中考数学几何模型专题专题七—四边形

专题七 四边形 模型31 中点四边形模型

模型展现 基础模型

已知：点E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点

结论1：四边形EFGH 是平行四边形；

结论2：C 四边形EFCH = AC +BD ； 结论3：S 四边形EFGH ＝

2

1

S 四边形ABCD 怎么用？ 1.找模型

题中已知四边形四条边的中点 2.用模型

顺次连接各条边的中点及连接已知四边形的对角线解题 满分技法

中点四边形模型实质考查的是中位线的判定及性质. 拓展延伸

已知△ABC ，D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，则△DEF 是△ABC 的中点三角形.

△DEF 与△ABC 的关系：

△C △DEF ＝

21

C △ABC △S △DEF ＝ 41

S △ABC

结论分析

结论1：四边形EFGH 是平行四边形

证明：由题图可知四边形ABCD 被AC 分成两个三角形，

△E ，F 分别是AB ，BC 的中点，△EF 为△ABC 的中位线，同理HG 为△ACD 的

中位线，△EF//AC ，EF=21AC ，HG//AC ，HG=21

AC ，

△EF//HG ，且EF=HG ， △四边形EFGH 是平行四边形； 结论2：C 四边形EFCH = AC +BD 证明：△四边形EFGH 是平行四边形，

△EF=GH ，FG=EH ，△四边形EFGH 的周长为2(EF+FG ). △EF ，FG 分别是△ABC 和△BCD 的中位线，

△EF=21AC ，FG=2

1

BD ，

△四边形EFGH 的周长为2(EF+FG )=AC+BD ； 结论3：S 四边形EFGH ＝

2

1

S 四边形ABCD 证明：EF 为△ABC 的中位线，GF 为△BCD 的中位线， HG 为△ACD 的中位线，EH 为△ABD 的中位线，

△S △BEF =41S △ABC ，s △CGF =41S △BCD ， S △DHG =41S △ACD ， S △AHE =41

S △ABD ，

△S △ABC +S △BCD +S △ACD +S △ABD =2S 四边形ABCD ，

△S 四边形EFGH =S 四边形ABCD -(S △BEF +S △CGF +S △DHG +S △AHE )=S 四边形ABCD -41S 四边形ABCD =2

1

S 四边形ABCD

模型拓展

巧学巧记

1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形；

2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相的垂直的四边形中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形，

典例小试

例1顺次连接菱形四条边的中点(画出草图,本题即可迎刃而解啦)所得的四边形是（）

A.矩形

B.菱形

C.正方形

D.以上都不对

考什么?

菱形的性质和矩形的判定

例2若顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是矩形，(一定是找导致这个结果的最根本原因)则原四边形（）

A.一定是矩形

B.一定是菱形

C.对角线一定互相垂直

D.对角线一定相等

考什么?

矩形的判定

思路点拨

对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形,但中点四边形是矩形的四边形不一定都是菱形，

例3如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD，DA的中点(点拔：矩形中点四边形).若AB=4,AD=6，则图中阴影部分(先判断阴影部分的形状)的面积为；周长为.

考什么?

矩形的中点四边形,菱形的周长公式及勾股定理

思路点拨

可通过中点四边形与原四边形的面积、周长关系直接求得,也可以先判断中点四边形的形状,再根据中点四边形的面积、周长公式计算,灵活运用,哪种方法简单用哪种.

例4如图,在四边形ABCD中,AC=BD=4(对角线相等),E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点(顺次连接四条边的中点，判断四边形EFGH的形状).则EG2+EH2(遇到线段的平方和,考虑利用勾股定理转化求解)的值为.

考什么?

中位线的性质,菱形的判定和勾股定理.

实战实演

1.顺次连接下列四边形各边中点所构成的四边形中为正方形的是（ ） △平行四边形;△矩形;△菱形;△正方形;△对角线互相垂直且相等的边形 A .△△ B .△△ C .△△ D .△△

2.如图,已知菱形A 1B 1C 1D 1的面积为2,顺次连接菱形各边的中点得到四边形A 2B 2C 2D 2,记为第1次操作,再顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2各边的中点得到四边形

A 3

B 3

C 3

D 3,记为第2次操作,…,依次类推,则操作2022次后得到的四边形的面积为 （ ）

A .(21)2020

B .(21)2021

C . (41)1011

D .(4

1

)2022

3.如图,已知EF 为△ABC 的中位线,点D 是△BAC 内一点,且在BC 下方,连接BD ,CD ,G ,H 分别是CD ,BD 的中点,连接 AD ,EH ,GH ,FG ,AD 与BC 交于点P . (1)求证:四边形EFGH 为平行四边形；

(2)当AD 和BC 满足什么关系时,四边形EFCH 为矩形? 并说明理由； (3)若AB =AC =6,△BAC =600,BD =CD ,当四边形EFCH 为正方形时.求PD 的长.

模型32 “十字架”模型

模型展现

基础模型

怎么用?

1．找模型

在正方形中存在互相垂直的线段,且端点在正方形的边上,看起来像“十字架”

2.用模型

根据等角(同角）的余角相等,再结合正方形的性质证明两条线段所在三角形全等

巧学巧记

正方形中的十字架模型,垂直一定相等，但相等不一定垂直.

结论分析

结论1:若AE⊥BF ,则AE=BF

证明:△四边形ABCD为正方形，

∴AB= DA, ∠BAF=∠ADE= 90°,

△AE⊥BF , ∴∠AGB=90°，∴∠ABF+∠BAG= 90°,

△ ∠BAG+∠DAE=90°, ∴∠ABF= ∠DAE.

