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平面向量知识点总结、经典例题及解析、高考题50道及答案

第五章平面向量

【考纲说明】

1、理解平面向量的概念和几何表示，理解两个向量相等及共线的含义，掌握向量的加、减、数乘运算及其几何意义，会用坐标表示。

2、了解平面向量的基本定理，掌握平面向量的坐标运算。

3、掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。

【知识梳理】

一、向量的基本概念与线性运算 1 向量的概念：

（1）向量：既有大小又有方向的量，记作AB u u u r ；向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r

| 向量不能比较大小，

但向量的模可以比较大小．

（2）零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0

与任意向量平行

（3）单位向量：模为1个单位长度的向量常用e 表示．

（4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b

平行向量也称为共线向量

（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a

大小相等，方向相同

),(),(2211y x y x 21

1y y x x

（6）相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a

的相反向量

记作a

,零向量的相反向量仍是零向量

若a 、b

是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0

2 向量的线性运算：

（1）向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”

与“平行四边形法则” ．

（2）向量的减法：求向量a 加上b 的相反向量的运算叫做a 与b

的差．

向量的减法有三角形法则，b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b

有共同起点）

（3）向量的数乘运算：求实数λ与向量a 的积的运算，记作λa

．

①a a

；

②当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a

的方向相反；当0 时，0 a ，方向

是任意的

③数乘向量满足交换律、结合律与分配律

3. 两个向量共线定理：

向量b 与非零向量a

共线有且只有一个实数，使得b =a

向量b 与非零向量a

共线有两个均不是零的实数、，使得0a b ．

二、平面向量的基本定理与坐标表示 1 平面向量的基本定理：

如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a

，有且只有一对实数21, 使：

2211e e a ，其中不共线的向量21,e e

叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

2. 平面向量的坐标表示：

（1）在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r

作为基底由平面向量的基本定理知，该平

面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r

的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r

在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标显然0r =（0,0），(1,0)i r ，(0,1)j r ．

（2）设OA xi y j u u u r r r

.则向量OA u u u r 的坐标(x,y)就是终点A 的坐标，即若OA u u u r =(x,y)，则A 点的坐标为(x,y)，反之亦

成立（O 是坐标原点）． 3 平面向量的坐标运算：

（1）若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y r

r ．（2）若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r

，

AB u u u r

（3）若a r =(x,y)，则 a r

=( x, y)．

（4）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y r

r ．

（5）若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y r

r ．

三、平面向量的数量积 1 两个向量的数量积：

已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为，a r ·

b r 等于a r 的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积叫做a r 与b r

的数量积（或内积），即a r ·b r =︱a r

︱·︱b r ︱cos ，规定00a r r

2 向量的投影：︱b r ︱cos =||

a b

a r r r ∈R ，称为向量

b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影

3 向量的模与平方的关系：2

||a a a a r r

r r

4 乘法公式成立：

222a b a b a b a b r r r r r r r r ；

2a b a a b b

r r r r r r 2

22a a b b r r r r ．

5 平面向量数量积的运算律：

①交换律成立：a b b a r r r r

．

②对实数的结合律成立：

a b a b a b R r r r r r r

．

③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b r

r r ；

特别注意：①结合律不成立： a b c a b c r r r r r r

．

②消去律不成立a b a c

r r r r

不能得到b c r r

．

③a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =0r

6 两个向量的数量积的坐标运算：

已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r ，则a r ·

b r

=1212x x y y 7 向量的夹角：已知两个非零向量a r 与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB= （0

01800 ）叫做向量a r 与b r 的

夹角

cos =cos ,a b a b a b r r r r

r r

当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800

，同时0r 与其它任何非零向量之间不

谈夹角这一问题

8 垂直：如果a r 与b r 的夹角为900

则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r

a ⊥

b a ·

＝O 2121 y y x x

【经典例题】

【例1】（2010全国Ⅱ，8）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a ，

A CA b ，1,2a b ，则CD = （）

（A ）1233a b （B ）2133a b （C ）3455a b （D ）4355

a b 【答案】B ．

【解析】由角平分线的性质得2AD DB u u u u r u u u u r ,即有22

()()33

AD CB CA a b u u u r u u u r u u u r ．从而

221

()333

CD CA AD b a b a b u u u r u u u r u u u r ．故选B ．

【例2】（2009北京，2）已知向量a 、b 不共线，c k a b (k R ),d a b ,如果c //d ，那么（） A ．1k 且c 与d 同向 B ．1k 且c 与d 反向 C ．1k 且c 与d 同向 D ．1k 且c 与d 反向【答案】D ．

