偏最小二乘回归分析案例

偏最小二乘回归分析案例

偏最小二乘(PLS)回归方法，用来解决两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量(常称为自变量或预测变量)去预测另一组变量(常称为因变量或响应变量)。

偏最小二乘回归是一种多对多线性回归建模的方法，当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量(样本量)又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。

偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。

接下来让我们通过例子来学习偏最小二乘回归分析的建模方法。

#偏最小二乘回归

考虑p 个变量y1 , y2 ,... , yp " 与m 个自变量x1 , x2 ,... , xm " 的建模问题。

偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分

t1 ( t1 是x1 ,... , xm" 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息);

同时在因变量集中也提取第一成分u1 ，并要求t1 与u1 相关程度达到最大。然后建立因变量y1, ..., yp与t1的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。

若最终对自变量集提取r 个成分t1 ,t2 ,... ,tr ，偏最小二乘回归将通过建立y1 ,... , yp 与t1 ,t2 ,... ,tr 的回归式，然后再表示为

y1 ,... , yp " 与原自变量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。

为了方便起见，不妨假定p 个因变量y1 ,... , yp 与m 个自变量x1 ,... , xm 均为标准化变量。因变量组和自变量组的n 次标准化观测数据阵分别记为

偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下：

1.分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。

假设从两组变量分别提出第一对成分为t1 和u1 ，t1 是自变量集X (x1 ,... , xm )T = 1 的线性组合：

u1 是因变量集的线性组合：

为了回归分析的需要，要求：

1.1 t1 和u1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息;

1.2 t1 和u1 的相关程度达到最大。

由两组变量集的标准化观测数据阵E0 和F0 ，可以计算第一对成分的得分向量，记为tˆ1 和uˆ1 ：

第一对成分t1 和u1 的协方差Cov(t1 ,u1 ) , 可用第一对成分

的得分向量tˆ1 和uˆ1 的内积来计算。

故而以上两个要求可化为数学上的条件极值问题：

利用Lagrange乘数法，问题化为求单位向量w1和v1，使

最大。

问题的求解只须通过计算m× m 矩阵的特征值和特征向量。

且M 的最大特征值为θ12 ，相应的单位特征向量就是所求的解w1，而v1 可由w1计算得到

2.建立y1 ,... , yp " 对t1 的回归及x1 ,... ,xm " 对t1 的回归。

假定回归模型为

其中

分别是多对一的回归模型中的参数向量，E1和F1是残差阵。

回归系数向量α1 , β1 的最小二乘估计称α1 , β1 为模型效应负荷量。

3.用残差阵E1和F1代替E0 和F0 重复以上步骤。

记

则残差阵

如果残差阵F1 中元素的绝对值近似为0，则认为用第一个成分建立的回归式精度已满足需要了，可以停止抽取成分。否则用残差阵E1和F1代替E0 和F0 重复以上步骤即得：

分别为第二对成分的权数。

而v 为第二对成分的得分向量。

分别为X ,Y 的第二对成分的负荷量。这时有

4.设n × m 数据阵E0 的秩为r ≤ min(n −1,m) ，则存在r 个成分t1 ,t2 , ...,tr " ，使得

把tA=wk1x1+...+wkmxm(k=1,2，...,,r)

代入Y = t1β1 +...+ tr βr ，即得p 个因变量的偏最小二乘回归方程式

5.交叉有效性检验。

一般情况下，偏最小二乘法并不需要选用存在的r 个成分

t1 ,t2 ,... ,tr来建立回归式，而像主成分分析一样，只选用前l个成分(l ≤ r )，即可得到预测能力较好的回归模型。

对于建模所需提取的主成分个数l，可以通过交叉有效性检验来确定。

每次舍去第i 个观测(i = 1,2,", n )，用余下的n −1个观测值按偏最小二乘回归方法建模，并考虑抽取h 个成分后拟合的回归式，然后把舍去的第i 个观测点代入所拟合的回归方程式，得到yj ( j =1,2,.. , p) 在第i 个观测点上的预测值yˆ(i)j(h) 。对i = 1,2,..., n 重复以上的验证，即得抽取h 个成分时第j 个因变量yj ( j =1,2,.. , p) " 的预测误差平方和为

Y= ( y1 ,... , yp ) T的预测误差平方和为

另外，再采用所有的样本点，拟合含h 个成分的回归方程。这时，记第i 个样本点的预测值为yijˆ (h) ，则可以定义yj 的误差平方和为

定义Y 的误差平方和为

当PRESS(h) 达到最小值时，对应的h 即为所求的成分个数。通常，总有PRESS(h) 大于SS(h) ，而SS(h) 则小于SS(h −1)。因此，在提取成分时，总希望比值PRESS(h) SS(h −1) 越小越好;一般可设定限制值为0.05，即当