在△ABF和△DAE中，

BAF ADE BA AD

ABF DAE ∠=∠=∠=∠⎧⎪

⎨⎪⎩

∴△ABF △△DAE ( ASA )， ∴AE =BF .

满分技法

对于结论2,可通过HL 证明全等;其他情形的结论均可通过全等或构造全等证明,因此遇到“十字架”模型试题,第一步则考虑用全等. 模型拓展

拓展1

拓展2

满分技法

“十字架”模型解题的关键是寻找(构造)两条“十字架线”所在的直角三角形,再利用余角代换证明一组角相等,从而得到全等(正方形中)或相似(矩形中). 结论分析

针对拓展1中的结论进行证明,过程如下: 证明: △四边形ABCD 为矩形,

∴∠EDC = ∠A = 90°,

∴ ∠ADB +∠BDC = 90°,

△CE ⊥BD ,

∴ ∠DCE +∠BDC = 90°, ∴ ∠DCE =∠ADB , ∴ △DCE △△ADB ,

∴CE CD

=

DB DA

拓展延伸

拓展2中结论的证明方法同样是证明EF和GH所在两个三角形相似.可考虑平移线段或作垂线(如图△△).

典例小试

例1如图,在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD边上的点,BE△CF于点G（提示：正方形中遇垂直,知相等,BE=CF），若AB=4,AF= 1,则BE的长（提示：利用勾股定理，先求CF的长）为.

考什么?

正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

例2如图,正方形ABCD中,点E为BC边上一点,连接AE,作AE的垂直平分线交AB于点G

（提示：可知AE=GF ,构造CF为斜边的直角三角形）,交CD于点F,若DF=2,BG=4,

则

AE的长（提示：先求BE的长,可利用垂直平分线的性质连接GE）

为.

考什么?

正方形的性质,垂直平分线的性质及勾股定理

思路点拨

若互相垂直的两条线段所在三角形不明显,可考虑作平行或者垂直构造.

例3如图,在Rt△ACB中（提示：由直角三角形和BD⊥CE可想到构造矩形）, ∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC中点, 连接BD, 过点C作CE△BD交AB于点E,

交BD于点F（提示：再延长CE交矩形边于一点,此时十字模型必自现），则CE 的长为.

考什么?

直角三角形的性质,矩形的判定,相似三角形的判定及性质

思路点拨

遇见直角三角形中存在互相垂直的两条线段时,可考虑构造矩形或正方形,再结合“十字架”模型的特点解题.

实战实演

1．如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AD, CD边上的点,且AE=DF ,连接BE,AF交于点M ,N是BF的中点,若AB=10,AE=4,则MN的长

为.

2.如图,在矩形ABCD中,

3

2

BC

AB

=,点F,G分别为AB,CD上的点，将矩形ABCD沿FG折叠,使点A落在BC边的点E处,点D的对应点为P,PE交CD于点H,连接AE交FG于点O,

若tan∠CGP=

3

4

, GF=,则CE的长为.

例2 如图，在四边形ABCD中,△A+△C= 180°(提示：对角和为180°，且未知角平分线，则考虑相似三角形) ，AD:CD=2:3(提示：有线段比例关系，也会考虑相似三角形)，且AB=4,BC=5,△ABD的面积为2,则△BCD的面积为__________.考什么?

相似三角形的判定与性质,三角形的面积计算公式

例3 如图,在矩形ABCD中,E是AD的中点,连接BE,CE ,连接AC交BE于点F ,连接DF,若AC△BE(提示：由垂直可知△CFE+△CDE= 180° .考虑相似三角

形) ,tan△ADF=

3

1

(提示：由正切值可知相似比) ,AD=13,则EF的长为__________.

考什么?

矩形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形及勾股定理的应用

实战实演

1.如图,在等边△ABC中,D为BC边的中点,点E,F分别是.AB,AC边上的点，且△EDF= 120°,若△BDE=45° , DF=6,则BE的长为__________.

2.如图,在Rt △ABC 中,△C =60° ,BD △AC 于点D ,以D 为顶点作△EDF =90° ,分别交AB ,BC 于点E ,F ,则DF

DE 的值为__________. 3.如图,在平面直角坐标系中,A (-3,0),B 为y 轴正半轴上一点,C 为y 轴负半轴上一点,连接CA ,过点C 作CD △CA ,且使CD = CA ,连接BD ,若△ABD = 90°，则点B 的坐标为__________.

4.如图,已知四边形ABCD 为正方形,点E 在对角线AC 上,连接DE ,过点E 作EF △DE ,交BC 于点F ,以DE ,EF 为邻边作矩形DEFG .

(1)求证:ED =EF ;

(2)连接CG ,若四边形DECG 的面积为9,求CE +CG 的值.

模型34 含60°角的菱形

基础模型

怎么用?

1. 找模型

题中已知含60°(或120°)角的菱形

2. 用模型

含60°角的菱形常需要作辅助线,构造等边三角形或者直角三角形,利用特殊三角 形的性质或者解直角三角形

求解

结论分析

结论:1. △ABD =△CBD =△BAE =△CAE = 30°;

2. △ABC 和△ACD 均为等边三角形;

3. S 菱形ABCD =22321BC BD AC =• 证明: △四边形ABCD 为菱形,△ABC = 60°，

△△ABD =△CBD =30°(菱形的对角线平分对角) ,

AB = BC = CD =AD (菱形的四条边相等)，

△△ABC 和△ACD 均为等边三角形(有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形).