【解析】取a 1,0 ，b 0,1 ，若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，显然，a 与b 不平行，排除A 、B ．

若1k ，则c a b 1,1 ，d a b 1,1 ，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D ．

【例3】（2009湖南卷文）如图，D ，E ，F 分别是 ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )

A ．0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r

B ．

0BD CF DF u u u r u u u r u u u r r C ．0AD CE CF u u u r u u u r u u u r r D ．0BD BE FC u u u r u u u r u u u r r

【答案】A ．

【解析】,,AD DB AD BE DB BE DE FC u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

Q 得0AD BE CF u u u r u u u r u u u r r ．

或0AD BE CF AD DF CF AF CF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r

．

【例4】（2009宁夏海南卷文）已知 3,2,1,0a b ，向量a b 与2a b 垂直，则实数的值为

( )

A.17

B.1

C.16

D.1

【答案】A ．

【解析】向量a b ＝（－3 －1，2 ），2a b ＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3 －1，2 ）×（－1,2）＝0，即3 ＋1＋4 ＝0，解得：＝1

，故选A ．【例5】（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a |,|||||，则

b a , （）

A ．150° B.120° C.60° D.30° 【答案】

B ．

【解析】由向量加法的平行四边形法则，知a 、b 可构成菱形的两条相邻边，且a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B ．

【例6】（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或

，其中

，

R ，则

= _________．

【答案】

3．【解析】设BC b u u u r r 、BA a u u u r r 则12AF b a u u u r r r ,12

AE b a u u u r r r ,AC b a u u u

r r r

代入条件得24

u u ．

【例7】（2009辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为___________．【答案】(0,－2)．

【解析】平行四边形ABCD 中,OB OD OA OC u u u r u u u r u u u r u u u r

∴OD OA OC OB u u u r u u u r u u u r u u u r

＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2)

即D 点坐标为(0,－2)．

【例8】（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，，点E 为 BC 的中点，点F 在边CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u r

g 的值是___．

【答案】2．

【解析】由2AB AF u u u r u u u r g ,得cos 2AB AF FAB u u u r u u u r g g ,由矩形的性质,得cos =AF FAB DF u u u r

g ．

∵2AB ，∴22DF ，∴1DF ∴21CF ．

记AE BF u u u r u u u r

和之间的夹角为,AEB FBC ，，则．

又∵2BC ，点E 为BC 的中点，∴1BE ．

∴ =cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g g g

=cos cos sin sin =122

212AE BF AE BF BE BC AB CF u u u r u u u r u u u r u u u r

g g g g g .

本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系,求出各点坐标后求解．

【例9】(2009湖南卷理)在ABC ，已知2

233AB AC AB AC BC u u u r u u u r u u u r u u u r ，求角A ，B ，C 的大小．

【答案】2,,6

A B C

．【解析】解：设,,BC a AC b AB c

由23AB AC AB AC u u u r u u u r u u u r u u u r 得2cos 3bc A bc ，所以3cos 2

又(0,),A 因此6

由2

33AB AC BC u u u r u u u r 得23bc a ，于是23sin sin 3sin 4

C B A

所以53sin sin(

)6C C ，133sin (cos sin )2C C C ，因此 22sin cos 23sin 3,sin 23cos 20C C C C C ，既sin(2)03

由A=6 知506C ，所以3 ，4233

C ，从而

20,3C 或2,3C ，既,6C 或2,3

C 故

2,,,636

A B C 或2,,663A B C

．【课堂练习】

一、选择题

1.（2012辽宁理）已知两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a b |,则下面结论正确的是（）

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．{0,1,3}

D ．a +b =a b

2. (2009年广东卷文)已知平面向量a =,1x （），b =2

,x x （－），则向量 a b ( )

