北大随机过程课件：第 2 章 第 3 讲 马尔可夫状态分析

107509-概率统计随机过程课件-第十三章马尔可夫链第一节第二节(上)

第十三章 马尔可夫链 马尔可夫过程是一类特殊的随 机过程, 马尔可夫链是离散状态的马尔可夫过程,最初是由俄国数学家马尔可夫1896年提出和研究的. 应用十分广泛,其应用领域涉及 计算机,通信,自动控制,随机服务,可靠性,生物学,经济,管理,教育,气象,物理,化学等等. 第一节 马尔可夫链的定义 一．定义 定义 1 设随机过程} ),({T t t X ∈的状态空间S 是有限集或可列集,对任意正整数n ,对于T 内任意1+n 个参数121+<

如果条件概率 })(,,)(,)(|)({221111n n n n j t X j t X j t X j t X P =???===++})(|)({11n n n n j t X j t X P ===++,(13.1) 恒成立,则称此过程为马尔可夫链. 式(13.1)称为马尔可夫性,或称无后效性. 马氏性的直观含义可以解释如下: 将n t 看作为现在时刻,那末,121,,,-???n t t t 就是过去时刻,而1+n t 则是将来时刻.于是,(13.1)式是说,当已知系统现时情况的条件下,系统将来的发展变化与系统的过去无关.我们称之为无后效性. 许多实际问题都具有这种无后 效性. 例如 生物基因遗传从这一代 到下一代的转移中仅依赖于这一代而与以往各代无关. 再如,每当评估一个复杂的计 算机系统的性能时,就要充分利用系统在各个时刻的状态演变所具有

的通常概率特性:即系统下一个将到达的状态,仅依赖于目前所处的状态,而与以往处过的状态无关. 此外,诸如某公司的经营状况 等等也常常具有或近似具有无后效性. 二． 马尔可夫链的分类 状态空间S 是离散的(有限集或可列集),参数集T 可为离散或连续的两类. 三．离散参数马尔可夫链 （1）转移概率 定义2 在离散参数马尔可夫链 },,,,,),({210??????=n t t t t t t X 中, 条件概率 )(})(|)({1m ij m m t p i t X j t X P ===+ 称为)(t X 在时刻(参数)m t 由状态i 一 步转移到状态j 的一步转移概率, 简称转移概率.

随机过程-C4马尔可夫链

练习四：马尔可夫链 随机过程练习题 1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处， 在其它整数点分别以概率 3 1 向左、右移动一格或停留在原处。求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。 2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n 求，令n X =0， 1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反）， （反，正）或（反，反）。求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。 3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证： （1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++ （2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P }|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P ==?+++m n n n X i X P ,,{22 }|11+++=n n m n i X i 4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为==0{X P p i 4,3,2,1,4 1}==i i ，???? ?? ? ??=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P 5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22 t X X = ),(n n t X X =为独 立同分布随机变量序列，令2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证 }0,{≥n Y n 是马尔可夫链。 6．已知随机游动的转移概率矩阵为???? ? ??=5.005.05.05.0005.05.0P ，求三步转移概率矩阵) 3(P 及 当初始分布为1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时经三步转移后处于状态 3的概率。 7．已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： （1）)4.0,2.0,4.0()0(=T P ，???? ? ??=6.02.02.02.07.01.01.08.08.0P ；

北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程

马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵 跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程 柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程） 柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题 排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性 稳态分布存在的条件和性质 稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例 例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理

5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明：

1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ： 参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞； 状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="； 对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程 对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３ 性质 马尔可夫过程具有过程的无后效性； 参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示

随机过程——马尔可夫过程的应用

随机过程——马尔可夫过程的应用 年级：2013级 专业：通信工程3班 姓名：李毓哲 学号：31

摘要：随机信号分析与处理是研究随机信号的特点及其处理方法的专业基础， 是目标检测、估计、滤波灯信号处理理论的基础，在通信、雷达、自动检测、随机振动、图像处理、气象预报、生物医学、地震信号处理等领域有着广泛的应用，随着信息技术的发展，随机信号分析与处理的理论讲日益广泛与深入。 随机过程是与时间相关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其样本函数，所有样本函数构成的集合称作随机过程的样本函数空间，所有样本函数空间及其统计特性即构成了随机过程。通信工程中存在大量的随机现象和随机问题。如：信源是随机过程；信道不仅对随机过程进行了变换，而且会叠加随机噪声等。 马尔可夫过程是一类非常重要的随机过程。随着现代科学技术的发展，很多在应用中出现的马氏过程模型的研究受到越来越多的重视。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，马尔可夫过程在研究质点的随机运动、自动控制、通信技术、生物工程等领域中有着广泛的应用。我们可以通过对马尔可夫过程的研究来分析马尔可夫信源的特性。 关键词：随机过程，马尔可夫过程，通信工程，应用

