? ? ??? ???-26 0523******** 12； （3）???? ??????---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）?? ??? ???????---d c b a 100 110011001 解 (1) 7110025102021421434327c c c c --0 1001423102 02110214--- =34)1(14 3102211014+-?---

线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??=

2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3.

线性代数试题和答案(精选版)

线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解

同济大学线性代数第五版课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a

解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1

解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6

线性代数试卷及答案

《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；

() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；

线性代数课后习题答案(陈维新)

第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。

线性代数第四版同济大学课后习题答案04

第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.

(完整版)线性代数(经管类)考试试卷及答案(一)

高等教育自学考试全国统一命题考试 线性代数(经管类)优化试卷（一） 说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式． 一、单项选择题(本大题共10小题。每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内．错选、多选或未选均无分． 1．设A为3阶方阵，且|A|=2，则| 2A-l | ( ) A．-4 B．-1 C．1 D．4 2．设矩阵A=(1,2),B=，C=,下列矩阵运算中有意义的是( ) A．ACB B．ABC C．BAC D．CBA 3．设A为任意n阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是( ) A．A+A T B．A - A T C．A A T D．A T A 4．设2阶矩阵A= ，则A*= ( ) 5．矩阵的逆矩阵是（）

6．设矩阵A=，则A中( ) A．所有2阶子式都不为零 B．所有2阶子式都为零 C．所有3阶子式都不为零 D．存在一个3阶子式不为零 7．设A为m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是( ) A．A的列向量组线性相关 B．A的列向量组线性无关 C．A的行向量组线性相关 D．A的行向量组线性无关 8．设3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解为，且系数矩阵A的秩r(A)=2，则对于任意常数k,k1,k2，方程组的通解可表为( ) 9．矩阵的非零特征值为( ) A．4 B．3 C．2 D．l

10．4元二次型的秩为( ) A．4 B．3 C．2 D．l 二、填空题(本大题共10小题．每小题2分．共20分) 请在每小题的空格中填上正确答案．错填、不填均无分． 11．若i=1，2，3，则行列式=_________________。 12．设矩阵A= ，则行列式|A T A|=_______________。 13．若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式的值为__________________。 14．设矩阵A= ,矩阵B=A – E，则矩阵B的秩r（B）=______________。15．向量空间的维数为_______________。 16．设向量，则向量的内积=_______________。 17．设A是4×3矩阵，若齐次线性方程组Ax=0只有零解，则矩阵A的秩r（A）=____________。 18．已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵经初等行变换化为： ，若方程组无解，则a的取值为___________。19．设3元实二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的秩为3，正惯性指数为2，则此二次型的规范形式_____________。 20．设矩阵A= 为正定矩阵，则a的取值范围是_______________。三、计算题(本大题共6小题，每小题9分．共54分)

工程数学线性代数同济大学第六版课后习题答案

第一章 行列式 1、 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4、

(2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3、 (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a )、 (4)y x y x x y x y y x y x +++、 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3)、 2、 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4;

解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解逆序数为4:41, 43, 42, 32、(3)3 4 2 1; 解逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1、(4)2 4 1 3; 解逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3、 (5)1 3 ??? (2n-1) 2 4 ??? (2n); 解逆序数为 2)1 (- n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 ???(2n-1) (2n) (2n-2) ??? 2、 解逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ?????? (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6,???, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)