增加成分t h有利于模型精度的提高。或者反过来说，当

就认为增加新的成分th ，对减少方程的预测误差无明显的改善作用。

为此，定义交叉有效性为

这样，在建模的每一步计算结束前，均进行交叉有效性检验，如果在第h 步有

则模型达到精度要求，可停止提取成分;若Qh2 ≥0.0975 ，表示第h 步提取的th 成分的边际贡献显著，应继续第h +1步计算。

偏最小二乘法

什么是偏最小二乘 偏最小二乘法是一种新型的多元统计数据分析方法，它于1983年由伍德(S.Wold)和阿巴诺(C.Albano)等人首次提出。近几十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。 长期以来，模型式的方法和认识性的方法之间的界限分得十分清楚。而偏最小二乘法则把它们有机的结合起来了，在一个算法下，可以同时实现回归建模(多元线性回归)、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量之间的相关性分析(典型相关分析)。这是多元统计数据分析中的一个飞跃。 偏最小二乘法在统计应用中的重要性体现在以下几个方面： 偏最小二乘法是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。偏最小二乘法可以较好的解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。 偏最小二乘法之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 主成分回归的主要目的是要提取隐藏在矩阵X中的相关信息，然后用于预测变量Y的值。这种做法可以保证让我们只使用那些独立变量，噪音将被消除，从而达到改善预测模型质量的目的。但是，主成分回归仍然有一定的缺陷，当一些有用变量的相关性很小时，我们在选取主成分时就很容易把它们漏掉，使得最终的预测模型可靠性下降，如果我们对每一个成分进行挑选，那样又太困难了。 偏最小二乘回归可以解决这个问题。它采用对变量X和Y都进行分解的方法，从变量X 和Y中同时提取成分(通常称为因子)，再将因子按照它们之间的相关性从大到小排列。现在，我们要建立一个模型，我们只要决定选择几个因子参与建模就可以了。 偏最小二乘法的起源与发展 H Wold作为PLS的创始人，在70年代的经济学研究中引入了偏最小二乘法进行路径分析，创建了非线性迭代偏最小二乘算法(Nonlinear Iterative Partial Least Squares algorithm，NIPALS)，至今仍然是PLS中最常用和核心的算法。HW．old的儿子S Wold和C Albano等人在1983年提出了偏最小二乘回归的概念，用来解决计量化学中变量存在多重共线性，解释变量个数大于样本量的问题，如在光谱数据分析中。上世纪90年代，出现了多种NIPALS算法的扩展，如迭代法、特征根法、奇异值分解法等。1993年，de Jong提出了一种与NIPALS 不同的算法，称为简单偏最小二乘(Simple Partial Least Squares，SIMPLS)。1996年，在法国召开了偏最小二乘回归方法的理论和应用国际学术专题研讨会，就PLS的最新进展，以及PLS在计量化学、工业设计、市场分析等领域的应用进行了交流，极大的促进了PLS的算法研究和应用研究。目前，PLS在化学、经济学、生物医学、社会学等领域都有很好的应用。 PLS在上世纪90年代引入中国，在经济学、机械控制技术、药物设计及计量化学等方面有所应用，但是在生物医学上偏最小二乘法涉及相对较少。对该方法的各种算法和在实际应用中的介绍也不系统，国内已有学者在这方面做了一些努力，但作为一种新兴的多元统计方法，还不为人所熟知。

偏最小二乘回归分析

偏最小二乘回归分析 偏最小二乘回归分析（PartialLeastSquaresRegression，简称PLSR）是一种统计分析方法，它通过最小二乘法拟合变量间的关系来预测数据。它可以在没有任何变量相关性、异方差假设和线性回归假设的情况下，推断出解释变量与被解释变量之间的关系。PLSR的实质是利用原始变量的变量组合作为自变量，利用原始被解释变量的变量组合作为因变量，采用最小二乘法拟合变量之间的关系，进而推断出解释变量与被解释变量之间的关系，以及变量组合之间的关系。 PLSR能够有效地把来自大量解释变量的信息汇总到有限的因变量中，从而减少计算时间，并得到更好的预测结果。尤其是当解释变量之间存在多重共线性时，PLSR能解决多重共线性的问题，也能够更好地拟合变量间的关系，从而获得更好的预测结果。 PLSR的应用在各种数据分析中都有一定的价值，如财务预测、市场调研及消费者行为研究等应用中都有所体现。同样，PLSR也可以用于研究生物学遗传现象，帮助探索生物学相关变量之间的关系，从而为深入分析提供有价值的参考数据。 PLSR所涉及到的数学模型具有一定的复杂性，数据分析者在使用PLSR方法时，要注意解释变量和被解释变量之间是否存在强关联。如果是强关联，PLSR分析可能会陷入过拟合，出现拟合不令人满意的预测结果。同时，还要注意解释变量之间的关联性，以防止多重共线性的影响，否则PLSR的结果也可能不太理想。 因此，在使用PLSR进行数据分析之前，数据分析者应该首先分

析出解释变量和被解释变量之间大致的关系，以及它们之间是否存在强关联或多重共线性；其次，数据分析者还要注意选择正确的变量组合，以保证PLSR结果的准确性。 总的来说，偏最小二乘回归分析是一种统计分析方法，它可以有效地减少计算时间，并能得到更好的预测结果，将被广泛用于各种数据分析中，但是必须注意变量的选择以及变量间的关系，以保证PLSR 结果的准确性。

偏最小二乘回归

偏最小二乘回归 偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是 一种主成分回归方法，旨在解决多元线性回归中自变量数目较多，且 存在共线性或多重共线性的问题。本文将介绍偏最小二乘回归的原理、应用案例以及优缺点。 1. 偏最小二乘回归原理 偏最小二乘回归是基于多元线性回归的一种方法，通过压缩自变量 的空间，将高维的自变量转化为低维的潜在变量，从而避免了多重共 线性的问题。在偏最小二乘回归中，我们定义两个主成分，其中第一 个主成分能最大化自变量与因变量之间的协方差，而第二个主成分垂 直于第一个主成分，以此类推。 2. 偏最小二乘回归应用案例 偏最小二乘回归在众多领域都有广泛的应用。以下是一些常见的应 用案例： 2.1 化学分析 在化学领域中，我们常常需要使用红外光谱仪等仪器进行样本的分析。然而，由于样本中存在大量的杂质，导致光谱数据存在共线性等 问题。通过偏最小二乘回归可以降低样本数据的维度，提取出有用的 信息，从而准确地进行化学成分的分析。 2.2 生物医学

在生物医学领域中，研究人员常常需要通过大量的生理指标预测某 种疾病的发生风险。然而，由于生理指标之间存在相互关联，使用传 统的线性回归模型时，很容易出现共线性的问题。通过偏最小二乘回归，可以降低指标的维度，减少共线性对预测结果的影响，提高疾病 预测的准确性。 2.3 金融领域 在金融领域中，偏最小二乘回归也有广泛的应用。例如，在股票市 场的分析中，研究人员常常需要通过一系列宏观经济指标预测股票的 涨跌趋势。然而，这些指标之间往往存在较强的相关性，导致传统的 回归模型难以提取出有效的信息。通过偏最小二乘回归，可以从多个 指标中提取出潜在的主成分，预测股票的涨跌趋势。 3. 偏最小二乘回归的优缺点 3.1 优点 （1）解决了多重共线性问题：偏最小二乘回归通过降低自变量的 维度，有效地解决了多重共线性问题，提高了模型的稳定性和准确性。 （2）提取了潜在的主成分：通过偏最小二乘回归，我们可以从高 维的自变量中提取出潜在的主成分，这些主成分更具有解释性，有助 于理解自变量与因变量之间的关系。 3.2 缺点