目录 一、摘要 二、随机过程 、随机过程的基本概念及定义 、随机过程的数学描述 、基于MATLAB的随机过程分析方法三、马尔可夫过程 马尔可夫过程的概念 马尔可夫过程的数学描述 四、马尔可夫过程的应用 马尔可夫模型在通信系统中的应用 马尔可夫模型在语音处理的应用 马尔可夫模型的其他应用 五、结论 参考文献

二、随机过程 、随机过程的基本概念及定义 自然界变换的过程通常可以分为两大类——确定过程和随机过程。如果每次试验所得到的观测过程都相同，且都是时间t的一个确定函数，具有确定的变换规律，那么这样的过程就是确定过程。反之，如果每次试验所得到观测过程都不相同，是时间t的不同函数，没有为确定的变换规律，这样的过程称为随机过程。 、随机过程的数学描述 设随机试验E的样本空间Ω，T是一个数集（T∈(-∞,∞)），如果对于每一个t ∈T，都有一个定义在样本空间Ω上的随机变量 X(w,t)，w∈Ω，则称依赖于t的一族随机变量{X(w,t)，t∈T}为随机过程或随机函数，简记为{X(t)，t∈T }或X(t)，其中t称为参数，T称为参数集。当T={0,1,2,…}，T={1,2,…}，T={…,-2,-1,0,1,2,…}时，{X(w,t)t∈T}称为随机序列或时间序列。 、基于MATLAB的典型随机过程的仿真 信号处理仿真分析中都需要模拟产生各种随机序列，通常都是先产生白噪声序列，然后经过变换得到相关的随机序列，MATLAB有许多产生各种分布白噪声的函数。

马尔科夫及其应用(02129057)

马尔可夫过程及其应用 一． 马尔可夫过程的简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 二． 马尔可夫过程的一般概念 2.1定义 设有一随机过程X(t)，t ∈T ，若在t1,t1,…tn-1,tn(t1

随机过程与马尔可夫链习题答案

信息论与编码课程习题1——预备知识 概率论与马尔可夫链 1、某同学下周一上午是否上课，取决于当天情绪及天气情况，且当天是否下雨与心情好坏没有关系。若下雨且心情好，则50%的可能会上课；若不下雨且心情好，则有10%的可能性不上课；若不下雨且心情不好则有40%的可能性上课；若下雨且心情不好，则有90%的可能不会上课。假设当天下雨的概率为30%，该同学当天心情好的概率为20%，试计算该同学周一上课的可能性是多大？ 分析： 天气情况用随机变量X 表示，“0”表示下雨，“1”表示不下雨；心情好坏用Y 表示，“0”表示心情好用“0”表示，心情不好用“1”表示；是否上课用随机变量Z 表示，“0”表示上课，“1”表示不上课。由题意可知 已知[]5.00,0|0====Y X Z P ，[]5.00,0|1====Y X Z P []1.00,1|1====Y X Z P ，[]9.00,1|0====Y X Z P []4.01,1|0====Y X Z P ，[]6.01,1|1====Y X Z P []9.01,0|1====Y X Z P ，[]1.01,0|0====Y X Z P []3.00==X P ，[]7.01==X P []2.00==Y P ，[]8.01==Y P 即题目实际上给出了八个个条件概率和四个概率 [][][][]0,0|00|000===?==?===X Y Z P X Y P X P Z P [][][]0,1|00|10===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,0|01|01===?==?=+X Y Z P X Y P X P [][][]1,1|01|11===?==?=+X Y Z P X Y P X P 由于X ，Y 相互独立，则有 [][][][]0,0|0000===?=?===X Y Z P Y P X P Z P [][][]0,1|010===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,0|001===?=?=+X Y Z P Y P X P [][][]1,1|011===?=?=+X Y Z P Y P X P []5.02.03.00??==Z P 1.08.03.0??+9.02.07.0??+1.08.07.0??+ =? 注意：全概率公式的应用 2、已知随机变量X 和Y 的联合分布律如又表所示， 且()Y X Y X g Z +==2 11,，()Y X Y X g Z /,22==， 求：