△AE △BC

△△AEB =90°,

△ △BAE = 30°

△△ABD =△CBD = △BAE =△CAE = 30°.

在Rt △ABE 中,,2323BC AB AE ==

△S 菱形ABCD =

AE BE BD AC •=•21(菱形面积公式)， △S 菱形ABCD =

22321BC BD AC =• 满分技法

摸清含60°角的菱形中结论的来龙去脉,让此类问题变得和心算一样简单. △AE BC BD AC 21S 菱形ABCD •=•=

（菱形面积公式） △2菱形ABCD BC 2

3BD AC 21S =•= 模型拓展

满分技法

此模型也可看成半角模型中的120°半角模型，不必惊讶, 很多模型之间都有联系，等学完这本书，你一定要好好总结噢！

典例小试

例1（ 2021陕西）在菱形ABCD 中，△ABC =60°,连接AC ,BD

线段比值遇见特殊角，锐角三角函数跑不了）的值为( )

A .21

B .22

C .23

D .33 例2 如图，四边形ABCD 为菱形，△ABC =120°，AC =34，(点拨：已知一条对角线，赶快作另一条对角线)则菱形ABCD 的面积是（ ）

A .38

B .12

C .18

D .163

例3（2021南充）如图，在菱形ABCD 中，△A = 60°（点拨：根据60°菱形的性质先判断

△DEF 的形状）点E ,F 分别在边AB ,BC 上,AE = BF =2, △DEF 的周长为36（点拨：结合AE 的长可想到过点D 作AB 边的垂线，再解直角三角形），则AD 的长为（）

A .6

B .32

C .13+

D .132-

实战实演

1.如图,在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A ,B ,D 在坐标轴上，若点A 的坐标为（0,1）,△BAD =60°,则点C 的坐标为（ ）

A .)2,2(-

B .)2,3(-

C .)3,3(-

D .），（32-

2.如图，已知菱形ABCD 的边长为6, △ABC = 120°,点M 是对角线AC 上的动点，则MA +MB +MD 的最小值是 （ ）

A .33

B .333+

C .36+

D .36

3.如图,在菱形ABCD 中，AB =2,△B = 60°,过菱形的对角线交点O 分别作边AB ,BC 的垂线并延长，交各边于点E ,F ,G , H ,则四边形EFGH 的周长为 ________・

4.如图△，已知在菱形ABCD 中,△ABC = 60°,点E 是边AB 上任意一点(端点除外)，连接CE 交BD 于点P .

(1)若CE △AB ,试判断线段PD 与PE 的数量关系,并说明理由；

(2)如图△，作线段CE 的垂直平分线分别交BD ,CE 于点F ,G ,连接 EF .AF .

△求证:AF = EF ；

△求△CEF 的度数.

2020年九年级数学中考复习：《四边形》压轴专题训练(解析版)

《四边形》压轴专题训练 1．已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC． （1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直?三角形； （2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成?，并说明理由； （3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转?为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN＝，请求出四边形ABED的?积． 2．如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长．

3．已知，在?ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2，求AD的长； （2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH； （3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N 在BC边上且BN＝1，已知AB＝4，请直接写出MN的最小值． 4．如图，在△ABC中，tan∠ABC＝，∠C＝45°，点D、E分别是边AB、AC上的点，且DE ∥BC，BD＝DE＝5，动点P从点B出发，沿B﹣D﹣E﹣C向终点C运动，在BD﹣DE上以每秒5个单位长度的速度运动，在EC上以每秒个单位长度的速度运动，过点P作PQ ⊥BC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点B、点N始终在PQ同侧．设点P的运动时间为t（s）（t＞0），正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S． （1）当点P在BD﹣DE上运动时，用含t的代数式表示线段DP的长． （2）当点N落在AB边上时，求t的值． （3）当点P在DE上运动时，求S与t之间的函数关系式． （4）当点P出发时，有一点H从点D出发，在线段DE上以每秒5个单位长度的速度沿D ﹣E﹣D连续做往返运动，直至点P停止运动时，点H也停止运动．连结HN，直接写出HN 与DE所夹锐角为45°时t的值．

中考数学复习专题七 三角形、四边形实践探究(旋转、动点、折叠问题)

专题七三角形、四边形实践探究(旋转、动点、折叠问题) 1．如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点E. (1)求证：AE＝BC； (2)如图2，过点E作EF∥BC交AB于点F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜144°)得到△AE′F′，连接CE′，BF′，求证：CE′＝BF′； (3)在(2)的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由． (1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝36°. ∴∠BEC＝180°－∠C－∠CBE＝72°. ∴∠ABE＝∠A，∠BEC＝∠C. ∴AE＝BE，BE＝BC.∴AE＝BC； (2)证明：∵AC＝AB且EF∥BC，∴AE＝AF. 由旋转可得∠E′AC＝∠F′AB＝α，AE′＝AF′. ∴△CAE′≌△BAF′(SAS)．∴CE′＝BF′； (3)解：存在CE′∥AB. 由(1)知AE＝BC. ∴在△AEF绕点A逆时针旋转的过程中，点E经过的路径(圆弧)与过点C且与AB平行的直线l交于M，N 两点，如图所示． ①当点E′与点M重合时，可得α＝∠CAM＝∠BAC＝36°； ②当点E′与点N重合时，由AB∥l，得 ∠AMN＝∠BAM＝72°. ∵AM＝AN，∴∠ANM＝∠AMN＝72°. ∴∠MAN＝180°－2×72°＝36°. ∴α＝∠CAN＝∠CAM＋∠MAN＝72°. ∴当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB. 2．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形． (1)如图1，在等腰直角四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°.