偏最小二乘回归分析

偏最小二乘回归分析 偏最小二乘回归（Partial Least Squares Regression）是一种多元 统计分析方法，用于建立预测模型，可以同时考虑多个自变量之间的共线 性问题。与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归通过引入主成 分分析的思想，将原始自变量空间转换为一组最佳主成分，从而降低变量 之间的相关性，提高模型的预测能力。 在偏最小二乘回归分析中，我们有一个自变量矩阵X，其中包含n个 样本和p个自变量，和一个因变量向量Y，包含n个样本。我们的目标是 找到一组新的变量T，使得X投影到T上后Y的方差最大。这一过程可以 通过以下几个步骤来实现： 1.数据预处理：对于自变量矩阵X和因变量向量Y，进行标准化处理，使其均值为0，方差为1、这样做的目的是消除量纲的影响，保证特征的 权重在同一尺度上。 2.建立主成分回归模型：偏最小二乘回归使用主成分分析的思想进行 变量压缩。通过对变量矩阵X进行奇异值分解，得到一组新的主成分向量，这些主成分向量对原始自变量矩阵进行正交变换。可以选择前k个主成分 作为新的自变量矩阵X'。 3.计算权重系数：利用最小二乘法，估计主成分回归模型中每个主成 分对因变量Y的影响程度。这些权重系数可以通过回归方程的计算得到。 4.选择最佳主成分数：通过交叉验证等方法，选择最佳的主成分数， 以避免模型过拟合现象。 5.预测模型构建：将主成分回归模型中的权重系数应用到待预测的自 变量矩阵X'上，得到因变量Y的预测值。

与传统的最小二乘回归方法相比，偏最小二乘回归具有以下几个优点： 1.克服自变量之间的共线性问题：通过主成分分析的方法，可以将原 始自变量空间转换为一组不相关的主成分，从而降低各个自变量之间的相 关性。 2.减少噪声的影响：主成分分析可以通过去除各个主成分中的噪声部分，减少模型的误差，提高预测精度。 3.降低变量维度：偏最小二乘回归将原始自变量矩阵通过压缩降维的 方式转换为新的自变量矩阵，减少需要考虑的变量个数。这不仅可以提高 计算效率，还可以避免过拟合问题。 4.提高模型的稳定性：偏最小二乘回归采用交叉验证等方法选择最佳 的主成分数，可以提高模型的稳定性和鲁棒性。 总之，偏最小二乘回归是一种强大的预测建模方法，可以在多个自变 量之间存在共线性的情况下，建立准确的预测模型。它在化学、生物、医 学等领域都有广泛的应用，并且逐渐在其他学科中得到推广和应用。

偏最小二乘回归分析案例

偏最小二乘回归分析案例 偏最小二乘(PLS)回归方法，用来解决两组多重相关变量间的相互依赖关系，并研究用一组变量(常称为自变量或预测变量)去预测另一组变量(常称为因变量或响应变量)。 偏最小二乘回归是一种多对多线性回归建模的方法，当两组变量的个数很多，且都存在多重相关性，而观测数据的数量(样本量)又较少时，用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析，典型相关分析和线性回归分析方法的特点，因此在分析结果中，除了可以提供一个更为合理的回归模型外，还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容，提供更丰富、深入的一些信息。 接下来让我们通过例子来学习偏最小二乘回归分析的建模方法。 #偏最小二乘回归 考虑p 个变量y1 , y2 ,... , yp " 与m 个自变量x1 , x2 ,... , xm " 的建模问题。 偏最小二乘回归的基本作法是首先在自变量集中提出第一成分 t1 ( t1 是x1 ,... , xm" 的线性组合，且尽可能多地提取原自变量集中的变异信息);

同时在因变量集中也提取第一成分u1 ，并要求t1 与u1 相关程度达到最大。然后建立因变量y1, ..., yp与t1的回归，如果回归方程已达到满意的精度，则算法中止。否则继续第二对成分的提取，直到能达到满意的精度为止。 若最终对自变量集提取r 个成分t1 ,t2 ,... ,tr ，偏最小二乘回归将通过建立y1 ,... , yp 与t1 ,t2 ,... ,tr 的回归式，然后再表示为 y1 ,... , yp " 与原自变量的回归方程式，即偏最小二乘回归方程式。 为了方便起见，不妨假定p 个因变量y1 ,... , yp 与m 个自变量x1 ,... , xm 均为标准化变量。因变量组和自变量组的n 次标准化观测数据阵分别记为 偏最小二乘回归分析建模的具体步骤如下： 1.分别提取两变量组的第一对成分，并使之相关性达最大。 假设从两组变量分别提出第一对成分为t1 和u1 ，t1 是自变量集X (x1 ,... , xm )T = 1 的线性组合： u1 是因变量集的线性组合： 为了回归分析的需要，要求： 1.1 t1 和u1 各自尽可能多地提取所在变量组的变异信息; 1.2 t1 和u1 的相关程度达到最大。

回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧(六)

回归分析中的偏最小二乘回归模型应用技巧 回归分析是统计学中常用的一种分析方法，用于探究自变量和因变量之间的 关系。而偏最小二乘回归模型是在多元统计分析中应用广泛的一种方法，特别适用于变量之间存在多重共线性的情况。本文将介绍偏最小二乘回归模型的应用技巧，帮助读者更好地理解和运用这一方法。 一、偏最小二乘回归模型的基本原理 偏最小二乘回归模型是一种降维技术，它通过找到与因变量最相关的新变量 来解决多重共线性问题。在传统的多元回归分析中，如果自变量之间存在高度相关性，就会导致回归系数估计不准确。而偏最小二乘回归模型可以通过构建新的变量，将自变量空间转换为一个新的空间，从而降低自变量之间的相关性，使得回归系数的估计更加准确。 二、偏最小二乘回归模型的应用场景 偏最小二乘回归模型特别适用于高维数据集中的特征选择和建模。在实际应 用中，很多数据集都存在大量的变量，而这些变量之间往往存在一定的相关性。使用偏最小二乘回归模型可以帮助我们找到最重要的变量，从而简化模型，提高预测的准确性。 除此之外，偏最小二乘回归模型还可以用于光谱分析、化学工程、生物信息 学等领域。在这些领域中，往往需要处理大量的高维数据，而偏最小二乘回归模型