马尔可夫过程的发展和应用

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：马尔可夫过程的发展与应用 院系：电子信息与工程学院 班级：通信一班 设计者： 学号： 指导教师：田波平 设计时间： 2009/12/17 马尔可夫链(过程)的发展与应用

1. 随机过程发展简述 在当代科学与社会的广阔天地里，人们都可以看到一种叫作随机过程的数学模型：从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。 一些特殊的随机过程早已引起注意，例如1907年前后，Α.Α.马尔可夫研究过一列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链（见马尔可夫过程）；又如1923年N.维纳给出了布朗运动的数学定义（后人也称数学上的布朗运动为维纳过程），这种过程至今仍是重要的研究对象。虽然如此，随机过程一般理论的研究通常认为开始于30年代。1931年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》；三年后，Α.Я.辛钦发表了《平稳过程的相关理论》。这两篇重要论文为马尔可夫过程与平稳过程奠定了理论基础。稍后，P.莱维出版了关于布朗运动与可加过程的两本书，其中蕴含着丰富的概率思想。1953年，J.L.杜布的名著《随机过程论》问世，它系统且严格地叙述了随机过程的基本理论。1951年伊藤清建立了关于布朗运动的随机微分方程的理论(见随机积分)，为研究马尔可夫过程开辟了新的道路；近年来由于鞅论的进展，人们讨论了关于半鞅的随机微分方程；而流形上的随机微分方程的理论，正方兴未艾。60年代，法国学派基于马尔可夫过程和位势理论中的一些思想与结果，在相当大的程度上发展了随机过程的一般理论，包括截口定理与过程的投影理论等，中国学者在平稳过程、马尔可夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面也做出了较好的工作。 2. 马尔可夫过程发展 2.1 马尔可夫过程简介 马尔科夫过程(MarKov Process)是一个典型的随机过程。设X(t)是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t(t>t0)所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。马尔科夫过程中的时同和状态既可以是连续的，又可以是离散的。我们称时间离散、状态离散的马尔科夫过程为马尔科夫链。马尔科夫链中，各个时刻的状态的转变由一个状态转移的概率矩阵控制。 2.2 马尔可夫过程的发展 20世纪50年代以前，研究马尔可夫过程的主要工具是微分方程和半群理论（即分析方法）；1936年前后就开始探讨马尔可夫过程的轨道性质，直到把微分方程和半群理论的分析方法同研究轨道性质的概率方法结合运用，才使这方面的研究工作进一步深化，并形成了对轨道分析必不可少的强马尔可夫性概念。1942年，伊藤清用他创立的随机积分和随机微分方程理论来研究一类特殊而重要的马尔可夫过程──扩散过程，开辟了研究马尔可夫过程的又一重要途径。

随机过程-C4马尔可夫链复习过程

随机过程-C4马尔可 夫链

收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 练习四：马尔可夫链 随机过程练习题 1．设质点在区间[0，4]的整数点作随机游动，到达0点或4点后以概率1 停留在原处，在其它整数点分别以概率3 1 向左、右移动一格或停留在原 处。求质点随机游动的一步和二步转移的概率矩阵。 2．独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2 ≥n 求，令n X =0，1，2或3，这些值分别对应于第1-n 次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），（反，正）或（反，反）。求马尔可夫链},2,1,0,{Λ=n X n 的一步和二步转移的概率矩阵。 3．设}0,{≥n X n 为马尔可夫链，试证： （1）},,,|,,,{11002211n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ======++++++ΛΛ }|,,,{2211n n m n m n n n n n i X i X i X i X P =====++++++Λ （2）}|,,,,,,{11221100++++++======n n m n m n n n n n i X i X i X i X i X i X P ΛΛ }|,,,{111100++=====n n n n i X i X i X i X P Λ==?+++m n n n X i X P ,,{22Λ }|11+++=n n m n i X i 4．设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 ==0{X P p i 4,3,2,1,4 1}==i i ，???? ? ? ? ??=4/14/14/14/18/34/18/14/14/14/14/14/14/14/14/14/1P ，试证 }41|4{}41,1|4{12102<<=≠<<==X X P X X X P 5．设}),({T t t X ∈为随机过程，且)(11t X X =，,),(22Λt X X =Λ ),(n n t X X =为独立同分布随机变量序列，令 2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n ，试证}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。 6．已知随机游动的转移概率矩阵为??? ?? ??=5.005.05.05.0005.05.0P ，求三步转移概率矩 阵)3(P 及当初始分布为1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时经三步转 移后处于状态3的概率。 7．已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下： （1）)4.0,2.0,4.0()0(=T P ，???? ? ??=6.02.02.02.07.01.01.08.08.0P ；