2022年中考数学《四边形》专题训练及答案

2022年中考数学《四边形》专题训练及答案 一．选择题（共17小题） 1．如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE 相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（） A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GH 2．数学兴趣小组同学从“中国结”的图案（图1）中发现，用相同的菱形纵向排列放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是（） A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形 3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（） A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形

4．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，E 是BC 边上一动点（不含端点B ，C ），连接EA ，F 是CD 边上一点，设DF ＝a ，若存在唯一的点E ，使∠FEA ＝90°，则a 的值是（ ） A ． 256 B ． 116 C ． 103 D ．3 5．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边BC 上两个动点，BE ＝CF ．连接AE ，BD 交于点G ，连接CG ，DF 交于点M ．若正方形的边长为1，则线段BM 的最小值是（ ） A ．1 2 B ． √3−1 2 C ． √2−1 2 D ． √5−1 2 6．如图，在矩形ABCD 中，以对角线AC 为斜边作Rt △AEC ，过点E 作EF ⊥DC 于点F ，连结AF ，若AD ＝DF ，S △AEF ＝3，S △ACF ＝5，则矩形ABCD 的面积为（ ） A ．18 B ．19 C ．20 D ．21 7．如图，在▱ABCD 中，BD ＝6，AC ＝10，BD ⊥AB ，则AD 的长为（ ） A ．8 B ．√42 C ．2√5 D ．2√13 8．如图，在Rt △ABC 中（AC ＞BC ），∠ACB ＝90°，过C 作CD ⊥AB 于点D ，分别以AD ，AC ，BC 为边向上作

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》(含答案)

2020年中考数学复习专题练：《四边形综合 》 1．如图①所示，已知正方形ABCD 和正方形AEFG ，连接DG ，BE ． （1）发现：当正方形AEFG 绕点A 旋转，如图②所示． ①线段DG 与BE 之间的数量关系是 ； ②直线DG 与直线BE 之间的位置关系是 ； （2）探究：如图③所示，若四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，且AD ＝2AB ，AG ＝2AE 时，上述结论是否成立，并说明理由． （3）应用：在（2）的情况下，连接BG 、DE ，若AE ＝1，AB ＝2，求BG 2+DE 2的值（直接写出结果）． 2．如图1，在正方形ABCD 中，点E 是CD 上一点（不与C ，D 两点重合），连接BE ，过点C 作CH ⊥BE 于点F ，交对角线BD 于点G ，交AD 边于点H ，连接GE ， （1）求证：△DHC ≌△CEB ； （2）如图2，若点E 是CD 的中点，当BE ＝8时，求线段GH 的长； （3）设正方形ABCD 的面积为S 1，四边形DEGH 的面积为S 2，当的值为时， 的值 为 ．

3．在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O（0，0），点A（6，0），点B（0，8）．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为α（0°＜α＜90°）． （I）如图①，当α＝30°时，求点D的坐标； （Ⅱ）如图②，当点E落在AC的延长线上时，求点D的坐标； （Ⅲ）当点D落在线段OC上时，求点E的坐标（直接写出结果即可）． 4．如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，DE⊥AB于点E，过点E的直线交BC于点G，且BG＝CG． （1）求证：GD＝EG． （2）若BD⊥EG垂足为O，BO＝2，DO＝4，画出图形并求出四边形ABCD的面积． （3）在（2）的条件下，以O为旋转中心顺时针旋转△GDO，得到△G′D'O，点G′落在BC上时，请直接写出G′E的长．

2020年九年级中考数学复习专题训练：《四边形综合 》(含答案)

中考数学复习专题训练：《四边形综合》 1．问题发现： （1）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，点E是AC的中点，点F在BC 边上，将△ECF沿着EF折叠后得到△EPF，连接BP并使得BP最小，请画出符合题意的点P； 问题探究： （2）如图②，已知在△ABC和△EBD中，∠ACB＝∠BDE＝90°，AC＝BC＝4，BD＝DE ＝2，连接CE，点F是CE的中点，连接AF，求AF的最大值． 问题解决： （3）西安大明宫遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，为了丰富同学们的课外学习生活，培养同学们的探究实践能力，周末光明中学的张老师在家委会的协助下，带领全班同学去大明宫开展研学活动．在公园开设的一处沙地考古模拟场地上，同学们参加了一次模拟考古游戏．张老师为同学们现场设计了一个四边形ABCD的活动区域，如图③所示，其中BD为一条工作人员通道，同学们的入口设在点A处，AD⊥BD，AD∥BC，∠DCB＝60°，AB＝2米．在上述条件下，小明想把宝物藏在距入口A尽可能远的C 处让小鹏去找，请问小明的想法是否可以实现？如果可以，请求出AC的最大值及此时△BCD区域的面积，如果不能，请说明理由．