可以帮助我们挖掘数据之间的潜在关系，找到最相关的变量，从而提高数据分析的效率和准确性。 三、偏最小二乘回归模型的实现步骤 实现偏最小二乘回归模型，需要经过以下几个步骤： 1. 数据预处理：对原始数据进行标准化处理，使得数据的均值为0，方差为1，以便更好地应用偏最小二乘回归模型。 2. 求解因子载荷矩阵：通过对数据进行主成分分析，求解因子载荷矩阵，得到新的变量空间。 3. 求解回归系数：在新的变量空间中，通过最小二乘法求解回归系数，得到最终的回归模型。 4. 模型评估：对建立的偏最小二乘回归模型进行评估，包括模型的拟合优度、预测准确性等指标。 四、偏最小二乘回归模型的应用技巧 在应用偏最小二乘回归模型时，需要注意以下几点技巧： 1. 数据标准化：在进行偏最小二乘回归分析之前，一定要对数据进行标准化处理，以避免变量之间的量纲差异对模型结果的影响。 2. 因子数选择：在实际应用中，需要选择合适的因子数来构建新的变量空间。通常可以通过交叉验证等方法来确定最优的因子数。

利用偏最小二乘回归方法解析

利用偏最小二乘回归方法解析、优化烧结生产过程 提要：本文介绍了分析复杂系统规律的第二代多元统计分析方法——偏最小二乘回归方法（PLS）的原理和技术特点，利用国内第一款在Excel中实现PLS的软件——PEW（PLS+Excel+Word）对影响烧结矿成品率、转鼓强度和RDI的因素进行了分析。此技术提供了一种模型简单有效，物理意义清晰明确的分析工具，可以打开错综复杂，影响因素交叉重叠这一看不见的生产过程黑箱，指导操作调整，指引改造升级，为解析、优化烧结乃至钢铁生产流程提供了一个很好的手段。 关键词：偏最小二乘回归方法（PLS）解析优化烧结生产过程 1 前言 烧结是一个非稳态、紧耦合、多时变的复杂系统，在烧结生产实践中，有时很想了解本单位在现有装备水平、原料条件下各种原料特性，各种工艺参数是如何影响烧结矿产量、质量、能耗指标或透气性等限制性环节的，更具体来说就是：众多工艺参数与产品产量、质量、能耗指标或透气性等限制性环节之间是什么关系。如何能清晰地表明哪些参数对产品产量、质量、能耗指标或透气性等限制性环节而言是重要因素，哪些是次要因素；哪些是正相关，哪些是负相关；变动参数的一个单位对结果影响有多大；哪些数据点是特异点需要关注或剔除；得出这些结论可信度有多大。由于各厂情况不一样，专业课本没有也不可能给出明确的公式，而实践经验往往也很模糊，从统计学角度来讲专家系统和神经网络预测的精度是最高的，但是专家系统和神经网络只能依据经验或采取随机试探的方法，具用一定的随意性，且对所描述对象的输入输出变量之间的关系往往缺乏很好的解释性。传统的最小二乘回归能给出一个清晰的关系式，但由于变量之间存在多重相关性，使得模型精度不高，甚至出现与常识相悖的情况。瑞典化学家伍德和阿巴诺于1983年提出的新型多元统计分析方法——偏最小二乘回归（PLS），它集多元线性回归分析、主成份分析、典型相关分析的基本功能为一体，很好地解决了普通多元回归无法解决的现实问题中普遍存在的自变量之间多重相关性和样本点容量过少的问题，被称为第二代的多元回归分析方法，其应用领域已经从最初的化工领域快速扩展到机械、生物、地质、医学、社会学以及经济学等领域。人大常委会副主任、管理学专家、化工专家成思危对偏最小二乘回归（PLS）给予高度评价，他在给王惠文等著《偏最小二乘回归的线性与非线性方法》一书做序时写到：“••••••我立即感到PLS回归是一种非常有用的工具，有可能用来解决非线性、非稳态、非参数、紧耦合的复杂问题••••••”。 马鞍山市嘉逸科技工贸有限责任公司在国内率先将偏最小二乘回归（PLS）植入最普及、最易用的电子表格Excel中，并以最通俗易懂的Word方式输出，开发出PEW（PLS+Excel+Word）软件，无需编程，不需要外语和统计知识，一线的管理、技术、操作人员都能在Excel表格中简单两步完成操作，使得轻松解析、优化企业生产过程变成可能。PEW（PLS+Excel+Word）软件开发成功后现已被用户应用于环境工程及管理、水处理、城市经济发展评价、水文地理，光谱、混凝土、国产大型客机造价预测、生态足迹等方面研究，本文利用该软件对烧结生产关注的几个问题进行解析。 。 2 偏最小二乘回归方法（PLS）原理 2.1概述 在一般多元线性回归模型中，有一组因变量Y={y1,y2,…,y q}(q为因变量个数)和自变量 X={x1,x2,…,x m}(m为自变量个数)，当数据总体满足高斯—马尔科夫定理时，由最小二乘法有 式中B为估计的回归系数。 当X中的变量存在严重的多重相关性(变量本身物理意义决定了它们之间的相关性，或由样本点数