马尔可夫更新过程与半马尔可夫过程”的讨论

关于“马尔可夫更新过程与半马尔可夫过程”的讨论 前言 马尔可夫更新过程是马尔可夫过程和更新过程的综合与推广。马尔可夫更新过程以及由其产生的半马尔可夫过程，与马尔可夫过程、更新过程仅有紧密的联系，又有明显的区别。 马尔可夫更新过程是一个二维（包括状态和时间）随机过程，而半马尔可夫过程是由其产生的一维随机过程。半马尔可夫过程的状态逗留时间是一般分布，不具有马尔可夫性，但在各状态转移时刻具有马尔可夫性。 马尔可夫更新过程是马尔可夫过程的推广。如果忽略马尔可夫更新过程中的时间变量，就可得到离散时间马尔可夫链。如果半马尔可夫过程在各个状态的逗留时间都服从指数分布，就可得到连续时间马尔可夫链。 马尔可夫更新过程是更新过程的推广。状态逗留时间可以看作是受到一个马尔可夫链调制。如果忽略确切的状态或状态固定，即只有一个状态，就可得到更新过程。 本读书报告主要对马尔可夫更新过程和半马尔可夫过程的概念进行了分析，讨论了马尔可夫更新过程和半马尔可夫过程、马尔可夫过程、更新过程的区别与联系，并分析总结了马尔可夫更新过程的基本特性。 一、对相关定义的理解 1、马尔可夫更新过程

取值于状态空间{},是取值[)的随机变{}是马尔可夫更新过程，如果对于满足 []n n n n n X t T T j X P |,110011≤-==++ （1） 上式称作“半马尔可夫性”的联合分布与过去的历111100 马尔可夫更新过程是将连续时间马尔可夫过程的状态逗留时间分布由指数分布推广到一般分布，故马尔可夫更新过程中，序列{}只具有半马尔可夫性，即在状态转移时刻{}具有马尔可夫性。 2、与马尔可夫更新过程相联系的计数过程 由教材2.9节知道，更新过程是一计数过程，表示到时刻t 的更新次数。那么马尔可夫更新过程的更新次数应该如何描述呢？ 表示过程{}在(0,t]到达状态是马尔可夫更新过对应的更新次数。特别地，假设初始状态是k ,则转移到状态k 构成一次更新，则意味着每次转移到状态k 的连续时间间隔是独立同分布的。时间间隔叫作在状态的逗留时间。定义如下函数：

随机过程报告——马尔可夫链.doc

马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由 A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下 : 设有一随机运动的系统 E ( 例如运动着的质点等 ) ，它可能处的状态记为E 0 , E1 ,..., E n ,.... 总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2, n, 上改变它的状态。随着的运动进程，定义一列随机变量 Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k，如在 t=n 时，位于 Ek。 定义 1.1 设有随机过程 X n， n T ，若对任意的整数 n T 和任意的 i 0 , i1 ,...i n 1 I , 条件概率满足 { i n 1 X i ,..., X n i n }{ i n 1 X n i n } P X n 1 0 P X n 1 则称 X n， n T为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在 n时以前所处的状态的补充知识，对预言在 n时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下，“将来”与“过去”是 无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性” 。假设马尔可夫过程 X n， n T 的参数集T是离散时间集合，即T={0,1,2, }, 其相应 Xn可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义 1.2 条件概率 P( n) { j X n i } ij p X n 1 称为马尔可夫链X n， n T 在时刻n的一步转移矩阵，其中i，j I ，简称为转移概率。 一般地，转移概率 P ij( n )不仅与状态 i,j 有关，而且与时刻 n有关。当 P ij( n)不依赖于时刻 n时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的 i ，j I，马尔可夫