2．已知：如图，在菱形ABCD中，AC＝2，∠B＝60°．点E为边BC上的一个动点（与点B、C不重合），∠EAF＝60°，AF与边CD相交于点F，联结EF交对角线AC于点G．设CE ＝x，EG＝y． （1）求证：△AEF是等边三角形； （2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； （3）点O是线段AC的中点，联结EO，当EG＝EO时，求x的值． 3．已知在正方形ABCD和正方形CEFG中，直线BG，DE交于点H． （1）如图1，当B，C，E共线时，求证：BH⊥DE． （2）如图2，把正方形CEFG绕C点顺时针旋转α度（0＜α＜90），M，N分别为BG，DE的中点，探究HM，HN，CM之间的数量关系，并证明你的结论． （3）如图3，∠PDG＝45°，DH⊥PG于H，PH＝2，HG＝4．直接写出DH的长．

2021年中考二轮数学专题复习 第7讲 平行四边形--教案

第7讲平行四边形 知识点1 一般的平行四边形 1. 平行四边形的性质与判定 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形的性质： 如图，已知▱ABCD. 则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC; ②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC; ③OA=OC,OB=OD. 拓展：①平行四边形的邻角互补； ②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）. 平行四边形的判定方法： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

④对角线互相平分的四边形是平行四边形； ⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 2. 两条平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD. EF是平行线AB，CD之间的距离. 结论：两条平行线之间的距离处处相等. 拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等. 3. 三角形的中位线 图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点. 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE） 中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，BC） 且DE=1 2 注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究） 拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证） 【典例】

1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE. （提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线） 2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G． 求证：（1）四边形AECF是平行四边形． （2）EF与GH互相平分． 【方法总结】 经典模型： 如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD 的延长线交于点M，N．

2021中考数学真题7 四边形

专题七 四边形 1. 如图，已知直线b a //，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3， AB=302，试在直线a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB （ ） A.6 B.8 C.10 D.12 第1题 第2题 2. 以□ABCD 的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图，连接EF ，GH ，IJ ，KL 。若□AB CD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为_________. 3. 如图,在五边形ABCDE 中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE 上分别找出一点M,N,使得 △AMN 的周长最小时,则∠AMN+∠ANM 的度数为多少? 第3题 第4题 4. 如图,平面内4条直线1l ,2l ,3l ,4l 是一组平行线,相邻2条平行线的距离都是1个单位长度,正方形ABCD 的4个顶点A,B,C,D 都在这些平行线上,其中点A,C 分别在直线1l ,4l 上,该正方形面积是___平方单位. 5. 一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8,则这个等腰梯形的对角线长为_______. 6. 将矩形纸片ABCD 如图那样折叠,使顶点B 与顶点D 重合,折痕为EF.若AB=3,AD=3,则△DEF 的周长为 __________．

7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD面积的最大值_____ 。 第7题第8题 8.如图,将矩形纸ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,若EH=3厘米,EF=4 厘米,则边AD的长是________厘米. 9.如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形。 （1）该正方形的边长为_____（结果保留根号）。 （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：_____ 。 第9题第10题 10.如图梯形ABCD的两底长为AD=6,BC=10,中线为EF,且,若P为AB上的一点,且PE将梯形ABCD分成面积 相同的两区域,则△EFP与梯形ABCD的面积比为( ) 11.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕 点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM. （Ⅰ）求证：△AMB≌△ENB； （Ⅱ）①当M点在何处时，AM＋CM的值最小； ②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由； 3+时，求正方形的边长. （Ⅲ）当AM＋BM＋CM的最小值为1

2023年中考数学专题复习：常见四边形模型总结

【知识梳理】 一、“十字架”模型 例1:如图,在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD边上的点,BE上CF于点G,若AB=4,AF=1,则BE的长为 . 知识点二常见四边形模型* 已知:正方形ABCD,点E,F分别在CD, AD上,AE与BF交于点G 结论1:若AE⊥BF,则AE=BF; 结论2:若AE=BF,则AE⊥BF 已知:正方形ABCD,点E,F,G分别在CD,AD,BC上 结论3:若AE⊥GF,则AE=GF 已知:正方形ABCD,点E,F,G,H分别在AB,CD,BC,AD上 结论4:若EF⊥GH,则EF=GH

例2：如图，正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE，作AE的垂直平分线交AB于点G，交CD 于点F,若DF=2,BG=4,则AE的长为 . 例3:如图,在RtAACB中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,点D为AC中点,连接BD,过点C作CE上BD 交AB于点E,交BD于点F,则CE的长为 . 练1:如图,在正方形ABCD中,点E,F分别是AD,CD边上的点,且AE=DF,连接BE,AF交于点M,N是BF 的中点,若AB=10,AE=4,则MN的长为 . 练2:如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为边BC,CD上的点,连接AE,BF交于点P,且AE=BF,G为AD 的中点,连接GP,过点P作PH⊥GP交AB于点H,连接CH.若AB=6,BP=AP,则GH 的长为 .