偏最小二乘算法

偏最小二乘算法 以偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLSR）是一种在统计学和数据分析领域中常用的多元回归方法。它主要用于处理具有多个自变量和一个因变量的数据，通过寻找最佳的线性组合来建立模型，从而解决数据分析和预测问题。本文将介绍PLSR算法的原理、应用和优势，以及其在实际问题中的应用案例。 1. PLSR算法的原理 PLSR算法基于最小二乘法，通过将自变量和因变量进行线性组合，找到一组最佳的投影方向，使得投影后的变量之间的协方差最大，并且与因变量之间的相关性最大。这样，就可以通过建立线性模型来预测因变量的值。PLSR算法在处理高维数据和多重共线性问题时具有很好的效果。 2. PLSR算法的应用 PLSR算法可以应用于多个领域，如化学、生物医学、食品科学等。在化学领域，PLSR算法常用于分析和预测化学物质的性质，例如预测某种化学物质的溶解度、反应速率等。在生物医学领域，PLSR算法可以用于分析遗传数据，如基因表达谱和蛋白质组学数据，以及预测药物的活性和副作用。在食品科学中，PLSR算法可以用于分析食品的成分和品质，以及预测产品的口感和营养价值。 3. PLSR算法的优势 相比于其他回归方法，PLSR算法具有以下几个优势：

（1）PLSR算法可以处理高维数据和多重共线性问题，避免了过拟合和模型不稳定性的问题。 （2）PLSR算法可以同时考虑自变量和因变量之间的关系，可以更准确地建立预测模型。 （3）PLSR算法可以通过选择最佳的投影方向来降低数据的维度，减少自变量的数量，提高模型的可解释性和预测能力。 （4）PLSR算法可以处理非线性关系，通过引入非线性变换或核技巧，可以拟合更复杂的数据模式。 4. PLSR算法的应用案例 以药物研发为例，研究人员常常需要建立药物活性和物理化学性质之间的关系模型。通过收集一系列药物分子的物理化学性质数据和生物活性数据，可以使用PLSR算法建立预测模型，从而预测新药物的活性。在这个案例中，PLSR算法可以通过分析药物分子的结构和性质，找到与生物活性相关的变量，从而提高研发过程的效率和成功率。 偏最小二乘算法是一种在统计学和数据分析中常用的多元回归方法，通过线性组合自变量和因变量来建立预测模型。它在处理高维数据、多重共线性和非线性关系等问题时具有优势，并且在化学、生物医学、食品科学等领域有广泛的应用。通过使用PLSR算法，研究人员可以更准确地分析数据，预测未知的结果，并在实际问题中取得更好的结果。希望本文能够为读者对PLSR算法的理解和应用提供一些

偏最小二乘回归分析—案例

案例教育投入对经济影响问题的P L S建模与分析 1 数据资料及相关概念 为研究教育投入与产业发展之间存在着具体怎样的相关关系，特收集了如下数据资料. 表1 辽宁省1984-2005年教育投入与经济产出数据资料 年份L1L2L3L4K Y1Y2Y3 1984122 15612 564419 512965 73961 80.4 268.2 89.6 1985584 17495 522327 689598 102450 74.9 328.1 115.6 1986670 20583 517410 704016 123383 92.9 357.8 154.6 19871193 29394 549709 680861 124532 109.5 417.0 192.6 19881929 31552 615839 637753 155617 141.9 492.5 246.6 19891763 32708 598834 593257 194395 141.9 545.1 316.9 19901677 33768 580075 591654 201077 168.6 540.8 353.3 19911500 33530 571569 660343 229033 180.8 590.1 429.2 19921245 35208 573509 685996 254712 194.6 741.9 536.5 19931307 33615 572612 630759 305120 260.8 1039.3 710.8 19941273 35923 606148 636786 398399 319.0 1259.1 883.8 19951425 44072 635387 672482 439517 392.2 1390.0 1011.2 19961962 51068 611379 576164 496190 474.1 1537.7 1145.9 19972316 49591 666386 500252 546883 474.1 1743.9 1364.2 19982126 47557 724391 555892 562770 531.5 1855.2 1459.1 19992426 49964 658165 644042 642559 520.8 2001.5 1649.4 20002910 49834 587000 722325 760719 503.4 2344.4 1821.2 20012971 60271 623975 679852 855043 544.4 2440.6 2048.1 20023674 72791 709233 622536 991450 590.2 2609.9 2258.2 20035027 98908 788473 595278 1108785 615.8 2898.9 2487.9 20046726 115889 792228 511757 1387080 798.4 3061.6 2812.0 20059342 144984 815905 499069 1629956 882.4 3953.3 3173.3 注释表中数据摘自《辽宁统计年鉴2006》. 变量说明 ⑴衡量教育投入水平的具体指标集 L－研究生教育程度（硕士及博士）劳动力数（单位：人）； 1 L－高等教育程度（大学本科及专科）劳动力数（单位：人）； 2 L－中等教育程度（高中及中专）劳动力数（单位：人）； 3 L－初等以下教育程度（小学及文盲）劳动力数（单位：人）； 4 K－教育的财政投入（单位：万元）.

偏最小二乘回归方法及其应用

偏最小二乘回归方法及其应用 王惠文著 国防工业出版社1999年版 偏最小二乘回归≈多元线性回归分析＋典型相关分析＋主成分分析 与传统多元线性回归模型相比，偏最小二乘回归的特点是：（1）能够在自变量存在严重多重相关性的条件下进行回归建模；（2）允许在样本点个数少于变量个数的条件下进行回归建模；（3）偏最小二乘回归在最终模型中将包含原有的所有自变量；（4）偏最小二乘回归模型更易于辨识系统信息与噪声（甚至一些非随机性的噪声）；（5）在偏最小二乘回归模型中，每一个自变量的回归系数将更容易解释。 在计算方差和协方差时，求和号前面的系数有两种取法：当样本点集合是随机抽取得到时，应该取1/(n-1)；如果不是随机抽取的，这个系数可取1/n。 多重相关性的诊断 1 经验式诊断方法 1、在自变量的简单相关系数矩阵中，有某些自变量的相关系数值较大。 2、回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反；或者，它同该自变量与y 的简单相关系数符号相反。 3、对重要自变量的回归系数进行t检验，其结果不显著。 特别典型的是，当F检验能在高精度下通过，测定系数R2的值亦很大，但自变量的t检验却全都不显著，这时，多重相关性的可能性将很大。 4、如果增加（或删除）一个变量，或者增加（或删除）一个观测值，回归系数的估计值发生了很大的变化。 5、重要自变量的回归系数置信区间明显过大。 6、在自变量中，某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。 7、对于一般的观测数据，如果样本点的个数过少，样本数据中的多重相关性是经常存在的。