第章离散时间的马尔可夫链

第1章 离散时间的马尔可夫链 §1 随机过程的基本概念 定义1 设(,,)P ΩF 是概率空间，(, )E E 是可测空间， T 是指标集. 若对任何t T ∈，有 :t X E Ω→，且t X ∈F E ，则称{}(), t X t T ω∈是(, , )P ΩF 上的取值于(,)E E 中的随机过 程，在无混淆的情况下简称{(), }t X t T ω∈为随机过程，称(,)E E 为状态空间或相空间，称E 中的 元素为状态，称T 为时间域. 对每个固定的ω∈Ω，称()t X ω为 {}(), t X t T ω∈对应于ω的轨道或现 实，对每个固定的t T ∈，称()t X ω为E 值随机元. 有时()t X ω也记为 设 T ?R ，{}, t t T ∈F 是F 中的一族单调增的子σ代数（σ代数流），即 ① t t T ?∈??F F ，且t F 是σ代数； ② , , s t s t T s t ?∈

马尔可夫链

马尔可夫过程 编辑词条 一类随机过程。它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家A.A.马尔可夫于1907年提出。该过程具有如下特性：在已知目前状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变 ( 过去 ) 。例如森林中动物头数的变化构成——马尔可夫过程。在现实世界中，有很多过程都是马尔可夫过程，如液体中微粒所作的布朗运动、传染病受感染的人数、车站的候车人数等，都可视为马尔可夫过程。关于该过程的研究，1931年A.H.柯尔莫哥洛夫在《概率论的解析方法》一文中首先将微分方程等分析的方法用于这类过程，奠定了马尔可夫过程的理论基础。 目录 马尔可夫过程 离散时间马尔可夫链 连续时间马尔可夫链 生灭过程 一般马尔可夫过程 强马尔可夫过程 扩散过程 编辑本段马尔可夫过程 Markov process 1951年前后，伊藤清建立的随机微分方程的理论，为马尔可夫过程的研究开辟了新的道路。1954年前后，W.费勒将半群方法引入马尔可夫过程的研究。流形上的马尔可夫过程、马尔可夫向量场等都是正待深入研究的领域。 类重要的随机过程，它的原始模型马尔可夫链，由俄国数学家Α.Α.马尔可夫于1907年提出。人们在实际中常遇到具有下述特性的随机过程：在已知它目前的状态（现在）的条件下，它未来的演变（将来）不依赖于它以往的演变（过去）。这种已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”独立的特性称为马尔可夫性，具有这种性质的随机过程叫做马尔可夫过程。荷花池中一只青蛙的跳跃是马尔可夫过程的一个形象化的例子。青蛙依照它瞬间或起的念头从一片荷叶上跳到另一片荷叶上，因为青蛙是没有记忆的，当现在所处的位置已知时，它下一步跳往何处和它以往走过的路径无关。如果将荷叶编号并用X0,X1,X2，…分别表示青蛙最初处的荷叶号码及第一次、第二次、……跳跃后所处的荷叶号码，那么{Xn，n≥0} 就是马尔可夫过程。液体中微粒所作的布朗运动，传染病受感染的人数，原子核中一自由电子在电子层中的跳跃，人口增长过程等等都可视为马尔可夫过程。还有些过程（例如某些遗