A. 平行于x 轴

B. 平行于第一、三象限的角平分线

C. 平行于y 轴

D. 平行于第二、四象限的角平分线

3.（2012天津文）在ABC 中,90A ,1AB ,AC=2,设点,P Q 满足

,(1),AP AB AQ AC R u u u r u u u r u u u r u u u r .若2BQ CP u u u r u u u r

,则 ( )

（）

A ．

B ．

23 C ．43

D ．2 4.（2009浙江卷理）设向量a ，b 满足：||3 a ，||4 b ，0 a b ．以a ，b ， a b 的模为边长构成三角形，则

它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 ( ) A ．3 B.4 C ．5

D ．6

5.（2012重庆理）设,x y R,向量 4,2,,1,1,

y x ,且//, ,则a b r r

（）

A B C ．D ．10

6. （2009浙江卷文）已知向量(1,2) a ，(2,3) b ．若向量c 满足()// c a b ，() c a b ，则c （）

A ．77(,)93

B ．77(,)39

C ．77(,)39

D ．77(,)93

7．（2012浙江理）设a ,b 是两个非零向量.

（）

A ．若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b

B ．若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |

C ．若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得a =λb

D ．若存在实数λ,使得a =λb ,则|a +b |=|a |-|b |

8.（2009全国卷Ⅰ理）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则 a c b c ? 的最小值为

( )

A.2 2

C.1

D.1 9.（2012天津理）已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB u u u r u u u r ,=(1)AQ AC u u u r u u u r

,R ,若

BQ CP u u u r u u u r ,则=

（）

A ．

B C D

10.（2009全国卷Ⅱ理）已知向量 2,1,10,||a a b a b ||b ( )

5 D. 25

11.（2012大纲理）ABC 中,AB 边上的高为CD ,若,,0,||1,||2CB a CA b a b a b u u u r r u u u r r r r r r ,则AD u u u r

（）

A ．1133a b r r

B ．2233a b r r

C ．3355

a b r r

D ．4455a b r r

12.（2008湖南）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD u u u r u u u r 2,CE EA u u u r u u u r 2,AF FB u u u r u u u r

则

AD BE CF u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r

( ) A. 反向平行 B. 同向平行

C. 互相垂直

D. 既不平行也不垂直

13.（2008广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交

于点F ．若AC u u u r a ，BD u u u r b ，则AF u u u r

（）

A ．

a b

B ．

2133 a b C ．11

24 a b

D ．1

233

a b 14.（2007湖北）设(43) ，a ，a 在b 上的投影为

，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为

（）

A ．(214)，

B ．227

，

C ．227

，

D ．(28)，

15.（2012安徽理）在平面直角坐标系中,(0,0),(6,8)O P ,将向量OP uuu r 按逆时针旋转34

后,得向量OQ uuu r 则点Q 的坐标

是（） A ．(72,2) B ．(72,2) C ．(46,2)

D ．(46,2)

二、填空题

16.（2012浙江文）在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB AC u u u r u u u r

=________.

17.（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r ，它们的夹角为120o

如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB u u u v

上变动. 若,OC xOA yOB u u u r u u u r u u u r

其中,x y R ,则x y

的最大值是________.

18.（2012上海文）在知形ABCD 中,边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,且满足

|||||CD CN BC BM

,则AN AM 的取值范围是_________ .

19.（2012课标文）已知向量a ,b 夹角为0

45,且|a |=1,|2 a b |=10,则|b |=_______.

20.（2012湖南文）如图4,在平行四边形ABCD 中 ,AP ⊥BD,垂足为P,3AP 且AP AC u u u v u u u v

g = _____.

A D

21.（2012湖北文）已知向量(1,0),(1,1)a b r r

,则

(Ⅰ)与2a b r r

同向的单位向量的坐标表示为____________; (Ⅱ)向量3b a r r 与向量a r

夹角的余弦值为____________.

22.（2012北京文）已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则DE CB u u u r u u u r

的值为________.

23.（2012安徽文）设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m r r r ,若()a c r r

⊥b r ,则

a r

_____.

24.（2012江苏）如图,在矩形ABCD 中,22AB BC ，

，点E 为BC 的中点,点F 在

边

CD 上,若2AB AF u u u r u u u r g ,则AE BF u u u r u u u r

g 的值是___.