但是，采用经验式方法诊断自变量系统中是否确实存在多重相关性，并不十分可靠，另一种较正规的方法是利用统计检验（回归分析），检查每一个自变量相对其它自变量是否存在线性关系。 2 方差膨胀因子 最常用的多重相关性的正规诊断方法是使用方差膨胀因子。自变量x j 的方差膨胀因子记为（VIF ）j ，它的计算方法为 （4-5） （VIF ）j =（1-R j 2）-1 式中，R j 2是以x j 为因变量时对其它自变量回归的复测定系数。 所有x j 变量中最大的（VIF ）j 通常被用来作为测量多重相关性的指标。 一般认为，如果最大的（VIF ）j 超过10，常常表示多重相关性将严重影响最小二乘的估计值。 （VIF ）j 被称为方差膨胀因子的原因，是由于它还可以度量回归系数的估计方差与自变量线性无关时相比，增加了多少。 不妨假设x 1,x 2,…,x p 均是标准化变量。采用最小二乘法得到回归系数向量B ，它的精度是用它的方差来测量的。B 的协方差矩阵为 Cov(B )= σ2 (X'X)-1 式中，σ2是误差项方差。所以，对于回归系数b j ，有 Var(b j )= σ2c jj c jj 是(X'X)-1矩阵中第j 个对角元素。可以证明， c jj =（VIF ）j 岭回归分析 1 岭回归估计量 岭回归分析是一种修正的最小二乘估计法，当自变量系统中存在多重相关性时，它可以提供一个比最小二乘法更为稳定的估计，并且回归系数的标准差也比最小二乘估计的要小。 根据高斯——马尔科夫定理，多重相关性并不影响最小二乘估计量的无偏性和最小方差性。但是，虽然最小二乘估计量在所有线性无偏估计量中是方差最小的，但是这个方差却不一定小。于是可以找一个有偏估计量，这个估计量虽然有微小的偏差，但它的精度却能够大大高于无偏的估计量。

【原创】R语言多元线性回归特征降维：主成分回归和偏最小二乘案例分析报告附代码数据

主成分分析（Principal Component Analysis, PCA） 一个优秀的模型应该是用尽可能少的特征来涵盖尽可能多的信息。对于多元线性回归模型，除了对全部特征进行筛选和压缩——这些都是针对原特征本身，那么是否可以把多个特征组合成少数的几个新特征，使模型更加简洁？特别是多个特征之间往往还存在多重共线性关系。 主成分分析的核心思想就是降维，把高维空间上的多个特征组合成少数几个无关的主成分，同时包含原数据中大部分的变异信息。举个例子，在二维平面中，如果大部分的点都在一条直线附近，是不是就可以直接用这条直线当作一维坐标轴来反映原始数据？在三维空间中，如果大部分的点都在一个平面附近，是不是就可以直接用这个平面当作二维平面来反映原始数据？ 以上概念中的变异信息就用方差来衡量，第一主成分是高维空间上的一个向量，所有的点沿着这条线波动最大，或者说所有的点到直线的距离的平方和最小。如下图所示，所有的点沿着绿色直线的波动最大，它就代表着第一主成分向量。 主成分分析几何意义 有了第一主成分，还可以依次往后选择主成分，各主成分之间是相互正交的向量。如下左图所示，右图是左图的旋转，以第一主成分作为x轴，第二主成分作为y轴与之垂直。

第一主成分与第二主成分 以上是主成分的几何意义，那么它的数学意义是什么？如何去求解主成分向量？ 首先，我们定义主成分是原特征的线性组合，即： 主成分定义 找到一组Φ（其平方和为1），使Z1的方差最大，它的优化问题变成： 主成分优化目标 第一主成分确定之后，如果是二维空间那么第二主成分就可以通过正交关系直接确定；对于高维空间，一个向量的正交向量可以有无数个，则在其正交向量中继续优化上式至最大值；之后的主成分依次类推。 以下以美国的犯罪记录数据为例，对特征进行PCA： > library(ISLR) > apply(USArrests,2,mean) # 各变量均值差异很大 Murder Assault UrbanPop Rape 7.788170.76065.54021.232 > apply(USArrests,2,var) # 各变量方差差异也很大 Murder Assault UrbanPop Rape 18.970476945.16571209.5187887.72916 > > ## 必须要对变量进行标准化，否则主成分就由Assault一个变量决定 > > pr.out = prcomp(USArrests,scale. = T) > names(pr.out) [1] "sdev""rotation""center""scale""x" > pr.out$center # 标准化之后的均值

(真正的好东西)偏最小二乘回归=多元线性回归分析+典型相关分析+主成分分析

偏最小二乘回归是一种新型的多元统计数据分析方法，它与1983年由伍德和阿巴诺等人首次提出。近十年来，它在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展。密西根大学的弗耐尔教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法。 偏最小二乘回归方法在统计应用中的重要性主要的有以下几个方面：（1）偏最小二乘回归是一种多因变量对多自变量的回归建模方法。 （2）偏最小二乘回归可以较好地解决许多以往用普通多元回归无法解决的问题。在普通多元线形回归的应用中，我们常受到许多限制。最典型的问题就是自变量之间的多重相关性。如果采用普通的最小二乘方法，这种变量多重相关性就会严重危害参数估计，扩大模型误差，并破坏模型的稳定性。变量多重相关问题十分复杂，长期以来在理论和方法上都未给出满意的答案，这一直困扰着从事实际系统分析的工作人员。在偏最小二乘回归中开辟了一种有效的技术途径，它利用对系统中的数据信息进行分解和筛选的方式，提取对因变量的解释性最强的综合变量，辨识系统中的信息与噪声，从而更好地克服变量多重相关性在系统建模中的不良作用。 （3）偏最小二乘回归之所以被称为第二代回归方法，还由于它可以实现多种数据分析方法的综合应用。 由于偏最小二乘回归在建模的同时实现了数据结构的简化，因此，可以在二维平面图上对多维数据的特性进行观察，这使得偏最小二乘回归分析的图形功能十分强大。在一次偏最小二乘回归分析计算后，不但可以得到多因变量对多自变量的回归模型，而且可以在平面图上直接观察两组变量之间的相关关系，以及观察样本点间的相似性结构。这种高维数据多个层面的可视见性，可以使数据系统的分析内容更加丰富，同时又可以对所建立的回归模型给予许多更详细深入的实际解释。 一、偏最小二乘回归的建模策略\原理\方法