随机过程 第五章 连续时间的马尔可夫链

第五章 连续时间的马尔可夫链 5.1连续时间的马尔可夫链 考虑取非负整数值的连续时间随机过程}.0),({≥t t X 定义5.1 设随机过程}.0),({≥t t X ,状态空间}0,{≥=n i I n ,若对任意 121...0+<<<≤n t t t 及I i i i n ∈+121,...,,有 })(,...)(,)()({221111n n n n i t X i t X i t X i t X P ====++ =})()({11n n n n i t X i t X P ==++ (5.1) 则称}.0),({≥t t X 为连续时间马尔可夫链. 由定义知,连续时间马尔可夫链是具有马尔可夫性的随机过程,即过程在已知现在时刻n t 及一切过去时刻所处状态的条件下,将来时刻1+n t 的状态只依赖于现在状态而与过去无关. 记(5.1)式条件概率一般形式为 ),(})()({t s p i s X j t s X P ij ===+ (5.2) 它表示系统在s 时刻处于状态i,经过时间t 后转移到状态j 的转移概率. 定义5.2 若(5.2)式的转移概率与s 无关,则称连续时间马尔可夫链具有平稳的或齐次的转移概率,此时转移概率简记为 ),(),(t p t s p ij ij = 其转移概率矩阵简记为).0,,()),(()(≥∈=t I j i t p t P ij 以下的讨论均假定我们所考虑的连续时间马尔可夫链都具有齐次转移概率.简称为齐次马尔可夫过程. 假设在某时刻,比如说时刻0,马尔可夫链进入状态i,而且接下来的s 个单位时间单位中过程未离开状态i,(即未发生转移),问随后的t 个单位时间中过程仍不离开状态i 的概率是多少呢?由马尔可夫我们知道,过程在时刻s 处于状态i 条件下,在区间[s,s+t]中仍然处于i 的概率正是它处于i 至少t 个单位的无条件概率..若记 i h 为记过程在转移到另一个状态之前停留在状态i 的时间,则对一切s,t 0≥有 },{}{t h P s h t s h P i i i >=>+> 可见,随机变量i h 具有无记忆性,因此i h 服从指数分布. 由此可见,一个连续时间马尔可夫链,每当它进入状态i,具有如下性质: (1) 在转移到另一状态之前处于状态i 的时间服从参数为i v 的指数分布;

马尔科夫链与马尔科夫过程

关于马尔科夫链与马尔科夫过程 人生中第一次接触到马尔科夫链不是在随机过程的课上，是在大三时候通信大类开设的两门专业课上，一个是大名鼎鼎的通信原理，另一个是模式识别这门课。 1 关于马尔科夫脸的概念 在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：АндрейАндреевичМарков）得名，不愧是切比雪夫同志的弟子。其为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。 这个过程强调的性质，不光是独立性，还有记忆性。该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。但是绝对意义上的这个时候的状态与之前的一切毫无关系的案例十分少见，只能人为的创造满足这样性质的条件，不光是在机器学习的实际应用上，在随机过程中的更新过程或者是其他的某些过程都是这种解题思路，使用一定的数学上的处理进行一定的转化，从而使得后来得到的序列可以适应马尔科夫链的相关性质。 在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。随机漫步就是马尔可夫链的例子。随机过程中反映这样的一个变化往往使用一个矩阵进行表示。 随机漫步（其实就是随机过程）中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。 2 一个经典的实例 概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。

北大随机过程课件：第 3 章 第 4 讲 排队过程

马尔可夫过程排队过程 1 排队过程的基本参数和问题 排队模型的一般描述：A/R/S/N 排队系统的基本参数 排队的基本问题 排队问题的李特公式 2．排队问题的分析方法 3. 排队问题的Little定律 4．排队问题举例： 例1 排队问题M/M/1/∞（无限队长） ξ是一个参数连续状态离散的马尔可夫过程。 (1)()t (2) 求解Q矩阵： (3) 研究稳态t→∞的状态概率分布 (4) 达到稳定状态后，系统中顾客的平均数L， (5) 达到稳定状态后，系统中排队等待顾客的平均值L Q， (6) 达到稳定状态后，顾客在系统中的平均时间W， (7) 达到稳定状态后，顾客在系统中等待的平均时间WQ： (8) Little定律： M/M/1/∞排队模型总结： 系统中平均的顾客数和平均延迟与负载的关系：例2 排队问题M/M/1/N（有限队长） 例3 顾客成批到达的排队问题 例4 电话交换问题（M/M/N/N） 例5 M/M/s/∞排队系统 例6 队长为k>s、s个服务员的排队问题M/M/s/k 例7 机器维修问题