二、对角互补模型 例4:如图,正方形ABCD 的对角线AC,BD 交于点O,M 是边AD 上一点,连接OM,过点O 作ON⊥OM,交CD 于点N.若四边形MOND 的面积是1,则AB 的长为( ). A.1 B.√2 C.2 D.2√2 类型 图形 结论 90°的对角 互补模型 ∠ABC=∠ADC=90°, BD 平分∠ABC ①AD=CD; ②AB+BC=√2BD; ③S 四边形ABCD =1 2BD² 120°的对角 互补模型 ∠ABC=120°,∠ADC=60° BD 平分∠ABC ①AD=CD; ②AB+BC=BD; ③S 四边形ABCD = √34 BD 2

2020年中考数学二轮复习：《四边形》压轴专题训练(解析版)

2020年中考数学二轮复习：《四边形》压轴专题训练 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝3．动点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿CA匀速向终点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB匀速向终点B运动，以PC、PQ为邻边构造平行四边形PQMC，当点P到达点A 时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间为t秒． （1）求线段AB的长． （2）当PQ与△ABC的边平行或垂直时，求t的值． （3）设平行四边形PQMC与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t的函数关系式．（4）以PC为边向左侧做正方形PCEF，当正方形PCEF和平行四边形PQMC重叠部分的图形是轴对称图形时，直接写出t的取值范围． 2．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a（1＜a＜4）的正方形CFEG的顶点C 重合，点E在对角线AC上． 【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为； 【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α（0＜α＜30°），请问此时上述结论是否还成立？如成立写出推理过程，如不成立，说明理由； 【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为．

3．问题探究： （1）如图1，∠AOB＝45°，在∠AOB内部有一点P，分别作点P关于边OA、OB的对称点P1，P2顺次连接O，P1，P2，则△OP1P2的形状是三角形． （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝2+，求：△ABC的面积． 问题解决： （3）如图3，在四边形ABCD内有一点P，点P到顶点B的距离为10，∠ABC＝60°，点M、N分别是AB、BC边上的动点，顺次连接P、M、N，使△PMN在周长最小的情况下，面积最大，问：是否存在这种情况？若存在，请求出△PMN的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

2020年中考数学一轮复习基础考点题型练 《四边形》专题测试-提高 (含答案)

专题：《四边形》（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（每题4分，共48分） 1．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（） A．n＝6 B．n＝7 C．n＝8 D．n＝9 2．如图，点P是四边形ABCD内的一点，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，设∠C+∠D 的大小为x，∠P的大小为y，则x，y的关系是（） A．y＝2x﹣180°B．y＝x C．y＝x D．y＝180°﹣x 3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（） A．3 B．C．D．4 4．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝1，则AB的长是（）

A．1 B．2 C．D．2 5．用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积 为原正方形面积的（） A．B．C．D．不能确定6．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，连AC、BE、DF、CE，AC分别交BE、DF于G、E，判断下列结论：（1）BF＝DE；（2）AG＝GH＝HC；（3） EG＝BG；（4）S ＝6S△AGE，其中正确的结论有（） △BCE A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法正确的是（） A．若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD相等 B．若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等 C．若AC＝BD，则四边形EFGH是矩形 D．若AC⊥BD，则四边形EFGH是菱形 8．我们知道，勾股定理反映了直角三角形三条边的关系：a2+b2＝c2，而a2，b2，c2又可以看成是以a，b，c为边长的正方形的面积．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

中考数学几何压轴题(有关三角形、四边形)的综合专题(含答案解析)

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题 1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE 于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G， （1）求证：CF＝BG； （2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF； （3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．

2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与 B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝． [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数． [拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．

3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证：AD＝2DC． （2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积； （3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．

2023中考数学专题复习——第七章 四边形

2023中考专题复习——第七章四边形 时间：45分钟满分：80分 一、选择题(每题4分，共32分) 1．下列各组条件中，不能判断一个四边形是平行四边形的是() A．两组对边分别平行的四边形 B．两组对角分别相等的四边形 C．两条对角线互相平分的四边形 D．一组对边平行另一组对边相等的四边形 2．如图，在△ABC中，∠A＝90°，点M，N分别为边AB和AC的中点，若AB ＝2，AC＝4，则MN的长度为() A．2 3 B. 3 C．2 5 D. 5 (第2题)(第3题) 3．如图，在▱ABCD中，连接AC，已知∠BAC＝40°，∠ACB＝80°，则∠BCD＝() A．80°B．100°C．120°D．140°4．如图，四边形ABCD是菱形，其中A，B两点的坐标分别为A(0，3)，B(4， 0)，则点D的坐标为() A．(0，1) B．(0，－1) C．(0，2) D．(0，－2) (第4题)(第5题) 5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠DAE的度数是() A．15°B．20°C．12.5°D．10°

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，则DE的长是() A．3 B．5 C．2.4 D．2.5 (第6题)(第7题) 7．如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5，对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为() A．20 B．24 C．40 D．48 8．将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出() A．正方形纸片的面积 B．四边形EFGH的面积 C. △BEF的面积 D. △AEH的面积 (第8题)(第9题) 二、填空题(每题4分，共16分) 9．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有________条． 10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，0)，B(5，4)，若四边形OABC是平行四边形，则▱OABC的周长等于________． 11．如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则线段EF的最小值为________．

中考数学专题复习四边形专题训练

四边形 一、选择题 1.下列命题中,不正确的是（）. A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线互相垂直且平分 C. 菱形的对角线互相垂直且平分 D. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 2.从一个七边形的某个顶点出发,分别连接这个点与其余各顶点,可以把一个七边形分割成( )个三角形． A. 6 B. 5 C. 8 D. 7 3.如图,在▱ABCD中,M是BC延长线上的一点,若∠A=135°,则∠MCD的度数是（） A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° 4.一个多边形截去一个角后,形成新多边形的内角和为2520°,则原多边形边数为（） A. 13 B. 15 C. 13或15 D. 15或16或17 5.如图,若要使平行四边形ABCD成为菱形．则需要添加的条件是（） A. AB=CD B. AD=BC C. AB=BC D. AC=BD 6.如下图,平行四边形ABCD的周长为40,△BOC的周长比△AOB的周长多10,则AB长为（）