25.（2012安徽理）若平面向量,a b r r

满足:23a b r r ;则a b r r g

的最小值是_____ 三、解答题

26. (2009年广东卷文)（已知向量)2,(sin a 与)cos ,1( b 互相垂直，其中)2

,0(

（1）求 sin 和 cos 的值

（2）若 cos 53)cos(5 ，

,求 cos 的值 27.（2009上海卷文）已知ΔABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b u r

， (sin ,sin )n B A r ，(2,2)p b a u r

（1）若m u r //n r

，求证：ΔABC 为等腰三角形；

（2）若m u r ⊥p u r ，边长c = 2，角C = 3

，求ΔABC 的面积 .

28. 已知A 、B 、C 分别为ABC △的三边a 、b 、c 所对的角，向量)sin ,(sin B A m ，)cos ,(cos A B n ，且

C n m 2sin .

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）若A sin ，C sin ，B sin 成等差数列，且18)( AC AB CA ，求边c 的长.

【课后作业】

一、选择题

1.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为0

60，(2,0)a ，1b 则2a b ( )

B. 2.（2009宁夏海南卷理）已知O ，N ，P 在ABC 所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ，且

PA PB PB PC PC PA ? ? ?，则点O ，N ，P 依次是ABC 的

( )

A. 重心外心垂心

B. 重心外心内心

C. 外心重心垂心

D. 外心重心内心

3.（2008安徽）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB u u u r ，(1,3)AC u u u r ,则BD u u u r

（）

A ．（－2，－4）

B ．（－3，－5）

C ．（3，5）

D ．（2，4）

4.（2008浙江）已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足0)()( c b c a ,则c 的最大值是

( )

A. 1

B. 2

C. 2

5.（2007海南、宁夏）已知平面向量(11)

(11) ，，，a b ，则向量13

22 a b

（） A ．(21) ， B ．(21) ，

C ．(10) ，

D ．(12)，

6.（2007湖南）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x g a b a b 的图象是一条直线，则必有

（）

A ．⊥a b

B ．∥a b

C ．|||| a b

D ．|||| a b

7. （2007天津）设两个向量2

(2cos ) ，a 和sin 2

m m

，b ，其中m

，，为实数．若2 a b ，则

的取值范围是（） A ．[-6，1] B ．[48]，

C ．（-6，1]

D ．[-1，6]

平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章平面向量题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

平面向量经典例题讲解

平面向量经典例题讲解讲课时间:___________姓名：___________课时：___________讲课教师：___________ 一、选择题（题型注释） 1．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ,OB b =u u u r r , OC c =u u u r r ,点M 在OA 上，且MA OM 2=，N 为BC 的中点，则MN u u u u r =（） A C 【答案】B 【解析】试题分析：因为 N 为 BC 的中点，则，，选 B 考点：向量加法、减法、数乘的几何意义； 2．已知平面向量a ，b 满足||1= a ，||2= b ，且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角是（）（A （B （C （D 【答案】D 【解析】试题分析：2()()00a b a a b a a a b +⊥∴+?=∴+?=r r r r r r r r r Q ，||1=a ，||2=b ，设夹角为θ，则考点：本题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos θ的值，求出角 3．若OA u u r 、 OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为60u u r 【答案】D 【解析】试题分析：ΘOA u u r 、OB u u u r 、OC uuu r 三个单位向量两两之间夹角为 60° 6= r 考点:向量的数量积. 4．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F , 若AC a =u u u r r ，BD b =u u u r r ，则AF =u u u r ( ) A.1142a b +r r B.1233a b +r r C.1124a b +r r D.2133 a b +r r 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，AEB ?与FED ?相似，且相似比为3:1，所以由向量加减法的平行四边形法则可知，,AB AD a AD AB b +=-=u u u r u u u r r u u u r u u u r r ，解得，故D 正确。考点：平面向量的加减法 5．在边长为1的等边ABC ?中，,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ，2 AE EC =u u u r u u u r 则AD BE ?=u u u r u u u r （） A ．【答案】A 【解析】试题分析：由已知,D E 分别在边BC 与AC 上，且BD DC =u u u r u u u r ， 2AE EC =u u u r u u u r 则D 是BC 的中轴点，E 为AC 的三等分点，以D 为坐标原点，DA 所在直线为y 轴，BC 边所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，，设),(y x E ，由EC AE =2可得：

平面向量历年高考题汇编难度高

数学平面向量平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于（） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=?