1 排队过程的基本参数和问题 排队模型的一般描述：A/R/S/N 排队系统的基本参数 A ：顾客到达系统的规律（典型的是泊松到达率）， R ：顾客在系统中接受服务的规律（典型的是负指数分布）， S ：系统中服务人员的个数（典型的是一个服务员）， N ：系统中排队队长的限制（典型的有限队长N ）。 排队的基本问题 在排队系统的平均顾客数L ， 在排队等候的平均顾客数L Q ， 顾客在系统中平均花费的时间W ， 顾客在排队等候的平均时间W Q 。 排队问题的李特公式 W L λ=，Q Q W L λ= 2．排队问题的分析方法 马尔可夫模型的排队问题，M/M/…… 确定： 系统状态转换图， Q 矩阵， 稳态的线性方程组， 得到： 稳态分布的递推关系和稳态解， 分析： 系统中的平均顾客数、平均队长、系统中的时间、平均等待时间、李特公式。 3. 排队问题的Little 定律 W L λ=，Q Q W L λ= 排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式，对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求。

随机过程报告——马尔可夫链

马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖 于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫

北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数

特征函数、母函数、矩母函数 确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题 可以通过微分运算求随机变量的数字特征 1．特征函数： 设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称： (){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞?∞?∞ Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。 特征函数的性质： 1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定； 2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积； 3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ= 典型随机变量的特征函数 1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+ 2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+ 3． 几何分布：()1jt jt pe t qe Φ=? 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t e λ??Φ= 5． 正态分布2(,)N σ?：22 ()exp{}2t t j t σΦ=?? 6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt ?Φ= 7． 负指数分布：()t jt λ λΦ=?

2．母函数 研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法： 对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞ =Φ==?∑ (1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换 母函数的性质： 1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。 2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附 合泊松过程的应用) 3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ==" 通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。 3． ()1(){(1)(1)}1,2,k z z E X X X k k =Φ=??+="" 通过矩生成函数的微分可以得到随机变量的数字特征： 均值： '1{}()|z E X z ==Φ 方差： 22''''2111{}{}[{}]()|()|[()|]z z z D X E X E X z z z ====?=Φ+Φ?Φ 典型随机变量的母函数 1． 两点分布的母函数：()z q pz Φ=+ 2． 二项式分布的母函数：()()n z q pz Φ=+ 3． 泊松分布(λ)：(1)()z z e λ??Φ= 4． 几何分布：()1pz z qz Φ=?

随机过程报告记录——马尔可夫链

随机过程报告记录——马尔可夫链

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马尔可夫链 马尔可夫链是一种特殊的随机过程，最初由A.A .M arkov 所研究。它的直观背景如下:设有一随机运动的系统E (例如运动着的质点等)，它可能处的状态记为 ,....E ,...,E ,E n 10总共有可数个或者有穷个。这系统只可能在时刻t=1,2,…n,…上 改变它的状态。随着∑的运动进程，定义一列随机变量Xn,n=0,1, 2, ?其中Xn=k ，如在t=n 时，∑位于Ek 。 定义1.1 设有随机过程}{T n X n ∈，，若对任意的整数T n ∈和任意的 ,,...,110I i i i n ∈+条件概率满足 }i {},...,i X i {1n 100 01n 1n n n n n n i X X P i X X P ======++++ 则称}{T n X n ∈，为马尔可夫链，简称为马氏链。 实际中常常碰到具有下列性质的运动系统∑。如果己知它在t=n 时的状态，则关于它在n 时以前所处的状态的补充知识，对预言∑在n 时以后所处的状态，不起任何作用。或者说，在己知的“现在”的条件下， “将来”与“过去”是无关的。这种性质，就是直观意义上的“马尔可夫性”，或者称为“无后效性”。 假设马尔可夫过程}{T n X n ∈，的参数集T 是离散时间集合，即T={0,1,2,…},其相应Xn 可能取值的全体组成的状态空间是离散状态空间I={1,2,..}。 定义1.2 条件概率 }{P 1)(i X j X p n n n ij ===+ 称为马尔可夫链}{T n X n ∈，在时刻n 的一步转移矩阵，其中i ，j ∈I ，简称为转 移概率。 一般地，转移概率)(P n ij 不仅与状态i,j 有关，而且与时刻n 有关。当)(P n ij 不依赖于时刻n 时，表示马尔可夫链具有平稳转移概率。若对任意的i ，j ∈I ，马尔可夫