A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 7.如图,在□ABCD中,EF//AB,GH//AD,EF与GH交于点O,则该图中的平行四边形的个数共 有（） A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 11个 8.如图,在七边形ABCDEFG中,AB,ED的延长线相交于O点.若图中 ∠1,∠2,∠3,∠4的角度和为220°,则∠BOD的度数为( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 60° 9.若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,则与该菱形面积相等的正方形的边长是（） A. 6cm B. 5cm C. cm D. 7.5cm 10.能够铺满地面的正多边形组合是（） A. 正三角形和正五边形 B. 正方形和正六边形 C. 正方形和正五边形 D. 正五边形和正十边形 二、填空题 11.一个多边形对角线的数目是边数的2倍,这样的多边形的边数是________ ．

2020年中考数学 几何大专题复习：四边形(含答案)

2020中考数学几何大专题复习：四边形 一、选择题（本大题共6道小题） 1. 已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为() A.12 B.10 C.8 D.6 2. 如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE=3，AF=5，则AC的长为 () A.4√5 B.4√3 C.10 D.8 3. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝22，CD＝2， 点P在四边形ABCD的边上．若P到BD的距离为3 2，则点P的个数为() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且O是BD的中点，若AB=AD=5，BD=8，∠ABD=∠CDB，则四边形ABCD的面积为() A.40 B.24 C.20 D.15 5. 如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是()

6. 如图正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于点O，则∠DOC的度数为() A.60° B.67.5° C.75° D.54° 二、填空题（本大题共6道小题） 7. 已知一个菱形的边长为2，较长对角线长为2√3，则这个菱形的面积是. 8. 如图，▱ABCD中，∠ADC=119°，BE⊥DC于点E，DF⊥BC于点F，BE与DF交于点H，则∠BHF=度. 9. 将平行四边形OABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点.若点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(1，2)，则点B的坐标为. 10. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是.

2022年中考数学：几何专题复习之四边形压轴含答案

2022年中考数学：几何专题复习之四边形压轴 1．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作CF ⊥BE于点F，AG⊥BE于点G，连接OF，则下列结论中，①AG＝BF；②OF平分∠CFG；③CF﹣BF＝EF；④GF＝OF；⑤FH2+HG2＝2OH2，正确的有．（填序号） 2．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN2+CM2＝MN2；⑤若AB＝2，则S 的最小 △OMN 值是1，其中正确结论有． 3．如图，在▱ABCD中，∠ABC＝45°，AB＝6，CB＝14．点M，N分别是边AB，AD的中点，连接CM，BN，并取CM，BN的中点，分别记为点E，F，连接EF，则EF的长为． 4．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M 作ME⊥CP于E，则EF＝．

5．如图，以△ABC的边AC、BC为边向外作正方形ACDE和正方形BCGF，连接AG、BD相交于点O，连接CO、DG，取AB中点M，连接MC并延长交DG于点N．下列结论：①AG＝BD； ②MN⊥DG；③CO平分∠DCG；④S △ABC ＝S △CDG ；⑤∠AOC＝45°．其中正确的结论有 （填写编号）． 6．如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB＝CD，AD＝，E为CD中点，连接AE，且AE＝2，∠DAE＝30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF的值为． 7．如图，正方形ABCD的边长是a，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），EF⊥BC于点F，EG⊥CD于点G，连接FG．则下列结论：①四边形EFCG是矩形；②四边形EFCG 的周长是2a；③S △BEF +S △DEG ＝2S △CFG ；④FG的最小值是a．其中正确的结论 是．（填写所有正确结论的序号） 8．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝．

中考数学二轮复习压轴专题：四边形

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！ 中考数学二轮复习压轴专题《四边形》 1．【习题再现】 课本中有这样一道题目： 如图1，在四边形ABCD中，E，F，M分别是AB，CD，BD的中点，AD＝BC．求证：∠EFM ＝∠FEM．（不用证明） 【习题变式】 （1）如图2，在“习题再现”的条件下，延长AD，BC，EF，AD与EF交于点N，BC与EF 交于点P．求证：∠ANE＝∠BPE． （2）如图3，在△ABC中，AC＞AB，点D在AC上，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，交BA的延长线于点G，连接GD，∠EFC＝60°．求证：∠AGD＝90°． 【习题变式】 解：（1）∵F，M分别是CD，BD的中点， ∴MF∥BP，， ∴∠MFE＝∠BPE． ∵E，M分别是AB，BD的中点， ∴ME∥AN，， ∴∠MEF＝∠ANE． ∵AD＝BC， ∴ME＝MF， ∴∠EFM＝∠FEM，

∴∠ANE＝∠BPE． （2）连接BD，取BD的中点H，连接EH，FH． ∵H，F分别是BD和AD的中点， ∴HF∥BG，， ∴∠HFE＝∠FGA． ∵H，E分别是BD，BC的中点， ∴HE∥AC，， ∴∠HEF＝∠EFC＝60°． ∵AB＝CD， ∴HE＝HF， ∴∠HFE＝∠EFC＝60°， ∴∠A GF＝60°， ∵∠AFG＝∠EFC＝60°， ∴△AFG为等边三角形． ∴AF＝GF， ∵AF＝FD， ∴GF＝FD， ∴∠FGD＝∠FDG＝30°， ∴∠AGD＝60°+30°＝90°． 2．（1）问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AD，过点A作AE⊥AD，并满足AE＝AD，连接CE．则线段BD和线段CE的数量关系是BD＝CE，位置关系是BD⊥CE． （2）探索：如图2，当D点为BC边上一点（不与点B，C重合），Rt△ABC与Rt△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．试探索线段BD2、CD2、DE2