高三高考平面向量题型总结

平面向量一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等；二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量（1）（2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图：例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、Ｄ、例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、（３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律（二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、（终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则向量得加减运算：例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿

平面向量经典习题_提高篇

平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－ 2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－13 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与 c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－ 3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116

C.6 11D. 11 6 [答案] C [解析] a＋b＝(4,1)，a－λb＝(1－3λ，2＋λ)， ∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、 b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B.

(理)向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3 2，a 与b 的夹角为60°，则|b |＝( ) A.12 B.1 3 C.1 4 D.15 [答案] A [解析] ∵|a －b |＝32，∴|a |2＋|b |2 －2a ·b ＝34， ∵|a |＝1，〈a ，b 〉＝60°，设|b |＝x ，则1＋x 2 －x ＝34，∵x >0，∴x ＝1 2 . 4. 若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 [答案] B [解析] AB →·BC →＋AB →2＝AB →·(BC →＋AB →)＝AB →·AC →＝0，∴AB →⊥AC →， ∴AB ⊥AC ，∴△ABC 为直角三角形． 5. (文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－2,4)，则用a ，b 表示 c 为( ) A ．－a ＋3b B ．a －3b

平面向量高考试题精选

平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等；二、向量的线性运算：（一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量（1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图：例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律（二）向量的减法：减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

平面向量典型题型大全

平面向量题型1.基本概念判断正误：例2 （1）化简：①AB BC CD ++=u u u r u u u r u u u r ___；②AB AD DC --=u u u r u u u r u u u r ____；③()()AB CD AC BD ---=u u u r u u u r u u u r u u u r _____ （2）若正方形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ，则||a b c ++r r r ＝_____ （3）若O 是ABC V 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 的形状为_ 9．与向量a =（12，5）平行的单位向量为（） A ．125,1313??- ??? B ．12 5,1313??-- ??? C ．125125,,13131313????-- ? ?????或 D ．125125,,13131313???? -- ? ????? 或 10．如图，D 、E 、F 分别是?ABC 边AB 、BC 、CA 上的中点，则下列等式中成立的有_________： ①+-=u u u r u u u r u u u r FD DA AF 0 ②+-=u u u r u u u r u u u r FD DE EF 0 ③+-=u u u r u u u r u u u r DE DA BE 0 ④+-=u u u r u u u r u u u r AD BE AF 0 11.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r ，则（） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r 12.已知点(3,1)A ，(0,0)B ，(3,0)C ．设BAC ∠的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC CE λ=u u u r u u u r ，其中λ等于（） A.2 B. 1 2 C.-3 D.－13 13.设向量a=(1, －3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 ( ) A.(2,6) B.(－2,6) C.(2,－6) D.(－2,－6) 14.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r ，则 x = ，y = . 图2 15、已知O 是ABC △所在平面内一点D 为BC 边中点且20OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r 那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 题型3平面向量基本定理 F E C B A

平面向量测试题,高考经典试题,附详细答案

平面向量高考经典试题一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______；答案：3 2 ； 4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???=

6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若，则a ＝0或b ＝0 B 若，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条

平面向量测试题_高考经典试题_附详细答案

平面向量高考经典试题海口一中高中部黄兴吉同学辅导内部资料一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，则a r 与b r A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-r ，(6,5)b =r ，30300a b ?=-+=r r ，则a r 与b r 垂直，选A 。 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （） A ．1 B ．2 C ．2 D ．4 【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得： 2(3,)(1,)303n n n n ?-=-+=?=±， 2=a 。 3、（广东文4理10）若向量,a b r r 满足||||1a b ==r r ，,a b r r 的夹角为60°，则a a a b ?+?r r r r =______；答案：3 2 ；解析：1311122 a a a b ?+?=+??=r r r r ， 4、（天津理10）设两个向量22 (2,cos )a λλα=+-r 和(,sin ),2 m b m α=+r 其中,,m λα为实数.若2,a b =r r 则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 【答案】A 【分析】由22 (2,cos )a λλα=+-r ,(,sin ),2 m b m α=+r 2,a b =r r 可得 2222cos 2sin m m λλαα+=??-=+?，设k m λ =代入方程组可得222 22cos 2sin km m k m m αα+=??-=+?消去m 化简得2 2 22cos 2sin 22k k k αα??-=+ ? --?? ，再化简得