正交偏最小二乘法

正交偏最小二乘法 正交偏最小二乘法（Orthogonal Partial Least Squares, OPLS）是一种常用的多元统计分析方法，广泛应用于数据建模、特征选择、变量筛选等领域。本文将介绍正交偏最小二乘法的原理、应用和优势，以及其在实际问题中的应用案例。 正交偏最小二乘法是基于偏最小二乘法（Partial Least Squares, PLS）的改进方法。偏最小二乘法是一种回归分析的方法，通过将自变量和因变量进行线性组合，建立回归模型。但是在应用过程中，偏最小二乘法可能存在多个潜在的自变量对应一个因变量的情况，这就导致了模型的不稳定性和可解释性差。 正交偏最小二乘法通过引入正交化的步骤，解决了偏最小二乘法的不足。其基本思想是，在建立回归模型的过程中，除了考虑与因变量相关的部分（预测分量），还引入与因变量不相关的部分（正交分量），从而提高模型的解释能力和稳定性。通过正交化的操作，正交偏最小二乘法能够将数据进行更好的降维，去除噪声和冗余信息，提取出对预测结果有用的信息。 正交偏最小二乘法在实际问题中具有广泛的应用。例如，在药物研发领域，研究人员可以利用正交偏最小二乘法对大量的分子结构和活性数据进行建模和预测，快速筛选出具有潜在药效的化合物。在工业过程控制中，正交偏最小二乘法可以用于建立传感器数据与产品质量之间的关系，实现对产品质量的在线监测和控制。此外，正

交偏最小二乘法还可以应用于生物信息学、化学分析、图像处理等领域。 与其他方法相比，正交偏最小二乘法具有以下优势。首先，正交偏最小二乘法能够解决多重共线性问题，降低模型的复杂度，提高模型的解释能力。其次，正交偏最小二乘法能够处理高维数据，提取出对预测结果有用的特征，减少冗余信息的干扰。此外，正交偏最小二乘法还可以进行特征选择，帮助研究人员挖掘出对预测结果具有重要影响的变量。 下面以一个实际应用案例来说明正交偏最小二乘法的应用。假设我们需要建立一个模型来预测商品的销售量。我们收集了一系列与销售量相关的特征变量，如商品的价格、促销活动的力度、季节性因素等。利用正交偏最小二乘法，我们可以将这些特征变量与销售量进行线性组合，建立一个回归模型。通过模型，我们可以了解哪些因素对销售量具有重要影响，并根据模型的预测结果进行销售策略的调整。 正交偏最小二乘法是一种强大的多元统计分析方法，具有广泛的应用领域和优势。通过引入正交化的步骤，正交偏最小二乘法能够提高模型的解释能力和稳定性，降低数据的维度，并挖掘出对预测结果具有重要影响的特征。在实际应用中，正交偏最小二乘法可以帮助研究人员解决各种问题，实现数据建模、特征选择、变量筛选等目标。因此，正交偏最小二乘法在数据分析和建模领域具有重要的

偏最小二乘算法

偏最小二乘算法 偏最小二乘算法（Partial Least Squares Regression，简称PLS 回归）是一种常用的统计分析方法，用于处理多变量数据集中的回归问题。它是在被解释变量与解释变量之间存在复杂关系的情况下，通过降维和建立线性模型来解决回归问题的一种有效手段。下面将详细介绍偏最小二乘算法的原理和应用。 一、原理介绍 偏最小二乘算法的核心思想是通过寻找解释变量与被解释变量之间最大的协方差方向，将原始变量空间转换为新的综合变量空间，从而实现降维的目的。具体步骤如下： 1. 数据预处理：对原始数据进行中心化和标准化处理，以消除量纲和变量之间的差异。 2. 求解权重矩阵：根据解释变量和被解释变量的协方差矩阵，通过迭代的方式求解权重矩阵，使得新的综合变量能够最大程度地反映原始变量之间的关系。 3. 计算综合变量：将原始变量与权重矩阵相乘，得到新的综合变量。 4. 建立回归模型：将新的综合变量作为自变量，被解释变量作为因变量，通过最小二乘法建立回归模型。

5. 预测与评估：利用建立的回归模型对新的解释变量进行预测，并通过评估指标（如均方根误差、决定系数等）评估模型的拟合效果。 二、应用案例 偏最小二乘算法在多个领域都有广泛的应用，下面以药物研究为例，介绍其应用案例。 假设我们需要研究一个药物的活性与其分子结构之间的关系。我们可以收集一系列药物分子的结构信息作为解释变量，收集相应的生物活性数据作为被解释变量。然后利用偏最小二乘算法，建立药物活性与分子结构之间的回归模型。 通过偏最小二乘算法，我们可以找到最相关的分子结构特征，并将其转化为新的综合变量。然后，利用建立的模型，我们可以预测新的药物的活性，从而指导药物设计和优化。 三、优缺点分析 偏最小二乘算法具有以下优点： 1. 能够处理多变量之间的高度相关性，避免了多重共线性问题。 2. 通过降维，提高了模型的解释能力和预测精度。 3. 对于样本量较小的情况，仍能有效建立回归模型。