2021年九年级中考数学第三轮冲刺解答题：四边形 专题

2021年中考数学第三轮冲刺解答题：四边形专题复习 1、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠BAD＝90°，AC交BD于点E， ∠ABD＝30°，AD＝，求线段AC和BE的长． （注：＝＝） 2、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在AD、BC上，AE＝CF，过点A、 C分别作EF的垂线，垂足为G、H． （1）求证：△AGE≌△CHF； （2）连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由． 3、如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于 点G． （1）求证：BE＝AF； （2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．

4、如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．M、N在对角线AC上，且AM＝CN，E、 F分别是AD、BC的中点． （1）求证：△ABM≌△CDN； （2）点G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，求AG的长． 5、如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交 DE于点F，交CD于点G． （1）证明：△ADG≌△DCE； （2）连接BF，证明：AB＝FB． 6、如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG， DF与BC交于点M，延长EM交GF于点H，EF与CB交于点N，连接CG．（1）求证：CD⊥CG； （2）若tan∠MEN＝，求的值； （3）已知正方形ABCD的边长为1，点E在运动过程中，EM的长能否为？请说明理由．

7、（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上， DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE． ①求证：DQ＝AE； ②推断：的值为； （2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD 于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的长． 8、如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重 合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求证：△ABF≌△BCE； （2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值．

2021年中考数学：几何专题复习之特殊四边形专题(较难)

2021年中考数学：几何专题复习之 特殊四边形专题（较难） 一．选择题 1．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，将△ACD沿对角线AC折叠得到△ACE，AE与BC交于点F，则下列说法正确的是（） A．当∠B＝90°时，则EF＝2 B．当F恰好为BC的中点时，则▱ABCD的面积为12 C．在折叠的过程中，△ABF的周长有可能是△CEF的2倍 D．当AE⊥BC时，连接BE，四边形ABEC是菱形 2．如图，E为正方形ABCD边CD上一点，连接BE，AC．若EC＝1，2∠ABE＝3∠ACB，则AB＝（） A．B．C．D． 3．如图，点A、B在函数y＝（x＞0，k＞0且k是常数）的图象上，且点A在点B的左侧过点A作AM ⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C，连接AB、MN．若△CMN 和△ABC的面积分别为1和4，则k的值为（）

A．4 B．4C．D．6 4．如图，分别以Rt△ABC的斜边AB，直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE，F为AB的中点，DE，AB相交于点G．连接EF，若∠BAC＝30°，下列结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD＝4AG； ④△DBF≌△EFA．则正确结论的序号是（） A．①③B．②④C．①③④D．②③④ 5．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为边BC的中点，P为BD的一个动点，则PC+PE的最小值是（） A．B．C．D． 6．已知点M是平行四边形ABCD内一点（不含边界），设∠MAD＝θ1，∠MBA＝θ2，∠MCB＝θ3，∠MDC

＝θ4．若∠AMB＝110°，∠CMD＝90°，∠BCD＝60°．则（） A．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝10°B．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝30° C．θ1+θ4﹣θ2﹣θ3＝30°D．θ2+θ4﹣θ1﹣θ3＝40° 7．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 8．矩形ABCD与矩形CEFG如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，则GH＝（） A．B．C．2 D． 二．填空题 9．如图，▱ABCD的面积为32，E，F分别为AB、AD的中点，则△CEF的面积为． 10．如图，正方形ABCD的边长为4，E为边AD上一动点，连接BE，CE，以CE为边向右侧作正方形CEFG．

中考数学四边形专题训练50题含参考答案

中考数学四边形专题训练50题含答案 (单选、填空、解答题) 一、单选题 1．如图，已知1234290∠+∠+∠+∠=︒，那么5∠的大小是（ ） A ．60︒ B ．70︒ C ．80︒ D ．90︒ 2．在▱ABCD 中，∠A ，∠B 的度数之比为4∠5，则∠C 的度数为( ) A ．60° B ．80° C ．100° D ．120° 3．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 作O E AB ⊥，垂足为E ，则BE 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，四边形ABCD 和四边形AEFC 是两个矩形，点B 在EF 边上，若1AB =，2AC =，则矩形AEFC 的面积为（ ） A ．2 B C ． D ．32 5．已知∠ABCD 相邻两个内角的比为2：3，则其中较大的内角是（ ） A ．60° B ．72° C ．120° D ．108°

6．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE △）的面积为（ ） A ．6 B ．7.5 C ．10 D ．20 7．如图，在矩形ABCD 中，6cm,8cm AB BC ==，点E 是BC 的中点，点F 是边CD 上一动点，当AEF △的周长最小时，则DF 的长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．如图，在四边形ABCD 中，110C ∠=︒，与BAD ∠，ABC ∠相邻的外角都是120°，则α∠的值为（ ） A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 9．如图，点 E 为正方形ABCD 外一点，且ED CD =，连接AE ，交BD 于点 F ．若38CDE ∠=︒，则BFC ∠的度数为( ) A ．71︒ B ．72︒ C ．81︒ D ．82︒ 10．在平行四边形ABCD 中，点 E 在DC 边上，连接AE ，交BD 于点 F ，若DE ∠EC =3：2，则∠DEF 的面积与∠BAF 的面积之比为（ ）