2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)

江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析）题型一：平面向量的共线定理（1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、（2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=，且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ．（6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________．（7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________．（9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+

平面向量经典习题-提高篇61861

平面向量： 1. 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,0)，若向量λa ＋b 与向量c ＝(1，－2)共线，则实数λ等于( ) A ．－2 B ．－1 3 C ．－1 D ．－23 [答案] C [解析] λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,0)＝(2＋λ，2λ)， ∵λa ＋b 与c 共线， ∴－2(2＋λ)－2λ＝0，∴λ＝－1. 2. (文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0,1)，c ＝(k ，3)，若a ＋2b 与c 垂直，则k ＝( ) A ．－1 B ．－3 C ．－3 D ．1 [答案] C [解析] a ＋2b ＝(3，1)＋(0,2)＝(3，3)， ∵a ＋2b 与c 垂直，∴(a ＋2b )·c ＝3k ＋33＝0， ∴k ＝－3. (理)已知a ＝(1,2)，b ＝(3，－1)，且a ＋b 与a －λb 互相垂直，则实数λ的值为( ) A ．－611 B ．－116 C.611 D.116 [答案] C [解析] a ＋b ＝(4,1)，a －λb ＝(1－3λ，2＋λ)，

∵a＋b与a－λb垂直， ∴(a＋b)·(a－λb)＝4(1－3λ)＋1×(2＋λ)＝6－11λ＝0，∴λ＝6 11 . 3.设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a、b间的夹角为( ) A．150° B．120° C．60° D．30° [答案] B [解析] 如图，在?ABCD中， ∵|a|＝|b|＝|c|，c＝a＋b，∴△ABD为正三角形， ∴∠BAD＝60°，∴〈a，b〉＝120°，故选B. (理)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝ 3 2 ，a与b的夹角为60°，则|b|＝( ) A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 [答案] A [解析] ∵|a－b|＝ 3 2 ，∴|a|2＋|b|2－2a·b＝ 3 4 ，

2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)

2020年高考数学平面向量专题练习一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则（） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）

A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.

15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若，则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)．（1）若∥，求的值；（2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量，（1）求证：且；（2）设向量，，且，求实数t的值．

历年平面向量高考试题汇集学习资料

历年平面向量高考试题汇集

高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练【题型归纳】题型一平面向量的线性运算例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－【答案】：D 【解析】方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误．方法二：若同向，令＝＝，这时＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有－，故选C项错．【易错点】平面向量加减法线性运算性质。【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案．题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－【答案】 D

【解析】方法一：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝－方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有即,故＝－【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示；【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析；【解析】（1）由＝可知、、三点共线如图令； .即面积之比为：（2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学第八章平面向量第一讲向量的概念与线性运算一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同) ,(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A a b b b a A A B C C ) 2() 3( 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。

②向量减法：同一个图中画出a b a b r r r r 、要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. （3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 。二．【典例解析】题型一：向量及与向量相关的基本概念概念例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若b a ，c b ，则c a ； (7)若b a //，c b //，则c a // (8) b a 的充要条件是||||b a 且b a //； (9) 若四边形ABCD 是平行四边形,则DA BC CD B ,A 练习. (四川省成都市一诊)在四边形ABCD 中，“AB →＝2DC →”是“四边形ABCD 为梯形”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件题型二: 考查加法、减法运算及相关运算律例2 化简)()(BD AC CD AB = 练习1.下列命题中正确的是 A ．OA O B AB u u u r u u u r u u u r B ．0AB BA u u u r u u u r C ．00AB r u u u r r D ．AB BC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r 2.化简AC u u u r BD u u u r CD u u u r AB u u u r 得 A ．A B u u u r B ．DA C ．BC D ．0r 3．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则

平面向量高考真题精选一

平面向量高考真题精选（一）一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、

BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N