偏最小二乘法

偏最小二乘法 ( PLS)是光谱多元定量校正最常用的一种方法 , 已被广泛应用于近红外、红外、拉曼、核磁和质谱等波谱定量模型的建立 , 几乎成为光谱分析中建立线性定量校正模型的通用方法。近年来 , 随着 PLS方法在光谱分析尤其是分子光谱如近红外、红外和拉曼中应用的深入开展 , PLS 方法还被用来解决模式识别、定量校正模型适用性判断以及异常样本检测等定性分析问题。由于 PLS方法同时从光谱阵和浓度阵中提取载荷和得分 , 克服主成分分析 ( PCA)方法没有利用浓度阵的缺点 , 可有效降维 , 并消除光谱间可能存在的复共线关系 , 因此取得令人非常满意的定性分析结果。本文主要介绍PLS方法在光谱定性分析方面的原理及应用实例。 偏最小二乘方法(PLS-Partial Least Squares))是近年来发展起来的一种新的多元统计分析法, 现已成功地应用于分析化学, 如紫外光谱、气相色谱和电分析化学等等。该种方法，在化合物结构-活性/性质相关性研究中是一种非常有用的手段。如美国Tripos公司用于化合物三维构效关系研究的CoMFA (Comparative Molecular Field Analysis)方法, 其中，数据统计处理部分主要是PLS。在PLS方法中用的是替潜变量，其数学基础是主成分分析。替潜变量的个数一般少于原自变量的个数，所以PLS特别适用于自变量的个数多于试样个数的情况。在此种情况下，亦可运用主成分回归方法，但不能够运用一般的多元回归分析，因为一般多元回归分析要求试样的个数必须多于自变量的个数。 §§基本原理 偏最小二乘（PLS） 为了叙述上的方便，我们首先引进“因子”的概念。一个因子为原来变量的线性组合，所以矩阵的某一主成分即为一因子，而某矩阵的诸主成分是彼此相互正交的，但因子不一定，因为一因子可由某一成分经坐标旋转而得。 在主成分回归中，第一步，在矩阵X的本征矢量或因子数测试中，所处理的仅为X矩阵，而对于矩阵Y 中信息并未考虑。事实上，Y中亦可能包含非有用的信息。所以很自然的一种想法是，在矩阵X因子的测试中应同时考虑矩阵Y的作用。偏最小二乘正是基于这种思想的一种回归方法。

偏最小二乘回归方法(PLS)

偏最小二乘回归方法 1 偏最小二乘回归方法(PLS)背景介绍 在经济管理、教育学、农业、社会科学、工程技术、医学和生物学中，多元线性回归分析是一种普遍应用的统计分析与预测技术。多元线性回归中，一般采用最小二乘方法(Ordinary Least Squares :OLS)估计回归系数，以使残差平方和达到最小，但当自变量之间存在多重相关性时，最小二乘估计方法往往失效。而这种变量之间多重相关性问题在多元线性回归分析中危害非常严重，但又普遍存在。为消除这种影响，常采用主成分分析(principal Components Analysis :PCA)的方法，但采用主成分分析提取的主成分，虽然能较好地概括自变量系统中的信息，却带进了许多无用的噪声，从而对因变量缺乏解释能力。 最小偏二乘回归方法(Partial Least Squares Regression：PLS)就是应这种实际需要而产生和发展的一种有广泛适用性的多元统计分析方法。它于1983年由S.Wold和C.Albano等人首次提出并成功地应用在化学领域。近十年来，偏最小二乘回归方法在理论、方法和应用方面都得到了迅速的发展，己经广泛地应用在许多领域，如生物信息学、机器学习和文本分类等领域。 偏最小二乘回归方法主要的研究焦点是多因变量对多自变量的回归建模，它与普通多元回归方法在思路上的主要区别是它在回归建模过程中采用了信息综合与筛选技术。它不再是直接考虑因变量集合与自变量集合的回归建模，而是在变量系统中提取若干对系统具有最佳解释能力的新综合变量(又称成分)，然后对它们进行回归建模。偏最小二乘回归可以将建模类型的预测分析方法与非模型式的数据内涵分析方法有机地结合起来，可以同时实现回归建模、数据结构简化(主成分分析)以及两组变量间的相关性分析(典型性关分析)，即集多元线性回归分析、典型相关分析和主成分分析的基本功能为一体。下面将简单地叙述偏最小二乘回归的基本原理。 2 偏最小二乘法的工作目标 2.1 偏最小二乘法的工作目标 在一般的多元线性回归模型中，如果有一组因变量Y={y1,…,y q}和一组自变量X={x1,…,x p}，当数据总体能够满足高斯—马尔科夫假设条件时，根据最小二乘法，有 ⋂ Y=X（X T X）-1X T Y ⋂ Y将是Y的一个很好的估计量。从这个公式容易看出，由于（X T X）必须是可逆矩阵，所以当X中的变量存在严重的多重相关性时，或者在X中的样本点数与变量个数相比显然过少时，

偏最小二乘法 python

偏最小二乘法 python 偏最小二乘法（Partial Least Squares，PLS）是一种常用的多元线性回归分析方法，主要用于解决自变量之间存在多重共线性的问题。在 Python 中，可以使用第三方库`scikit-learn`和`numpy`搭配来实现偏最小二乘法。 首先请确保你已经安装了`scikit-learn`库与`numpy`库，如果还没有安装，可以使用以下命令来进行安装： ``` pip install scikit-learn numpy ``` 以下是一个使用 Python 实现偏最小二乘法的示例代码： ```python import numpy as np from sklearn.cross_decomposition import PLSRegression def pls_example(): # 准备示例数据 X = np.array([[2], [3], [4], [5], [6]]) y = np.array([1, 2, 3, 4, 5]) # 创建偏最小二乘回归模型 pls = PLSRegression(n_components=1) # 在训练数据上拟合模型 pls.fit(X, y) # 新的自变量 new_X = np.array([[7]]) # 使用模型进行预测 predicted_y = pls.predict(new_X) return predicted_y print(pls_example()) ```

在这个示例中，我们首先导入所需的库。然后，我们准备了一个示例数据集，其中`X`是自变量矩阵，`y`是因变量向量。 接下来，我们创建了一个`PLSRegression`对象，通过设置`n_components`参数来指定保留的主成分数量。 然后，我们使用`fit`方法拟合模型到训练数据上。 最后，我们可以使用`predict`方法对新的自变量`new_X`进行预测，并输出预测结果。 请注意，这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要更复杂的数据预处理、调参和评估步骤。你可以根据具体需求进行相应的修改和扩展。 希望这个示例对你有帮助。如果你有任何其他问题，请随时提问。